Фундаментальная проблема механики жидкости и газа — возникновение турбулентности в протяженных, пространственно периодических течениях — включает в себя исследование условий реализуемости форм и масштабов этих течений, а также поиск путей перехода от регулярных режимов к пространственно — временному хаосу.
В.рамках проблемы отбора форм и масштабов структур, которые могут образовываться в таких течениях, особое внимание исследователей в последнее время было обращено на изучение поведения' дислокаций и вихрей в структурах — наличие таких объектов обеспечивает системе дополнительные степени свободы, и переход структуры к оптимальной конфигурации часто происходит через динамику дислокаций и вихрей, их рождения и аннигиляции. К наиболее интересным задачам, касающихся вихрей и дислокаций, можно отнести следующие проблемы:
• Отбор волновых чисел л Подстройка системы под оптимальное волновое. число может происходить за счет, возникновения и движения дислокаций.
• Переход к пространственно — временному хаосу. Нарушения порядка в структуре и переход к беспорядку может быть связан с появлением и взаимодействием дислокаций, а также с нетривиальной динамикой вихрей., • Конструирование сложных структур. Вихри, как элементарные объекты, могут образовывать цепочки вихрей и сложные ансамбли вихрей. Топологические дислокации — элементарные объекты для образования таких структурных дефектов, как пенто — гепто дефект или доменные стенки.
Все это обеспечивает постоянный интерес исследователей к изучению динамики дислокаций и вихрей. В диссертационной работе представлены результаты экспериментального исследования двух гидродинамических систем — термокапиллярной конвекции Марангони — Бенара и двумерных вихревых течений в горизонтальных жидких пленках. В обеих системах изучаются возникающие двумерные структуры: в первой системе это гексагональные структуры, образуемые шестиугольными ячейками правильной формы, уложенными в «паркет» — во второй системе это структуры, состоящие из двумерных вихрей. Имеющиеся на сегодняиь ний день теоретические исследования, посвященные изучению динамики топологических дислокаций, выявили основные закономерности поведения одиночной дислокации на фоне совершенной структуры. Экспериментальные же исследования с контролируемыми начальными условиями (одиночными дислокациями на фоне совершенной структуры) проводились только для одномодовых роликовых структур, в то время как для гексагональных структур подобных исследований не проводилось, и имеющиеся в численных экспериментах результаты по взаимодействию дислокаций требуют своего подтверждения в натурных исследованиях.
В первой части диссертационной работы представлены результаты экспериментального исследования динамики двух точечных дислокаций в термокапиллярной конвекции Марангони-Бенара в слое жидкости. При этом начальная структура конвективных ячеек задавалась так, что мы имели две точечные дислокации на .фойе совершенной гексагональной структуры. Было проведено непосредственное сравнение топологических особенности полей, полученных в наших экспериментах, с результатами имеющихся численных расчетов, В ряде случаев было получено очень хорошее соответствие с этими результатами, но в других ситуациях динамика дислокаций не соответствовала поведению дислокаций в численном счете, что ставит новые вопросы перед теорией.
В рамках фундаментальной проблемы перехода от регулярной структуры к пространственно — временному хаосу, в диссертационной работе изучалась новая гидродинамическая модель, демонстрирующая подобные переходы. При генерации двумерных вихревых, течений, возникающих в тонкой горизонтальной пленке, содержащей молекулы поверхностно активного вещества (ПАВ) мы наблюдали установление правильной тетрагональной структуры вихрей. При изменении контрольных параметров система демонстрировала переход к пространственному хаосу вихрей. а затем и обратный переход к другой пространственно — регулярной структуре (с другим размером вихрей). Данные переходы происходили через изменения пространственных масштабов структуры (вихрей).
Течения в жидких пленках в последнее время изучаются довольно интенсивно, однако рассмотрение соотношений порядка — хаоса в образующихся структурах вихрей не предпринималось, т.к. в большинстве исследований пленки не обладали собственной динамикой, а лишь служили для визуализации других явлений (например, для визуализации воздушных течений). В предложенной же нами модели вихри возбуждаются благодаря собственной динамики пленки, а сама система обладает свойством отбора оптимального пространственного масштаба вихрей,.
Несмотря на разную физическую сущность, и дислокации в структурах, и вихри в пленках обладают рядом общих свойств: поле фазы дислокации топологически аналогично полю скорости вихряи вихри, и дислокации, обладают свойствами частиц — могут притягиваться и отталкиваться, образовывать связанные состояния, рождаться и аннигилировать, и т. д.
Далее будет дан краткий обзор различных физических систем, в коу". .:.- .-,•'.¦¦,.': • Ч 7-." '•'-'• ,•= '¦• ••" «VV .- v'—'» К^/—, i: ¦ >.'.': .-' •. ¦ 1 торых могут возникать пространственно — периодичные структуры, а также методов их исследования. i Бенар, проводя на рубеже столетий первые эксперименты по термоконвекции, наблюдал установление правильной и устойчивой картины конвективных ячеек в тонком горизонтальном слое расплавленного спермацета (жира китов) со свободной верхней поверхностью [1]. Эти ячейки, если смотреть сверху,.:.были в основном шестиугольными, и вся картина напоминала пчелиные соты. Возникновение такой гексагональ^ ной структуры в настоящее время объясняют зависимостью сил поверхностного натяжения от температуры, а этот тип конвекции называется термокаппиллрной или конвекцией Марангони — Бенара. Этот эксперимент Бенара по праву можно считать первым научным исследованием структурообразующих систем (в англоязычной литературе — pattern forming systems), которые являются основным предметом изучения для синергетики — быстро развивающегося направления современной науки. Другим важнейшим примером структурообразующих систем является термогравитационная конвекция, когда течения в слое жидкости с закрытой верхней границей возникают из-за плотностной неоднородности. В этом случае обычно возникает структура из двумерных валов, обладающая определенной пространственной периодичностью. Первым рассмотрел задачу о возникновении конвекции в плоском горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу, лорд Рэлей [2], поэтому за термогравитационным типом конвекции закрепилось название конвекции РэлеяБенара.
К настоящему моменту конвекция в горизонтальном слое жидкости является, безусловно, наиболее изученным примером самоорганизующихся нелинейных систем. Образование стру[<�тур в конвекции обладает всеми существенными чертами, характерными для структурообразующих процессов самой различной физической природы. Из гидродинамических явлений на конвекцию Рэлея-Бемара более всего похоже течение Тейлора-Куэтта между двумя коаксиальными цилиндрами, вращающимися с разной угловой скоростью. Тороидальные вихри Тейлора, возникающие из-за неустойчивости неоднородно вращающейся жидкости, и конвективные валы, образующиеся вследствие неустойчивости неоднородно нагретой жидкости, ведут себя очень похоже. Формирование структур наблюдается в самых разных физических явлениях: в химических реакционно-диффузионных процессах, автокаталитических реакциях, при росте кристаллов, при распространении фронтов затвердива-ния, при возбуждении параметрической ряби Фарадея на свободной поверхности жидкости, в электрогидродинамической конвекции в немати-ческих жидких кристаллах, в морфогенезе растений и животных. Структуры образуются в облачных дорожках, в песчаной ряби на пологих отмелях и на дюнах, в активных самовозбуждающихся биологических системах, при взаимодействии оптических пучков, и во многих других объектах.
Несмотря на разную физическую сущность, для структурообразующих систем разработано единое теоретическое описание. При переходе системы из равновесного состояния в неравновесное вследствие увеличения некоторых контрольных параметров, вблизи бифуркационного значения становятся неустойчивыми и нарастают лишь возмущения амплитуд с определенными волновыми векторами fco и / или частотами со>о. Вследствие линейной неустойчивости эти возмущения начинают нарастать, и в результате возникают структуры с определенным пространственным и / или временным масштабом (см., например [3]). Связь между формируемыми в макроскопических системах пространственно — временными структурами и линейной неустойчивостью была впервые отмечена еще Рэлеем, для биологических систем подобную задачу рассмотрел Тьюринг [4]. При небольшом превышении пороговых значений структурообразующие системы теоретически часто могут быть описаны при помощи т.н. амплитудных уравнений (Ньюэлл и Вайтхед, 1969 [5], Сегель, 1969 [6], Ньюэлл, 1974 [7]), имеющих универсальную форму. При дальнейшем увеличении надкритичности, нелинейные эффекты начинают играть существенную роль, и в этом случае иногда возможно описать поведение системы при помощи простых фазовых уравнений (Помэ и Манвиль, 1979 [8], Кросс и Ньюэлл, 1984 [9]). Применимость фазовых уравнений, однако, ограничивается случаями идеальных структур и близким к ним случаев — например, дефект на фоне совершенной структуры. Также часто удобно описать систему при помощи феноменологических амплитудных уравнений (Свифт и Хохенберг, 1977 [10], Гринсайд и Кросс, 1985 [11], Хакен, 1987, [12]), которые имеют теже линейные члены, что и физические уравнения, описывающие явления, но аналитически проще реальных систем.
Подобный подход, нацеленный на использование универсальных методов: анализа линейной неустойчивости, амплитудных и фазовых уравнений, простых феноменологических моделей, оказался весьма плодотворным и проиллюстрировал общность процессов структурообразования в самых различных физических системах. Специфика того или иного явления при таком подходе отражается лишь в коэффициентах модельных уравнений, и задачей исследователя становится определить параметры своей системы, чтобы применить универсальный подход. Наука об образовании структур развивалось очень интенсивно в последние десятилетия, и к сегодняшнему моменту насчитывает большое число работ. Среди наиболее обстоятельных и полных обзоров следует выделить работы Свинея и Голуба «Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности» [13], Ньюэлла «Динамика структур» [14, 15], Поля Ман-виля «Диссипативные структуры и слабая турбулентность» [16], обзор Кросса и Хоэнберга «Формирование структур в неравновесных средах» [17], А. В. Гетлинга «Формирование пространственных структур конвекции Рэлея — Бенара» [18], М. И. Рабиновича и А. Б. Езерского «Динамическая теория формообразования» [19], и другие.
При переходе от теоретических моделей к реальным структурообразующим системам необходимо учитывать влияние таких факторов, как конечный размер системы и возникновение структурных дефектов. Наличие боковых границ системы проявляется в дискретизации допустимых волновых чисел системы внутри неустойчивого баллона на плоскости к (е) ([16], глава 8), а также может повлиять на реализуемый в системе масштаб A? q. При достаточно больших аспектных отношениях эффекты границ становятся ничтожно малыми. Здесь L — характерный размер структуры, а, А = 2тг/&о — пространственный период структуры.
Рис. 1: Дефекты валиковых структур (линии соответствуют границам валов): а) дислокацияб) дисклинации (вверху — сингулярности типа фокуса) — в) структурная граница- (по [20], с.100).
Если структура спонтанно развилась из случайных начальных условий, то регулярность картины бывает в большей или меньшей степени «подпорчена» разного рода структурными дефектами ([20], гл. 4.3). Во многих случаях дефекты характерны для переходных режимов и в конце концов исчезают. Возможны и равновесные состояния с дефектамиоднако вид равновесной структуры с дефектами в значительной степени определяется присутствием боковых стенок. Наличие дефектов обеспечивает системе дополнительные «степени свободы»: например, перестройка валов по волновому числу к его оптимальному значению легче.
1) а) б) в) всего происходит при наличии дефектов структуры.- Многие наблюдаемые дефекты конвективных структур схожи с дефектами кристаллических решеток, поэтому и терминология, используемая для их описания, заимствована из физики кристаллов. Среди подобных дефектов различают точечные дефекты — дислокации и дисклинации. и протяженные дефекты — структурные границы (см. Рис.1).
В диссертационной работе речь пойдет о дислокациях — точечных дефектах структур, под которыми понимается следующее:
Рассмотрим роликовую структуру, изображенную на Рис. 2 а. Это двумерное поле можно представить в виде функции U = Re{Aexp (ikx)}. Здесь к — волновой вектор системы, определяющий пространственный период структуры Л = 2ж/к, А = рехр (гв) — комплексная огибающая, содержащая информацию о дислокацияхр и в — действительные амплитуда и фаза. В случае идеальной структуры валов р = 1, 9 = О и U — cos (кх). Поле, показанное на Рис. 2 а содержит одну топологическую дислокацию — дефект, возникающей в точке, где оканчивается «лишняя» пара валов, «вклиненная» в регулярную валиковую структуру (валы которой вблизи дислокации оказываются несколько искривленными). Такое нарушение пространственной периодичности обладает следующими свойствами: если в точке {яо>2/о} находится дислокация, то величина р (хо, т/о) = 0 и интеграл от градиента фазы {svedt}, по L замкнутому контуру L охватывающему. точку xq, уо, равен ±-27Г. Топологический заряд такой дислокации равен ±1, что отражает факт появления в структуре одного «лишнего» ролика. Такое нарушение периодичности структуры полностью аналогично краевой дислокации в твердом теле (собственно термин «дислокация» заимствован из физики твердого тела). Только единицами структуры здесь выступают не атомы, а конвективные ролики.
Гексагональные1 структуры, исследуемые в диссертационной работе,.
1 Иначе шестигранные, или шестиугольные структуры.
О 2 4 6 8 10 ХД о 2 4 6 8 10 X, 0.
Y ъ уД.
10 8 6 4 2.
О ртййу О.
О 2 4 6 8 10 ХД (В) б).
Рис. 2: Дислокация в роликовой структуре: а) двумерное поле U (x, y) — pcos (kx + 0)-, содержащее одну дислокациюб) поле фазы 6(х, у) в) поле амплитуды р (х, у). представляют из себя суперпозицию трех систем валов с волновыми векторами, имеющими один и тот же модуль к и направленными под углом 27г/3 друг к другу. Идеальную шестигранную решетку можно представить в виде суммы трех резонансно связанных мод:
Е^-ехр[г1с^], (2).
3=1 с волновыми векторами, удовлетворяющими резонансному условию: т* т* т* ki+k2+k3 = 0. где Aj = pj exp iQj комплексная амплитуда моды и Зс j волновой вектор). При этом каждая мода может содержать дислокации.
Наличие дислокаций является характерным свойством практически всех структурообразующих систем. При этом дислокации играют важную роль во многих задачах образования структур.
Все это объясняет пристальный интерес исследователей к изучению дислокаций в последние два десятилетия. Экспериментально динамика дислокаций изучалась в основном на примерах конвекции жидкости, теоретически же использовались различные амплитудные уравнения, в рамках которых проводились как аналитические, так и численные исследования. Первым теоретическим исследованием движения дислокации была работа Сиггиа и Циппелиуса «Динамика дефектов в конвекции РэлеяБенара» [21]. Вопрос изучался и аналитически в рамках уравнения Нюэл-ла — Вайтхеда — Сегеля (НВС), и численно — интегрированием как полных уравнений приближения Буссинеска, так и уравнений НВС. Рассматривалась пара дислокаций, которая образуется на концах отрезка «лишней» пары валов, «вклиненной» в валиковую структуру. Такая конфигурация получается, если дополнить структуру, показанную на Рис. 2 а, ее зеркальным отражением относительно нижней границы. Аналитический расчет был выполнен в предположении, что идеальная роликовая структура, заполняющая бесконечный слой жидкости, имеет волновое число к = кс+8к. Sk << кс. Здесь кс — наиболее неустойчивый волновой вектор структуры, реализующийся при надкритичности е = 0. Рассматривался только случай 8к «0, т.к. при 8к «0 в слабонадкритичных условиях исходная валиковая структура неустойчива. В таких условиях дислокации сближаются, т. е. «вклиненная» пара укорачивается. Это означает, что валы, поджатые при внесении дислокации, стремятся расшириться. Для скорости дислокации V^, с которой движется (переползает1) каждая дислокация, было получено выражение, структура которого не зависит от типа граничных условий на поверхностях слоя: где £о и ro ~ характеристические масштабы длины и времени структуры. Таким образом, использованное авторами приближение дает для волнового числа фоновой структуры, в которой внесенная дислокация оказывается неподвижной (обозначим его как кзначение, равное кс (т.е. для уравнения НВС равное одновременно и волновому числу кр, минимизирующим функционал Ляпунова).
Основной целью авторов было определение скорости дислокации. Оказалось, что значение этой скорости, полученных на основе полных уравнений и амплитудного приближения, не всегда хорошо согласуются даже при числах Прандтля Рг —> оо. Если структура сохраняется достаточно долго, то скорость дислокаций довольно быстро устанавливается, и дальше меняется мало. Связь скорости с волновым числом систематически не исследовалась.
Сила, определяющая скорость движения дислокации в кристаллической структуре, называется силой Пича — Кёлера (ПК) [23, 24]. Если дополнительный слой, вклиненный в структуру и оканчивающийся дислокацией, сдавливается окружающими слоями, сила ПК стремится вы.
1 Различают движения дислокаций вдоль осей роликов — переползание (англ. «climb»), и перпендикулярно осям — скольжение (англ. «glide»).
Фк3/2.
3) толкнуть этот слой и устранить дислокацию. Если же давление окружающих слоев отрицательно, то сила ПК вдвигает этот слой глубже. В теории конвективных структур рассматривают аналог этой силы. В случае потенциальной динамики изменение функционала Ляпунова, связанное с переползанием, дислокации, трактуется как работа силы ПК. Расчет силы ПК был произведен Тезауро и Кроссом [22]:
4) к=(к) ¦ ¦ где (&) — средний волновой вектор системы, полученный путем усреднения по рассматриваемой области: fc) = l-Jk{x, y) dxdy (5).
Очевидно, что дислокация стационарна, когда fpK — О, т. е. соответствующее волновое число (к) = kd равно волновому числу кр, минимизирующему F.
В [22] авторы также исследовали зависимость скорости переползания дислокации от девиации от оптимального волнового вектора kd в рамках численного интегрирования потенциального уравнения Свифта — Хоэн-берга [10], а также непотенциального уравнения Сивашинского [25]. Рассматривалась также модификация этих уравнений, учитывающая крупномасштабный дрейф, вообще говоря возникающий при конечных числах Прандтля. Скорость дислокации в потенциальных моделях получалась {(к) — kd)3/2, в непотенциальной же модели ~ ({к) — kd). Было выяснено, что учет дрейфа не влияет на эти зависимости. Существенное же влияние на скорость дислокации при фиксированном 6к оказывал размер области интегрирования: указанные зависимости реализовались в пределе Lx оо, при уменьшении же Ьх скорость дислокации возрастала.
Помэ с соавторами [26] расширили результаты, полученные в [21] на случай более высоких надкритичностей. Было показано, что при боль-тих надкритичностях реализуемое системой kd не совпадает с кс. Равенство kd — К справедливо для значений порядка с2, которое для потенциальных систем еще и соответствует порогу зигзаговой неустойчивости. Также в [26] рассмотрено скольжение дислокации — движение в направлении, перпендикулярном валам. Отмечено, что при вариационной динамике в системе валов с однородной кривизной скольжение невозможно: потенциал системы при скольжении не меняется, и нечем компенсировать потери энергии из — за вязкости. Более того, даже в случае слегка искривленных валов скольжение невозможно. В тоже время было показано, что в рамках невариационной динамики скольжение дислокаций возможно в системе слегка искривленных валов, причем скорость скольжения сравнима со скоростью переползания.
Суммируя результаты этих работ, можно сказать, что основные закономерности поведения дислокаций не зависят от деталей постановки задачи и легко интерпретируются, если исходить из представлений о предпочтительном волновом числе. Переползание стремится приблизить волновое число валиковой структуры к предпочтительному кр, а равновесие дислокации имеет место, когда среднее волновое число {к) структуры равно кр и валы не стремятся ни сжаться, ни расшириться. Для потенциальных систем кр = кр.
Эксперименты, ориентированные специально на исследование дислокаций, были начаты, по-видимому, Буссе и Вайтхедом [27, 28]. (В первой работе имеются лишь качественные выводы, слово дислокация еще не употребляется, и процесс ее вытеснения называется механизмом пинча (pinching mechanism). Авторы отмечают его роль как возможного механизма изменения волнового числа структуры.) С помощью технически контролируемых начальных условий создавалась цепочка дислокаций на линии контакта двух систем параллельных валов, где валы той и другой системы оканчивались, причем волновые числа систем находились в отношении 2: 3. Параметры эксперимента были такими, что более узкие валы вытеснялись более широкими. Скорость движения дислокаций росла с ростом числа Рэлея R по закону, близкому к линейному, и убывала с увеличением числа Прандтля.
Пошо и Крокет [32, 33] выполнили обстоятельное экспериментальное изучение поведения изолированной дислокации в конвекции Рэлея.
— Бенара, создаваемой на стадии «впечатывания» начальной валиковой структуры течения путем освещения слоя через маску соответствующей формы. Использовалось силиконовое масло с Р = 70. Движение дислокации было, как правило, почти равномерным — лишь вблизи стенки оно иногда замедлялось и даже прекращалось (авторы пишут об этом эффекте как о захвате дислокации стенкой). Авторы подбирали число Рэлея таким образом, чтобы добиться неподвижности дислокации, тем самым определяя kj. Полученная зависимость кд от е показала хорошее совпадение с теоретическими данными.
Роль переползания дислокаций в перестройке волнового числа вали-кового структуры исследовалась также в эксперименте с воздухом [35]- отмечено также, что скольжение дислокаций может вести к возникновению турбулентности дефектов.
Несколько иное поведение демонстрируют дислокации в валиковых структурах, возникающих при электрогидродинамической конвекции в нематиках [38] (домены Вильямса). Основное отличие от конвекции Рэлея.
— Бенара заключается в наличие как переползания, так и скольжения дислокаций. Такое поведение наблюдалось в экспериментах Расената и Штейнберга [36, 37]. Дислокации создавались путем кратковременного выведения системы в сильно надкритическую область, где легко возникали дислокации. Затем система возвращалась в исходное состояние рядом с порогом неустойчивости, и исследовалась динамика появившихся дислокаций в зависимости от отклонения 5к волнового вектора от оптимального и величины е. Авторы также первые предложили использовать процедуру Фурье — детектирования для обработки оцифрованных изображений паттернов и нахождения координат дислокаций. Отметим, что конвекция в нематиках представляет из себя очень удобный объект для исследования динамики дислокаций: в [36] в прямоугольном резервуаре размером 3×0.7 см реализовывалось порядка 2000 валиков, причем в слабонадкритичных условиях всегда устанавливалась идеальная вали-ковая структура. Контрольными параметрами выступают частота ш и напряжение У электрического поля, при этом надкритичность определялась как е = (У2 — K2)/V?> гДе К соответствует порогу возникновения конвекции. Для введения же некоторой отстройки от оптимального волнового вектора достаточно незначительно изменить частоту электромагнитного поля: 8к — k ((jj+5u!)—k (uj). Изучалась как динамика одиночных дислокаций, так и взаимодействие пары дислокаций разных знаков. Одиночные дислокации двигались с постоянной скоростью Vd, определяемой 8к. В случае же взаимодействия пары дислокаций (итогом такого притяжения являлась аннигиляции дислокаций друг на друге), на графике зависимости расстояния между дислокациями от времени d (t) можно было выделить два участка: наклонный линейный участок, когда дислокации были достаточно далеко друг от друга, и параболический ниспадающий участок, когда дислокации, сблизившись на некоторое расстояние с?* начинали притягиваться друг к другу и их скорость увеличивалась ~ 1 fd. При сближении дислокаций в случае переползания зависимость.
Для объяснения полученных результатов авторы привлекли предложенное в [39] описание подобных анизотропных структурообразующих сред в рамках амплитудных уравнений Гинзбурга — Ландау. Согласно этой теории, стационарное состояние дислокации возможно при 8к — 0. Если же 5к ф 0, то направление движения дислокации перпендикулярно, и поэтому возможно в любом направлении (climb или glide, или комбинированное направление), Данный результат прямо противоположен случаю изотропной жидкости, где движение по типу glide возможно только в случае невариационной динамики. Авторы [36, 37] измерили все коэффициенты уравнения Гинзбурга — Ландау и провели детальное сравнение теоретических и экспериментальных данных, получив очень хорошее соответствие d (t), включая область ускорения дислокаций d < d*..
Риботта и Джоэтс [40] провели обширное экспериментальное исследование возможных бифуркаций в жидких кристаллах — нематиках (среда, аналогичная исследованной в [36, 37]). Изучались как стационарные роликовые структуры, так и структура бегущих волн. Было отмечено, что бифуркационные переходы могут происходить через развитие дефектов. Основной акцент в работе сделан на рассмотрение переходов регулярных валов в другие типы структур: на плоскости параметров {со, V} была построена диаграмма неустойчивостей, на которой были построены бифуркационные кривые зигзаговой иеучтойчивости, варикозной неустойчивости, перехода к двухмодовой структуре1, и, наконец, перехода к про.
Такая структура (называемая еще тетрагональной) образуется суперпозицией двух роликовых структур, с волновыми векторами, развернутыми относительно друг странственному хаосу. В части, касающейся дислокаций, было отмечено, что центр дислокации может служить источником неустойчивости при повышении надкритичности. Так, при постепенном повышении е наблюдалось расширение области ядра Lx дислокации (за эту область принималась область с амплитудой роликов, А < 10% от максимальной) в направлении волнового вектора (пусть это будет направление ж). Расширение этой области наступало при е ~ 0.22, и при е = 0.4 Lx достигало уже ЗОЛ. таким образом происходило рождение разъединяющей линии (англ. dissociation line) в структуре. В частях структуры, расположенных по обе стороны от разъединяющей линии, направления вращения роликов оказывалось противоположным. При дальнейшем увеличении надкритичности происходило рождение все новых и новых разъединяющих линий, они слипались вместе и формировали домены двухмодовой структуры — т. е. практически наблюдался бифуркационный переход от роликовой структуры к двухмодовой через рождение дислокаций..
Большое количество работ посвящено изучению дислокаций в более сложных по модовому составу структурах, чем роликовые (одномодо-вые) структуры. Дислокации в более сложных структурах могут вести себя отлично от одномодового случая: дислокация в одной моде неизбежно искажает другие моды, так что моды оказываются резонансно связанными [41]..
Интересные исследования дислокаций в двухмодовой структуре конвекции были проведены Вайтхедом [43, 42]. В первой работе исследовался процесс разрушения идеальной тетрагональной структуру из — за локального точечного нагрева некой области в центре резервуара. Ячейки в данная области теряли тетрагональную форму и становились источником дислокаций, которые серьезным образом искажали исходную идеальную решетку. Во второй работе в аналогичном эксперименте наблюдалось скольжение дислокаций, и было отмечено, что этот тип движения друга на 90°. играет существенную роль при переходе системы к пространственному хаосу..
В работе [44] были проведены эксперименты по исследованию динамики дислокаций в тетрагональных структурах, возникающих при параметрической ряби Фарадея на поверхности жидкости. .Такая структура представляет из себя суперпозицию двух взаимно ортогональных пар бегущих волн в замкнутом контейнере. Было показано, что две дислокации одного знака, принадлежащие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях внутри одной пары, могут образовывать устойчивое связанное состояние. Индивидуальные дефекты, представляющие такое связанное состояние, могут взаимодействовать друг с другом, причем эффективное взаимодействие было в случае, если дефекты принадлежали одной паре волн. При взаимодействии эти дефекты могли либо аннигилировать, будучи разных знаков, либо выстраиваться друг за другом в линейную цепочку, в случае одинаковых знаков. Такая линейная цепочка, состоящая из нескольких десятков дефектов, разделяла два домена структуры с близкими (но не равными) направлениями волновых векторов к В случае взаимного притяжения дефектов были построены графики зависимости дистанции между дефектами от времени, и было выяснено, что при сближении дефекты начинают ускорятся в силу взаимного притяжения (аналогичное поведение демонстрировали дислокации в [36, 37]). Экспериментальные исследования дислокаций в гексагональных структурах долгое время носили чисто описательно — статистический характер: авторы исследовали плотность дефектов в зависимости от контрольных параметров, аспектного числа и геометрической формы границ контейнера. При возникновении структур в системах с большим аспектным отношением (1) из случайных начальных условий, регулярность структуры всегда оказывается нарушена присутствием структурных дефектов [45] - [48]. При наблюдении гексагональных структур, содержащих дефекты, авторы прежде всего отмечали тот факт, что элементарные дислокации всегда оказываются связанными друг с другом [49, 50]. Среди точечных дефектов, наблюдаемых в структурах, устойчивым оказывается лишь пенто — гепто дефект (ПГД), или пара связанных ячеек с пятью и семью соседями, в то время как все остальные соседние ячейки имеют по шесть соседей. Если данный дефект существует в единственном экземпляре на фоне совершенной решетки, то легко видеть, что его образуют пара элементарных топологических дислокаций разных знаков, принадлежащим двум разным модам шестигранной структурыв 3-ей моде дислокаций не наблюдается. При большом количестве ПГД в структуре ситуация более запутанная, однако количество пар ячеек типа 7−5 по отношению к количеству «нормальных» ячеек, имеющих по 6 соседей, может служить характеристикой регулярности структуры. Плотность дефектов dd определялась как.
6) где п (Р5) и п (Р?) — количество ячеек с 5-ю и 7-ю соседями, а N — общее число ячеек..
Установлено [51, 52], что плотность дефектов dd наименьшая для контейнера шестиугольной формы (очевидный результат). Зависимость dd от размеров контейнера более интересная: dd минимально для небольших контейнеров Г ~ 10, затем растет до ~ 10% при росте Г до ~ 70, где наблюдается четко выраженный максимум, затем плотность дефектов убывает и устанавливается для больших Г на значении dd ^ 3 — 4%. Эти результаты получены для слабонадкритичных режимов (б = 0.05)в конвекции Марангони — Бенара. При фиксированном Г, dd очень быстро растет с ростом надкритичности е — при е = 0.05 dd — 5%, при е — 2.0 уже dd ~ 30%..
С теоретической стороны было предпринято несколько исследований, касающихся дислокаций, в рамках приближения амплитудных уравнений НВС..
Письмен и Непомнящий [53] получили аналитическое решение для структуры полей фаз 9j в гексагональной структуре (2), содержащий стационарный пента — гепта дефект. Считалось, что дислокации, образующие ПГД, находятся в одной точке пространства, что, вообще говоря, не соответствует экспериментальным данным [91]..
Рабинович и Цимринг [54] исследовали поведение дислокаций в рамках уравнения НВС. Они показали, что одиночная дислокация, внесенная в гексагональную структуру, быстро притягивается к границам и аннигилирует. В случае же взаимодействия двух дислокаций, результат взаимодействия зависел от начальной разницы фаз между модами, образующими решетку. При некоторых условиях дислокации расходились к границам области интегрирования и аннигилировали, так что в результате устанавливалась идеальная структура, при других же происходило эффективное взаимодействие дислокаций: они притягивались друг к другу и образовывали пенто-гепто дефект. ПГД оставался стабильным. Интересно отметить, что численный эксперимент [54] проводился при оптимальном волновом векторе структуры кс, равным для уравнения НВС еще и кр. Как было упомянуто выше, в одномодовой (роликовой) структуре в такой ситуации дислокация оставалась стационарной, т.к. уравнение НВС — градиентное. В случае же трехмодовой структуры, движение дислокаций было возможно, т.к. функционал Ляпунова зависит еще и от синхронизации фаз мод Aj в (2): условие 9 + $ 2 + = 0 минимизирует свободную энергию системы. Присутствие же дислокаций, обладающих фазовыми сингулярностями, делало фазовую синхронизацию невозможной во всем пространстве {х, у}. В [54] показано, что движение дислокации соответствует стремлению системы синхронизовать фазы мод, и, следовательно, минимизировать функционал Ляпунова, как это и должно быть в вариационной динамике..
Цимринг также исследовал в численном эксперименте динамику уже образовавшегося ПГД, а также взаимодействие двух ПГД [55, 56]. Исследования проводились в рамках аналогичной [54] модели НВС при некоторой девиации волнового вектора каждой из мод от оптимального'- = кс + 8к, т.к. при оптимальных kj ПГД неподвижен. В таком неоптимальном паттерне ПГД начинал двигаться под действием суперпозиции двух сил Пича — Кёлера, действующих в модах с дислокациями. Направления движения совпадало с направлением волнового вектора моды, не содержащей дислокации, и определялось знаком 6к. Таким образом, и в гексагональной структуре движение дислокаций обеспечивает механизм отбора оптимальных волновых чисел системы. В случае взаимодействия двух ПГД происходило либо притяжение дефектов, либо их отталкивание, в зависимости от знаков дислокаций, образующих эти ПГД. Автор также уточнил полученное в [53] решение для полей фаз на случай движущегося ПГД..
Данные закономерности поведения ПГД нашли свое подтверждение в экспериментальных исследованиях: [57, 58]. В первой работе исследовалось движение ПГД в конвекции Рэлея — Бенара, а во второй аналогичное исследование проводилось в весьма специфичной системе — структуре, образованной мелкими мыльными пузырьками (диаметер ~ 1 мм), помещенными на плоское стекло. Тем не менее и такая специфическая система являлась градиентной и демонстрировала очень хорошее соответствие с теорией — ПГД двигался с постоянной скоростью в направлении, определяемым волновым вектором без дислокации, к ближайшей границе, на которой аннигилировал..
Таким образом, экспериментальное исследование динамики отдельных дислокаций в гексагональной структуре при контролируемых начальных условиях не было предпринято, и данная диссертационная работа восполняет этот пробел..
Вторая часть диссертационной работы посвящена экспериментальному исследованию вихревых структур, возникающей в тонкой горизонтальной пленке жидкости, содержащей молекулы мыла и совершающей вертикальные осцилляции под действием внешней силы. Подобная система обладает свойством формировать различные структуры, состоящие из точечных вихрей, как регулярные, так и хаотические. Важно сказать, что это первое подобное исследование — образование вихревых структур в пленке, вследствие ее собственной динамики, ранее не проводилось. В 1878 году Седлей Тейлор опубликовал в журнале Nature короткую заметку о наблюдавшихся им «цветных интерференционных паттернах» в мыльных пленках, возбуждавшихся внешними «звуковыми вибрациями» (использовался камертон). Впоследствии более подробное описание данной работы, включающее прекрасные рисунки наблюдавшихся паттернов и «пару вихрей» в пленке, были опубликованы в [76]. Эта работа, выполненная более 100 лет назад, является наиболее близкой к тематике диссертационной работы. Однако, не было предпринято никаких попыток объяснить образующиеся вихревые структуры..
В целом же интерес к изучению течений в тонких пленках вызван тем, что в связи с ничтожно малой толщиной пленки гидродинамические течения в ней можно считать практически двумерными. Поэтому такие жидкие пленки являются идеальными лабораторными объектами для двумерной гидродинамики, которая значительно проще трехмерной и поэтому привлекает к себе особое внимание в последние десятилетия. Кроме того, это связано и с возможными практическими приложениями, так как во многих технологических процессах используются свободные жидкие пленки..
Физические свойства тонких пленок, содержащих молекулы поверхностно активных веществ (например, мыла), достаточно хорошо исследованы (см., например, [68, 75]), Были определены основные свойства жидких пленок: типы возбуждаемых гидродинамических волн, построены теоретические дисперсионные зависимости для этих волн, найдена зависимость силы поверхностного натяжения от концентрации молекул поверхностно — активного вещества на поверхности пленки..
Вихри в тонких пленках интенсивно исследуются, начиная с работы Кудэ [67], в которых горизонтальная жидкая пленка использовалась для визуализации вихрей в воздухе. Известны работы по возбуждению вихрей сдвиговым слоем в воздухе [69, 70], двумерные вихри за цилиндром (дорожка Кармана), движущимся через неподвижную плоскую пленку [72], или за рядом цилиндров, помещенных перпендикулярно жидкой пленке [73], вихри индуцируемые в пленке воздушной струей [75], турбулентные течения в вертикальной пленке, движущейся под действием силы тяжести [74] и т. д. Тем не менее, все эти работы не рассматривают особенности вихревых структур в пленке, и наша экспериментальная модель весьма отлична от них..
В качестве движущей силы, создающей вихревые течения, в нашей работе рассматривается осциллирующий пограничный слой на боковых. стенках рамки, поддерживающим пленку. Эта задача аналогична задаче о средних стационарных потоках, возникающих рядом с осциллирующим цилиндром в жидкости [63], или пылевых фигурах Кнудта, возникающих в акустических волноводах [64] - [66]..
Представленная в диссертационной работе система — жидкая осциллирующая пленка — демонстрирует всё разнообразие вихревых структур, от регулярных до хаотических, и ее изучение может помочь в понимании взаимоотношений порядка и хаоса в пространственно — протяженных системах..
Цель диссертационной работы состоит в экспериментальном исследовании элементарных актов взаимодействия краевых дислокаций в гексагональной структуре, возникающей при термокагшллярной конвекции. Марангони — Бенара в тонком слое жидкости, подогреваемом снизуа также в экспериментальном исследовании структур двумерных вихревых течений, возникающих в тонкой горизонтальной пленке, содержащей молекулы поверхностно активного вещества и совершающей вертикальные осцилляции под действием внешней силы. При выполнении работы предполагалось решение следующих задач':.
1. Экспериментально исследовать процесс взаимодействия двух дислокаций. принадлежащих разным модам гексагональной структуры, и обладающих разными топологическими зарядами..
2. Экспериментально исследовать влияние начальных условий между модами, образующих гексагональную структуру, на траектории движения дислокаций и сравнить полученные результаты с результатами численного счета. Исследовать процесс синхронизации фаз мод..
3. Экспериментально исследовать возбуждение и структуру вихревых течений в горизонтальной тонкой жидкой пленке, совершающей вертикальные осцилляции, в зависимости от толщины пленки и частоты внешней силы. Построить в пространстве параметров области существования регулярных вихревых структур и хаотических ре' ¦¦¦. жимов.. ¦¦¦. ¦ ¦.
4. Построить теоретическую модель, объясняющую генерацию вихрей в нашем эксперименте..
Динамика дислокаций и вихрей изучаются в работе на примере гидродинамических задач, однако, закономерности взаимодействия топологических дефектов обладают достаточной общностью и не зависят, в большом числе случаев, от того, в какой именно среде реализуются периодические структуры с нарушением порядка..
Настоящая диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы..
2.6 Выводы.
В данной главе представлены результаты экспериментального исследования структур двумерных вихревых течений, возникающих в горизонтальной тонкой пленке, содержащей молекулы поверхностно активного вещества. Пленка находилась на каркасе с круглой, квадратной, или прямоугольной границей и совершала вертикальные осцилляции под действием внешней силы. Суммируя экспериментальные данные, мы делаем следующие выводы о физики осциллирующей пленки. Возникновение стационарных оптических интерференционных картин, визуализирующих вихри, вызвано изменениями толщины и/или концентрации ПАВ в пленке, а не непосредственно изгибными колебаниями. Диапазон изменения толщины пленки в эксперименте вследствие испарения может достигать очень больших значений — по нашим оценкам, это диапазон от 10/ж до 0,03/ж..
Двумерные вихри возникали при толщинах пленки h < 2,5/ж во всем исследуемом диапазоне частот 50−1000 Гц. При этом наблюдаемая структура вихрей могла быть как регулярной так и хаотической: нами наблюдались одна, две, ., десять пар вихрей с противоположной циркуляцией в круглой ячейке, равномерно выстроившихся вдоль границы. В прямоугольной/квадратной ячейках точечные вихри располагались в шахматном порядке в соответствие с модами жидкой мембраны. При дальнейшем утончении пленки, как в круглой так и в прямоугольной ячейках, нами наблюдался пространственный беспорядок вихрей: вихри имели разную геометрию и размер и не были устойчивыми во времени. Переход к этому пространственному хаосу происходил через слияние/поглощение точечных вихрей регулярной структуры, и конечным итогом этого процесса было образование устойчивой пары двух больших вихрей, охватывающих всю площадь пленки. Таким образом, в системе устанавливалось простейшее двумерное течение ¦жидкости, причем при больших частотах этот процесс не зависел от геометрии боковых границ..
Предложенный механизм генерации вихрей волнами Марангони состоит в следующем: волны Марангони инициируют вторичные, пространственно периодичные средние течения, параллельные границам, поддерживающим пленку, которые вследствие вязкой диффузии могут вовлекать в движение всю жидкость слоя. Теоретические структуры этих средних течений, подсчитанные по этой модели находятся в хорошем соответствии с наблюдаемыми в эксперименте структурами вихрей. Тем не менее у нас нет прямого подтверждения возбуждения волн Марангони в нашем эксперименте..
Эксперименты демонстрируют, что скорость циркуляции вихрей возрастает при увеличении внешней осциллирующей силы и при уменьшении толщины пленки вследствие испарения. Вихри самоорганизовались таким образом, чтобы суммарная циркуляция была равна нулю, что также хорошо согласуется с нашей моделью..
Основным недостатком нашего эксперимента следует считать невозможность контролировать толщину пленки во времени: она постоянно уменьшается из — за испарения жидкости. Незначительная модификация экспериментальной установки, заключающаяся в закачке воздуха со 100% влажностью в экспериментальную ячейку, может стабилизировать толщину пленки и сделать возможным исследование всего богатства возникающих вихревых структур при изменении частоты внешней силы накачки (т.е. двигаться на плоскости параметров в направлении перпендикулярном вектору АЙ, Рис. 2.8, стр.87). Подобная модификация поможет также стабилизировать возникающие структуры вихрей: все — таки возникающая в эксперименте тетрагональная структура в прямоугольной ячейке не обладала длительной стабильностью, т.к. система постоянно испытывала влияние утончения пленки..
В целом же предложенная в диссертационной/ работе новая экспериментальная. модель структурообразующей системы представляется вееьма интересной, т.к. демонстрируют и регулярные, и хаотические паттерны, что позволяет исследовать переходы порядок — хаос в протяженной системе..
Заключение.
В диссертационной работе представлены результаты экспериментального исследования двух структурообразующих систем — термокапиллярной конвекции Марангони — Бенара, и вихревых структур в горизонтальной тонкой жидкой пленке, совершающей вертикальные осцилляции под действием внешней силы. В обеих. системах изучаются возникающие двумерные структуры: в первой системе это гексагональные структуры, образуемые шестиугольными ячейками правильной формы, уложенными в «паркет» — во второй системе это структуры, состоящие из двумерных вихрей. Основными результатами настоящей диссертационной работы являются следующие результаты :.
1. Экспериментально определено поле параметра синхронизации, которое непосредственно можно сравнивать с численным расчетом. Обнаружено качественное соответствие эволюции параметра синхронизации между экспериментом и расчетом: а) появление узкого коридора рассинхронизацииб) движение дислокаций происходит по коридору рассинхронизации, эффективно сокращая его длину..
2. Обнаружен новый по сравнению с численным счетом тип движения дислокаций — через взаимодействие с рождающимися парами дислокаций и последующую аннигиляцию с ними..
3. Обнаружен новый тип устойчивого связанного состояния в гексагональной структуре — двойной пенто-гепто дефект..
4.Обнаружена генерация двумерных вихрей в тонких жидких цленках, совершающих вертикальные осцилляции в поперечном направлении, для частот внешней силы 50 — 1000 Гц и толщин пленки <2, 5/ik. На плоскости параметров частота внешней силы — толщина пленки, построены области существования различных вихревых структур.'.
5. Показано, что при изменении контрольных параметров системы возможен переход от регулярного расположения вихрей к пространственному беспорядку..
6. Предложен механизм генерации двумерных вихрей на основе взаимодействия волн Марангони с боковой стенкой, поддерживающей. пленку. ¦¦¦¦¦.¦.
1.02.
