Задачи достижимости и синтеза управлений для гибридных систем

Данная работа посвящена анализу математических моделей сложных процессов, относящихся к числу так называемых гибридных. Они представляют собой математические модели систем управления, в которых непрерывная динамика, порождаемая в каждый момент времени одной из априорно заданного набора непрерывных систем, перемежается с дискретными операциями, подающими команды либо на мгновенное переключение с одной системы на другую, либо на мгновенную перестройку с заданных текущих координат на другие координаты, либо на то и другое одновременно. Таким образом, гибридная динамика системы заключается в альтернированной комбинации непрерывной динамики с дискретной, скачкообразной. Непрерывная и дискретная составляющие системы могут включать некоторые параметры, влияющие на поведение системы. Значениями части таких параметров — управлений можно распоряжаться, значения же других параметровпомех или неопределенностей формируются в результате функционирования сложных, плохо формализованных механизмов, либо являются результатом погрешностей, допущенных при математическом моделировании.

Гибридные системы часто встречаются в различных прикладных задачах из таких областей знаиия, как автомобилестроение [65], авиастроение [4], робототехника [33], электроэнергетика [69], обеспечение безопасного движения в пространстве [37], [66], [70] на суше [56], [75], на воде и др. Математическая модель гибридной системы возникает каждый раз, когда необходимо исследовать взаимодействие среды, непрерывно изменяющейся в соответствии с некоторыми физическими законами, и управляющих элементов, срабатывающих в дискретные моменты времени. Примерами таких комплексов могут служить электронные системы автоматического управления самолетом, либо автомобилем, системы автоматического регулирования температуры, влажности в помещении и др. Возможности подобных систем проявляются шире, чем обычных.

Гибридная система может быть получена также при кусочно-линейной аппроксимации сложной нелинейной системы дифференциальных уравнений. Решение различных задач управления для нелинейной системы, таким образом, может быть аппроксимировано решениями аналогичных задач для гибридной системы.

По-видимому, в силу чрезмерной широты охвата, не следует концентрироваться на поисках удовлетворительной универсальной модели гибридной системы и устоявшейся системы обозначений, используемых при её- описании. Тем более, что каждый класс моделей гибридной системы был, как правило, мотивирован конкретными видами прикладных задач. Различные представления для моделей гибридных систем приведены, например, в [10], [25], [32], [41], [42], [54], [59], [60], [74].

Исследование гибридных систем и решение для них различных задач управления расширяет область применения соответствующей математической теории. Для гибридных систем могут быть сформулированы различные известные задачи оптимального управления, достижимости и верификации, темы исследования на устойчивость, новые задачи стабилизации, идентификации и др. В связи с гибридными системами возникает также множество новых постановок, требующих оригинальной модификации известных ранее методов, в которых могут соединяться элементы разных математических дисциплин (в частности, теории дифференциальных уравнений, математической логики, теории конечных детерминированных автоматов), равно как и вновь придуманных математических средств.

Среди классических задач теории управления, поставленных для гибридных систем, значительные результаты были получены в решении задач стабилизации [34], [42], [64], [68], а также в ряде задач оптимального управления. Данным вопросам посвящены работы M.S. Branicky, М. Johansson, S. Sastry. Стоит отметить работу [32], в которой для решения задачи оптимального управления гибридной системой были выведены квазивариационные неравенства для специально сконструированной функции цены. В работах J. Lygeros [36], [37] рассматриваются задачи управления для стохастических гибридных систем.

В данной работе рассматриваются задачи достижимости, верификации и синтеза управлений для гибридной системы.

Задача достижимости состоит в построении множества достижимости гибридной системы, состоящем из всевозможных состояний системы, в которые можно перейти при помощи соответствующего допустимого управляющего воздействия из фиксированного в заданный начальный момент времени состояния (или множества таковых). Эволюцию множеств достижимости описывает трубка достижимости.

К задачам достижимости примыкают задачи верификации, в которых необходимо узнать, может ли анализируемая система попасть (или, наоборот, не попасть) в одно из предписанных" состояний («желательных» или «нежелательных»). Такая постановка задачи может быть обусловлена, например, проблемами обеспечения безопасности движения в пространстве.

Задачи достижимости и верификации для гибридной системы рассматривались, в частности, в работах Е. Асарина, J. Lygeros, С. Tomlin и др.: [10], [55], [57], [65], [72]. В работах [27], [29] для их решения были применены геометрические методы. В работе [10] предложены схемы, основанные на разработанном ранее эллипсоидальном исчислении [45], [47]. Применение данной техники позволит построить для гибридных систем конструктивную теорию, направленную на решение задач достижимости и верификации «до конца», т. е. до практически реализуемого алгоритма.

Центральной в теории управления является, как известно, задача синтеза управлений, которая состоит в построении входного воздействия, переводящего систему в предписанное конечное состояние из фиксированного множества начальных состояний. При этом управление в задаче синтеза является позиционным, то есть зависит как от времени, так и от позиции сист, емы, включающей, в частности, фазовые переменные и номер действующей системы дифференциальных уравнений. Использование таких управлений обусловлено решением практических задач в условиях неполной или неточной информации при наличии возмущений.

Один из методов решения задач програмлтого управления для обычных, негибридных систем опирается на принцип максимума JI.C. Понтрягина [15], при помощи которого могут быть получены необходимые условия оптимальности. Принцип максимума может быть применен в обобщенной формулировке и для гибридных систем [77]. В отсутствии возмущений значение критерия оптимальности при позиционных стратегиях совпадает со значением, полученным при программных управлениях. Однако, при наличии возмущений одних программных управлений уже недостаточно. В таком случае нужны позиционные управления, найденные, например, путем использования методов динамического программирования [1], а также теория, разработанная для негибридных систем H.H. Красовским [б], [7], [8]. Задача синтеза может быть также сформулирована как задача поиска такого позиционного управления, которое удерживает траекторию внутри системы слабо инвариантных лтоо/сеств (попятных лтожеств достижимости, множеств разрешимости), образующих трубку разрешимости [45] (стабильный мост [8]) и т. п. По найденным слабо инвариантным множествам можно построить синтез с требуемыми свойствами, опираясь на метод экстремального прицеливания, [7].

Применению методов динамического программирования для решения задач управления гибридными системами посвящены работы [28], [32], [33], [43] [57], [67], [71] и другие.

Основная цель данной работы состоит в исследовании структуры множеств достижимости для гибридной системы без неопределенности, в решении задач верификации, численного построения множеств достижимости или разрешимости, а также в решении задачи синтеза управлений.

В первой главе диссертации рассматривается задача построения множества достижимости для гибридной системы, а также задачи верификации. В разделе 1.1 описывается математическая модель гибридной системы, используемая в следующих разделах и главах. Эта модель включает в себя непрерывную и дискретную составляющие. Непрерывная составляющая системы представлена совокупностью N систем обыкновенных дифференциальных уравнений: тМ = и") ,/ = 1,., ЛГ, (1) где в каждый момент времени активной является одна из указанных систем. Здесь .т^? С М" * - вектор фазовых координат, € КПис — управление. На управление и^ наложены геометрические ограничения: и^ = Е.

Дискретная составляющая модели гибридной системы содержит правила мгновенного перехода от одной системы дифференциальных уравнений (1) к другой — переключения системы. Переключение с г-ой системы (1) на другую может произойти лишь при определенных условиях, а именно, при? <5(г), где <5>(г) С М" х — пространственная область переключения. В данной работе всюду считается, что множества <5>(г) представляют собой конечные объединения гиперплоскостей и полос в пространстве К" -" .

Кроме правил перехода от одной системы дифференциальных уравнений (1) к другой дискретная составляющая гибридной системы содержит соотношения, описывающие так называемые перестройки состояния — мгновенные изменения вектора фазовых переменных. Перестройки состояния могут происходить только в так называемых областях перестроек, которые в рассматриваемой модели приняты совпадающими с областями переключений 5(г).

Функционирование дискретной составляющей гибридной системы при переключении и/или перестройке может быть описано уравнением: х^(Ь + 0)} = 0), Г, О, (2) где г-, г+ Е {1,., ./V} - номера систем дифференциальных уравнений (1) до и после переключения, Ь Е [?0)^], — 0), ж (г+)(?-|-0) е — векторы фазовых переменных непосредственно до и сразу после перестройки, иа Е МПи<* - управляющий параметр, на значения которого наложено ограничение: иа = ua (t, i) Е Pd (i), где Va (i) — некоторое множество в пространстве Rn" d.

Управления ис могут быть взяты либо из класса программных управлений U0(to, ti) (тогда ис = Uct) — функция времени, зависящая также от номера активной системы (1)), либо из класса позиционных управлений Ucj. В последнем случае ис является многозначным отображением и^ = Uct, x) C V-(t), зависящим от времени, вектора фазовых переданных и номера активной системы (1). При использовании многозначных позиционных управлений необходимо убедиться, что после их подстановки в уравнения системы будут получены дифференциальные включения, имеющие решения (в смысле, определенном в мо, но графин [22]) Использование известной теоремы о существовании решения у полунепрерывного сверху, выпуклозначного, компактнозначного дифференциального включения, в данной работе невозможно. Вместо указанной теоремы из [22] в работе использован результат, приведенный в [76] и позволяющий работать с управлениями, приводящими к невыпуклозначным дифференциальным включениям.

При решении различных задач управления для гибридных систем ключевым является определение понятия позиции системы. В данной работе под позицией системы понимается четверка {?, x, i,6}, в которой t Е [to, ?i] — текущий момент времени, х Е flx — вектор фазовых переменных, / Е {1,., Аг} - номер активной системы дифференциальных уравнений, в € [¿-о, ?] ~ момент последнего произошедшего переключения или перестройки. Компонента 0 позволяет различать позиции системы непосредственно перед переключением и/или перестройкой и сразу после таковой. Определенная таким образом позиция системы позволяет формулировать принцип оптимальности в форме полугруппового свойства для функций цены, используемых для решения задач управления методами динамического программирования.

Частным случаем рассматриваемой модели гибридной системы является кусочно-линейная система с переключениями ([74], [42], [10]), в которой область фазового пространства Qx разбита гиперплоскостями на час ти ., каждой из которых поставлена в соответствие некоторая система линейных дифференциальных уравнений с управляющими параметрами. Уравнения из описания модели гибридной системы при этом являются линейными по вектору фазовых переменных и управлению: ut, ««) = Ai (t)xV + B^uf + Ci (t)v®. (3).

Здесь (t): [t0,ti] —> Rn" c — фиксированная непрерывная функция,.

Ai (t) E C ([io, ti], Mn*xn*),?i (0 e C ([i0,ii], Rn'xnue), C,"(i) e C ([i0>ii], RTteXn'*), х, I, и^) = j, Ущ, если х Е. ч (Кф)х + Мц^иа + Д^К/, если т е П" П Ях^Х^ил) = < х, иначе.

Здесь = Vd. it, г) — фиксированное отображение, 6 МГ1жХПа, е ЕПа!><�тЧг, det /<" ??(0 ф 0, и,{? — выпуклое, компактное множество. Часть результатов в данной работе получена при предположении, что исследуемая гибридная система является кусочно-линейной системой с переключениями. Используется также более слабое предположение о линейной структуре гибридной системы, когда уравнения из описания модели являются линейными, но нет никаких ограничений, связанных с разбиением фазового пространства на области.

Основные результаты, приведенные в данной диссертации:

• Исследована ветвящаяся структура прямого и попятного множеств достижимости для гибридной системы с линейной структурой без неопределенности. Приведены описания указанных множеств в виде попеременных суперпозиций операторов простой структуры, а также в виде множеств нулевого уровня специальных функций цены. Для этих функций методами выпуклого анализа выведены выражения, которые можно использовать для их численного расчета. Кроме того, получены уравнения типа Гамильтона-Якоби-Беллмана, которым должны удовлетворять указанные функции. Предложены численные методы расчета множеств достижимости, основанные на использовании аппарата эллипсоидального исчисления. Проведены расчеты аппроксимаций множеств достижимости для нескольких примеров гибридных систем.

• На основании функций цены для попятного множества достижимости (слабо инвариантного множества) и соответствующих уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана построен синтез, решающий задачу перевода траектории системы в целевое множество на заданном отрезке времени.

• Для конкретного примера гибридной системы на плоскости исследованы возможности появления эффекта Зенона, а также квазнпериодических или асимптотически квазипериодических траекторий.

• Решен ряд задач управления для математической модели шарика, скачущего на вращающейся плоскости в пространстве. Предложены эффективные методы численного расчета функций цены для этих задач, построен синтез управлений. Произведены расчеты функций цены и оптимальных траекторий при конкретных параметрах системы.

Заключение

.