В диссертации исследуется локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением и переопределением на выходящем потоке для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Эти задачи можно рассматривать как задачи управляемости, в которой управлением является множитель в правой части или характеристики среды, зависящие только от пространственных переменных.
Актуальность темы
Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, являются предметом исследований многих математиков, и в настоящее время наблюдается повышенный интерес именно к этой тематике по сравнению с другими проблемами теории управления. Это связано, в первую очередь, с тем, что вопросы необходимых или достаточных условий оптимальности, по крайней мере, на идейном уровне функционального анализа, в основном прояснились, хотя, конечно, и там остались возможности для развития и обобщений. Далее, выводы, получаемые при использовании общих теорем об условиях экстремума в задачах с частными производными, как правило, не доводят процесс решения до пригодного для использования результата, хотя и дают возможность взглянуть на исходную задачу с другой, не менее сложной, стороны. Во вторую очередь, многие задачи управляемости (технические, экономические, экологические, производственные, социальные, биологические, климатические и др.) получили возможность решения именно в последнее время в связи с бурным развитием науки, техники, вычислительной техники, и это побудило математиков дать теоретическое подкрепление хотя бы для каких-нибудь простейших моделей, связанных с управляемостью.
Диссертация посвящена одному из таких вопросов.
Изложение естественным образом разделено на четыре части.
В первой главе Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой постоянной функцией из того же класса, что и решение.
Во второй главе доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных. Аналогичный результат для линейной обычной задачи получен ранее в работе [15,24]. Основная идея доказательства состоит в двукратном использовании известной уточненной теоремы об обратной функции применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей (см [26,27]).
В третьей главе получен результат, аналогичный результату, полученному во второй главе, но управлением является индикатриса рассеяния. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи с финальным переопределением для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса. Поскольку обычная теорема об обратной функции локальна, то и результат носит локальный характер без уточнения допустимых размеров окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения. Попутно введены обозначения для различных операторов (линейных и нелинейных), встречающихся по ходу дела. Во второй части на основе двукратного использования уточненной теоремы об обратной функции (наиболее общий ее вариант принадлежит Сухинину и доказывается с помощью леммы Цорна, хотя в случае, рассматриваемом в диссертации, а именно, когда обратная функция единственна, эта теорема доказывается с помощью принципа сжимающих отображений и стандартных рассуждений, известных до публикаций Сухинина. на эту тему). С использованием обозначений из первой части получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.
В четвертой главе доказана локальная разрешимость обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости. В первой части доказана локальная разрешимость обратной задачи для линейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является — в одном случае — функция источников и — в другом случае — индикатриса рассеяния. Во второй части доказана локальная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу управляемости, где управлением является — в одном случае — функция источников и — в другом случае — индикатриса рассеяния. В третьей части уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима. Основная идея доказательства состоит, так же как и в предыдущих главах, в двукратном применении уточненной теоремы об обратной функции.
Изучение обратных задач для линейных уравнений переноса началось достаточно давно. Первые постановки этих задач можно найти в [1−3]. После этого появились работы, посвященные, например, вопросам единственности решения многомерных обратных задач для стационарного од-носкоростного линейного уравнения переноса. Эти вопросы были изучены в работе [4]. Для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса.
З’И (x, v, t) + (v, V) u (x, v, t) + H (x, v, t)u (x, v, t) = J J (x, v, t, v')u (x}v', t) dv' + F (x, v, t), У теоремы существования и единственности решений обратных задач в класди. л се функций, непрерывных вместе со своими производными — и (v, V) u,.
С/ с получены в работах [5,6]. Аналогичные теоремы доказаны методом полугрупп в работе [7]. Ряд статей посвящен изучению обратных задач теории переноса в плоскопараллельной геометрии, а также для иных видов линейного кинетического уравнения. В [8] исследуются вопросы существования и единственности обобщенных решений обратных задач для нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса с переопределением интегрального типа. При этом изучается также корректность постановки соответствующих прямых задач. Необходимо отметить, что исследование прямых задач для того или иного вида уравнения переноса проводились в многих работах (см., например, [9−14] и их библиографии). В [15] изучается управляемость некоторых систем с распределенными параметрами, описывающих процесс массопереноса, и рассматривается подход к задачам управления с точки зрения теории обратных задач математической физики. Получен ответ на вопрос об управляемости нестационарного многоскоростного линейного уравнения переноса (В.1)-(В.4) с финальным переопределением. щ (х, v, t) + (v, V) u (x, v, t) + E (x, v, t) u (x, v, t) = J J (x, г/, t, v) u (x, v', t) dv' + F (x, v, t), к.
6 D = G x V x (0,Г), (B.l) i) — /i (a-, г", t), (ж, г-, f) G 7 x [0, T], где 7 = {(ж, v) G <9G x У: (v, nx) < 0}, (B.2) u (x. v, t) =.
Кроме вопроса управляемости процессом массопереноса Н. П Волковым изучались некоторые проблемы из теории оптимального управления в задачах математической физики [16]. В частности, получен критерий оптимального управления источниками в некоторых процессах нестационарного переноса нейтронов [17] в [18].
Исследованию линейных уравнений переноса посвящено большое количество работ (см., например, [28−32] и их библиографии). Цель работы.
1. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного модифицированного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое по норме) состояние, за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является — в одном случаефункция источников и — в другом случае — индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.
2. Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с переопределением на выходящем потоке, которую можно трактовать как задачу локальной управляемости, где управлением, является — в одном случае — функция источников и — в другом случае — индикатриса рассеяния, зависящие только от пространственных переменных.
Общая методика исследования. В основе доказательства теоремы о локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса лежат известные свойства решений линейных (прямой и обратной) задач, а также двукратное применение теоремы об обратной функции, обычной и уточненной применительно к отображениям, связанным с этой обратной задачей в соответствующих функциональных пространствах (в одном из двух случаев пространство прообразов определяется как множество решений соответствующей линейной задачи).
Были также использованы неравенство Гельдера, теорема Фубини, теорема Лебега, теорема Адамара, теоремы вложения, неравенство Мин-ковского, теорема Банаха, теоремы о следах, принцип сжимающих отображений, лемма Гронуолла, принцип Банаха о неподвижной точке, теория полугрупп, формула Ныотона-Лейбница.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
1. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
2. Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с переопределением на выходящем потоке для нелинейного модифицированного уравнения переноса для случая 2 ^ р < оо с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
Приложение. Диссертация носит теоретический характер. Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научных семинарах в МГУ под руководством академика Садовни-чего В. А и профессора прилепко А.И., на научном семинаре, а МЭИ под руководством профессора Дубинского Ю. А., на научном семинаре, а ИПМ под руководством профессора Масленникова М. В. и на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математической физики иод руководством профессора Скубачевского А.Л.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 печатных работ [43 — 45].
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, общих сведений, четырех глав, заключения и списка литературы.
Основные результаты работы.
Глава 1. Доказана однозначная разрешимость обобщенного решения начально-краевой задачи для нестационарного модифицированного уравнения переноса, которое отличается от обычного уравнения переноса заменой в интегральном слагаемом функции, являющейся решением, некоторой функцией из того же класса, что и решение.
Глава 2. Проведено доказательство локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением-для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения есть функция источников, принадлежащая пространству Lp, 2 ^ р < оо, с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима. В качестве нелинейной добавки используется оператор Гам-мерштейна.
Глава 3. Доказана локальная однозначная разрешимость обратной задачи для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса с финальным переопределением, где управлением является индикатриса рассеяния и получены достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем, чтобы исходная обратная задача была однозначно разрешима.
Глава 4. Получена теорема о локальной однозначной разрешимости обратных задач для линейного и нелинейного модифицированного уравнения переноса в случае переопределения на выходящем потоке, которые можно трактовать как задачи управляемости, где управлением является — в одном случае — функция источников и — в другом случае — индикатриса рассеяния и уточняется допустимый размер окрестности, с тем чтобы указанная обратная задача для модифицированного уравнения переноса была однозначно разрешима.
Заключение
.
