Алгоритмы построения контрпримеров к проблемам Айзермана и Калмана

Одним из основных вопросов исследования нелинейных систем управления является вопрос, касающийся их абсолютной устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений. где Р — постоянная п X п-матрица, я, г — постоянные п-мерныс векторы, ф (а) — дифференцируемая скалярная функция. Здесь функция ^>(г*х) трактуется как вход, а г*х — как выход. В дальнейшем будем полагать, что ф (0) = 0. Здесь и далее * обозначается операция транспонирования. Такая форма записи нелинейных динамических систем с одной нелинейностью традиционна для теории абсолютной устойчивости нелинейных систем управления [Лурье, 1951, Г^всЬейг, 1965].

В 1949 году М. А. Айзерман [Айзерман, 1949] выдвинул следующую гипотезу для системы (0.1): если для всех к Ё (/?1,^2) система (0.1) с ф{а) = ка асимптотически устойчива (собственные числа матрицы Р + qA-r* имеют отрицательные вещественные части), то система (0.1), удовлетворяющая свойству имеет асимптотически устойчивое в целом нулевое решение (т.е. нулевое решение устойчиво по Ляпунову и любое решение системы (0.1) — Рх + цф (г*х), хег

0.1) о < ф (а) < (¿-2а о ф 0,

0.2) стремится к нулю при Ь со).

В 1952 году И. Г. Малкин [Малкин, 1952], Н. П. Еругин [Еругин, 1952] и H.H. Красовский [Красовский, 1952] полностью разрешили проблему Айзермана при п = 2. Здесь проблема Айзермана имеет положительное решение кроме случае, когда матрица Р Н- ?±qr* имеет кратное двойное нулевое собственное значение и

При выполнение этих условий H.H. Красовским [Красовский, 1952] было показано, что система (0.1) имеет решения, стремящиеся к бесконечности. Это был первый контрпример к проблеме Айзермана, который в дальнейшем был обобщен на системы (0.1) произвольного порядка [Noldus, 1971, Леонов, 1970].

Позднее в 1957 году P.E. Калман [Kaiman, 1957] видоизменил условие М. А. Айзермана, выдвинув аналогичную гипотезу с более «жестким» условием на нелинейность ф: если выполнено условие то система (0.1) имеет асимптотически устойчивое в целом нулевое решение. Ясно, что для п — 2, за исключением контрпримера Красовского, гипотеза Калмана верна.

В [Leonov, Ponomarenko & Smirnova, 1996] показано, что из частотныхкритериевустойчивости следует положительное решение проблемы Калмана для п = 2 и п = 3.

Обобщение вопроса, поставленного P.E. Калманом, было сформулировано в [Markus &Yaraabe, 1960] и известно как гипотеза Маркуса.-Ямабе. i < ф'(а) < //2,

0.3)

В 1958 году В. А. Плисс [Плисс, 1958] развил метод построения нелинейных систем, удовлетворяющих условию Айзермана и обладающих периодическими решениями. В дальнейшем этот метод был обобщен на систему (0.1) произвольной размерности [Noldus, 1971, Леонов, 1970].

Однако классы этих систем не удовлетворяли условию Калмана.

Гипотезам Айземапа и Калмана и вопросами, связанными с ними, посвящено большое количество работ, например

Willems^- Willems, 1968, Mahalanabis& Bhaumik, 1969, Воронов, 1977,

Воронов, 1978, Vidyasagar, 1978, Калитин & Черчуп, 1978, Grujic, 1978,

Singh& Kumar, 1978, Груйич, 1980, Онайбаев, 1980, Опойцев, 1981,

Grujic, 1981, Гиль, 1983, Скородинский, 1984, Смоляр, 1986,

Лапин, 1987, Cheng, 1990, Grujic, 1993, Gil, 1994, Kaiqi, 1995,

Okuyama& Takemori, 19 981, Gil& Ailon, 1998, Okuyama к Takemori, 19 982,

Curran, 1998, Gil, 2000, Gil, 2001, Medinafc Gil, 2003, Altshuller, 2008,

Fitts, 1966, Fannin& Rushing, 1974, Fannin& Connelly, 1975,

Djebrane& Fannin, 1981, Барабанов, 1988, Bernat& Llibre, 1996,

Vidyasagar, 2000, Либерзон, 2006]

Известным контрпримером к гипотезе Калмана являются результаты

Фиттса [Fitts, 1966], где проведено компьютерное моделирование системы

0.1) при п = 4 с передаточной функцией р2 w [{p + ?)2 + w2}[{p + ?)2 + i. i2] (0'4) и с кубической нелинейностью (р (а) = ка3.

Проведем компьютерное моделирование системы Фиттса. При? = 0.01 и к = 10, восстанавливая систему по передаточной функции (0.4), получим

1 = Х2 ?2 =

0.5) з = Ж4

4 = —0.9803¹ — 0.0404о-2 — 2.0206.т3 — 0.0400ж4 + <�р (-х3) Моделируя данную систему с начальными даннымиⁱ (O) = 85.1189, ж2(0) = 0.9222, ж3(0) = -2.0577, ж4(0) = -2.6850, получим «периодическое» решение (Рис. 0.1). 20 ю 0 -10 -20

— 100 -50 0 50 100 0 200 400 600 800 t

Рис. 0.1. Проекция траектории с начальными данными жх (0) = 85.1189, х2(0) = 0.9222, ж3(0) = -2.0577, а-4(0) = -2.6850 системы (0.5) на плоскость (rei, х2)

В своих экспериментах Фиттс обнаружил периодические решения системы (0.1) при некоторых значениях параметров (3 и к. Однако для части параметров /3G.(0.572,0.75), рассмотренных Фпттсом, было показано [Барабанов, 1980, Барабанов, 1988], что результаты. экспериментов неверны.

В 1988 году Н. Е. Барабанов [Барабанов, 1988] приводит доказательство существования системы (0.1) при п = 4, для которой о гипотеза Калмана не выполнена. Это доказательство было подвергнуто критике [Bernat& Llibre, 1996, Meisters, 1996, Глуцюк, 1997]. В работе [Bernat& Llibre, 1996] говорится «Barabanov tried to prove that his system and systems close to his have a periodic orbit. But his arguments are not complete, and we checked numerically that in the region where he tries to find the periodic orbit all the solutions have w-limit equal to the origin», в [Meisters, 1996] говорится, что «In 1988 Barabanov gave ideas for constructing a class C1 Markus-Yamabe-system in 4 dimensions with a nonconstant periodic orbit, and hence a counterexample to Markus-Yamabe Conjecture in RA But the details of his paper were in some doubt», в [Глуцюк, 1997] говорится, что «в 1988 г. Н. Е Барабанов сделал попытку построить контрпример к теореме Маркуса-Ямабе в Мп при п > 4. Недавно в его статье были найдены ошибки» .

Рассмотрим систему

1 = х2

2 = —Ж4 р (а) = sign (cr). (0.6) i.'3 = Х ~ 2×4 — <�р (%4)

X4 = Х + Х3 — Х4 — ip (x4), предложенную в [Барабанов, 1988].

Возьмем <�р специального вида, которая, будет «близкой» к нелинейности Барабанова. — •

0.7)

График такой нелинейности изображен на Рис. 0.2. ф (о) о

— 0.5

Рис. 0.2. График <�р (сг) и сектор линейной устойчивости

Для системы (0.6) с нелинейностью (0.7) найдем периодическое решение. Промоделируем данную систему с начальными данными жх (0) = О, ^2(0) = ½, ?3(0) = 0, 2:4(0) = 0. Полученное периодическое решение изображено на Рис. 0.3.

Рис. 0.3. Проекция траектории на плоскость (2:3,2:4) и выход системы (0.6)

В [Bernat&: Llibre, 1996] предприняты попытки преодоления проблем возникших в [Барабанов, 1988] при помощи аналитико-численных методов.

Проведем моделирование системы, предложенной в [Bernatfc Llibre, 1996], где

XI = х2

Х2 — —Х4 о 9131, Ч

Хз = х — 2X4—^тг

4 = .Г + Хз — XI

1837 180

4>(х 4),

0.8)

4>(сг) о

У|сг| <

9185'. , 900.. 900 81&П (СТ)9185' > 9185-График такой нелинейности изображен на Рис. 0.4.

0.9)

0 1

0.05 ф (о)о

— 0 05

— 0.1

— 1 О о

Рис. 0.4. График уэ (сг) и сектор линейной устойчивости

Промоделируем систему (0.8) с начальными данными ?1(0) — 0, ?2(0) — ½, £з (0) = 0, ?4(0) = 0. Полученное^периодическое решение изображено на Рис. 0.5.

Здесь необходимо отметить, что в рассмотренных выше примерах поиск начальным данных, для вычисления периодического решения, осуществляется либо эмпирически, либо в результате громоздких формул, 1

Ч О -1

— 2−1012 'о Ю00 2000 2,00 2200 3000×3(«I

Рис. 0.5. Проекция траектории на плоскость (?3,3:4) и выход системы (0.8) полученных методом точечных отображений. На поиск самих систем, а так же их решений затрачивается много времени и сил.

В настоящей работе описывается современное состояние исследований проблем Айзермана и Калмана и новый подход к их решению, основанный на вычислительных алгоритмах, где на первом шаге применяется модифицированный метод гармонической линеаризации [Леонов, 20 091, Леонов, 20 092, Леонов, 2010]. Классический метод гармонической линеаризации (описывающих функций), см. например [Крылов & Боголюбов, 1934, Крылов & Боголюбов, 1937, Айзерман, 1958, Попов & Пальтов, 1960, Розенвассер, 1969,

Гольдфарб, Александровский & Балтрушевич, 1972, Сю &: Мейер, 1972, Бесекерский & Попов, 1975, Попов, 1979, Первозванский, 1986, Kha. ni, 2002], широко распространен и часто применяется при анализе нелинейных динамических систем для поиска близких к гармоническим периодических колебаний см. например [Попов, 1959, Попов & Пальтов, 1960, КЬаШ, 2002]. Однако этот метод не является строго математически обоснованным и относится к приближенным методам анализа динамических систем (дает приближенное значение «возможных» частоты и амплитуды на выходе линейной части системы). В связи с этим уместно приводить оценки его погрешности см. например [Глатенок, 1957, Попов, 1957, Гарбер, 1963, Розенвассер, 1964, Гарбер & Розенвассер, 1965, Розенвассер, 1969, Khalil, 2002], и попытаться устранить недостатки его применимости, см. например [Попов, 1954, Анзерман & Смирнова, 1954, Попов, 1956, Розенвассер, 1963, Рябов, 1963] Также важно проводить его математическое обоснование, см например [Айзерман & Смирнова, 1955, Попов, 1956, Бэсс, 1961, Загиров П., 1962,' Bergen &z Franks, 1971]. Работа [Macki& Nistri & Zecca, 1990] посвящена строгому обоснованию метода гармонического баланса для разрывных систем.

В некоторых случаях метод гармонической линеаризации может давать неверные результаты, например при наличии в периодических режимах нескольких близких по величине гармоник [Розенвассер, 1963]. Для релейных систем неверные результаты приведены в [Цыпкин, 1955]. В книге [Айзерман h Гантмахер, 1963] показано, что с точки зрения классического метода гармонической линеаризации для гладких систем гипотеза Айзермана справедлива. Однако в работах [Плисс, 1958, Leonov& Burkin & Shepelyavy, 1996, Leonov, Ponomarenko Sc Smirnova, 1996] выделены классы нелинейных систем, для которых гипотеза Айзермана неверна. Таким образом, для этих классов гладких нелинейных систем стандартный метод гармонической линеаризации дает неверные результаты.

Опишем связь метода гармонической линеаризации с проблемами

Айзермана и Калмана. Для этого напомним стандартную процедуру метода гармонической линеаризации применяемую к системе (0.1). Введем передаточную функцию для системы (0.1) см. например [Попов & Пальтов, 1960, Попов, 1979, Первозванский, 1986, КЬаШ, 2002] р)=г*(Р0-р1)-1(1 (0.10) где р — комплексная переменная.

Для поиска гармонического колебания сг (£) = г*х (?) ~ асоэ^о^), которое является приближенным решением сг (£) = г*х (?) системы (0.1) вначале определим коэффициент гармонической линеаризации ко так, чтобы матрица линейной системы = Р0г, г 6 Г, (0.11) где Ро = Р + коцг*, имела пар)' чисто мнимых собственных значений^Ыио (шо > 0), а остальные ее собственные значения имели отрицательные вещественные части. Предположим, что найдется такое ко.

Для определения величин и ко на практике используют передаточную функцию Иг{р). Из уравнения

1 т?(шо) = 0 находим шо, а затем находим ко по формуле ко = — (КеИ^(га^о))

Если такие шо и ко найдены, то утверждается, что система (0.1) имеет периодическое решение х (£), для которого амплитуда, а находится из уравнения

2тг 27Г

J ф (а соз (и>о^) со8(шо?)сИ = ако ^ сов^о^)2^-о о

Применим описанную здесь процедуру к проблеме Айзермана. Ясно, что в этом случае выполнено условие € (/хх, ¡-х^)• Но тогда при любых ненулевых значениях, а либо к^о2 < ф (ст)сг либо к$а2 > ф (сг)а. Отсюда следует, что при всех о ^ 0 выполнено неравенство

2тг

J (ф (асоБ (шо^)асоз (шо^ — ко (асоз (и/о?)2))а? ф 0. о

Таким образом, в условиях Айзермана (а так же Калмана) система (0.1) согласно методу гармонической линеаризации не имеет периодических решений, что противоречит исследованиям В. А. Плисса [Плисс, 1958] и его последователей [Г^оИив, 1971, Леонов, 1970].