Модели пластичности при конечных деформациях

Проблема описания поведения материалов при конечных упругопластиче-ских деформациях в последние десятилетия приобретает все большее научное и прикладное значение в механике сплошной среды. Это вызвано как потребностями практики, так и логикой развития механики материалов. Процессы, происходящие в материалах в условиях больших деформаций и высоких давлений, широко распространены при обработке давлением, резанием, в химической технологии высоких давлений (инициирование и ускорение химических реакций и полиморфных превращений путем пластического сдвига при высоком давлении), в физических исследованиях, в геофизике, при трении. Таким образом, потребности современной инженерной практики, связанные с использованием новых материалов, с расчетами новых технологий, усложненных режимов работы конструкций и сооружений, сопровождающихся значительными деформациями, обусловливают необходимость развития и систематизации исследований свойств материалов при конечных деформациях.

Важный для современной технологии пластического формоизменения вопрос об определяющих соотношениях пластичности при конечных деформациях связан с общими подходами к изучению физических и математических основ описания механических свойств деформируемых сред. Основополагающая роль в создании и становлении определяющих соотношений деформируемых сред принадлежит фундаментальным работам А. А. Ильюшина [1825], обобщающим известные к 50 гг. исследования по пластичности и выражающим основу современного подхода к построению определяющих соотношений сред при малых и конечных деформациях в лагранжевом (материальном, отсчетном) описании. В работах У. Нолла [104−106] дан общий теоретический подход к построению определяющих соотношений сред при произвольных конечных деформациях в описании с точки зрения пространственного наблюдателя. Определяющие соотношения А. А. Ильюшина и У. Нолла являются основой современных теоретико-экспериментальных исследований механических свойств материалов.

Дальнейшее развитие теории связано с тензорным представлением механических характеристик (процессов и состояний), прежде всего, конечных деформаций и напряжений, с основами теории и общими приведенными формами связей между этими тензорами в определяющих соотношениях. Общие вопросы представления механических характеристик тензорами различных типов рассмотрены, например, в работах [78, 94, 107]. Исследования упругопластических процессов деформирования сред при конечных деформациях развиваются по нескольким направлениям. В первую очередь, существуют теории, учитывающие и не учитывающие упругую часть деформаций. К последним можно отнести, например, теорию Сен-Венана, некоторые теории вязкопластических течений. Если же теория учитывает упругие составляющие при конечных упругопластических дформациях, то возникает вопрос, как это сделать. Соответственно, в существующих теориях больших упругопластических деформаций исходным пунктом построения определяющих соотношений теории является разделение полных деформаций и скоростей деформации на упругую и пластическую составляющие. При этом предлагаются два основных типа разложения деформаций: аддитивное [70, 92] и мультипликативное [95, 96]. Аддитивное разложение тензора полных деформаций, предложенное Грином и Нахди [92], находит применение в сочетании с лагранжевой формулировкой задач теории больших упругопластических деформаций. Другой подход к разделению деформаций на упругие и пластические, предложенный E.H.Lee [95, 96], связан с определением тензоров деформаций через градиент места (аффинор), для которого принимается мультипликативное разложение на упругую и пластическую составляющие.

В целом исследования процессов и определяющих соотношений при конечных деформациях [6−13, 15, 44, 46, 52, 54, 58, 63, 64, 70, 71, 77, 79, 80, 8186, 90−92, 95−99, 100−105, 108−115] основываются в первую очередь на известных классических моделях для малых деформаций [17−37, 45, 47, 48, 51, 68, 69, 71, 76, 81, 84, 90]. В частности, одним из способов моделирования свойств пластичности при конечных деформациях является обобщение известных для случая малых деформаций моделей пластичности, в том числе моделей пластического течения [1, 18−37, 45, 47−49, 52, 57, 68, 69, 76, 81] на область больших деформаций. Такое обобщение предусматривает, как правило, сохранение формы определяющих соотношений, смысла входящих в них тензоров истинных напряжений и скоростей деформаций. При этом обычно такое обобщение происходит путем использования в моделировании определяющих соотношений различного вида так называемых объективных производных [6−13, 15, 44, 58, 64, 66, 67, 70, 72, 75, 77, 79, 80, 82−87, 90−92, 94−103, 108−115], которые берутся в качестве характеристики скорости изменения левых (пространственных) тензоров, и замещают собой материальные производные тензоров по времени в исходных моделях. При этом рассматривались лишь отдельные (известные исследователям) объективные производные, например, Яуманна, Коттер и Ривлина, Олдройда, Трусделла, «нейтральная» производнаясистематическая реализация такого подхода отсутствовала. Последующее развитие теоретических исследований конечных деформаций привело к возможности построения, анализа и использования целых классов тензорных мер напряжений и конечных деформаций, что выдвигает на передний план актуальную теоретическую задачу упорядочения указанного подхода к построению моделей пластичности при конечных деформациях, систематизации его применения за счет целенаправленного рассмотрения определенных классов (семейств) тензорных мер. Таким образом, при конечных деформациях решающую роль играет выбор объективной производной, который естественным образом [6] порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряжений. В дополнение к известным мерам [15, 18, 51, 72, 78] некоторыми исследователями предлагаются [8, 75, 94] голономные меры деформаций, но сложность их связи с тензором скоростей деформаций затрудняет построение энергетически сопряженных мер напряжений. В работах [7, 44, 52, 58] представлены энергетически сопряженные как голономные, так и неголо-номные меры деформаций и напряжений, в [9, 10] - целые семейства таких мер, включающие известные меры из [7, 8, 15, 18, 51, 58, 72, 75, 78, 94].

В 1903 году Заремба ввел свою производную для плоского случая деформации. Семью годами позже Яуманн рассмотрел эту производную для произвольного пространственного процесса больших деформаций, после чего ее стали называть его именем. Наряду с моделями гипоупругости и пластического течения, основанными на производной Яуманна, изучались определяющие соотношения, использовавшие и другие объективные производные [14, 52, 54, 66, 67, 70, 73, 83, 85−87, 108]. Но выбор объективной производной при посторении определяющих соотношений среды при конечных деформациях может привести к «аномальным» проявлениям, которые можно трактовать как нефизичное поведение модели. О неоправданности необдуманного использования объективной производной Яуманна в указанного выше рода обобщениях моделей пластического течения на конечные деформации предупреждали еще В. Прагер [66] и Л. И. Седов [73], предлагая либо модифицировать при этом форму определяющих соотношений, либо вообще использовать другие объективные производные. Действительно, при использовании производной Яуманна в определяющих соотношениях модели пластического течения при движении простого сдвига проявляется «аномалия» поведения компонент тензора напряжений, выражающаяся в колебательном характере их зависимости от степени сдвига. В 1982 году Де Джонг и Нагтегаал при использовании производной Яуманна в определяющих соотношениях модели пластического течения при движении простого сдвига обнаружили описанную выше «аномалию» поведения компонент тензора напряжений, и опубликовали свои результаты [100]. Таким образом, эта «аномалия», известная исследователям и ранее, получила широкое обсуждение в научной литературе. Появилось множество публикаций, содержащих попытки избежать этой «аномалии» в основном путем использования определяющих соотношений гипоупругости и пластического течения, основанных на использовании других объективных производных. В частности, разные исследователи независимо друг от друга неоднократно обращались к так называемой «нейтральной» производной, которая впервые была предложена Д. К. Динсом [87]. Исследовались особенности этих производных и их влияние на свойства моделей гипоупругости и пластичности при конечных деформациях [85, 93, 97, 110].

Таким образом, встал вопрос о систематизации исследований объективных производных. В 1984 году С. Н. Этлури [83] впервые рассмотрел возможность применения разного типа производных в определяющих соотношениях гипоупругости и пластического течения. Он получил определяющие соотношения, обобщив обычные линейные определяющие соотношения гипоупругости путем включения в них некоторых членов нелинейности, и показал, что в этом случае для получения неосциллирующего решения задачи о простом сдвиге можно использовать любую из коротационных производных (в том числе и производную Яуманна). В 1978 году и позже А. А. Ильюшин в своих книгах по механике сплошных сред [18] рассматривал известные предложенные объективные производные, а также предложил вариант обобщений теории упругопластических процессов (постулата изотропии) на конечные деформации. Другие варианты были предложены В. И. Левитасом [44],.

А.А.Поздеевым, П. В. Трусовым, Ю. И. Няшиным [64], Л. А. Толоконниковым и А. А. Маркиным [52, 77], Г. Л. Бровко [6−12], П. А. Моссаковским [53, 54].

В 1990 году Г. Л. Бровко рассмотрел [11] широкий класс производных кон-вективно-коротационного типа (пространственное и материальное представление): были изучены их свойства и показано, что ранее предложенные производные Яуманна, Коттер-Ривлина, Олдройда, Трусделла, нейтральная производная Динса и «косые» производные Седова принадлежат этому классу производных. В том же году в [6] понятие объективной производной было расширено на тензоры различных рангов (скаляры, векторы и тензоры второго ранга) и разных типов объективности. Кроме того, было показано [6, 9], что выбор объективной производной естественным образом порождает соответствующий вид тензорной меры конечной деформации и сопряженной ей тензорной меры напряженийспециально было выделено семейство чисто коротационных производных, обладающими наиболее богатым набором замечательных свойств.

В [79] на основе производной Яуманна было построено семейство новых объективных производных коротационного типа левых тензоров, параметризованное параметром j=const. Также было рассмотрено семейство такой же конструкции, но с параметром j экспоненциального вида. Используя новые производные в моделировании определяющих соотношений, в [13, 79, 80, 90] на примере движения простого сдвига плоского слоя было исследовано поведение соответствующих моделей гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением простейшего вида при конечных деформациях, и изучен вопрос о влиянии их использования в определяющих соотношениях гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением на наличие и отсутствие «аномалии» колебаний напряжений при простом конечном сдвиге плоского слоя. В результате из введенного семейства были выделены производные как вызывающие, так и исключающие указанную аномалию поведения компонент тензора напряжений Коши при простом сдвиге плоского слоя.

Настоящая работа посвящена развитию математических элементов теории определяющих соотношений пластичности при конечных деформациях, разработке и реализации метода, который, будучи основанным на использовании тензорных мер конечных деформаций и напряжений различных типов, позволяет обобщать определяющие соотношения, имеющие место при малых деформациях, на случай конечных деформаций. В качестве характеристики скорости изменения левых тензоров предлагается к использованию семейство объективных производных по времени коротационного типа, включающее известные производные Яуманна и Динса (нейтральную). На его основе построено соответствующее семейство энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций, представленное их материальными и пространственными аналогами, исследованы их свойства. Предлагается метод корректного формального обобщения известных при малых деформациях определяющих соотношений (алгебраического и дифференциального типов) на конечные деформации. Указанный метод систематически использует материальные и пространственные аналоги введенных тензорных мер, сохраняет математическую форму определяющего соотношения, обеспечивает выполнение принципа материальной объективности, а также предоставляет дополнительные возможности удовлетворения экспериментальных данных за счет выбора конкретной коротационной производной (пары тензорных мер напряжений и деформаций) из введенного семейства. Последнее позволяет, в частности, исключить проявление известной «аномалии» напряжений, свойственной подобным моделям с производной Яуманна. Предложенным методом построены для конечных деформаций обобщения известных моделей пластичности с поверхностями текучести (кинематическое, изотропное и изотропно-кинематическое упрочнение), деформационной модели, модели пластичности малой кривизны, модели Сен-Венана. В терминах введенных тензорных мер дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала, построены соответствующие траектории деформации в пространстве Ильюшина. Для этих процессов в рамках построенных моделей пластичности выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния, разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Продемонстрировано существенное влияние выбора пары тензорных мер напряжений и деформаций из введенного семейства на свойства модели материала. Для исследуемых моделей рассмотрены возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов по выбору тензорных мер.

В первой Главе рассматривается кинематика деформируемой среды, выделяются два типа объективности тензоров, приводится обзор существующих объективных производных и мер деформации, как голономных, так и него-лономных. Даются определения объективной производной, объективной производной коротационного типа, их свойства и примеры известных производных. Также строится новое параметрическое семейство объективных производных коротационного типа, охватывающего как частные случаи известные «нейтральную» производную Динса и производную Яуманна. Вводятся соответствующие указанным производным правые и левые меры деформаций, скоростей деформаций и напряжений, и связь между ними.

Во второй Главе предлагается метод построения определяющих соотношений материалов при конечных деформациях, в терминах введенных в Главе I и правых, и левых коротационных мерприводятся элементы теории определяющих соотношений. Построены обобщения на конечные деформации известных моделей пластичности с определяющими соотношениями алгебраического типа (деформационная модель, модель пластичности малой кривизны) и дифференциального типа (модели пластического течения с поверхностями текучести с кинематическим, изотропным и изотропно-кинематическим упрочнением). В следующих Главах на примере двух движений демонстрируется разнообразие получаемых таким образом моделей пластического течения с кинематическим упрочнением при конечных деформациях.

В Главе III, в терминах введенных тензорных мер, дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала. Рассматривается и сравнивается друг с другом кинематика этих движений. Кроме этого, строятся соответствующие траектории деформации для введенных в Главе I пар правых мер.

В Главе IV для исследованных в предыдущей Главе процессов (в рамках некоторых из построенных в Главе II моделей пластичности) выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния тела (слоя, цилиндра). Разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Расчеты проведены для монотонных процессов деформации в диапазоне степеней деформаций до 600% и более. Кроме этого, рассмотрены некоторые возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов для исследуемых моделей. В качестве результатов численных экспериментов по указанным моделям для движения совместного сдвига и одноосного растяжения плоского слоя приводятся графики зависимостей ненулевых компонент тензора напряжений Коши от степени сдвига, полученные численно из соответствующих систем дифференциальных уравнений. В качестве результатов численных экспериментов по указанным моделям для произвольного фрагмента сплошного цилиндрического образца получены графики зависимостей компонент тензора истинных напряжений Коши от степени растяжения и круткикроме этого, для некоторых заданных режимов совместного растяжения и кручения цилиндра построены графики зависимостей растягивающей силы и крутящего момента от времени.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы представленной работы.

Таким образом, основными задачами настоящей работы являются следующие:

1) построение нового семейства пар энергетически сопряженных правых (материальных) и левых (пространственных) тензорных мер напряжений и конечных деформаций коротационного типа, исследование их основных свойств;

2) разработка метода построения определяющих соотношений пластичности при конечных деформациях путем корректного (отвечающего принципу материальной объективности и постулату макроскопической определимости) формального обобщения соотношений, известных при малых деформациях, на область конечных деформаций с систематическим использованием правых и левых аналогов введенных тензорных мер;

3) применение предложенного метода к известным при малых деформациях соотношениям пластичности (алгебраического и дифференциального типов) и построение соответствующих семейств обобщений этих соотношений на конечные деформации, выраженных в терминах как правых, так и левых тензорных мер напряжений и конечных деформаций;

4) представление в терминах введенных тензорных мер процессов конечной деформации в типичных экспериментах по пластичности с однородным и неоднородным напряженно-деформированным состоянием образцов: сравнительное изучение одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя и одновременного растяжения-кручения сплошного цилиндра при больших деформациях;

5) исследование основных свойств построенных семейств моделей пластичности, выявление степени влияния выбора тензорных мер (коро-тационных производных) на поведение модели в широком диапазоне больших пластических деформаций в простейших численных экспериментах с плоским слоем и сплошным цилиндром.

За обсуждение результатов работы, замечания, консультации и поддержку автор благодарит Г. Л. Бровко, И. А. Кийко, Д. Л. Быкова, Р. А. Васина, И. Н. Молодцова, других преподавателей и сотрудников кафедры теории упругости, а также А. А. Маркина и П. А. Моссаковского. Особую признательность автор выражает своему научному руководителю Г. Л. Бровко, благодаря чуткому руководству которого была написана эта работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Таким образом, в диссертационной работе предложен и реализован метод, позволяющий обобщать определяющие соотношения пластичности, имеющие место при малых деформациях, на область конечных деформаций, используя при этом тензорные меры конечных деформаций и напряжений различных типов.

В работе введено новое семейство объективных коротационных производных и соответствующее семейство энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Для известных при малых деформациях соотношений пластичности (дифференциального типа) предложена методика их корректного формального обобщения на конечные деформации, использующая материальные и пространственные аналоги введенных тензорных мер, сохраняющая математическую форму определяющего соотношения, обеспечивающая выполнение принципа материальной объективности, а также предоставляющая дополнительные возможности удовлетворения экспериментальных данных за счет выбора конкретной коротационной производной (пары тензорных мер напряжений и деформаций) из введенного семейства, что, в частности, позволяет исключить проявление известной «аномалии» напряжений, свойственной подобным моделям с производной Яуманна. Предложенным методом построены для конечных деформаций обобщения известных моделей пластичности с поверхностями текучести (кинематическое, изотропное и изотропно-кинематическое упрочнение), деформационной модели, модели пластичности малой кривизны.

В терминах введенных тензорных мер дано описание процессов конечной деформации одновременного трехосного растяжения и сдвига плоского слоя, а также одновременного растяжения и кручения круглого сплошного цилиндра из несжимаемого материала, построены соответствующие траектории деформации в пространстве Ильюшина. Для этих процессов в рамках построенных моделей пластичности выведены уравнения для описания напряженно-деформированного состояния, разработаны программы и проведены численные расчеты, моделирующие поведение этих тел в указанных процессах (численные эксперименты). Продемонстрировано существенное влияние выбора пары тензорных мер напряжений и деформаций из введенного семейства на свойства модели материала. Для исследуемых моделей рассмотрены возможные подходы к проведению необходимых определяющих экспериментов по выбору тензорных мер.