Точные постоянные в неравенствах типа Джексона и Бернштейна

Диссертация посвящена установлению ряда классических неравенств теории приближений с точными постоянными. Исследуются неравенства типа Джексона, Ахиезера—Крейна—Фавара, Берн-штейна и приближение тригонометрическими многочленами, целыми функциями конечной степени и сплайнами.

Диссертация состоит из шести глав, разделенных на параграфы. Нумерация утверждений отдельная для каждого типа утверждений в каждой главе. При ссылках внутри главы указывается только номер соответствующего утверждения. При ссылках на утверждение другой главы первым указывается номер главы, например: следствие 3.10. Нумерация формул двойная и указывает номер главы и номер формулы в главе, например: формула (1.22).

1. Первая глава посвящена точным неравенствам типа Джексона для приближений классов сверток целыми функциями конечной степени.

Неравенствами типа Джексона в теории приближений принято называть неравенства, в которых приближение функции оценивается посредством модуля непрерывности (самой функции, ее производной и т. п.) Первым такое неравенство д&bdquo-(/) (/>?) для приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими многочленами и модуля непрерывности первого порядка получил Д. Джексон в 1911 году.

Первое точное неравенство типа Джексона установил Н. П. Корнейчук [57], который доказал, что для любых вещественнозначных функций / из С и п Е N ппричем константа 1 точная при всех п в совокупности, т. е.

ЕпЦ), sup sup — 1. пек /ее ^Ц/, n).

H. И. Черных [96, 97] доказал неравенство типа Джексона в пространстве Li'.

ЕМ точное при каждом фиксированном п.

В 1937 году Ж. Фавар [101] и Н. И. Ахиезер и М. Г. Крейн [4] построили линейный метод приближения ХП) Г со значениями в пространстве тригонометрических многочленов порядка не выше п — 1, такой, что для любой / Е С".

11/-*и, г (/)к?|1/(г)11. (1) причем константу JCr на классе С^ уменьшить нельзя, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение. Кроме того, в [4] были построены линейные операторы ХП) Г, реализующие аналогичное точное неравенство для класса си. Неравенства, в которых приближение функции оценивается через норму (полунорму) производной, производной сопряженной функции и т. п. будем называть неравенствами типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Впоследствии аналоги неравенства (1) были установлены для многих классов сверток периодических и непериодических функций. Из большого числа работ на эту тему укажем на статьи [1, 2, 62, 63, 102, 103, 75, 87, 37, 73, 74]. Многие результаты вошли в монографии [3] и [104].

История вопросов и некоторые известные результаты, касающиеся исследования верхних граней приближений (как наилучших, так и приближений линейными методами) на различных классах функций, отражены в обзорных статьях [77, 88, 89] и монографиях [90, 83, 60].

Соотношение (1) для нечетных г было усилено В. В. Жуком [40] (г = 1) и А. А. Лигуном [67] (?• > 1), которые установили неравенство типа Джексона с точной константой:

— Х", г (ЯИ<|^1(/(г), 9 (2) для любой / Е си. А. Ю. Громов [34] доказал точное неравенство.

3) г нечетно, / Е С’В^ (Щ) для приближений целыми функциями конечной степени и его аналог в интегральной метрике — линейный оператор). В. В. Жук [43] установил следующее усиление неравенств (1) и (2):

-*™.г (ЛП < (^)Г{л-, о||/(г)|| + лг", Г|т (/М)} (4) при всех г Е М, а если, кроме того, г нечетно, то.

— Х", г (/)|| < (/<->,?) (5) а также аналогичные неравенства для ряда полунорм. В этих неравенствах п, т Е М, т — 1 гу=1 К" .

V-0 а — некоторые явно построенные константы. Н. И. Мерлина [71, 72] получила аналогичные (4) и (5) неравенства для приближения целыми функциями конечной степени.

В первой главе разрабатывается метод получения точных в равномерной и интегральной метриках неравенств типа Джексона для приближения целыми функциями конечной степени классов сверток функций, как периодических, так и непериодических, заданных на всей оси. Метод применим к широкому классу сверток, в том числе, к сверткам с «классическими ядрами»: Пуассона, теплопроводности, ядрами некоторых дифференциальных операторов, а также ядрами, сопряженными к перечисленным ядрам. Оценки достигаются с помощью линейных методов приближения, остаются точными, даже если заменить левую часть на наилучшее приближение, и усиливают классические неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара. Устанавливаются точные неравенства, в которых правая часть представляет собой линейную комбинацию модулей непрерывности возрастающих порядков. Частными случаями установленных неравенств являются неравенства для приближений периодических функций тригонометрическими многочленами и почти-периодических функций обобщенными тригонометрическими многочленами. Оценки справедливы для широкого класса пространств с полунормой, инвариантной относительно сдвига.

Пусть УЛ — замкнутое подпространство пространства? Р (М) (1 ^ р < оо) или пространства 11СВ (Ж) (р = оо), Р — полунорма, заданная на УЛ. Если выполняются условия:

1) пространство инвариантно относительно сдвига, т. е. для любых /? УЛ и /г? М будет /(• + /г) € УЛ и Р (/(- + /г)) = Р (/),.

2) существует такая постоянная В, что Р (/) ^ Р||/||р для всех то будем говорить, что пространство (УЛ, Р) принадлежит классу В. Примерами пространств класса В являются: (IIС В (Ж), || • ||оо)> (ЬР (М), || • ||р) (1 ^ р < оо), пространства периодических функций (С, || • ||р) (1 ^ р ^ сю), а также более общие пространства равномерно непрерывных почти-периодических функций [66], показатели которых принадлежат фиксированному множеству, с различными нормами (равномерной, Степанова, Вейля, Безиковича).

В § 2 устанавливается несколько лемм, необходимых для дальнейшего. В § 3 описывается построение операторов, реализующих точные константы в неравенствах типа Ахиезера—Крейна—Фавара для приближений классов сверток. В § 4 вводится класс ядер, свертки с которыми изучаются дальше, и доказываются некоторые свойства ядер этого класса.

Обозначим через СМс (у0) и СМя (уо) (уо > 0) множества соответственно четных и нечетных функций (7 из преобразование Фурье которых при у ^ уо представляется в виде.

00 /" >+00 а (в, у)= / е~у2ис1Ф (и) или Ь (в, у) = / е~у*и ?Ф (гх), ./о 3 о где Ф и Ф — возрастающие на (0, +оо) функции, такие что интегралы и) конечны. Положим еще СМ (уо) = СМс (уо) и СМ8(уо). Многие классические ядра (Пуассона, теплопроводности, ядра дифференциальных операторов) принадлежат классам СМ (уо).

Пусть, а > 0. Рассматривается приближение функциями из Ест (Есто) классов сверток с ядром С из СМ (уо): = Т + 9?*<3. (6).

Функция (р принадлежит некоторому пространству, а ТЕ Ест (Есто) — на функцию <р могут также накладываться условия ортогональности пространству ЕСГ1 (оч ^ а или, а < а).

Пусть х = О, если С четно, к = 1, если <2 нечетно;

• (*(Л \ °° с ({2к+1-*)* к=-оо Z 2а.

3, с. 199−203] — четная или нечетная функция из Ест П интерполирующая функцию? в точках (к? X);

Ха>Гт (Л=Т + <�р*1-а©, (7).

ОО.

2 ^ с нечетн ОО.

I? (2^ + 1)0-), с? четно. и=0.

Тогда € Еа. В некоторых случаях можно представить в виде оператора свертки и распространить на более широкие классы функций /, чем задает формула (7). Если Т — постоянная, а (р имеет период 2тг, то Ха}а{1) — тригонометрический многочлен степени меньшей, чем а.

Доказываются неравенства типа Ахиезера—Крейна—Фавара для сверток с ядрами классов СМ (уо). Следующее утверждение содержится в работе в расширенном виде в леммах 1.5 и 1.6.

Лемма 1.5−6. Пусть (9Я, Р) € В, у? Ш, у0 > О, <3 е СМ2(у0), с (6?) 6 функции / и (р связаны равенством (6), а ^ уо.

Тогда.

Ри-Х<�г, а (Я).

В пространствах (СВ (Ш), || • ||оо) и (Х (К), || • ||х) константу 6 неравенстве (8) нельзя заменить меньшей, даже если заменить левую часть на Аа (/)р, а в пространствах^{-периодических} функций с равномерной и интегральной нормой — даже если заменить левую часть на Асто (/)р.

Выполнение неравенств леммы основано на том, что для функ.

-—-2 ций G из СМ (?уо) разность G — La (G) меняет знак в точках интерполяции, и только в них. Б. Надь [103- см. 3, п.88] доказал, что для выполнения неравенства типа (8) в случае четной функции G достаточно трехкратной монотонности a (G) (т.е. чтобы a (G) G и (—l)ra® (С, у) ^ 0 при 0 ^ г ^ 3 и у ^ сг), а в случае нечетной функции G — двукратной монотонности b (G). Но лемма 1.5−6 не следует из теоремы Надя, так как преобразования Фурье функций из классов.

-—~2/.

СМ (т/о) могут не удовлетворять условиям кратной монотонности. 2.

В § 5 для функций класса СМ (т/о) при любом m G N получено разложение m —1.

G=Yu 5h{Khu) + SF{Ghm) + Mhm, где Mhm G EУо ГЬ (Ш), a функции Khu и Ghm удовлетворяют специальным условиям, обеспечивающим точность последующих оценок. При (Т ^ 7/о положим.

Uahm (f) = Uahin, G (f) = Т + ip * Mhm + 6?{<р) * La (Ghm),.

Ahu — Ahu, G и Bahm = Bahm, G — некоторые явно построенные константы {Ahvi вообще говоря, не совпадают с Аг^ из формул (4) и (5)). Ясно, что Uahm, G (f) G Ест.

В § 6 получены основные результаты главы — неравенства типа Джексона.

Теорема 1.1. Пусть (Ш, Р) G В, (р G Ш, у0 > 0, G G СМ2(у0), c (G) G функции f и <р связаны равенством (6), m G N,.

Q.

P (f — Uahm (f)) < AhvP (5vh (.

771—1.

P (f ~ Uahm (f)) < AhuWu (ip, h) P + BrhmUJmip, K) P. u=Q.

Если, сверх того, лдро G нечетно, то т — 1 и=1.

P (f-U"hm (f)).

При m = 1 из теоремы 1.1 следует неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности.

— 2.

Следствие 1.3. Пусть (ЯЛ, Р) G В, <р G Ш, у0 > О, G G CMs (y0), c{G) G функции f и (p связаны равенством (6), 0 < h < cr ^ y0. Тогда.

P (f ~ Uahl (f)) ^ (^f- + Bah^j cu^cp, h) P.

В случае равномерной нормы и шага h — а — нечетное натуральное число, неравенство следствия 1.3 точно. Более того,.

SUp ' 1 -, тг ч- = —+.

Верхние грани не изменятся, если брать их по множеству L^IR), а также если ограничиться^{-периодическими} функциями с нулевым средним (теорема 1.2).

При шаге модуля непрерывности, равном построенные операторы не зависят от т:

Ua*, m, G = Ха tG лемма 1.13). Кроме того, для нечетного ядра С.

Ал. о /Соп ст ' I ТЭ о, иг замечание 1.12). 2.

Следствие 1.4. Пусть (9Л, Р) Е В, (р? Ш, у0 > О, С в СМв (у0), с© Е функции / и <р связаны равенством (6), сг ^ т/о.

Тогда С.

При К — ^ правая часть неравенств теоремы 1.1 убывает по т, а левая не зависит от га. Поэтому наилучшая оценка получается в пределе при т —> оо (следствие 1.6).

В § 7 общие теоремы предыдущего параграфа применяются к конкретным операторам. Частными случаями следствия 1.4 являются неравенства типа Джексона для производной (2) и (3), неравенства для производной сопряженной функции:

9) г четно, Х"уГ — линейный оператор, реализующий точную постоянную в неравенстве типа Ахиезера—Крейна—Фавара для производной сопряженной функции), а также более общие неравенства для дифференциальных операторов, примененных к самой функции или ее сопряженной. Для периодических функций неравенство (9) принимает вид.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [23, 24].

2. Во второй главе строятся аналоги сумм Ахиезера—Крейна— Фавара для периодических сплайнов.

Для приближения сплайнами минимального дефекта известны, в частности, следующие точные соотношения типа Ахиезера— Крейна—Фавара. Пусть г 6 N, т Е Z+, т ^ г — 1, р = 1, оо. Тогда.

En7n (f)p Кг игл.

SUP ii. Mii = -V- (10) с-) 11/(г)11Р nr.

Обозначим через сгП-ГП (/) сплайн из ?>2п, т, интерполирующий функцию / в точках 2Ьг+£&trade- (к е Z), где.

Г'.

I 7 Г, m нечетно, т четно.

При т = г — 1 константа в (10) реализуется линейным проектором, а именно, с помощью интерполяционного сплайна:

— сгп г1(/)||р Кг. .

II/" II, = -' (и).

Соотношения (10) при т = г — 1, р = оо и (11) при р — оо установил В. М. Тихомиров [91]- соотношения (10) в остальных случаях — А. А. Лигун [68]- соотношение (11) при р — 1 — Н. П. Корнейчук [58]. Интерполирование не является единственным линейным методом, реализующим константу при р = оо: известно, что [60, с.221- 59, с.213] sup ll/-co (/);

6И£> и/(г)1и.

Также справедливо равенство — СГпд (/)||оо 7 Г.

РпТТй-= ^Г" .

II/ Ноо 2п.

Перечисленные результаты можно найти в монографиях [59] и [60]- см. также [39, глава 11]. А. А. Лигун [68] доказал существование линейного оператора из С в ^гп.т" реализующего константу в соотношении (10) при т ^ г, р = сю (явный вид этого оператора в [68] отсутствует).

Во второй главе при т ^ г строятся линейные операторы Хп^г, т Ь <$ 2п, т (аналоги сумм Ахиезера—Крейна—Фавара), реализующие константу в соотношении (10).

Построение операторов ХП-Г)т основано на той же идее, что и в полиномиальном случае — интерполировании ядра Бернулли. Как известно, метод Ахиезера—Крейна—Фавара ХПуГ на функциях из г).

Ш-1 определяется равенством.

ХпА!^) = <*(/) + - Г /(г)меп, г (* - и) с1щ.

7 Г /.

7 Г где — тригонометрический многочлен из 72п-ъ интерполирующий ядро dr в точках 2к%*?г (к е Z).

На функциях из W^ операторХП) Г)ГП задается формулой.

1 Гп.

Хп, г, т (М = С0(/) + - / f{ly)(u)?n^m (t, u) du, J — 7 Г где при каждом и функция? n, r, m (' 5W) является сплайном ИЗ e>2n, m И удовлетворяет интерполяционным условиям.

Интегрированием по частям оператор ХП>Г}ГП, как и Хп>Г: распространяется на все пространство L.

В § 2 исследуется разрешимость интерполяционной задачи, находится явный вид функции ?1п, г, тп (в терминах коэффициентов разложения по функциям Бернулли и коэффициентов Фурье) и устанавливаются некоторые ее свойства. Важнейшим из них является то, что разность? n, r, m (?5 и) — dr (t — и) меняет знак в точках интерполяции, и только в них (с небольшими оговорками о возможности тождественного обращения в нуль на некоторых промежутках).

Кроме того, оказывается, что значения построенных операторов принадлежит (2п — 1)-мерному подпространству т пространства ¿->2п, 771- Это замечание позволяет при приближении функций классов Исплайнами ограничиться пространствами сплайнов размерности на единицу меньше, чем было привычно, и показывает, что с точки зрения размерности приближающего пространства пространства сплайнов ничуть не хуже пространства полиномов.

В § 3 устанавливаются неравенства типа Ахиезера—Крейна— Фавара для отклонений операторов ХП) Г)7П. г).

Теорема 2.1. Пусть п, г, т 6 М, ш) г, Ц р ^ ооТогда.

— А'"1Г, т (/)||р<^||/(Г)||, — (12) ь.

При р = 1, оо неравенство точное, т. е.

ЛЬ Кг.

Л 11/(г)1и 11/МЦ!

Далее с помощью операторов ХП) Г)ТП устанавливаются результаты для наилучших приближений (следствие 2.3):

Еп, т (Лр ^ г (/^) р 5.

ЕХ /-л (Нг) Ь точные при р = 1, оо (Е* — наилучшее приближение пространством.

Соотношения (13) при р = 1, оо вместе с утверждением об их точности ранее были получены Н. П. Корнейчуком (см. [60, с.246- 59, с.144]) с помощью теорем двойственности.

В § 4 исследуется поведение операторов Хп^т при т —> оо (теорема 2.2). Доказывается, что li. HL = Хп^Г1 т—?оо например, по норме операторов из L в С и, следовательно, равномерно lim Xnrm (f) = Xnr (f), т.—>оо так что, например, равенство (1) может быть получено из (12) предельным переходом. Родственные результаты, связывающие приближение сплайнами растущего порядка и тригонометрическими полиномами, содержатся в работе В. Л. Великина [14].

Результаты главы 2 содержатся в статье [22].

3. В главе 3 разрабатывается общая схема построения линейных методов приближения периодических функций, допускающих оценки через линейные комбинации модулей непрерывности производных, и эта схема применяется к приближению сплайнами.

При доказательстве неравенства (2) использовались неравенства (1) и формула Эйлера—Маклоренапри доказательстве неравенств (4) PI (5) формула Эйлера—Маклорена итерировалась. С помощью этой конструкции В. В. Жук [42, 44, 45] оценивал не только отклонение линейных методов приближения, но и функционалы общего вида, для которых справедливы неравенства типа (1). Известные ранее результаты типа (4) и (5) нашли отражение в книге [46, главы 4 и 8] и статьях [42−45].

В § 2 описываются применявшиеся ранее В. В. Жуком итерации формулы Эйлера—Маклорена, в § 3 на их основе строятся линейные операторы общего вида, отклонение которых допускает оценки типа (4) и (5). В § 4 общая схема применяется к сплайновым операторам ХП) Г!М, построенным в главе 2. На этом пути получаются неравенства типа Джексона для приближений сплайнами. Положим.

17"(у>, л) р = г-'К^оИр, СЛ<�р>ь)р = 2-" и>Л<�р, ь) р

Следствие 3.12. Пусть п, г, ц Е М, ц ^ г + 1, 1 ^ р ^ оо, Тогда.

1/=0 р

Если, кроме того, г нечетно, то и — хп, гМ)\р ^.

— ЛГ", д (/)||"< 23.

Следствие 3.10. Пусть п, г, ц Е г нечетно, ц ^ г + 1, причем при р = 1, оо константа не может быть заменена меньшей, даже если заменить левую часть на, ЕПу1Л{/)р.

При р = оо неравенство содержится в [60, с.280], где доказано другим способом. В этом случае, однако, оно верно при всех г Е вне зависимости от четности.

Следствие 3.10 усиливает неравенства (12), аналогично полиномиальному случаю.

В случае равномерной нормы устанавливаются также точные неравенства для шага модуля непрерывности, равного, а — нечетное натуральное число (следствие 3.13). Точные неравенства, аналогичные следствиям 3.12 и 3.10, доказываются и для /и = г, но с другими операторами вместо действующими в <52п, г (а не ?>2<�П-Г).

Другая модификация общей схемы позволяет построить операторы со значениями в ?>2п, ц (¿->2п ?1 ПРИ М ^ 2) и получить для их отклонений неравенства типа Джексона со вторым модулем непрерывности.

Следствие 3.20. Пусть п, ^ eN, 1 ^ р ^ оо- / Е Ьр. Тогда.

1 < р < ооУ Е. Тогда г).

Это следствие обобщает оценки отклонений полиномиальных методов приближения через второй модуль непрерывности, рассматривающиеся в следующей главе. В свою очередь, эти оценки для полиномиальных методов (в метриках Lp) могут быть получены из следствия 3.20 предельным переходом.

Результаты главы 3 получены автором совместно с В. В. Жуком и опубликованы в статьях [29−31].

4. В четвертой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для сумм Рогозинского и второго модуля непрерывности.

Пусть ШТ — замкнутое подпространство пространства С, Р — полунорма, заданная на Ш. Если выполняются условия:

1) пространство инвариантно относительно сдвига, т. е. для любых / G Ш и h Е м будет /(• + К)? Ж и Р (/(. + h)) = Р (/),.

2) существует такая постоянная В: что P (f) ^ ^||/|| Для всех € 9П, то будем говорить, что пространство (9Л, Р) принадлежит классу Л. Величину еэя ti) р где U: UJI —> 9Л, h > 0, принято называть точной постоянной в неравенстве.

P (f-U (f))^Mco2(f, h) P.

Если Un: Ш —" Tin-i П 9Л, 7 > 0, то может ставиться вопрос о нахождении в неравенстве.

77 Г п) Р константы, точной для всех п в совокупности, т. е. величины вир И (ип: —) р. Ранее автором [15, 16] были получены константы пем п.

0(ип, К) для некоторых положительных операторов С/п (как обычно, отсутствие индекса Р означает равномерную норму). Что касается нахождения констант, точных для всех п в совокупности, то известен лишь единственный такой результат. В 1974 году В. В. Жук [41] получил неравенство.

14).

Уп — некоторый линейный оператор из С в Т2п-) — Позже В. В. Шалаев [98] обнаружил, что константа 1 является точной для всех п в совокупности не только в неравенстве (14), но и в неравенстве.

15) а именно:

Еп (Л ||/-К (/)1|.

8ЦР БиР -/Г 7 Г Ч = ЭиР^Р -/, 7 Г Ч = пек/ес²(/, 2^) пет/ее 2^).

Таким образом, точная константа 1 в неравенстве (15) реализуется последовательностью линейных операторов {У" п}.

В той же работе [41] В. В. Жук получил неравенство для отклонений сумм Рогозинского н/-*"(/ж !<�•*(/.?) аб) и впоследствии перенес оценки на случай произвольного пространства (9Л, Р). (Упомянутые результаты содержатся также в монографии [46].) Положим.

И/-Я"(/)И.

П П (т> / - Kn{J.

Dn = D (Яп, — = sup а-—-?г.

V п) fec.

Очевидно, что D = ½. В главе 4 показано, что константа 5/8 не является точной в неравенстве (16). В § 2 найдено значение Do.

Теорема 4.1. Пусть {УК, Р) в A, f е Wl, С2 = § -? — • Тогда.

P (f-K2(f))^C2.

5 пространстве С неравенство точное, т. е. D2 = С2.

В §§ 3−5 доказывается основной результат — теорема 4.3. Теорема 4.3. Пусть (ЯЛ, Р) G A, f G Ж, п G N, 3 1 л. ^ о. озтг 1 1 г/2 1 л.

Тогда справедливы соотношения:

P (f-nn (f))^Du2(f,^)p1 (17) sup ?>n = lim Dn = ?>. n6N n->oo.

Таким образом, константа X) является точной для всех п в совокупности в неравенстве (17) для равномерной нормы. Отметим, что = 0.625, ?>2 = 0,559., ?> = 0,581. 8.

Для доказательства точных неравенств этой главы использовались специально найденные представления отклонения сумм Рогозин-ского в виде линейной комбинации интегралов, содержащих вторые разности функции с шагом, не превосходящим шага модуля непрерывности.

Результаты главы 4 содержатся в работах [17, 18].

5. В пятой главе доказывается точное неравенство типа Джексона для первого модуля непрерывности и приближения линейными положительными операторами.

Пусть С£ — множество линейных положительных операторов U: С —У 72п-1 (т.е. таких, что U (f) ^ 0 для всех / ^ 0), ( , ф) = Jg1 <рф — скалярное произведение функций из вещественного пространства L-2[ 0,1], § = Е Ь2[ 0,1]: fj ip2 = l| — единичная сфера пространства I^fO, 1].

При h > 0, U: С С полагаем fee ^i{f, h).

Величины Л (С/, К) называют точными постоянными в неравенствах.

-¡-7(/)|К Ми,!(/,/*).

Известно, что (см., например, [106]) если оператор U имеет вид.

U (f, x) = - Г f (x + t) K (t) dt, (18) где ядро К ^ 0, четно,? К = 1, то.

U, h) =^f ^1+ j^Ki^dt.

Если п Е N, Un: С —> Tin-i, 7 > 0, то представляет интерес изучение величин.

Лп (7) = inf Л (ип, —), Л (7) = sup Лп (7) ипес+ ^ п J и методов приближения, реализующих инфимум. Исследованием точных постоянных в неравенствах типа Джексона для приближения различными положительными операторами занимались многие математики. Так, в [106] найдено, что sup Л (Un, = §, где Un — операторы Джексона. В [35] вычислено, что sup Л (Un, -) ^ 1,3424 для опепем п раторов Коровкина, а в [49] — для операторов Бомана—Коровкина.

В [70] построена последовательность положительных операторов Un, для которой sup Л ([/", ^ 1,33 701. nGN.

Из точных неравенств, касающихся приближения линейными операторами, не являющимися положительными, отметим результаты С. Б. Стечкина [86] для отклонения метода Ахиезера—Крейна— Фавара и В. Т. Гаврилюк [32, 33] для отклонения метода Рогозинско-го.

Доказывается, что при нахождении величин Ап (7) инфимум можно брать по множеству А^ операторов Un вида (18) с ядром.

71 — 1.

Kn (t) = рь cos kt >0, ро = 1. к= О лемма 5.1).

Используя теорему Фейера—Ф.Рисса (см., например, [79, с.92]) об общем виде неотрицательного тригонометрического многочлена,.

А. И. Давидчик [36] установил, что inf Л (Un, равен минимуму с/,.ел+ квадратичной формы.

А^х, х) = i J"¹ + nt.

7 Г.

71 — 1? к—О хке ikt dt на единичной сфере §-п 1 пространства М71. В свою очередь, этот минимум равен наименьшему собственному числу матрицы И достигается на соответствующем собственном векторе. Затем, подсчитав Ап (1) при п ^ 50, А. Н. Давидчик получил оценку А (1) ^ 1,30.

Аналогичная теорема (вместе с очевидным доказательством) справедлива и для произвольного 7 > 0.

Теорема 5.1. Пусть п Е 7 > 0. Тогда величина равна минимуму квадратичной формы 2.

•7Г.

А^х, х) = - (1 + nt.

77 г.

71 — 1 Е к=О хке ikt dt на§ п-1, т. е. наименьшему собственному числу матрицы Ау1^. Оператор ип, реализующий инфимум, задается формулой 2.

71 — 1 Е к= О п) гfcíХк е.

И, где х= — — единичный собственный вектор матрицы А^, отвечающий собственному числу Ап (7).

Основным результатом главы является то, что при 7 Е (0,1] величина Л (7) равна инфимуму на § квадратичного функционала.

• оо р) =.

1 +.

7 Г.

7 0? «.

77г) ср{х)еих (1х И конечного, правда, не на всем ^[0,1]). Положим.

7) = тиву<�р,(р).

Теорема 5.2. При всех 7 > 0 будет Л (7) ^ /?(7) — а пРи 7? (0) 1] справедливо равенство Л (7) = ^(7).

Похожий результат верен и для приближений целыми функциями конечной степени (теорема 5.3).

В § 3 исследуется функционал (Вуср, (р) и, конкретно, спектральные свойства оператора В7. Похожие задачи минимизации квадратичного функционала возникали при исследовании приближения положительными операторами функций классов Зигмунда [7, 8, 6]- собственно задачи минимизации решал Х. М. Коган [53−56].

В качестве области определения оператора В7 удобно выбрать плотное в Ь-2[0,1] множество Ьо (л/х (1 — ж) — 0,1) абсолютно непрерывных на [0,1] функций (р, таких что.

99(0) = ср (1) = 0 и / у/ х{1 — х) ср'2(х) дх < оо. о.

Теорема 5.4. Спектр оператора В7 дискретный. Оператор Ву имеет единственную положительную на (0,1) собственную.

О / -t функцию <р7 Е L 2 (л/ж (1 — .т) — 0, l) П §, причем — х) = Соответствующее ей собственное число, А (7) — положительное, простое и наименьшее. При этом.

Л (7) = о min (В-,(р,<�р) = (Ву (р7,<�ру). pGL i1] (д/жС!-®)^,!) П§

Величины А (7) могут быть подсчитаны с любой степенью точности каким-либо из стандартных методов вычисления собственных чисел интегральных операторов. Метод Ритца дает для А (7) оценку сверхудля оценки снизу можно использовать значения Ап (7). Подсчет показывает, что А (1) = 1,312.

Результаты главы 5 содержатся в работах [19, 20].

6. В последней, шестой, главе устанавливаются точные неравенства для производных и разностей целых функций конечной степени.

Классические неравенства для целых функций конечной степени (см., например, [90, с.222−223, 228−232, 266- 3, с.182−193, 332−334- 46, с.114−115- 61, глава 3]): и/(г)1к as).

И/(г)11 < i^rYlliiWII, О < h < (20).

2 sm Щ^г / сг.

SW f ^ sin' f' и < «< 'г < > W и, в частности, для тригонометрических многочленов играют важную роль в теории аппроксимации. Здесь г Е N, сг > 0, / Е Вст. Неравенство типа (19) впервые было установлено С. Н. Бернштейном сначала для тригонометрических многочленов (см. [10, с.25−26 и примечание на с.527]), затем — для целых функций конечной степени см. [11, с.269−270 и примечание на с.539]), типа (20) (для тригонометрических многочленов) — М. Риссом [105, с.365], типа (21) — Р. Боасом [99]. В связи с неравенствами типа (20) укажем также на важные работы [13, 76, 85].

Неравенство (20) было усилено в работе В. Г. Доронина [38], где при к? (0, установлено, что.

Р>|1'* Й)" (««(ЛИя + ^^^Ж-Н^^ЛИР) (22) для / 6 72п-1 в пространстве Ьр (1 р < оо), и отмечено, что в пространстве С аналогичный результат был ранее получен В. Ф. Ба-бенко и А. А. Лигуном. При 0 < Н < ^ неравенство (22) усиливает неравенство (20).

В данной главе неравенства типа (19)-(22) значительно усиливаются в следующих направлениях. Рассматривается широкий класс разложений, примером которых могут служить формулы численного дифференцирования вида.

1 оо г) и ТгЕ^^Л (23) и=0.

Д^ = 1), и даются точные на классах целых функций конечной степени оценки погрешностей этих формул — в данном случае.

1 тп через первый отброшенный член разложения. В формуле (23) коэффициенты рЬ определяются разложением.

14(3/2 + ^/1+ ?74) V.

V ^).

Примером может служить следующая теорема (сформулированная в частном случае пространства Во-).

Теорема 6.2. Пусть т + 1? г? N, а > 0, / € Ва, О < /г < —. Тогда т.

— О.

2зт.

При таком подходе оказывается, что неравенства (20) и (22) являются начальными случаями этих оценок, соответственно, при т = — 1 и т = 0 (следствие 6.3). В рассматриваемый класс разложений попадают, в частности, формулы Стирлинга и Бесселя численного дифференцирования (теоремы 6.2 и 6.3), формула Эйлера-—Маклорена (теорема 6.6) и разложение разности с меньшим шагом по разностям с большим шагом (теорема 6.4). Начальным случаем оценки погрешности последней формулы является неравенство (21) (следствие 6.7). Все неравенства верны для широкого класса пространств с полунормойв частности, для пространств (Вст, || • ||), (Вст П1/р (М.), || • ||р), пространств тригонометрических многочленов. В перечисленных пространствах неравенства точны. В пространстве (Ва,|| • ||) они обращаются в равенство на функциях вида /*(ж) = аегих + Ье~гах.

§ 2 содержит несколько вспомогательных утверждений, связанных с абсолютно монотонными функциями. В § 3 излагается общая схема получения точных неравенств для целых функций конечной степени. В § 4 получены основные результаты — точные оценки погрешностей формул типа численного дифференцирования. В § 5 устанавливаются точные неравенства для отклонений функций Сте-клова. Эти неравенства носят более тонкий характер, так как выполняются не все условия общих теорем.

Основные результаты главы 6 опубликованы в статье [25]- неравенства для тригонометрических многочленов ранее были получены в работе [28] и вошли в учебное пособие [21].

1. ахиезер Н. и. О наилучшем приближении одного класса непрерывных периодических функций // Доклады АН СССР. 1937. Т.17, № 9. С.451−453.

2. Бабенко В. Ф., Громов А. Ю. Точные оценки приближения целыми функциями классов дифференцируемых функций //В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1977. Вып.8. С.3−6.

3. БАСКАКОВ В. А. О порядке приближения дифференцируемых функций некоторыми линейными положительными операторами // Математический сборник. 1968. Т.76 (118), № 3. С.344−361.

4. Баусов Л. И. Порядок приближения функций класса Z (X линейными положительными полиномиальными операторами // Успехи математических наук. 1962. Т.17, вып.1 (103). С.149−155.

5. Баусов Л. И. О порядке приближения функций класса Zc^ линейными положительными операторами // Математические заметки. 1968. Т.4, № 2. С.201−210.

6. БеЙТМБН Г., ЭрдеЙИ А. Таблицы интегральных преобразований. Т.1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969.

7. БериштеЙН С. П. О наилучги, ем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.11−104.

8. Бернштейн С. Н. Об одном свойстве целых функций. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.269−270.

9. Бернштейн С. Н. Абсолютно монотонные функции. Собрание сочинений в 4-х т. Т.1. Изд. АН СССР, 1952. С.370−425.

10. Бернштейн С. Н. Распространение неравенства С.Б.Стеч-кина на целые функции конечной степени // Доклады АН СССР. 1948. Т.60, № 9. С.1487−1490.

11. Великин В. Л. О предельной связи между приближениями периодических функций сплайнами и тригонометрическими полиномами // Доклады АН СССР. 1981. Т.258, № 3. С.525−529.

12. Виноградов О. Л. Точная постоянная в неравенстве типа Джексона для приближения линейными положительными операторами // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т.255. С.36−53.

13. Виноградов О. JI. О квадратичном функционале из задачи о точной постоянной в неравенстве Джексона для приближения, линейными положительными операторами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер.1. 1998. Вып. З (N2 15). С.6−11.

14. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства, связанные с оценками приближений периодических функций посредством модулей непрерывности их нечетных производных с различным шагом // Проблемы математического анализа. 1999. Вып. 19. С.69−88.

15. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные неравенства типа Джексона для сплайновых аналогов операторов Ахиезера— Крейна—Фавара // Доклады АН России. 2003. Т.393, № 2. С.151−154.

16. Виноградов О. Л., Жук В. В. Точные оценки отклонений линейных методов приближения периодических функций посредством, линейных комбинаций модулей непрерывности различных порядков // Проблемы математического анализа. 2003. Вып.25. С.57−98.

17. ГАВРИЛЮК B.T. Приближение непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами //В сб. института математики АН СССР: Теория приближения функций и ее приложения. Киев, 1974. С.41−60.

18. ГАВРИЛЮК В. Т. Приближение непрерывных периодических функций полиномами Рогозинского и суммами Фурье //В сб.: Вопросы теории приближения и ее приложений. Киев, 1976. С.46−60.

19. ДОРОНИН В. Г. Некоторые неравенства для тригонометрических полиномов // Международная конференция «Теория приближений и гармонический анализ». Тезисы докладов. Тула, 1998. С.96−97.

20. Женсыкбаев А. А. Проблемы восстановления операторов. Москва—Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

21. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Сибирский математический журнал. 1971. Т. 12, № 6. С. 1283−1297.

22. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между наилучшими приближениями и модулями непрерывности // Вестник Ленинградского университета, сер. мат., мех., астр. 1974. № 1. С.21−26.

23. Жук В. В. О некоторых точных неравенствах между функционалами, заданными на множествах периодических функций, и модулями непрерывности // Вестник Ленинградского университета. 1975. Вып.2 (№ 7). С.29−34.

24. Жук В. В. К вопросу о постоянных в прямых теоремах теории аппроксимации для дифференцируемых функций // Вестник Ленинградского университета. 1976. Вып.4 (№ 19). С.51−57.

25. ЖУК В. В. Некоторые точные неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности высших порядков // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.2. С.281−288.

26. ЖУК В. В. Некоторые точные оценки для полунорм, заданных на пространствах периодических функций // Математические заметки. 1977. Т.21, вып.6. С.789−798.

27. ЖУК В. В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1982.

28. Жук В. В., кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб.: Изд. Санкт-Петербургского университета, 1995.

29. Жук В. В., Натансон Г. И. О приближении дифференцируемых периодических функций линейными методами // Вестник Ленинградского университета. 1977. Вып.4 19). С. 16−21.

30. Жук В. В., Натансон Г. И. К вопросу приближения функций посредством положительных операторов // Ученые записки Тартуского гос. ун-та. Труды по математике и механике. Функциональный анализ и приложения. Тарту, 1977. Т. 19, вып.430. С.58−69.

31. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л.: Изд. Ленинградского университета, 1983.

32. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т.2. М.: Мир, 1965.

33. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

34. КОГАН X. М. Об одной вариационной задаче теории приближений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т.2, № 1. С.151−154.

35. КОГАН X. М. О порядке приближения функций класса Zа линейными положительными полиномиальными операторами // В сб.: Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций. Баку, 1965. С.157−162.

36. КОГАН X. М. Об одном, сингулярном интегро-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 1967. Т. З, № 2. С.278−293.

37. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992.

38. КреЙН М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 4−5. С. 245.

39. КРЕЙН М. Г. О наилучшей аппроксимации непрерывных дифференцируемых функций на всей вещественной оси // Доклады АН СССР. 1938. Т.18, № 9. С.619−623.

40. КРЕЙН М.Г., РУТМАН М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948. Т. З. Вып.1 (23). С.3−95.65. крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физматгиз, 1959.

41. Левитан Б. М. По*тьи-периодические функции. М.: ГИТТЛ, 1953.67. лигун А. А. О точных константах приближения дифференцируемых периодических функций // Математические заметки. 1973. Т.14, № 1. С.21−30.

42. LlGUN A. A. Inequalities for upper bounds of junctionals // Analysis Mathematica. 1976. Vol.2, № 1. P. 11−40.

43. СТЕЧКИН С. Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара // Труды математического института АН СССР. 1971. Т.109. С.26−34.

44. Сунь юн-шен. О наилучшем приближении классов функций, представимых в форме свертки // Доклады АН СССР. 1958. Т.118, № 2. С.247−250.

45. ТЕЛЯКОВСКИЙ С. А. Теория приближения функций многочленами // Очерки развития математики в СССР. Киев: Наукова думка, 1983. С.237−251.

46. ТЕЛЯКОВСКИЙ С. А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Труды Математического института АН СССР. 1988. Т.182. С.128−179.

47. Харди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд. иностранной литературы, 1948.

48. Черных Н. И. О неравенстве Джексона в Ь2 !/ Труды математического института АН СССР. 1967. Т.88. С.71−74.

49. ЧЕРНЫХ Н. И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Lo // Математические заметки. 1967. Т.2, № 5. С.513−522.

50. ШАЛАЕВ В. В. К вопросу о приближении непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами // В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложениям. Днепропетровск, 1977. Вып.8. С. 39−43.

51. Boas R. P. (Jr.) Quelques generalisations d’un theoreme de S. Bernstein sur la derivee d’un polynome trigonometrique // C.R. Acad. Sei. Paris. 1948. Vol.227. P.618−619.

52. Nagy B. Uber gewisse Extremalf rag eil bei transformierten trigonometrischen Entwicklungen. I. Periodischer Fall // Berichte uber die Verhandlungen der Sachsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. 1938. Bd.90. P. 103−134.

53. RlESZ M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen fur Polynome // Jahresbericht der Deutchen Mathematiker-Vereinigung. 1914. Bd.23. P.354−368.

54. Wang Xing-hua. The exact constant of approximation of continuous functions by the Jackson singular integral // Chinese Math. 1964. Vol.5, № 2. P.254−260.107. widder D. V. The Laplace transform. Princeton, 1946.