Исследование одномерных автоматических систем

1. Выбор варианта

Передаточные функции своего варианта W₁…W₅, выбирают с помощью формулы:

j = N_вар — 72*n;

j=16 — 72*0 = 16;

Следовательно:

W₁ (p) = ИЗ W₂ (p) = ПЗ W₃ (p) = АЗ W₄ (p) = ЕЗ W₅ (p) = АЗ

Расшифруем аббревиатуры:

_;

_;

_;

_;

_;

Выберем канал возмущений, с помощью формулы:

i=N_вар — 4*n;

i=16 — 4*4=0;

Выберем n на 1 меньше, тогда

i=16 — 4*3=4;

Соответственно мы получили четвертый канал возмущения .

Выберем и для определения звеньев параллельной и обратных связей:

k_пс = N_вар — 15*n;

k_пс = 16 — 15*1 = 1;

k_ос = k_пс — 15*n + ?_вар;

k_ос = = 7;

Следовательно:

Передаточные функции W₆…W₉, выбирают с помощью формулы:

j = N_вар — 14*n;

j=16 — 14*1 = 2;

Отсюда:

W₆ (p) = ПЗ W₇ (p) = ИЗ W₈ (p) = АЗ W₉ (p) = АЗ

_;

_;

_;

_;

Определим значения коэффициентов k_i по формуле:

j = N_вар — 13*n;

j = 16 — 13*1 = 3;

Соответственно:

k₀ = 0,27; k₁ = 1,9; k₂ = 0,54; k₃ = 6,1; k₄ = 1,2; k₅ = 0,35; k₆ = 2,5; k₇ = 0,23;

k₈ = 7,8; k₉ = 0,73;

Постоянные времени вычисляются по формулам:

j = N_вар — 17*n, ;

j = 16 — 17*0 = 16;

Следовательно:

T₁ = 0.0567; T₂ = 2.241; T₃ = 0.0432; T₄ = 0.405; T₅ = 0.0648; T₆= 0.999; T₇= 0.864;

T₈= 0.378; T₉= 0.1755

Коэффициент колебательности выбирается по формуле:

j = N_вар — 11*n;

j = 16 — 11*1 = 5;

Откуда:

;

2. Математическое описание и исследование УОУ

Данный раздел включает в себя вопросы, касающиеся тем структурного представления динамических звеньев и систем автоматики, эквивалентных преобразований и математического описания структурных схем, формы представления вход-выходных математических моделей динамических, звеньев и систем, методов их построения, преобразования и использования, а также вопросы, касающиеся способов построения и анализа графических отображений динамических и частотных свойств звеньев и систем автоматики.

2.1 Структурное преобразование схемы объекта управления и получение ПФ по каналам внешних воздействий

На данном этапе исследования УОУ будет произведено структурное преобразование схемы объекта управления и дальнейшее получение ПФ по каналам внешних воздействий.

Исходные данные УОУ (Рисунок 1).

Рисунок 1 — Исходная структурная схема ОУ

Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу.

Исключим из исходной структурной схемы ОУ возмущающее воздействие и применим правила эквивалентных преобразований к полученной структурной схеме ОУ по прямому каналу (Рисунок 2).

Рисунок 2 — Структурная схема ОУ по прямому каналу.

Рисунок 3 — Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу. Шаг 1

Рисунок 4 — Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу. Шаг 2

Рисунок 5 — Преобразование структурной схемы ОУ по прямому каналу. Шаг 3

В результате преобразований получим эквивалентную передаточную функцию по прямому каналу в произвольной форме:

Полученная передаточная функция имеет 8-й порядок и обладает астатизмом 2-го порядка.

Преобразуем передаточную функцию в каноническую форму записи:

Запишем передаточную функцию в последовательно-структурированной форме записи в виде произведения элементарных полиномов:

Оценка свойств объекта:

Объект является неустойчивым, так как характеристический полином системы имеет нулевые корни;

Коэффициент усиления равен 0.4238;

Порядок астатизма равен 2.

Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения.

На данном этапе исключим из структурной схемы исходного ОУ прямой канал и произведем преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Так как входное воздействие по прямому каналу равно нулю, то звенья, , и можем исключить. В результате получим следующую структурную схему ОУ (Рисунок 6):

Рисунок 6 — Структурная схема ОУ по каналу возмущения.

Рисунок 7 — Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 1

Рисунок 8 — Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 2

Рисунок 9 — Преобразование структурной схемы ОУ по каналу возмущения. Шаг 3

В результате преобразований получим эквивалентную передаточную функцию по каналу возмущения в произвольной форме:

Полученная передаточная функция имеет 6-й порядок.

Преобразуем передаточную функцию в каноническую форму записи:

Запишем передаточную функцию в последовательно-структурированной форме записи в виде произведения элементарных полиномов:

Оценка свойств объекта:

Объект является устойчивым, так как все корни характеристического полинома системы имеют отрицательную вещественную часть;

Коэффициент усиления равен 0.315;

Порядок астатизма равен 0;

2.2 Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ

На данном этапе исследования ОУ будут получены и исследованы основные динамические и частотные характеристики, такие как АФЧХ, МЧХ, ВЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также будут построены корневые плоскости ОУ по возмущающим воздействиям.

Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ для прямого канала:

Найдем корни числителя и знаменателя передаточной функции:

Корни числителя:

;; ;

Корни знаменателя:

;; ;

; ;

Рисунок 10 — Корневая плоскость ПФ ОУ по прямому каналу

В соответствии с рисунком 10 ОУ является неустойчивым в разомкнутом состоянии, так как его характеристический полином имеет нулевые корни.

Рисунок 11 — АФЧХ ОУ для прямого канала

Рисунок 12 — АФЧХ ОУ для прямого канала в масштабе

В соответствии с рисунком 11 и рисунком 12, используя критерий Найквиста для неустойчивой разомкнутой системы, можно сказать, что система в замкнутом состоянии не будет устойчива, т.к. АФЧХ системы не охватывает точку как видно на графике.

Рисунок 13 — ВЧХ ОУ для прямого канала

1. Переходная характеристика имеет перерегулирование, так как ВЧХ не положительна на всем участке изменения частоты (рисунок 13).

2. Переходной процесс ОУ не имеет монотонный характер, так как соответствующая ему ВЧХ не является положительной функцией частоты (рисунок 13).

Рисунок 14 — МЧХ ОУ для прямого канала Рисунок 15 — ЛАЧХ и ЛФЧХ ОУ для прямого канала

В соответствии с рисунком 15 запасы по амплитуде равны 6.76 дБ, а запасы по фазе составляют 23.2 градуса.

Получение и исследование динамических и частотных характеристик УОУ для канала возмущения:

Найдем корни числителя и знаменателя передаточной функции:

Корни числителя:

;; ;

; ;

Корни знаменателя:

;;; ;

; ;

Рисунок 16 — Корневая плоскость ПФ ОУ по каналу возмущения

В соответствии с рисунком 16 ОУ является устойчивым в разомкнутом состоянии, так как все его корни характеристического полинома имеют отрицательную вещественную часть.

Рисунок 17 — АФЧХ ОУ для канала возмущения В соответствии с рисунком 17 используя критерий Найквиста, для неустойчивой разомкнутой системы, можно сказать, что система в замкнутом состоянии не будет устойчива, т.к. АФЧХ системы не охватывает точку как видно на графике.

Рисунок 18 — ВЧХ ОУ для канала возмущения

1. Острый пик при частоте равной Гц, за которым переходит через нуль при частоте близкой к, на графике ВЧХ ОУ для канала возмущения (рисунок 18) соответствует медленно затухающим колебаниям переходного процесса.

2. Переходная характеристика имеет перерегулирование, так как ВЧХ не положительна на всем участке изменения частоты (рисунок 18).

3. Переходной процесс ОУ не имеет монотонный характер, так как соответствующая ему ВЧХ не является положительной функцией частоты (рисунок 18).

Рисунок 19 — МЧХ ОУ для канала возмущения В соответствии с рисунком 20 запасы по амплитуде и по фазе бесконечны.

Рисунок 20 — ЛАЧХ и ЛФЧХ ОУ для канала возмущения

2.3 Получение вход-выходных математических моделей УОУ в дифференциальной форме

3. Исследование возможностей и простейших вариантов управления объектом

На данном этапе работы выполняется оценка возможностей и простейших вариантов управления объектом с помощью типовых законов управления. В ходе работы исследуются графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также оценивается переходной процесс ОУ по прямому каналу.

Исходные характеристики ОУ.

Рисунок 21 — График переходного процесса ОУ по прямому каналу

В соответствии с рисунком 21 объект управления является неустойчивым.

Исходя из полученных логарифмических частотных характеристик системы (Рисунок 22) и логарифмического критерия Найквиста можно сделать вывод о том, что для данного ОУ наиболее подходящим является пропорциональный регулятор с коэффициентом усиления равный:

Рисунок 22 — Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ УОУ по прямому каналу

При этом достигаются наибольшие запасы устойчивости ОУ. Запасы устойчивости по амплитуде составляют 20.7 дб, а по фазе 69.4 град.

Рисунок 23 — Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ УОУ по прямому каналу с использованием П — регулятора (красный график)

Использование других законов регулирования не целесообразно по следующим причинам:

· И — закон регулирования не подходит, так как произойдет понижение фазовой характеристики на угол 90 град., что приведет к понижению запасов устойчивости;

· Д — закон регулирования в чистом виде не является физически реализуемым, за исключением случая использования физически реализуемого дифференциального звена, что приводит к большим аппаратным затратам;

· ПД, ПИ и ПИД — законы регулирования являются сложными законами управления, состоящие из более простых регуляторов и, следовательно, они более сложны в настройке и требуют больших аппаратных затрат.

Рисунок 24 — График переходного процесса замкнутой системы по прямому каналу с использованием П — регулятора

В соответствии с рисунком 24 характеристики переходного процесса имеют следующие значения:

· Время регулирования — сек.;

· Максимальное отклонение от установившегося значения — ;

· Установившееся значение переходного процесса — ;

· Перерегулирование при максимальном отклонении 1.14 и установившемся значением 1 составит

4. D-разбиение

На этом этапе работы необходимо провести однопараметрическое

D-разбиение с целью нахождения областей устойчивости.

Исходная передаточная функция объекта управления по прямому каналу:

Введем варьируемый коэффициент и замкнем ОУ отрицательной обратной связью:

В результате преобразований получим характеристический полином системы в следующем виде, приравняем его к нулю:

откуда:

Применим к полученному выражению преобразование Фурье и выделим мнимую и вещественную части варьируемого параметра :

Используя математический пакет Matlab для построения графика D — разбиения (рисунок 23, рисунок 24).

Рисунок 23 — График D — разбиения

В соответствии с рисунком 24 и рисунком 25 можно выделить следующие области, претендующие на устойчивость — область I, область II, область III.

Рисунок 24 — График D — разбиения в масштабе

Проверим, устойчив ли объект управления, в данных областях подставив в полученный характеристический полином любое вещественное значение параметра принадлежащее каждой области:

При область I не устойчива, так как присутствует один корень характеристического полинома ОУ с положительной вещественной частью:

При область II устойчива, так как все корни характеристического полинома ОУ имеют отрицательную вещественную часть:

При область III не устойчива, так как присутствует один корень характеристического полинома ОУ с положительной вещественной частью:

Таким образом, с помощью метода однопараметрического D — разбиения было доказано, что исходный ОУ является устойчивым.

Список источников

дифференциальный модель автоматический одномерный

1. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

2. Лазарева Т. Я., Мартемьянов Ю. Ф. Основы теории автоматического управления: Учебное пособие. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. тех. ун-та, 2003.

3. Кирюшин О. В. Управление техническими системами: курс лекций. — Уфа: Изд-во УГНТУ, 2003.

4. Конспект лекций за I семестр 2010;2011 учебного года, профессор Заковоротный В.Л.

5. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине «Теория управления», Обухов П. С., Кудряшёв С. Б. 2004.