Топологические свойства асимптотики спектра несамосопряженного оператора на двумерной поверхности вращения

Актуальность темы

.

Геометрические аспекты спектральной теории дифференциальных и псевдодифференциальнь операторов изучались в огромном количестве работрезультаты этой теории имеют много приложений в математике и теоретической физике. Спектральная теория несамосопряженных операторов, сравнительно с самосопряженным случаем развита значительно менее полнокак структура спектра, так и свойства спектрального разложения могут быть в этой ситуации весьма экзотическими. В частности, в несамосопряженном случае к настоящему времени отсутствует общая теория квазиклассичеких асимптотик, аналогичная теории В. П. Маслова квантования инвариантных лагранжевых многообразий. В работе[5] построены спектральные серии оператора Лапласа-Бельтрами со сносом в евклидовом пространстве, соответствующие асимптотически устойчивым положениям равновесия, предельным циклам и инвариантным торам соответствующего векторного поля. В работах [11, 12, 17, 13, 15, 6, 14]полностью исследован спектр одномерного оператора Шредингера и Орра — Зоммерфельда на отрезке с потенциалами простейшего вида (линейным, квадратичным и близким к линейному) — отметим, что ряд утверждений об условиях квантования содержался еще в работе [4]. В этих работах, в частности, было показано, что спектр в квазиклассическом пределе стягивается к некоторому графу на комплексной плоскости. В работах [1, 2, 8] исследован спектр одномерного оператора Шредингера с комплексным потенциалом простейшего вида (линейный или квадратичный тригонометрический многочлен) на окружностив частности, был найден спектральный граф и показано, что асимптотика спектра может быть вычислена из топологических условий квантования на римановой поверхности — комплексной поверхности постоянной энергии.

В настоящей диссертации описан спектр оператора Лапласа — Бельтрами со сносом на двумерной компактной поверхности вращения, гомеоморфной сфере (рассматривается поле скоростей, направленное вдоль паралллелей и линейно зависящее от высоты). Показано, что спектр вычисляется из условий квантования на соотвествующей римановой поверхности, аналогичным условиям Бора — Зоммерфельда — Маслова ([9, 10]) — однако, в отличие от самосопряженного случая, в нашей ситуации достаточно требовать выполнения такого условия хотя бы на одном базисном цикле поверхности (разные циклы определяют разные спектральные серии). Исследован спектральный граф (состоящий из трех ребер) — особенно полную информацию о нем удается получить в случае стандартной сферы — тогда асимптотика спектра выражается через эллиптические интегралы. При доказательствах соответствующих теорем применяется техника, развитая в работах [16, 7] и основанная на изучении решений спектрального уравнения в комплексной области и, в частности, на исследовании топологии т.н. графа Стокса (ребра этого графа ограничивают области, в которых справедливы квазиклассические асимптотические формулы).

Цель работы.

В настоящей работе автор ставил перед собой следующие цели:

1. Описать топологические свойства спектра несамосопряженного оператора Лапласа со сносом на двумерной поверхности вращения, гомеоморфной сфере.

2. Описать квазиклассическую асимптиотику спектра несамосопряженного оператора Лапласа — Бельтрами со сносом на двумерной поверхности вращения и ее связь с топологтей графа Стокса.

3. Исследовать топологию спектрального графа и его расположение на комплексной плоскости.

4. Получить простые и эффективные формулы для спектральных серий в случае стандартной сферы.

Методы исследования.

Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальт геометрии и топологии, спектральной теории дифференциальных операторов, аналитической теории дифференциальных уравнений. В работе используется результаты асимптотической теории дифференциальных операторов, разработанной М. В. Федорюком.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Описана квазиклассическая асимптотика спектра оператора Лапласа-Бельтрами со сносом двумерной компактной поверхности вращения. Установлена связь с топологией линий Стокса.

2. Показано, что асимптотика спектра определяется из топологических условий квантования на римановой поверхности постоянной комплексной энергии.

3. Исследован спектральный графпоказано, что он определяется топологией графа Стокса.

4. Для стандартной сферы получены простые и эффективные формулы для асимптотических собственных чисел.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений и математической физики.

Апробация диссертации.

• Конференция «Современные проблемы анализа и преподавания математики», посвященная 105-летию С. М. Никольского. Москва, МГУ, май 2010.

• Конференция «Асимптотические методы и математическая физика». Москва, ИПМех РАН, май 2010.

• Семинар кафедры Дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ им М. В. Ломоносова.

Публикации.

Основные результаты работы опубликованы в двух статьях, ссылки [1, 2] на которые приведены в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и трех глав, включающих в себя 11 разделов. Текст диссертации изложен на 60 страницах и дополняется 7 рисунками.

Список литературы

содержит 21 наименование.

1. С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич, «Спектр и псевдоспектр несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами», Матем. заметки, 80:3 (2006), 356−366.

2. С. В. Гальцев, А. И. Шафаревич, «Квантованные римановы поверхности и квазиклассические спектральные серии для несамосопряженного оператора Шредингера с периодическими коэффициентами», ТМФ, 148:2 (2006), 206−226.

3. И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линеиных несаосопряженных операторов, М., Наука, 1965.

4. Ю. Н. Днестровский, Д. П. Костомаров, О задачах на собственные значения для уравнений второго порядка в случае нелинейной зависимости от параметра А, ДАН, 1963, 52:1, 28−30.

5. С. Ю. Доброхотов, Виктор Мартинес Оливе, В. Н. Колокольцов. Мат. Заметки, 1995, 58(2), 880−884.

6. А. В. Дьяченко, А. А. Шкаликов, «О модельной задаче для уравнения Орра-Зоммерфельда с линейным профилем», Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 71−75.

7. М. А. Евграфов, М. В. Федорюк, «Асимптотика решений уравнения ^» {г) —А)ги (г) = 0А -«• оо в комплексной плоскости г, УМН, 21:1 (1966), 3−50.

8. А. И. Есина, А. И. Шафаревич Условия квантования на римановых поверхностях и квазиклассический спектр оператора Шре? дингера с комплексным потенциалом Матем. заметки, 2010, 88:2, 229−248.

9. В. П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы, Изд-во Моск. ун-та, М., 1965.

10. В. П. Маслов, Асимптотические методы решения псевдодифференциальных уравнений, М., Наука, 1987.

11. С. А. Степин. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному. УМН, 50:6 (1995), 219−220.

12. С. А. Степин О спектральных свойствах задачи Орра-Зоммерфельда при исчезающей вязкости Функциональный анализ и его приложения, 1996, 30:4, 88−91.

13. С. А. Степин, А. А. Аржанов, «Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера», Докл. РАН, 378:1 (2001), 18−21.

14. С. А. Степин, В. А. Титов. О концентрации спектра в модельной задаче сингулярной теории возмущений, Доклады РАН, 2007, 75:2, 197−200.

15. С. Н. Туманов, А. А. Шкаликов, «О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра-Зоммерфельда с профилем Пуазейля», Изв. РАН. Сер. матем., 66:4 (2002), 177−204.

16. М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Справочная математическая библиотека, Наука, М., 1983.

17. А. А. Шкаликов, О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи, Матем. заметки, 62:6 (1997), 950−953.

18. Е. В. Davies, Pscudospectra of differential operators, J. Operator Theory, 43:2 (2000), 243−262.

19. S.Yu.Dobrokhotov, V.N. Kolokoltsov, V. Martinez Olive. Quasimodes of the diffusion operator — eA + VV, corresponding to asymptotically stable limit cycles of the field V. Sobretiro de Sociedad Matematica Mexicana, 1994, 11, 81−89.

20. P. G. Drazin, W. H. Reid, Hydrodynamic Stability, Cambridge Monogr. Mech. Appl. Math., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1981.

21. L. N. Trefethen, Pseudospectra of linear operators, ISIAM 95, Proceedings of the Third international congress on industrial and applied mathematics (Hamburg, 1995), Math. Res., 87, Akademie Verlag, Berlin, 1996, 401−434.