Объектом исследования настоящей диссертации являются квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. Стоит отметить, что в этот класс уравнений входит квазилинейное уравнение.
М1?/|)/ч) = о, <г (<) = (1 —, (0.1) г=1 содержащее, в свою очередь, классическое уравнение минимальных поверхностей.
I 0 yi+fv/i2 случай 7 = -1). В случае п — 2 уравнение (0.1) — есть уравнение для потенциала скорости в газовой динамики (в дальнейшем ПСГД-уравнение).
Проводимые в диссертации исследования берут свое начало в теории минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время. по разным направлениям и имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С. Н. Бернштейна, J1. Берса, Дж. Дугласа, И.С. С. Ниче, Р. Финна, У. Флеминга, а также в самые последние годы — Ю.А. Ами-нова, Э. Бобьери, A.A. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О. В. Иванова, В. М. Миклюкова, У. Микса, И. Х. Сабитова, JI. Саймона, В. Г. Ткачева, A.A. Тужилина, А. Т. Фоменко, Дж.Ф. Хванга и др.
В XX столетии в развитии теории минимальных поверхностей произошли два существенных толчка. Первым из них стало исследование задачи Плато. Вторым толчком был новый подход С. Бернштей-на к дифференциальным уравнениям с частными производными, важнейшим результатом которого стала знаменитая теорема Бернштейна, утверждающая, что любое целое решение уравнения минимальных поверхностей на плоскости является линейной функцией.
С другой стороны значительное число задач, которые исследуются в настоящее время в теории минимальных поверхностей, а также и в теории квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными обязаны своим происхождением классической теории функций комплексного переменного. К числу таких задач во многом относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств решений и, в частности, с многочисленными вариантами принципа максимума-минимума для решений в неограниченных областях — так называемыми, теоремами типа Фрагмена—Линделефа (см. [2], [10] — [13], [17], [18], [20] —[27], [30] —[32], [34]—[39] и др.). Настоящая работа примыкает к этому направлению.
Целью диссертационного исследования является получение новых теорем типа Фрагмена—Линделефа для разности решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа при достаточно общей формулировке. А именно, сформулировать теоремы для всех областей из Мп и для класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, содержащего уравнение (0.1).
Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Работа носит теоретический характер. Главными в ней являются следующие результаты.
1) Получены и описаны множества, на которых разность решений уравнения (0.1) удовлетворяет некоторым специальным условиям, необходимым при доказательстве единственности решения краевой задачи.
2) Установлен обобщенный принцип максимума для разности решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа на римановых многообразиях, где дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой нарушается единственность решения краевой задачи.
3) Получен некоторый вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суби суперрешений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа, где дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области.
Для получения представленных результатов в работе широко применяются методы классического анализа, методы теории функций, а также теоретико-функциональная техника теории квазилинейных уравнений с частными производными, развиваемая Волгоградской школой нелинейного и геометрического анализа.
Результаты диссертации будут способствовать созданию вычислительных алгоритмов для расчетов течений газа, более эффективных, нежели имеющиеся, а также могут быть использованы специалистами при исследовании решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа. Основные результаты диссертации докладывались.
• на семинаре «Геометрический анализ и его приложения» под руководством профессора В. М. Миклюкова, доцента A.A. Клячина и доцента А. Н. Кондрашова в ВолГУ (Волгоград);
• на семинаре «Сверхмедленные процессы» под руководством профессора В. М. Миклюкова в ВолГУ (Волгоград);
• на научных конференциях молодых ученых Волгоградской области (2003;2006 гг.);
• на международной конференции «Геометрический анализ и его приложения» (май 2004 г., Волгоград);
• на межрегиональной конференции «Современные математические методы и информационные технологии» (апрель 2005 г., Тюмень);
• на международной конференции «Вычислительные методы и теория функций» (июнь 2005 г., Йоэнсуу, Финляндия).
Основные результаты диссертации изложены в работах [4] —[8], [28], [29]. Все утверждения, опубликованные в совместных работах с В. А. Клячиным и В. М. Миклюковым фактически доказаны A.B. Ко-четовым. В. М. Миклюковым и В. А. Клячиным осуществлялось общее руководство на уровне постановки задач и критического анализа доказательств.
Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 39 наименований.
В этой главе доказывается «слабый» вариант теоремы типа Фраг мена — Линделефа для обобщенных суби сунеррешений квазили нейных дифференциальных уравнений с частными производными эл липтического типа, в котором дается оценка скорости роста решений.
вблизи особого множества простых концов области из М .^.
Пусть D сМ? — область. Символом Lipo-D обозначим множество.
функций класса LipD с компактными носителями supp/ с D. Пусть ij,{x): D -^ R — измеримая функция такая, что для всякой.
подобласти D' ее D выполнено.
О < ess inf ц{х) ^ ess sup iJ,{x) < оо. (3.1).
Пусть A: DXR" ^ -^Ш? — измеримая функция. Введем в рассмотрение.
неравенство.
Y,{Ai{x, O-Mx.v)? < f^{x)Y.{Ai{x, O-M^.riMi-m). (3.2).
Обозначим через Л дифференциальный оператор, определяемый.
соотношением.
Будем говорить, что функция f{x) класса LipL" является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения A[f] - О, если для.
любой неотрицательной функции ip[x) е Lipo D выполнено.
' а, Л (2-, V/) dxi dx2 < о о 0). (3.3).
Функция f{x) является обобщенным решением уравнения A[f] =.
О, если она одновременно суби суперрешение этого уравнения. Для формулировки основного результата нам понадобиться сле дующая известная конструкция. Сечением 7 области D называется.
всякая простая замкнутая (в сферической метрике) жорданова дуга.
аЬ с концами а, Ь (случаи, а = Ь, а или 6 = оо не исключаются) со.
следующими свойствами:
1) а, Ь принадлежат dD.
2) неконцевые точки 7 принадлежат D;
3) 7 разбивает D на две подобласти, граница каждой из которых.
содержит точки дВ, отличные от, а и 6. Цепью сечений {7^} {к = 1,2,…) области D называется бесконеч ная последовательность сечений области D, попарно не пересекаю щихся и таких, что 7fc, к > I, разделяет в обычном смысле сечения.
7А-Ь 1к+1 в области D. Цепь сечений {7 }^ определяет в D цепь подобластей {4}, таких,.
что С?1 D (i2 ^ • • • ^ 4 ^ • • •.
Цепь {4} входит в некоторую область Я, если при некотором к.
Цепь {4} входит в цепь {dj,}, если цепь {4} входит в каждую.
область d! y^ (fc = 1,2,…). Две цепи подобластей {4} и {dj,}, каждая из которых входит в.
другую, называются эквивалентными. Следуя терминологии Каратеодори (см., например, [14], с. 45;
46), всякий класс эквивалентности цепей нодобластей D называется.
концом области D. Концы D обозначаются через Е^. Конец Ed входит в некоторую область Я, если найдется цепь из.
Ed, входящая в Н.
Пусть Ed и Eh — концы D. По определению, Ed делит Е^, если.
Ed входит в каждую область некоторой цепи из Eh. Простым концом области D называется всякий конец D, не име ющий собственных делителей. Пусть D сМ? — односвязная область, отличная от всей плоскости.
R .^ Обозначим через D ее пополнение простыми концами. Фиксируем.
простой конец ео е D и непустое множество простых концов EQO С.
DD, ео ф ЕооБудем говорить, что функция h: D ^ {0,оо) класса.
LipD является функцией исчерпания области D, если она обладает.
свойствами:
(г) для всякой подобласти D' сс D выполнено.
О < ess inf Vh{x) < ess sup Vh{x) < oo;
ii) lim h (x) = 0, lim h (x) = +сю и.
0 < h{x) < +CX) при всех x e D;
iii) множества уровня {x e D: h{x) = t}, t> 0, состоят из счетного.
числа простых жордановых дуг с концами на границе dD. Символом Et, О < оо, будем обозначать минимальную из сово купностей компонент связности указанного множества уровня, раз деляющую в D простой конец ео и множество Еоо Следующее утверждение является ключевым в настоящей главе. Теорема 3.1.1. Пусть fi{xi, x2) и f2{xi, X2) — локально липшицевы.
в области D суби суперрешения уравнения A[f] = О, соответ ственно, и пусть для любой последовательности {anj^^i точек.
Д не имеющей предельных точек в множестве простых концов.
Еоо и D, выполнено.
^ 0. (3.4).
Предположим, что множество U = {х е D: fi{x) — f2{x) > 0} не.
пусто и для почти всех х е U имеет место неравенство (3.2) с.
^ = V/b V = V/2 и некоторой измеримой функцией ji{x), удовле творяющей (3.1). Предположим также, что.
где обозначено.
= 00, (3.5).
Тогда.
А{х, V/i) = А{х, V/2) для почти всех х eU. (3.6).
Данное утверждение представляет собой одну из разновидно стей «слабых» теорем типа Фрагмена — Линделефа, обеспечивающую.
" слабый" рост разности fi{x) — f2{x) в указанных предположениях. Под «сильным» ростом в альтернативе Фрагмена — Линделефа мы.
понимаем степенной рост в случае угла и экспоненциальный рост в.
случае полосы (см., например, [3, § 6 главы VIII]). Утверждения о сильном росте разности fi{x)-f2{x) решений урав нения A[f] = О справедливы, на наш взгляд, лишь при некоторых.
дополнительных специальных ограничениях на решения или их гра диенты. Отметим отдельные случаи данного утверждения. Рассмотрим.
сначала полосообразные области достаточно обш, его вида. Именно,.
пусть D — область в R ,^ задаваемая неравенствами.
^Ы) {) + -0{xi) (-00 < Ж1 < 00),.
где (f{xi), ip{0) = О, и 9{xi) > О — непрерывные функции. Точка X = О принадлежит области D. Выберем ее в качестве.
простого конца ео. В качестве множества ?^ оо выберем простые концы,.
имеющие телами бесконечно удаленную точку плоскости R ,^ их ровно.
два. В качестве функции исчерпания — функцию h — xi. Тогда.
Vh[x) = 1 при xi > О и множество уровня Et при t у^ О состоит из.
двух компонент связности — вертикальных отрезков {х =.
D: xi = ±t}. Легко видеть, что.
I Vh{x) dx = Щ, Щ) = Bit) + e{t). Таким образом, мы получаем.
Следствие 3.1.1.1. Пусть fk{xi, X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] -О и пусть всюду на границе dD выполнено.
h < /2. предположим, что множество U — {х е D: fi{x) — /2(2-) > 0}.
не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с.
= V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что.
m{t) = max{0, /1(2-) — /2.
Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6). Заметим, что даже в «слабой» форме альтернативы Фрагмена ;
Линделефа может присутствовать сколь угодно высокая скорость ро ста решения. Это может случиться, например, если в условиях след ствия 3.1.1.1 функция (^ = О, а функция 9{t) быстро растет при t -^ оо. Рассмотрим случай спиралеобразных областей вида:
D = {(г,: -01 (г) <, О < г < 00},.
где -00 < (/9 < +00, О < г < оо — полярные координаты на плоскости.
и ipi{r), ip2{T) — непрерывные монотонно возрастающие" ^ на [О,+оо).
функции, удовлетворяющие неравенствам О < i2(, r) — ф1{г) < 27 г при.
всех г е [0,+оо). В качестве простого конца ео выберем конец области D с телом.
в начале координат, в качестве множества Еоо выберем простой ко нец с телом в бесконечно удаленной точке Ж^. В качестве функции.
исчерпания положим h= х. Тогда Vh = 1 и.
Здесь имеем.
Следствие 3.1.1.2. Пусть fk{xi, X2) {к = 1,2) — непрерывные в D ре шения уравнения A[f] = 0 и пусть всюду на границе dD выполнено.
h < /2. Предположим, что множество U = {х е D: fi{x) — /2(2-) > 0}.
не пусто и для почти всех х eU имеет место неравенство (3.2) с.
v = V/2 и ii{x) = 1. Предположим, что.
m{t) = max{0, fi{x) — /2(2-)}. Тогда для почти всех х eU имеет место (3.6).3.2. Пример. ПСГД-уравнение.
В качестве примера рассмотрим ПСГД-уравнение. Будем говорить, что функция f{x) класса LipD является обоб щенным субрешением (суперрешением) уравнения (1.1), если V/ е п^.
при X е D и для любой неотрицательной функции Lp{x) е Lipo D вы полнено (3.3) с.
^i = ^(|V/l)A, г = 1,2. (3.7).
Отметим, что неравенство (1.3) есть специальный случай нера венства (3.2) при (3.7) и ц{х) = е. Сформулируем основной результат данного раздела. Теорема 3.2.1. Пусть fi{xi, X2) и /2(^ 1,3:2) — локально липшицевы в.
области D супери субрешения уравнения (1.1), соответственно. Предположим, что для любой последовательности {anj^i точек.
D, не имеюи^ей предельных точек в множестве простых концов.
Еоо и Д выполнено.
limsup {h{an) — /2(an)) < 0. i) Тогда, если 7 < - 1, то либо /i ^ /2 всюду в области D, либо.
M’ix) ^h{x) < 00,.
где обозначено.
и) Если 7 = - 1. f^o либо /i ^ /2 всюду в области D, либо.
dt Mx) Vh{x)\dx < 00. (3.8).
Hi) Пусть 7 > - 1. Предположим, что множество U = {х е.
D: fi{x) — f2{x) > 0} не пусто и для некоторого е > 1 выполнено.
соотношение.
(V/i, V/2) G Bry{e) для почти всех x eU. Предположим, что интеграл (3.8) расходится. Тогда.
= cr (|V/2|)V/2 для почти всех х.
3.3. Доказательство теоремы 3.1.1.
Предположим, что в некоторой точке, а е D выполняется /i (a) >
/2(а). Выберем 5 > О так, чтобы /i (a) > /2(а) + 5, рассмотрим множе ство.
{xeD:fi{x)-f2{x)>5}. Данное множество не пусто. Обозначим через Us его произвольную.
компоненту связности. В силу (3.4) имеем [Us]^ П BD с ЕооЗдесь.
символом Ud]^ обозначено замыкание множества U^ в топологии D. Предположим сначала, что Us с с D. Функция.
h{x)-f2(x)-8 при xeUs,.
о при X е DUs.
имеет компактный носитель, содержащийся в D, неотрицательна и.
принадлежит классу Lip (L>). На основании (3.3) можем записать.
/ J2 «P^i {М^^ V/i) — г^(а ,^ V/2)) dxi dx2<0. Отсюда находим.
/ Y. (^ 1-^ - b j {А{х, V/i) — Ai{x, V/2)) dxi dx2<0. (3.9).
В силу неравенства (1.2) заключаем, что почти всюду на множе стве Us выполнено.
Таким образом, соотношение (3.9) влечет, что почти всюду на Us.
справедливо равенство.
V/i)-^(a-, V/2))^ = 0 (3.10).
И, следовательно, A (a-, V/i) = А (ж, У/2) почти всюду в Us;
Рассмотрим оставшийся случай, в котором подобласть Us С D.
такова, что [Us]^ ndD ^Ф.
Пусть функция (р определена, как и выше. Положим.
ho = inf h{x). Зафиксируем hi и h[ так, чтобы ho < hi < h[ < оо. Введем в рассмот рение липшицеву функцию.
0 при т >h[,.
ф{т) = <
1 при Г.
D и имеет компактный носитель, содержащийся в D. На основании.
(3.3) имеем.
Е {^^Кх))ф))^, {Ai{x, V/i) — Ai{x, V/2)) dxidx2<0. Отсюда находим.
[fix, — /2xJ {Ai{x, V/l) — A,{X, v/2)) dxi dX2.
— 2 — 5) ф'{h{x))x.
4h A{x, Vfi) ;
В силу соотношения (1.2), как и выше, находим.
/ —r^v{h{x)) у {Ai (x, Vfi) — /.J 1л{х) ^.
Обозначим через D{t) множество всех x e D, отделяемых систе мой дуг Et от простого конца ео, через D{ti, t2), О < h < t2 < 00, ;
множество D{t2)D{ti). Далее полагаем.
U§[t) = {7(5 П D{t), U§{ti,.
Предыдущее соотношение влечет.
V/l) — МХ, Vf2) Y dXl dX2 <
Если воспользоваться известной формулой Кронрода—Федерера для.
ко-площади.
= dt g{x)dx,.
D -00 h{x)=t.
справедливой для любой измеримой по Лебегу функции д (см. [15,.
§ 3.2 главы III]), то мы получаем.
ы (з-и).
^ 4 / QI/(i\ rif I ii (т {л (т {п (т\\1Ь (т\ rW.
Стандартными приемами (см., например, [11]) находим минимум.
правой части (3.11) по всем функциям ф указанного вида. Поскольку.
ф обращается в нуль и единицу на концах отрезка [hi, h[], то пользу- 9 3 ;
ясь интегральным неравенством Коши, будем иметь.
1 < / i) t)d.
h’l (' ^.
Отсюда следует, что.
— f2{xfVh{x)\dx.
Данное неравенство имеет место для любой липшицевои функции.
вышеуказанного вида. Полагая здесь ^{t) = 1 при t.
при hi h[, легко убеждаемся, что.
li{x)h{x)-f2{x)^Vh{x)\dx.
Таким образом, из (3.11) вытекает, что.
V/i) — Ai{x,.
dxi dx2 <
Если теперь интеграл в (3.5) расходится, то полагая в найденном.
неравенстве U-^ -^ +оо, находим.
и потому А (ж, V/i) = A{x, Vf2) почти всюду в Us. Таким образом,.
теорема полностью доказана. П.
3.4. Доказательство теоремы 3.2.1.
i) Рассмотрим случай 7 < - 1 — Как при доказательстве теоре мы 1.3.1, предположим, что в некоторой точке, а е D выполняется.
a) > /2(а) • Выше установлено, что если Us е е D, то равенство.
(3.10) выполнено почти всюду в U§. Следовательно, для почти всех.
X eUs имеет место равенство.
которое влечет (см. доказательство теоремы 2.1.1) V/i = V/2 почти.
всюду на Us. Поскольку fi (г = 1,2) суть локально липшицевы функции, то.
отсюда вытекает, что fi{x) = /2(3-) + 5 в U§. Тем самым, имеем проти воречие с определением области U§. Итак, подобласть Us с D такова, что [Щ]^ ndDФ. Как и выше,.
мы устанавливаем неравенство.
— (7(|V/2|)V/2.
Используя соотношения (2.17), (2.18), (2.19), находим.
и, далее,.
X|V/i — V/2l/-(|V/i|, IV/2I) dxi dx2.
:)dxidx2 X.
Отсюда.
И далее, рассуждая как при доказательстве теоремы 3.1.1 и ис пользуя неравенство (2.23), получаем требуемое. и) Для доказательства этого утверждения достаточно заметить,.
что если для почти всех х е U = {х е D: fi{x) — f2(x) > 0} имеет.
место равенство.
то V/i = V/2 почти всюду на U. Здесь, как и выше, мы имеем проти воречие с определением области U и требуемое утверждение вытекает.
непосредственно из теоремы 3.1.1. in) Данное утверждение является прямым следствием теоремы.
Таким образом, диссертация в целом вносит существенный вклад.
в развитие теории нелинейных дифференциальных уравнений с част ными производными эллиптического типа.
