Безрадиационные переходы в малочастичных системах с кулоновским взаимодействием

В различных областях современной физики возникает большое количество задач, требующих для своего решения расчета квантово-механических систем из нескольких (п > 3) частиц. Для их описания статистические методы из-за малого количества тел неприемлемы, в то же время применение стандартных методов квантовой теории может привести к неинтегрируемым в общем виде уравнениям, которые даже могут не иметь единственного решения. Такой класс задач стимулировал появление квантовой теории для трех и более частиц, бурное развитие которой началось с созданием Л.Д. Фадде-евым математически корректной квантовой теории трехчастичного рассеяния [1]. В дальнейшем этот подход был обобщен на задачу четырех тел, а так же на случай кулоновских потенциалов [2].

Успешное практическое применение уравнений Фаддеева связано в основном с нуклонными системами, где взаимодействий частиц описывается короткодействующими потенциалами. Включение в уравнения Фаддеева кулоновского взаимодействия влечет за собой появление значительных вычислительных трудностей. Например, наибольший успех в расчете систем с кулоновским взаимодействием в рамках фад-деевского подхода, как для задачи на связанные состояния [3], так и для задачи рассеяния [4], был достигнут в работах, где авторам пришлось ограничиться случаем двух равных масс и полным моментом системы равным нулю. И это несмотря на то, что вычисления производились на одном из самых мощных компьютеров. Такая ситуация связана с тем, что приходиться решать систему трехмерных уравнений. Кроме того в задаче рассеяния, учитывая дальнодей-ствующий характер кулоновского потенциала, приходится проводить интегрирование до достаточно больших расстояний для достижения правильного асимптотического поведения. Следует отметить, что как при увеличении количества частиц, находящихся в рассмотрении, так и при увеличении полного момента системы количество уравнений возрастает, что влечет за собой новые вычислительные трудности.

Однако для решения некоторых конкретных физических задач можно указать физически адекватные приближения, использование которых позволяет свести машинный счет к минимуму или по крайне мере сильно сократить. Не претендуя на указание универсального рецепта, в настоящей работе будут продемонстрированы задачи, содержащие кулоновское взаимодействие, где удается получить результат, не прибегая к решению точных уравнений типа Фаддеева. Одной из таких задач является безрадиационный синтез 8 В в солнечной плазме. Исследование этого процесса крайне актуально в связи с проблемой солнечных нейтрино [5], которая выражается в противоречии экспериментальных данных стандартной модели солнца.

Так называемая стандартная модель солнца разрабатывалась в течение десятилетий коллективными усилиями многих авторов. К настоящему времени это вполне законченная теория, которая объясняет все, за небольшим исключением, наблюдаемые характеристики солнца. Одним из таких исключений является предсказанный ею поток солнечных нейтрино, который в несколько раз превосходит наблюдаемый экспериментально в земных условиях (детальное обсуждение этой проблемы можно найти в [5]). Обсуждается несколько возможных причин такого несоответствия, которые связаны либо с ядерными реакциями, производящими нейтрино, либо с их прохождением к земле.

Выход солнечных нейтрино происходит в ядерных реакциях, протекающих в плазме, состоящей из легких ядер (в основном протонов) и электронов. Последовательность этих реакций начинается с протон-протонных соударений и поэтому называется рр-циклом. В стандартной модели предполагается, что этот цикл состоит из следующих реакций: р + р 2Н + е+ + V р + р + е- 2Н + ^ р + 2Н 3Не + 7 3Не + 3Не 4Не + р + р 3Не + 4Не 7Ве + 7, затем 7Ве может «выгореть» по одному из двух каналов: е- + 7Ве 71л + V р + 7Ве 8 В + у р + 71л 8Ве + 7 8 В ->• 8Ве* + е+ +.

8Ве 4Не + 4Не 8Ве* 4Не + 4Не. у.

Распад 7Ве в такой последовательности представляет особый интерес, так как анализ экспериментальных данных приводит к парадоксальному результату: выход нейтрино при захвате электронов ядрами 7Ве должен быть сильно подавлен или даже отрицателен [6, 7].

Для разрешения упомянутого выше парадокса необходимо проанализировать все возможные каналы уничтожения ядер 7Ве, в частности сечение образования 8 В в результате захвата протонов ядром 7Ве при низких 20 кэВ) энергиях, соответствующих гамов-скому окну. Экспериментальные данные из-за большого кулоновского барьера между ядрами имеются только для более высоких энергий.

120 кэВ) [8], и в дальнейшем их приходится экстраполировать в область низких энергий, что может привести к значительной ошибке. Теоретическое исследование энергетической зависимости сечения процесса 7Ве (р, 7)8 В было впервые проведено в работах [9, 10], где был произведен расчет Е1 перехода только с б-волновым входным каналом. Позднее были проведены более сложные микроскопические расчеты, в частности, основанный на методе генератора координаты трех-кластерный расчет [11] и работы [12, 13, 16], где решалась восьми нуклонная задача в рамках метода резонирующих групп.

В последние годы большое внимание было посвящено точному учету влияния эффектов электронного экранирования на протекание ядерных реакций в звездной плазме (смотри [14, 15, 16, 17]). Обычно такие эффекты рассматриваются в приближении электростатического экранирования. Это приближение как в классической, так и в квантовой реализации адекватно описывает плазму с большими скоростями сталкивающихся ядер, когда электронная плотность в процессе соударения остается постоянной. Было показано [17, 18], что общепринятая теория Дебая-Хьюкеля не может быть применена для вычисления экранировок в не очень плотных звездах, таких, например, как Солнце. Это стимулировало появление ряда работ [19, 20, 21, 22, 23], где проводится квантовомеханический расчет эффекта электронного экранирования и его влияния на скорость ядерных реакций в условиях солнечной плазмы. Например, в [20] показано, что наличие связанного на ядре 7Ве электрона увеличивает скорость реакции 7Ве (р, т)8 В на 10%.

В главе 1 впервые рассмотрена реакция безрадиационного захвата протона ядром 7Ве, когда в начальном состоянии находится три частицы: электрон, протон и ядро 7Ве. В таком подходе, в отличие от стандартной модели, рассматриваются реакции, где начальное состояние может представлять собой не только две (бинарные реакции), но и три частицы (трехчастичные реакции) в непрерывном спектре. Между этими двумя подходами существуют по крайне мере два существенных отличия, которые условно можно классифицировать как кинематические и динамические. Первое представляет собой разницу в правилах отбора в двойных и тройных реакциях, второе вытекает из взаимозависимости различных ядерных процессов. Так некоторые бинарные ядерные реакции, запрещенные законами сохранения (спин, изоспин, четность .), возможно смогут протекать при наличии третьей частицы, также участвующей в законах сохранения. Таким образом, трехчастичный механизм может снимать кинематические ограничения на отдельные бинарные реакции и играть существенную роль в ядерных процессах внутри звезд, где плотность вещества достаточно велика. Динамика трехчастичного движения тоже может привести к иной физический картине: процессы, рассматриваемые как независимые в двухчастичном подходе, могут стать зависимыми при включении трехчастичной динамики. Например, процессы е~ + 7Ве и р + 7Ве в этом случае станут зависеть друг от друга, поскольку они могут начинаться из одного начального состояния е~ + р + 7Ве.

В главе 1 рассмотрен ряд реакций с ядром 7Ве, которые не входят в стандартный рр-цикл. Проведен анализ влияния таких реакций на эволюцию ядра 7Ве в солнечной плазме и обсуждена их роль в интерпретации экспериментальных данных по солнечным нейтрино. В качестве примера в адиабатическом приближении рассмотрен процесс безрадиационного производства ядер 8 В в тройной реакции р + е~ + 7Ве -4 8В+е. В центре Солнца скорость такой реакции составляет 10~4 от аналогичного бинарного процесса р + 7Ве —У 8 В + 7.

В разделе 1.1 качественно исследована роль реакций тройного типа, в разделе 1.2 дано описание использованного формализма. Разделы 1.3 и 1.4 содержат вывод вспомогательных величин для вычисления скорости реакции. Результаты и их обсуждение отнесены к разделу 1.5. Некоторые детали относительно вывода скорости реакции даны в приложении А.

В главе 2 проведено вычисление Оже распада антипротонного атома гелия Нере, который представляет собой обычный атом гелия, где один из электронов заменен на антипротон. В последние годы к его изучению обращено большое внимание как теоретиков, так и экспериментаторов, поскольку он является первой и единственной малотельной системой атомного масштаба, содержащей антипротон [24, 25]. Существование системы такого типа (адронные атомы НеК~е, Не7ге) было качественно предсказано в шестидесятых [26], а первые расчеты этих систем были сделаны в работе [27]. Антипротонный гелий, обладающий черезвычайно большим угловым моментом, живет микросекунды, что гораздо больше обычного времени жизни антипротона в среде (около Ю-" 12 с).

Продолжительное время жизни антипротонного гелия объясняется следующими причинами. Большое значение полного углового момента ~ 30 сосредоточено в основном в угловом моменте между тяжелыми частицами, что является причиной центробежного барьера, который подавляет процессы аннигиляции. Экранирование антипротона электроном подавляет в свою очередь процессы девозбуждения за счет столкновений с окружающими атомами обычного гелия. Таким образом, основным каналом распада становится процесс испускания электрона, т. е. Оже переход.

Сравнивал спектры антипротонного гелия Нере и иона Hep, можно заметить, что для наиболее низких долгоживущих уровней Оже переход будет сильно подавлен в силу большой мулыпиполярности перехода До, т. е. углового момента вылетевшего электрона. Очевидно, что электрон должен унести по крайне мере разницу между полным угловым моментом L и наибольшем моментом энергетически разрешенного состояния иона остатка Hep.

Скорость Оже перехода существенным образом зависит от муль-типолярности перехода До, при увеличении До на единицу скорость перехода уменьшается на три порядка. Например, скорость Оже перехода уменьшается, начиная со значения 108 с-1 при Ао = 3 до 105 с-1 для Ао = 4. Эта оценка была получена еще в работе [27] и подтверждена расчетами [28, 29]. Так как радиационное время жизни антипротонного гелия составляет примерно 10~6 с [29, 30, 31], то его можно считать метастабильным в состояниях с Ао > 4. Таким образом, метастабильный антипротонный гелий испытывает серию радиационных дипольных переходов до тех пор, пока не достигнет уровня с Ао — 3, где возможен сравнительно быстрый Оже распад, после которого немедленно следует аннигиляция из-за очень короткого (порядка Ю-12 с) времени жизни иона Hep.

Описанная выше схема эволюции антипротонного гелия является общепринятой и подтверждена на эксперименте [32], в котором используется метод индуцированной лазером резонансной спектроскопии. В этом методе лазерный импульс с резонансной длинной волны индуцирует переход между уровнями со значительной разницей во времени жизни, в результате чего наблюдается резкий аннигиляцион-ный пик. Благодаря этому методу, получена детальная информация об уровнях, их временах жизни и заселенности.

Ввиду вышеизложенных аргументов ясно, что для правильного количественного описания процессов в антипротонном гелии необходим точный расчет скоростей Оже распада. Скорости радиационного распада вычислены достаточно точно в работах [29, 30, 31], они хорошо согласуются друг с другом и с последними экспериментальными данными [33], в то время как вычисление скоростей Оже перехода представляет собой более сложную задачу. Наиболее интересны распады из состояний с мультиполярностью перехода Ао = 3,4. Это объясняется тем, что каскад радиационных переходов в антипротонном гелии прерывается на состоянии с Ао = 3, а в состоянии с Ао = 4 Оже и радиационные переходы являются конкурирующими, особенно в случае 3Нере.

В главе 2 будет показано, что наибольший вклад в матричный элемент Оже перехода дают очень малые компоненты волновой функции. Именно поэтому в первых расчетах, где использовались сравнительно простые волновые функции, были получены только оценки для скорости Оже распада. Например, в самом первом расчете [27] вариационная волновая функция представляла собой произведение антипротонной волновой функции и я-волновой функции электрона. Уже в работе [28] была использована более сложная волновая функция, где были учтены слагаемые с разными угловыми моментами электрона и тяжелых частиц.

Исследование вкладов в матричный элемент перехода от малых компонент вариационной волновой функции было проведено в работах [29, 34, 35], где также были получены скорости Оже распада для некоторых состояний с мультиполярностью Ао = 3,4. Тот же самый метод совместно с теорией возмущений был использован в [35] при рассмотрении изтопической зависимости скоростей распада. Более совершенная вариационная волновая функция была использована в [36] для вычисления сходящихся скоростей распада ряда метастабильных состояний. Два типа вычислений представлены в [37]: в первом из них используется волновая функция из [36], а полученный результат сравнивается с расчетом проделанном по методу Борна-Оппенгеймера. Сходимость скорости Оже распада, расчитанной с волновой функцией из [36], сомнительна [37], так как подынтегральное выражение в матричном элементе перехода осциллирует. Результат полученный исходя из волновой функции вычисленно в приближении Борна-Оппенгеймера признан неудовлетворительным [37].

Следует отметить, что малые компоненты волновой функции, которые так необходимы для точного вычисления скорости Оже распада, не могут быть найдены прямым вариационным расчетом с достаточной точностью. При вычислении матричного элемента перехода, главный вклад в интеграл дают большие р, где волновая функция экспоненциально мала. К тому же вклады от разных компонент взаимно компенсируют друг друга, так как имеют противоположный знак [29, 34].

В главе 2 были вычислены скорости Оже распада для долгоживу-щих состояний антипротонного атома гелия 3'4Нере. Для определения волновой функции был использован метод, являющийся комбинацией вариационного подхода и метода связанных каналов, что позволило получить более точное описание малых компонент волновой функции, играющих решающую роль в определении скорости Оже перехода. Показано, что некоторые метастабильные состояния обладают энергией близкой к энергии, так называемых короткоживущих состояний, обладающих особенным строением волновой функции. Вычисление скоростей распада для таких метастабильных состояний требует учета эффекта смешивания волновых функций.

Основной формализм дан в разделе 2.1, вариационный метод описан в 2.2, раздел 2.3 содержит анализ вкладов в матричный элемент перехода от различных компонент волновой функции, метод связанных каналов и волновая функция конечного состояния рассмотрены в разделах 2.4 и 2.5 соответственно. Результаты численного расчета представлены в 2.6, результаты и их обсуждение отнесены к разделу 2.7. Формулы двухуровневой модели выделены в приложение В, а формулы для матричных элементов в приложение С.

Еще одной задачей, где достаточно простые физические соображения позволяют получить результат, является расчет трех дейтронной мюонной молекулы В^/л {Ы2е~ /?~). Целью работы является изучение возможности существования такой экзотической мюонной системы и ее основных свойств.

Физика двухатомных мюонных молекул, таких как ррц, ййц или сЙд имеет долгую и интересную историю, начиная с теоретического предсказания существования таких систем в сороковых годах [38] и их эксперементального обнаружения в пятидесятых [39]. Главной особенностью этих систем является их размер: ядра связанные мюо-ном находятся гораздо ближе друг к другу чем в электронных молекулах. Благодаря этому возникает возможность экспериментального наблюдения сильного взаимодействия между заряженными ядрами при очень низких энергиях (Е ~ эВ), что невозможно в лабораторных условиях в системах, где нет кулоновского экранирования мюоном. Рассматривался даже вопрос о практическом применении мюонных систем для промышленного производства энергии. Все это привело к появлению значительного количества экспериментальных и теоретических работ в области мюонного катализа, ссылки на которые можно найти в обзорах [40, 41].

К сожалению, все попытки практического использования мюонного катализа, даже в наиболее перспективном <Иц случае, не привели к успеху. Выделенное отношение к сИц объясняется наличием околопорогового ядерного резонанса в 5Не (3/2+), влияние которого увеличивает сечение ядерной реакции.

К5 Не (3/2+)/х —И Не + у. + п (0.0.1) на четыре порядка по сравнению с другими мюонными молекулами, где такого резонанса нет [39]. Теоретическое обоснование влияния околопороговых резонансов на скорость ядерных реакций было дано в [42].

Резонансы, аналогичные 5Не (3/2+) для сйд, были обнаружены в других мезосистемах, так называемых зарядовонесимметричных ме-зомолекулах, ¿-3Не// и с16Ьщ [43, 44, 45, 46]. Несмотря на то, что такие системы являются нестабильными относительно электромагнитных переходов, наличие пороговых резонансов в образующих их ядрах, увеличивает вероятность на обнаружение протекающих в них реакций ядерного синтеза.

В главе 3 впервые проведено исследование аналогичной трехатомной мюонной системы, а именно молекулы (Зб?2е~ цГ = Б3? л). Как видно из спектра ядра 6£г, имеются два резонанса с энергиями близкими к порогу развала на Зс? Е^ = 25.32 МэВ. Это указывает на возможное усиление трехчастичной ядерной реакции в Бз/х.

Ыц—>61л*(3~, 0) + //, (0.0.2) в силу наличия резонанса (77Г, Т) = (3~~, 0) Следует отметить, что молекула Бз и ее положительный ион Б3 стабильны и имеют известный спектр [48]. Ион Б3 может быть получен в результате реакции.

Б2 + Б^ —у Б3″ + Б (0.0.3) с большой вероятностью образования порядка, А ~ 109 см-3 с-1. Таким образом, его достаточно просто получить в лабораторных условиях [49]. Отметим, что водородный аналог Н3″ иона дейтерия Б3″, открытый еще в начале века Томпсоном [50], играет важную роль в атмосфере Юпитера и, вообще, в астрохимии, где он производит активацию химически неактивной СО молекулы [51],.

Н+ + СО —Н2 + НСО+. (0.0.4).

Следовательно, можно ожидать, что достаточное число Бз// молекул может быть получено в результате образования Б3″ с последующим захватом.

В работе произведен расчет размеров и энергии основного состояния для трех-дейтонной мюонной молекулы Бзд. Оказалось, что эта молекула имеет два состояния равновесия: одно обладает размерами, характерными по порядку величины для мюонных систем, другое обычных электронных размеров. Было показано, что вероятность слияния дейтонов может значительно увеличиться из-за наличия порогового резонанса б1л*. Наши оценки показали, что эта вероятность значительно выше, чем скорость распада, вызванного Оже переходом.

В разделе 3.1, используя метод, сходный с методом Борна-Оппен-геймера, проведен расчет энергии и размеров молекулы Бз/х. Оценки для скорости ядерного перехода и, в частности, для фактора усиления вследствие промежуточного резонанса в 61л*, получены в разделе 3.2. Для сравнения скорости ядерной реакции со скоростью обычного атомного распада в разделе 3.3 дана оценка для вероятности Оже перехода. Обсуждение результатов отнесено к разделу 3.4. И, наконец, некоторые детали связанные с вычислением скорости Оже перехода приведены в приложении Б.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Борисовичу Беляеву за постановку задач, повседневную заботу и всегда вдохновляющие руководство. Автор искренне благодарит всех коллег по сектору малочастичных систем Лаборатории теоретической физики ОИЯИ за плодотворное сотрудничество и поддержку во время работы над диссертацией. Автор считает своим долгом выразить особую признательность своим родным и близким, без помощи которых, и не только моральной, работа над диссертацией не была бы завершена.

1. Л. Д. Фаддеев, Труды Матем. ин-та АН СССР 1 (1963) 69.

2. Л. Д. Фаддеев, С. П. Меркурьев, Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц, М.: Наука, 1985.

3. A. A. Kvitsinsky, С. Y. Ни, Few-Body Systems 12, 7 (1992).

4. A. A. Kvitsinsky, С. Y. Ни, J. S. Cohen, Hypr. Inter. 101/102, 337 (1996).

5. J. N. Bahcall, Neutrino Astrophysics, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

6. J. N. Bahcall, in Proc. 16th International Conference on Neutrino Physics and Astrophysics, Neutrino 94, ed. by A. Dar et al., (Eilat, Israel, 1994), p98.

7. S. Degl’Innocenti et al., in Proc. of the Workshop on Trends As-troparticle Physics, Stockholm, Sweeden 1994, p66.

8. B. W. Filippone, S. J. Elwyn, C. N. Davis and D. D. Koetke, Phys. Rev. Lett. 50, 412 (1983) — Phys. Rev. С 28 (1983).

9. R. F. Christy and I. Duck, Nucl. Phys. 24 89 (1961).

10. T. A. Tombrello, Nucl. Phys. 71 459 (1965).

11. P. Descouvemont and D. Baye, Nucl. Phys. A 487 420 (1988).

12. A. Csoto, K. Langanke, S. E. Koonin, T. D. Shoppa, Phys. Rev. С 52 1130 (1995).

13. A. Csoto Phys. Lett. В 394 247 (1997).

14. T.D. Shoppa, M. Jeng, S.E. Koonin, K. Langanke, R. Seki, Nucl. Phys. A 605 387 (1996).

15. T.D. Shoppa, S.E. Koonin, K. Langanke, R. Seki, Phys. Rev. C 48 837 (1993).

16. C.W. Johnson, E. Kolbe, S.E. Koonin, K. Langanke Ap. J. 392 320 (1992).

17. N. Shaviv, G. Shaviv, Ap. J. 468 433 (1996).

18. A. Dar, G. Shaviv, Ap. J. 468 933 (1996).

19. L. Bracci, G. Innocenti, V. S. Melezhik, G. Mezorani, P. Pasini, Phys. Lett. A 153 56 (1991).

20. V. B. Belyaev, D. E. Monakhov, D. V. Naumov, F. M. Penkov, Phys. Lett. A 247 241 (1998).

21. V. B. Belyaev, D. E. Monakhov, N. V. Shevchenko, S. A. Sofianos, S. A. Rakityansky, M. Braun, L. L. Howell, W. Sandhas, Nucl. Phys. A 631 720c (1998).

22. D. E. Monakhov, V. B. Belyaev, S. A. Sofianos, S. A. Rakityansky, W. Sandhas, Nucl. Phys. A 635 257 (1998).

23. S. A. Rakityansky, S. A. Sofianos, L. L. Howell, M. Braun and V. B. Belyaev, Nucl. Phys. A 613 132 (1997).

24. M. Iwasaki e.a., Phys. Rev. Lett. 67, 1246 (1991).

25. T. Yamazaki e.a., Nature 361, 238 (1993).

26. G. T. Condo, Phys. Lett. 9, 65 (1964).

27. J. E. Russell, Phys. Rev. A 1, 721- 735- 742 (1970).

28. N. Morita, K. Ohtsuki and T. Yamazaki, Nucl. Instr. Meth. A 330, 439 (1993) and K. Ohtsuki (private communication).

29. O. I. Kartavtsev, Phys. At. Nucl. 59, 1483 (1996).

30. I. Shimamura, Phys. Rev. A 46, 3776 (1992).

31. T. Yamazaki and K. Ohtsuki, Phys. Rev. A 45, 7782 (1992).

32. N. Morita e.a., Phys. Rev. Lett. 72, 1180 (1994).

33. M. Hori e.a., Phys. Rev. A 57, 1698 (1998).

34. S. I. Fedotov, О. I. Kartavtsev and D. E. Monakhov, Phys. At. Nucl. 59, 1662 (1996).

35. О. I. Kartavtsev, S. I. Fedotov and D. E. Monakhov, Hyp. Inter. 109, 125 (1997).

36. V. I. Korobov and I. Shimamura, Phys. Rev. A 56, 4587 (1997).

37. J. Revai and A. T. Kruppa, Phys. Rev. A 57, 174 (1998).

38. F. C. Frank, Nature 160 525 (1947).

39. W. H. Breunlich et al., Ann. Rev., Part. Sci. 39, 311 (1989).

40. C.C. Герштейн, Ю. В. Петров, Л. И. Пономарев УФН 160(8) 3 (1990).

41. С. И. Виницкий, Л. И. Пономарев, ЭЧАЯ 13(6) 1336 (1982).

42. V. В. Belyaev, А. К. Motovilov and W. Sandhas, Physics-Doklady 41, 514 (1996).

43. V. В. Belyaev, M. Decker, H. Fiedeldey, S. A. Rakityansky, W. Sand-has and S. A. Sofianos, Nucleonica 40, 3 (1995).

44. V. B. Belyaev, H. Fiedeldey and S. A. Sofianos, Phys. At. Nucl. 56, 893 (1993).

45. V. B. Belyaev, S. A. Rakityansky, H. Fiedeldey and S. A. Sofianos, Phys. Rev. A 50, 305 (1994).

46. V. В. Belyaev, А. К. Motovilov and W. Sandhas, J. Phys. G 22, 1111 (1996).

47. S. A. Alexander and H. J. Mankhorst, Phys. Rev. A 38, 26 (1988).

48. J. Tennyson, Rep. Progr. in Physics 58, 421 (1995).

49. T. Oka, Rev. Mod. Phys. 64, 1141 (1992).

50. J. J. Tompson, Phyl. Mag. 21, 209 (1912), Phyl. Mag. 21, 235 (1911).

51. S. Miller and J. Tennyson, Chemical Soc. Rev. 21, 281 (1992).

52. G. Garibotti and J. Б. Miraglia, Phys. Rev. A 21 572 (1980).

53. M. Brauner, J. S. Briggs and H. Klar, J. Phys. В 22 2265 (1989).

54. F. Ajzenberg-Selove, Nucl. Phys. A 413 (1984) 1.

55. M. L. Goldberger and К. M. Watson, Collision Theory, (John Wiley & Sons, New York, 1964).

56. L. L. Foldy, J. D. Walecka, Ann. Phys. (N. Y.), 54 447 (1969).

57. J. R. Taylor, Scattering Theory (John Wiley k, Sons, Inc., New York, 1972).

58. В. Б. Беляев, Лекции no теории малочастичных систем, М.: Энергоатомиздат, 1986.

59. G. R. Gaughlan and W. A. Fowler, Atomic Data and Nuclear Data tables, 40 (1988) 283.

60. Справочник no специалънм функциям, под ред. М. Абрамовиц и И. Стиган, Наука, Москва, 1979.

61. О. I. Kartavtsev, D. Б. Monakhov and S. I. Fedotov, to be published in Hyp. Inter. 118/119 (1999).

62. V. I. Korobov, Phys. Rev. A 54, R1749 (1996).

63. T. Yamazaki e.a., Phys. Rev. A 55, R3295 (1997).

64. D. E. Monakhov, V. B. Belyaev, S. A. Sofianos, W. Sandhas, Phys. Rev. A 58 2760 (1998).

65. D. E. Monakhov, V. B. Belyaev, S. A. Sofianos, W. Sandhas, to be published Hyp. Inter. 118/119 (1999).

66. F. Eisenberg-Selove Nucl. Phys. A413, 1 (1984).