Алгебраические группы матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования

" Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Курсовая работа

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

• Введение
• 1. Алгебраические группы матриц
• 1.1 Примеры алгебраических групп матриц
• 1.2 О полугруппах
• 1.3 Компоненты алгебраической группы
• 1.4 О -группах
• 2 Ранг матрицы
• 2.1 Возвращение к уравнениям
• 2.2 Ранг матрицы
• 2.3 Критерий совместности
• 3 Линейные отображения. Действия с матрицами
• 3.1 Матрицы и отображения
• 3.2 Произведение матриц
• 3.3 Квадратные матрицы
• Заключение
• Список использованных источников
• Введение
• Множество матрицой степени над будем рассматривать как аффинное пространство с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из, являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы — общая линейная группа. В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.
• Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в, диез — замыкание в, бемоль — взятие невырожденной части, т. е. — совокупность всех невырожденных матриц из. Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, — например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы — общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

— единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа, группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа (для определенности —- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из в алгебраической группе, нормализатор замкнутого множества из в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц из —- алгебраическая группа. Она обозначается и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из можно изоморфно —- в смысле умножения и полиномиальной топологии —- отождествить с замкнутой подгруппой из в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из, оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму на .

Пусть —- алгебра над конечной размерности (безразлично, ассоциативная или нет), —- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в какую-нибудь базу и сопоставляя автоморфизмам алгебры их матрицы в этой базе, мы получим на строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е. —- структурные константы алгебры. Пусть далее

где. Тогда задается в матричных координатах очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

1.1.1 Если матричная группа содержит алгебраическую подгруппу конечного индекса, то сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть — аннулятор группы в , — его корень в. Надо показать, что. Пусть, напротив,. Пусть — смежные классы по. Для каждого выберем многочлен

и положим

Очевидно,,. Получили противоречие.

Пусть —- алгебраическая группа,, —- подмножество и замкнутое подмножество из. Тогда множества

где, замкнуты. Если тоже замкнуто и —- общее поле квазиопределения для, ,, то, , квазиопределены над. В частности, если существует хотя бы одно с условием (соответственно, ,), то можно считать, что (см. 7.1.5).

Если на множестве выполняется теоретико-групповое тождество, то оно выполняется и на его замыкании. В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из на рациональные функции из, , полагая

Для каждого отображение (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля. Отображение есть изоморфизм полной линейной группы в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из являются группами. Более общно: замыкание произвольной полугруппы —- группа. Более точно: если —- аннулятор в , то совпадает с

Здесь вместо можно написать .

Доказательство. Во-первых, и, значит,. Действительно, если, и, то, т. е.. Подпространство многочленов из степени отображается оператором на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё отображается на себя, как объединение всех .

Во-вторых,, т. е. для каждого. Действительно, пусть. По уже доказанному,. Найдём с условием. Тогда .

В-третьих,, т. е. для всех,. Действительно,. Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

1.2.2 Пусть алгебраическая группа неприводима, т. е. —- многообразие, —- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент является произведением двух элементов из ; в частности, если —- подгруппа, то она совпадает с .

Доказательство. Множества и тоже густые и плотные, поэтому пересечение непусто (см. п. 8.2).

Если —- полугруппа из, то .

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть —- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия называеются компонентами группы. наличие в групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть —- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты —- смежные классы по (в частности, они являются связными компонентами группы в полиномиальной топологии). —- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор компоненты связан с аннулятором всей группы следующим образом:

для некоторого , зависящего от

где —- аннулятор единицы в , —- некоторый многочлен из .

Доказательство. а) Пусть —- общее поле определения всех компонент группы. Пусть, содержат единицу, , —- их независимые общие точки над и,. Имеем специализации

над, откуда, ,. Этим доказана единственность компоненты .

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства. Так как инвариантна относительно них, то —- нормальная подгруппа группы .

в) Пусть. Тогда при фиксированном —- снова все компоненты группы. В частности,,. Этим доказано, что —- смежные классы по и, значит, связные компоненты группы .

г) Если —- связная замкнутая подгруппа группы, то, предыдущему,. Если, кроме того, конечного индекса, то она той же размерности, что и, потому совпадает с .

д) Для каждого возьмем многочлен

Пусть —- точка из, в которой. Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно,. Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала). Остается доказать включение

Пусть,. Имеем:

Если, то, если же, , то. В любом случае. Следовательно,. Теорема доказана.

Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии —- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).

Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.

Подгруппа алгебраической группы тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .

<<�Только тогда>> очевидно. <<�Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что

Конечная нормальная подгруппа связной алгебраической группы всегда лежит в центре .

В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел, то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии —- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматриватьпорцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

1.4. Огруппах

Пусть — поле. По определению, алгебраическая -группа —- это группа матриц из, выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в. Иначе можно сказать, что этопорция, т. е. пересечение с, некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над. Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать какгруппы по отношению к некоторой большей универсальной области. В этом смысле понятие алгебраическойгруппы является более общим, так как от не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.

В свойствах алгебраических групп игрупп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым —- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом жегруппы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.

Многие результаты огруппах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в) и опираются на сведения из алгебраической геометрии длямножеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в уравнениями с коэффициентами из).

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

В арифметическом линейном пространстве столбцов высоты рассмотрим векторов

и их линейную оболочку. Пусть дан еще один вектор. Спрашивается, принадлежит ли подпространству, а если принадлежит, то каким образом его координаты выражаются через координаты векторов. В случае вторая часть вопроса относится к значениям координат вектора в базисе. Мы берем линейную комбинацию векторов с произвольными коэффициентами и составляем уравнение. Наглядный вид этого уравнения

есть лишь иная запись системы из линейных уравнений с неизвестными:

Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.

В этом месте удобно условиться в обозначениях. В дальнейшем для сокращения записи мы часто будем обозначать сумму значком. При этом —- величины произвольной природы (числа, векторы-строки и т. д.), для которых выполнены все законы сложения чисел или векторов. Правила

достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,

в которых порядок суммирования (по первому и по второму индексу) можно выбирать по своему желанию. Это легко понять, если расположить величины в прямоугольную матрицу размера: в нашей воле начинать суммирование элементов матрицы по строкам или по столбцам.

Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.

2.2 Ранг матрицы

Назовем пространством столбцов прямоугольной матрицы размера введенное выше пространство, которое мы будем обозначать теперь символом или просто (в —- вертикальный). Его размерность назовем рангом по столбцам матрицы. Аналогично вводится ранг по строкам матрицы: , где —- подпространство в, натянутое на векторы-строки, (г —- горизонтальный). Другими словами,

— ранги систем векторов-столбцов и соответственно векторов-строк. По теореме о существовании конечного базиса у подпространства величины и определены правильно.

Будем говорить, что матрица получена из при помощи элементарного преобразования типа (I), если для какой-то пары индексов и для. Если же для всех и, , то говорим, что к применено элементарное преобразование типа (II).

Заметим, что элементарные преобразования обоих типов обратимы, т. е. матрица, получающаяся из при помощи одного элементарного преобразования, переходит снова в путем применения одного элементарного преобразования, причем того же типа.

2.2.1 Лемма. Если матрица получена из прямоугольной матрицы путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то имеют место равенства:

(i)

(ii)

Доказательство. Достаточно рассмотреть тот случай, когда получена из путем применения одного элементарного преобразования (сокращенно э. п.).

(i) Так как, очевидно,, то э. п. типа (I) не меняет. Далее, и, следовательно,, так что не меняется и при э. п. типа (II).

(ii) Пусть —- столбцы матрицы. Нам нужно доказать, что

Тогда всякой, в том числе и максимальной, независимой системе столбцов одной матрицы будет отвечать независимая система столбцов с теми же номерами другой матрицы, чем и устанавливается равенство. Заметим еще, что в силу обратимости элементарных преобразований достаточно доказать импликацию в одну сторону. Пусть, например,. Тогда, заменяя в (1) на и все на 0, мы видим, что —- решение однородной системы ОС, ассоциированной с линейной системой (2). По соответствующей теореме это решение будет также решением однородной системы, получающейся из ОС при помощи э. п. типа (I) или (II) и имеющей своей матрицей как раз матрицу. Так как система кратко записывается в виде, то мы приходим к соотношению

Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:

2.2.2 Теорема. Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).

Доказательство. Т. к. конечным числом элементарных преобразований, совершаемых над строками, матрицу можно привести к ступенчатому виду:

с. Согласно лемме так что нам достаточно доказать равенство .

Столбцы матриц и с номерами, отвечающими главным неизвестным линейной системы (2), будем называть базисными столбцами. Эта терминология вполне оправдана. Предположив наличие соотношения

связывающего векторы-столбцы, , матрицы (3), получим последовательно:, ,, ,, а так как, то. Значит, и. Но пространство, порожденное столбцами матрицы, отождествляется с пространством столбцов матрицы, которая получается из удалением последних нулевых строк. Поэтому. Сопоставление двух неравенств показывает, что (неравенство вытекает также из того очевидного соображения, что все столбцы матрицы являются линейными комбинациями базисных; проделайте это самостоятельно в качестве упражнения).

С другой стороны, все ненулевые строки матрицы линейно независимы: любое гипотетическое соотношение

как и в случае со столбцами, дает последовательно, ,,. Откуда. Стало быть,

2.3 Критерий совместности

Ступенчатый вид матрицы, дающий ответ на ряд вопросов относительно линейных систем, содержит элементы произвола, связанные, например, с выбором базисных столбцов или, что эквивалентно, с выбором главных неизвестных системы (2). В то же время из теоремы 1 и из ее доказательства извлекается Следствие. Число главных неизвестных, линейной системы (2) не зависит от способа приведения ее к ступенчатому виду и равно , где —- матрица системы.

Действительно, мы видели, что число главных неизвестных равно числу ненулевых строк матрицы (см. (3)), совпадающему, как мы видели, с рангом матрицы. Ранг определялся нами совершенно инвариантным образом. Этими словами выражается тот факт, что ранг матрицы служит ее внутренней характеристикой, не зависящей от каких-либо привходящих обстоятельств.

В следующей главе мы получим эффективное средство для вычисления ранга матрицы, устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду. Это, несомненно, повысит ценность утверждений, основанных на понятии ранга. В качестве простого, но полезного примера сформулируем критерий разрешимости линейной системы.

2.3.3 Теорема. (Кронекер — Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы

Доказательство. Совместность линейной системы (2), записанной в виде (1), можно трактовать как вопрос о представлении вектора-столбца свободных членов в виде линейной комбинации векторов-столбцов матрицы. Если такое представление возможно (т. е. система (2) совместна), то и, откуда (см. формулировку теоремы 1).

Обратно, если ранги матриц и совпадают и —- какая-то максимальная линейно независимая система базисных столбцов матрицы, то расширенная система будет линейно зависимой, а это означает, что —- линейная комбинация базисных (и тем более всех) столбцов. Стало быть, система (2) совместна.

3. Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

Пусть и —- арифметические линейные пространства столбцов высоты и соответственно. Пусть, далее, —- матрица размера. Определим отображение, полагая для любого

где —- столбцы матрицы. Так как они имеют высоту, то в правой части (1) стоит вектор-столбец. Более подробно (1) переписывается в виде

Если ,

то .

Аналогично .

Обратно, предположим, что —- отображение множеств, обладающее следующими двумя свойствами:

(i) для всех ;

(ii) для всех .

Тогда, обозначив стандартные базисные столбцы пространств и соответственно символами и, мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в применении к произвольному вектору

:

Соотношение (2) показывает, что отображение полностью определяется своими значениями на базисных векторах-столбцах. Положив

мы обнаруживаем, что задание равносильно заданию прямоугольной матрицы размера со столбцами, а соотношения (1) и (2) фактически совпадают. Стало быть, можно положить .

3.1.1. Определение. Отображение, обладающее свойствами (i), (ii), называется линейным отображением из в. Часто, в особенности при, говорят о линейном преобразовании. Матрица называется матрицей линейного отображения .

Пусть, —- два линейных отображения с матрицами и. Тогда равенство равносильно совпадению значений для всех. В частности,, откуда и .

Резюмируем наши результаты:

3.1.2 Теорема. Между линейными отображениями в и матрицами размера существует взаимно однозначное соответствие.

Следует подчеркнуть, что бессмысленно говорить о линейных отображениях произвольных множеств и. Условия (i), (ii) предполагают, что и —- подпространства арифметических линейных пространств, .

Обратим внимание на специальный случай, когда линейное отображение, обычно называемое линейной функцией от переменных, задается скалярами :

Линейные функции (4), равно как и произвольные линейные отображения при фиксированных и можно складывать и умножать на скаляры. В самом деле, пусть —- два линейных отображения. Отображение

определяется своими значениями:

В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.

Так как-то — линейное отображение. По теореме 1 можно говорить о его матрице. Чтобы найти, выпишем, следуя (3), столбец с номером :

Матрицу с элементами естественно назвать линейной комбинацией матриц и с коэффициентами и :

Итак, .

Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.

3.2 Произведение матриц

Соотношения (5) и (6) выражают согласованность действий сложения и умножения на скаляры в множествах матриц размера и отображений. В случае произвольных множеств имеется еще важное понятие произведения (композиции) отображений. Разумно ожидать, что композиция двух линейных отображений должна выражаться неким согласованным образом в терминах матриц. Посмотрим как это делается.

Пусть, —- линейные отображения, —- их композиция.

Вообще говоря, нам следовало бы предварительно проверить, что —- линейное отображение, но это довольно ясно:

(i) ;

(ii) ;

поэтому по теореме 1 с ассоциируется вполне определенная матрица .

Действие отображений на столбцы в цепочке запишем в явном виде по формуле ():

С другой стороны,

Сравнивая полученные выражения и памятуя о том, что —- произвольные вещественные числа, мы приходим к соотношениям

Будем говорить, что матрица получается в результате умножения матрицы на матрицу. Принято писать. Таким образом, произведением прямоугольной матрицы размера и прямоугольной матрицы размера называется прямоугольная матрица размера с элементами, задающимися соотношением (7). Нами доказана

3.2.1 Теорема. Произведение двух линейных отображений с матрицами и является линейным отображением с матрицей . Другими словами,

Соотношение (8) — естественное дополнение к соотношению (6).

Мы можем забыть о линейных отображениях и находить произведение двух произвольных матриц, , имея в виду, однако, что символ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов в матрице совпадает с числом строк в матрице. Именно при этом условии работает правило (7) «умноженияй строки най столбец «, согласно которому

Число строк, матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов —- числу столбцов матрицы . В частности, произведение квадратных матриц одинаковых порядков всегда определено, но даже в этом случае, вообще говоря,, как показывает хотя бы следующий пример:

Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.

Следствие. Умножение матриц ассоциативно:

Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).

3.3 Квадратные матрицы

Пусть (или) —- множество всех квадратных матриц () порядка с вещественными коэффициентами ,

Единичному преобразованию, переводящему каждый столбец в себя, соответствует, очевидно, единичная матрица

Можно записать, где

— символ Кронекера. Правило (7) умножения матриц, в котором следует заменить на, показывает, что справедливы соотношения

Матричные соотношения (10), полученные вычислительным путем, вытекают, конечно, из соотношений для произвольного отображения, если воспользоваться теоремой 1 и равенством (8) с .

Как мы знаем (см. (5)), матрицы из можно умножать на числа, понимая под, где, матрицу .

Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:

— известная нам скалярная матрица.

В равенстве (11) отражен легко проверяемый факт перестановочности с любой матрицей. Весьма важным для приложений является следующее его обращение.

3.3.1 Теорема. Матрица из , перестановочная со всеми матрицами в , должна быть скалярной.

Доказательство. Введем матрицу, в которой на пересечениий строки иго столбца стоит 1, а все остальные элементы —- нулевые. Если —- матрица, о которой идет речь в теореме, то она перестановочна,

Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы

с единственным ненулевымм столбцом и соответственно с единственной ненулевойй строкой. Их сравнение немедленно приводит к соотношениям при и. Меняя и, получаем требуемое.

Отметим еще соотношения, которые непосредственно вытекают из определения умножения матриц на скаляры или, если угодно, из соотношений (11) и из ассоциативности умножения матриц.

Для данной матрицы можно попробовать найти такую матрицу, чтобы выполнялось условие

Если матрица существует, то условию (12) в терминах линейных преобразований отвечает условие

означающее, что —- преобразование, обратное к. существует тогда и только тогда, когда —- биективное преобразование. При этом определено однозначно. Так как, то биективность означает, в частности, что

Пусть теперь —- какое-то биективное линейное преобразование из в. Обратное к нему преобразование существует, но, вообще говоря, не ясно, является ли оно линейным. Чтобы убедиться в линейности, мы введем векторы-столбцы

и применим к обеим частям этих равенств преобразование. В силу его линейности получим

Так как, то

откуда, в соответствии с импликацией (13), находим, что, —- нулевые векторы. Таким образом, выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие линейные отображения. Имеем, где —- некоторая матрица. Переписав условие () в виде (см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой 1, мы придем к равенствам (12).

Итак, матрица, обратная к , существует в точности тогда, когда преобразование биективно. При этом преобразование линейно. Биективность равносильна условию, что любой вектор-столбец записывается единственным образом в виде (1)

где —- столбцы матрицы (сюръективность приводит к существованию, для которого, а инъективность дает единственность: если, то, откуда, согласно (12),). Значит, совпадает с пространством столбцов матрицы, так что .

Если матрица, обратная к, существует, то, согласно вышесказанному, она единственна. Ее принято обозначать символом. В таком случае (см. ())

Квадратную матрицу, для которой существует обратная матрица, называют невырожденной (или неособенной). Невырожденным называют и соответствующее линейное преобразование. В противном случае матрицу и линейное преобразование называют вырожденными (или особенными).

Резюмируем полученные нами результаты.

3.3.2 Теорема. Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14).

Следствие. Невырожденность влечет невырожденность и . Если —- невырожденные —- матрицы, то произведение также невырождено и .

Для доказательства достаточно сослаться на симметричность условия .

Нами получено довольно много правил действий с квадратными матрицами порядка. Имеются в виду, ассоциативность (следствие теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще внимание на так называемые законы дистрибутивности:

где, , —- произвольные матрицы из .

Действительно, полагая, мы получим для любых равенство (используется дистрибутивность в):

левая часть которого дает элемент матрицы, а правая —- элементы и матриц и соответственно. Второй закон дистрибутивности (16) проверяется совершенно аналогично. Необходимость в нем обусловлена некоммутативностью умножения в. Законы дистрибутивности

для линейных отображений, , из в можно не доказывать, ссылаясь на соответствие между отображениями и матрицами, но можно, в свою очередь, выводить (16) из (), поскольку в случае отображений, рассуждение столь же просто.

Заключение

Таким образом, в данной курсовой работе мы доказали, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса. В работе была доказана теорема: Для любой прямоугольной -матрицы справедливо равенство (это число называется просто рангом матрицы и обозначается символом ).А также было получено эффективное средство для вычисления ранга матрицы, устраняющее необходимость приведения к ступенчатому виду, доказана теорема: Квадратная матрица порядка является невырожденной тогда и только тогда, когда ее ранг равен . Преобразование , обратное к , линейно и задается равенством (14) и следствие этой теоремы: невырожденность влечет невырожденность и . Если —- невырожденные —- матрицы, то произведение также невырождено и .

Список использованных источников

1. Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 256с.

2. Русаков С. А., Алгебраическиеарные системы. Минск, 1987. — 120с.

3. Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.—351с.

4. Ходалевич А. Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144−152

5. Mонaxов В. С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 — 100.