Магнитный и электродинамический отклик неплоских наноструктур

Двадцать лет назад низкоразмерные наносистемы открыли новую область исследований в физике твердого тела. Современная технология производства позволяет создать структуры субмикронных размеров, содержащих 102 — 109 электронов и проявляющие металлические, полупроводниковые или даже диэлектрические свойства. Такие системы нельзя описывать обычными средствами квантовой механики нескольких частиц: хотя уравнение Шредингера для полной многочастичной волновой функции и может быть написано, из него сложно получить информацию, поскольку его трудно решить даже численно. С другой стороны, мощные методы статистической механики также мало полезны для таких систем, поскольку флуктуации макроскопических величин могут быть сравнимы с их средними значениями. Область физики конденсированного состояния, исследующая такие объекты, получила название квантовой мезоскопики. Другими словами, квантовая мезоскопика работает с системами, которые достаточно велики по сравнению с атомами и большинством молекул, но все еще слишком малы, чтобы пренебрегать специфическими квантовыми свойствами каждого из электронов. Интерес к мезоскопическим системам постоянно возрастает. Внимание к этим структурам обусловлено уникальными свойствами ряда низкоразмерных систем. Совсем недавно, в мезоскопических системах были открыты замечательные физические эффекты, имеющие фундаментальное значение: целый [1] и дробный [2] квантовый эффект Холла, эффект Ааронова — Бома в квантовых кольцах [3], квантование кондактанса в квантовых проволоках [4]. Помимо чисто академического интереса, такие системы представляют весьма значительный интерес с точки зрения практического использования мезоско-$ пических структур. Совершенно очевидно, что эти структуры обладают целым рядом неоспоримых преимуществ перед современными электронными устройствами: компактность, энергосбережение, быстродействие и т. д. Следствие существования возрастания плотности электронных состояний при уменьшении размерности электронного газа обуславливает принципиальное преимущество применения квантово-размерных мезо-скопических структур для лазеров [5]. Одними из наиболее интересных приложений мезоскопики в будущем являются квантовые вычисления и квантовые компьютеры. Сейчас интенсивно ведутся разработки альтернативных концепций устройств квантового компьютера [6].

Например, одноэлектронный транзистор может применяться как & элемент памяти в виде нано-флэш памяти, то есть наноразмерный аналог обычного элемента флэш-памяти.

Магнитные элементы памяти могут использоваться в качестве устройств энергонезависимой памяти, которые применяются в электронике для ускорения загрузки персональных компьютеров. Основополагающий принцип заключается в том, что магнетизм является неотъемлемым свойством материала устройств памяти, и устройства имеют большие времена запоминания без необходимости затраты энергии для сохранения памяти. Особый интерес вызывают спиновые устройства памяти, работающие на принципе туннельного соединения. Отметим, что записывающие головки, основанные на туннельном соединении, представляют собой уже существующие разработки.

Диоды, основанные на резонансном туннелировании, нашли различные применения, такие как аналого-цифровые преобразователи с частотой 10−100 ГГц, генераторы квантовых импульсов (для часовых устройств), сдвиговые регистры и элементы памяти со сверхнизким потреблением энергии.

Быстрые логические устройства, работающие на основе квантования потока магнитного поля, могут использоваться в технологии цифровых сверхпроводящих электронных схем. Эта технология позволяет достигнуть гигагерцового предела для микроэлементов. Таким образом, такие устройства могут найти свое применение в области микроэлектроники, где обычные кремниевые устройства (из-за ограниченности литографической технологии) не дают сравнимых частот, и где применение криогенной техники будет оправдано. Другим применением этих устройств является высокоскоростные аналого-цифровые преобразователи.

Ключевой проблемой нанотехнологии является прецизионное нано-структурирование материалов. Для создания квантовых приборов электроники будущего необходимо не только научиться создавать элементы с характерными нанометровыми размерами, но и добиться атомной гладкости поверхности элементов и прецизионности в воспроизведении всех размеров. Природа дает нам пример выполнения этих требований при самоформировании молекул и молекулоподобных объектов типа углеродных трубок. В твердотельной технологии известен ряд методов получения структур с наперед заданными свойствами. Самыми распространенными и наиболее эффективными технологиями являются молекулярно-лучевая эпитаксия, оптическая и электронно-лучевая литография. В последнее время, благодаря прогрессу в технологии, стало возможным получение искривленных двумерных слоев [7−9] и нанообъектов различной формы [10]. Суть предложенного в этих работах метода заключается в следующем. При помощи молекулярно лучевой эпитаксии выращивается однородная по площади гетероструктура, толщина слоев которой задается с точностью до атомного монослоя. При отсоединении ультратонких напряженных слоев от подложки пленка приобретает в зависимости от граничных условий новую равновесную форму с минимумом упругой энергии пленки. Эта оригинальная технология позволяет получать нанотрубки, квантовые рулоны, кольца и спирали с контролируемыми формами и размерами.

Интерес к экспериментальным [11,12] и теоретическим [13−22] исследованиям искривленных наноструктур резко возрос в последнее время. Это обусловлено двумя основными причинами. Во-первых, создание нано-объектов с идеальными прогнозируемыми формами является очень трудной технологической задачей. Поэтому исследование влияния отклонений от идеальной формы наноструктур на их различные физические свойства является актуальным. Во-вторых, наноструктуры с нетривиальной кривизной обладают необычными спектральными, магнитными, транспортными и оптическими свойствами. Таким образом, предполагается возможным применение этих систем в электронных устройствах нового поколения.

В связи с вышесказанным, тема диссертационного исследования представляется весьма актуальной.

Необходимо отметить, что теоретическое исследование магнитных и электродинамических свойств наноструктур является сложной проблемой, особенно, если система обладает нетривиальной кривизной. Влияние кривизны поверхности на физические свойства наноструктур является относительно малоизученным, а большинство теоретических исследований в этой области, как правило, ограничиваются лишь слегка модифицированными стартовыми выражениями, а далее применяются численные методы. Тем не менее, из-за ограниченности численных расчетов, число электронов рассматриваемое в этих численных исследованиях мало и такие методы исследования не могут применяться для изучения наноструктур, содержащих сотни или тысячи электронов. Кроме того, численные методы не всегда позволяют выявить физическую природу различных явлений, а также проанализировать их особенности.

В связи с этим возникает задача диссертационного исследования: подобрать подходящие модели для описания геометрического и потенциального конфайнмента в наноструктурахполучить аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного и электродинамического отклика электронной системыпроанализировать эффекты, возникающие в магнитном и электродинамическом откликеисследовать зависимость магнитного и электродинамического отклика от величины магнитного поля, температуры и изучить влияние поверхностной кривизны на физические свойства наноструктуррассмотреть различные способы описания термодинамических систем (изолированные системы и находящиеся в контакте с термостатом) и исследовать влияние способа описания термодинамики системы на магнитный и электродинамический отклик неплоских наноструктурполучить необходимые для сравнения с экспериментом параметры кривых, описывающих отклик наноструктур (температурная зависимость, положение и амплитуда скачков и осцилляций, высота и ширина ступеней квантования холловской проводимости).

Начиная исследование с наноструктур, конфайнмент в которых является чисто геометрическим (наносфера, квантовый эллипсоид вращения, поверхность постоянной отрицательной кривизны), в диссертации делается переход к более сложным структурам (двумерное квантовое кольцо и квантовая точка на поверхности постоянной отрицательной кривизны), имеющим смешанный геометрический и потенциальный конфайнмент. Исследовались случаи, когда рассматриваемые системы помещались в магнитное поле, которое может изменять электронный конфайнмент и, следовательно, изменять физические свойства наноструктур.

Во всех разделах для описания электронных состояний в наноструктурах используется модель независимых бесспиновых электронов в приближении эффективной массы. В диссертационной работе основной задачей является исследование влияния кривизны поверхности на магнитный и электродинамический отклик наноструктур. Поэтому в работе не исследуются многочастичные и спиновые эффекты. В пределе малых магнитных полей модель бесспиновых независимых электронов является хорошим приближением для изучения свойств реальных квантовых структур. В этом пределе электрон-электронное взаимодействие приводит только к сдвигу общей энергии электронов [23], что практически не сказывается на поведении магнитного и электродинамического отклика. Зеемановское расщепление уровней в этом пределе мало и его тоже можно не учитывать.

В случае сильных магнитных полей электрон-электронное взаимодействие, и спиновые эффекты становятся существенными. Хотя предлагаемая модель в этой области изменения полей не может дать точных результатов, она может служить основой для изучения эффектов беспорядка и многочастичных эффектов. Более того, простая модель способствует пониманию некоторых эффектов и дает качественную картину поведения магнитного и электродинамического отклика рассматриваемых структур.

Для исследования степени несферичности сфероидальных наноструктур и влияния магнитного поля на электронный энергетический спектр, а также для изучения внутризонных оптических переходов, использовалась теория возмущений, позволяющая получить простые формулы удобные для анализа, а также хорошо описывающая поведение исследуемых структур.

Для изучения энергетического спектра квантовых колец и квантовых точек на поверхности постоянной отрицательной кривизны применялась стандартная теория спектрального анализа симметрических операторов [24]. Эта теория позволила найти аналитические формулы для энергетического спектра системы и нормированные волновые функции.

В диссертации для исследования магнитного отклика электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны использовался подход, предложенный Ландау и основанный на представлении магнитного момента в виде однократного ряда Фурье. Этот метод позволил получить простые формулы для магнитного отклика, что дало возможность детального аналитического исследования поведения магнитного момента от магнитного поля, температуры, химического потенциала и кривизны поверхности.

Для исследования холловской проводимости электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизны (плоскость Лобачевского) использовался метод Стреды [25], а для изучения незатухающих токов в двумерном квантовом кольце применялся подход, впервые предложенный Байерсом и Янгом [26]. Эти методы позволили получить удобные для анализа формулы и детально проанализировать исследуемые свойства систем.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими основными результатами теоретического исследования:

1. Впервые исследовано влияние несферичности наноструктуры на магнитный момент. Показано, что спектральные и магнитные свойства сфероидальных наноструктур существенно зависят от соотношения между поправками в спектре, характеризующими степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Изучено поглощение электромагнитного излучения двумерного электронного газа на наносфере. Установлен резонансный характер поглощения.

3. Доказано, что в случае низких температур на кривой поглощения электромагнитного излучения наносферой имеются скачки двух типов, обусловленные вырождением электронного газа.

4. Установлено, что кривизна поверхности приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней.

5. Впервые исследован магнитный отклик двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Установлено существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля. В сильных магнитных полях зависимость магнитного момента от поля является осцил-ляционной и не периодической по обратному полю, как в случае плоской поверхности.

6. Предложена модель квантового кольца и квантовой точки на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследован энергетический спектр, магнитный момент и незатухающие токи в квантовом кольце и квантовой точке на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Впервые изучено влияние кривизны поверхности на спектральные, магнитные и транспортные свойства рассматриваемых наноструктур. Установлена связь между магнитным моментом и незатухающим током в этих наноструктурах.

Рассчитанные эффекты резонансного поглощения электромагнитного излучения наносферой становятся доступными для экспериментального наблюдения и технологического применения по мере развития техники экспериментов по изучению оптических переходов электронов в нанооболочечных структурах и технологии получения этих наноструктур [27]. Последние достижения в области исследования сфероидальных наноструктур (см. [28,29]), подтверждают интерес к изучению магнитных и оптических свойств этих структур.

Результаты расчета магнитных и транспортных свойств исследуемых в работе наноструктур могут быть использованы как для экспериментальной проверки влияния кривизны поверхности на квантовый эффект Холла и магнитный момент, так и для изучения новых возможностей физики и технологии наноструктур [9]. Исследование электронных состояний в квантовом кольце и квантование холловской проводимости двумерного электронного газа на поверхности постоянной отрицательной кривизны становится предметом интереса экспериментаторов, о чем свидетельствуют, в частности, доклады, представленные на конференциях (см. [30−33]).

Основные результаты диссертации опубликованы в [28−43], а так же докладывались на 4-й и 5-й международных конференциях «Fullerenes and Atomic Clusters» (Санкт-Петербург, 1999 г. и 2001 г.), на международной зимней школе по физике полупроводников (Санкт-Петербург, 2003 г.), на IV всероссийской молодежной конференции по физике полупроводников и полупроводниковой оптои наноэлектронике (Санкт-Петербург,.

2002 г.), на международной конференции «Оптика, оптоэлектроника и технологии» (Ульяновск, 2001 г.), на двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2002 г.), на межрегиональной научной школе для студентов и аспирантов «Материалы нано-, микрои оптоэлектроники: физические свойства и применение» (Саранск, 2002 г.), на II международной научно-технической конференции «Проблемы и прикладные вопросы физики», (Саранск, 1999 г.), на научной конференции Мордовского государственного университета «Огаревские чтения» (Саранск, 1998 г.), а так же на семинаре по теории конденсированного состояния в университете города Базеля (Швейцария,.

2003 г.) и на семинаре кафедры теоретической физики Нижегородского государственного университета (2003 г.).

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Поведение энергетического спектра и магнитного момента сфероидальных наноструктур существенно зависит от соотношения между поправками в спектре, характеризующие степень несферичности системы и влияние магнитного поля на спектр наноструктуры.

2. Поглощение электромагнитного излучения наносферой носит резонансный характер, причем число резонансных пиков увеличивается с наложением однородного магнитного поля и существенно зависит от взаимной конфигурации вектора магнитного поля и волнового вектора фотона. При низких температурах в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков.

3. На резонансной кривой поглощения имеются скачки, обусловленные вырождением газа. Положение скачков на резонансной кривой в случае изолированной сферы может изменяться с увеличением температуры.

4. Однородное магнитное поле приводит к увеличению числа скачков на кривой поглощения. В случае низких температур на кривой поглощения имеются скачки двух типов. Положение скачков этих типов различным образом зависит от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

5. Кривизна поверхности двумерного электронного газа приводит к уменьшению ширины плато холловской проводимости и к изменению положений порогов ступеней холловской проводимости. Влияние кривизны поверхности на магнитный отклик двумерного электронного газа сводится к двум особенностям: существование области магнитных полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поля, а при увеличении поля появляется осцилляционная зависимость не периодичная по обратному полю.

6. Кривизна поверхности обуславливает уменьшение расстояния между максимумами осцилляций типа де Гааза — ван Альфена магнитного момента двумерного квантового кольца, а также уменьшение амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома. Кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухающего тока. Амплитуда и «период» осцилляций незатухающего тока в квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны меньше чем в случае плоской поверхности.

Личный вклад автора в работу заключается в участии в разработке методов и подходов исследования, в решении поставленных задач, а также в аналитическом исследовании полученных результатов. Численный анализ проведен автором самостоятельно.

В Главе 1 приводится обзор известных исследований по тематике диссертации. Описываются общепринятые методы и подходы исследований. Формулируются задачи диссертационного исследования.

Глава 2 посвящена изучению энергетического спектра и магнитных свойств сфероидальных наноструктур. Получены аналитические формулы ч^ для спектра и магнитного момента сфероидальных наноструктур в слабом магнитном поле, позволяющие провести анализ зависимости спектра и магнитного момента наноструктуры от величины и направления магнитного поля, геометрических параметров системы. Подробно рассмотрены различные случаи соотношения деформационной и магнитной поправки к спектру.

В Главе 3 изучено поглощение электромагнитного излучения на-носферой как в присутствии магнитного поля так и без него. Детально исследованы положение, форма, число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Рассмотрены как случай изолированной сферы, так и случай сферы, находящейся в термостате. Изучены ^ скачки на кривой поглощения, обусловленные вырождение электронного газа.

Глава 4 посвящена исследованию плотности электронных состояний, квантового эффекта Холла и магнитного момента двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны (плоскость Лобачевского) в магнитном поле. Подробно изучены зависимости холловской проводимости и магнитного момента от магнитного поля, энергии Ферми, температуры и кривизны поверхности. Исследовано квантование холловской проводимости, монотонная и осциллирующая зависимости магнитного момента от магнитного .

В Главе 5 получены явные, аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов для электронов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследованы зависимости этих характеристик от магнитного поля, температуры, геометрических параметров кольца и кривизны поверхности. Рассмотрены предельные случаи модели: одномерное кольцо и квантовая точка. Исследованы зависимости амплитуд и периодов осцилляций магнитного момента от магнитного поля, температуры и кривизны поверхности. Изучено соотношение между магнитным моментом и незатухающем током в кольце.

Автор выражает свою глубокую благодарность научному руководителю В. А. Маргулису за неоценимую помощь при подготовке диссертации, соавторам работ: В. А. Гейлеру и О. Г. Кострову, а также коллегам А. В. Шорохову и Н. Г. Галкину за помощь в работе.

Обозначения.

А — векторный потенциал электромагнитного поля В — вектор индукции магнитного поля с — скорость света в вакууме е — заряд электрона Ер — энергия Ферми fo (E) — функция распределения Ферми — Дирака h — постоянная Планка I — орбитальное квантовое число т — магнитное квантовое число те — масса свободного электрона т* - эффективная электронная масса р — импульс электрона Т — температура ip) — сферические гармоники.

1, если х > О, О, если х < О х — химический потенциал fiB = eh/2mec — магнетон Бора.

Фо = 2-nhc/e — квант магнитного потока ис = еВ/т*с — циклотронная частота.

Основные результаты исследований:

1. Получена аналитическая формула для электронного энергетического спектра эллипсоида вращения в магнитном поле. Исследована зависимость спектра от магнитного поля и геометрических параметров системы. Показано, что соотношение между величинами этих поправок изменяет спектральные свойства сфероидальных наноструктур. ^ 2. Найдено выражение для магнитного момента сфероидальных наноструктур удобное для анализа. Подробно изучено поведение магнитного момента от температуры, величины и направления магнитного поля относительно оси симметрии наноструктуры (случай эллипсоида вращения). Исследовано влияние несферичности на магнитный отклик наносистемы в различных предельных случаях. Показано, что в различных предельных случаях поведение магнитного момента системы существенно изменяется. Рассмотрены как случай изолированной наноструктуры, так и случай, ^ когда сфероидальная наноструктура сообщается электронами с резервуаром. Показано, что поведение магнитного отклика эллипсоида от величины и направления магнитного поля зависит от выбора способа описания термодинамики системы.

3. Выявлено, что поглощение электромагнитного излучения нано-сферой носит резонансный характер. Исследована зависимость поглощения наносферой от радиуса наносферы, времени релаксации, температуры и числа электронов на наносфере. Рассмотрены случай изолированной сферы и случай сферы, находящейся в термостате. Показано, что выбор способа описания системы существенно сказывается на величине резонансного пика и зависимости его от температуры.

4. Установлено, что однородное магнитное поле приводит к существенному изменению поглощения электромагнитного излучения наносферой. Детально исследованы положение, форма, число резонансных пиков, а также расстояния между пиками поглощения. Рассмотрены различные случаи конфигурации однородного магнитного поля и волнового вектора фотона: конфигурация Фарадея и конфигурация Фойхта. Показано, что в конфигурации Фарадея на кривой поглощения имеются четыре, а в конфигурации Фойхта — шесть резонансных пиков. Установлено, что интенсивности пиков и их положение зависят от магнитного поля, причем эта зависимость различна для пиков, обусловленных различными типами переходов.

5. Исследованы скачки на резонансной кривой поглощения наносферы, обусловленные вырождением газа. Показано, что положения скачков на резонансной кривой в случае изолированной сферы могут изменяться с увеличением температуры. Установлено, что однородное магнитное поле приводит к увеличению числа скачков на кривой поглощения. Показано, что на кривой поглощения имеются скачки двух типов, положения которых совершенно различным образом зависят от частоты электромагнитного излучения и величины магнитного поля.

6. Исследованы плотность электронных состояний, квантовый эффект Холла и магнитный момент двумерного электронного газа, находящегося на поверхности постоянной отрицательной кривизны в магнитном поле. Показано, что кривизна поверхности приводит к изменениям положений порогов и уменьшению величины плато ступеней холловской проводимости. Установлено, что влияние кривизны поверхности на магнитный отклик системы сводится к двум особенностям: существование области полей, в которой магнитный момент имеет только слабую монотонную зависимость от поляпри увеличении поля появляется осцилля-ционная зависимость, причем осцилляции не являются строго периодическими по обратному полю как в случае плоской поверхности (эффект де Гааза — ван Альфена).

7. Получены явные, аналитические формулы для энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Исследованы зависимости этих характеристик от магнитного поля, температуры, геометрических параметров кольца и кривизны поверхности. Рассмотрены предельные случаи модели: одномерное кольцо и квантовая точка. Показано, что кривизна поверхности приводит к уменьшению расстояния между максимумами осцилляций магнитного момента типа де Гааза — ван Альфена, к уменьшению амплитуды и периода осцилляций типа Ааронова — Бома. Найдена связь между магнитным моментом и незатухающим током в кольце. Показано, что кривизна поверхности и проникновение магнитного поля в проводящую область кольца приводят к нарушению пропорциональности магнитного момента и незатухающего тока.

Заключение

.

В диссертации проведены теоретические исследования спектральных и магнитных свойств сфероидальных наноструктурпоглощения электромагнитного излучения сферическими наноструктурамиплотности электронных состояний, квантового эффекта Холла и магнитного момента электронов на поверхности постоянной отрицательной кривизныэлектронного энергетического спектра, магнитного момента и незатухающих токов в двумерном квантовом кольце на поверхности постоянной отрицательной кривизны.