О некоторых аппроксимационных методах в теории операторных включений

Теория многозначных отображений как отдельная область математики сформировалась к середине 20-го века и к настоящему времени нашла многочисленные приложения в теории игр и математической экономике, теории управляемых систем, в теории дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в выпуклом и негладком анализе и теории экстремальных задач, в теории обобщенных динамических систем и миогих других разделах современной математики.

Одной из важных проблем теории многозначных отображений (мультиотображе-ний) является вопрос о существовании однозначного непрерывного сечения или однозначной непрерывной аппроксимации. Одним из первых результатов о сечениях, нашедших многочисленные приложения в математике, была классическая теорема Э. Майкла [46]. В ней доказывается существование непрерывного сечения у полунепрерывного снизу многозначного отображения с выпуклыми замкнутыми образами, лежащими в банаховом пространстве. Вопрос о существовании непрерывных сечений у полунепрерывных снизу мультиотображеиий (LSC-теория), помимо Майкла, изучался Б. Д. Гельманом [14], Д. Реповшем и П. В. Семеновым [42], JI. Рыбинским [48], JI. Гурневичем и его учениками [39], и многими другими авторами. Подробная библиография по этому вопросу содержится в иедавиих монографиях Д. Реповша и П. В. Семенова [42] и Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмаиа, А. Д. Мышкиса и В. В. Обуховского [И].

В тех случаях, когда мультиотображение не обладает непрерывным сечением, весьма эффективным орудием является метод непрерывных однозначных аппроксимаций, т. е. отображений, график которых лежит в произвольно малой окрестности графика мультотображения. Восходящий к пионерским работам Дж. фон Неймана и С. Какутапи, этот метод для полунепрерывных сверху мультиотображеиий (USC-теория) развивался в работах А. Д. Мышкиса [26], А. Челлипы [41], Ю. Г. Борисовича и Ю. Е. Гликлиха [12], Б. Д. Гельмана [14], В. В. Обуховского [7], А. Грапаса [40], JI. Гурневича [39], В. Крышевского [45], Д. Реповша и П. В. Семенова [42] и миогих других исследователей. Подробная библиография по этому вопросу содержится в [8],[10], [11].

Возникает вопрос о связи между этими проблемами (между LSC-теорией и USC-теорией). В этом направлении некоторые результаты получены в работах Е.В. Щепи-па и Н. Б. Бродского, Д. Реповша и П. В. Семенова и некоторых других. В настоящей диссертациопиой работе предлагается новый подход к решению этой задачи (см. главу 1). В ней выделяются такие свойства семейства подмножеств, чтобы полунепрерывное сверху многозначное отображение с образами из этого семейства, можно было аппроксимировать полунепрерывными снизу мультиотображепиями, образы которых также лежат в этом семействе. Если эти полунепрерывные снизу отображения обладают непрерывными сечениями, то эти сечения будут непрерывными аппроксимациями первоначального многозначного отображения.

Существенное место в теории многозначных отображений занимает проблема изучения операторных включений вида f (x) & Ф (ж). Ее частным случаем является задача о неподвижных точках многозначного отображения, т. е. точках, удовлетворяющих включению вида х G F (x). Операторные включения такого типа естественно возникают в теории игр и математической экономике, теории дифференциальных уравнений и включений, при изучении вариационных неравенств и в других актуальных вопросах современной математики. В настоящий момент в теории операторных включений и теории неподвижных точек многозначных отображений существуют два основных подхода — аппроксимативный и гомологический.

Первым исследованием, в котором аппроксимативный метод был применен в теории неподвижных точек мультиотображений, была работа С. Какутани [43]. В пей была доказана теорема, обобщающая классическую теорему Брауэра па случай полунепрерывных сверху мультиотображений с выпуклыми значениями в конечномерном пространстве.

Гомологический метод в теории неподвижных точек мультиотображений ведет свое начало от работы С. Эйлепберга и Д. Монтгомери [37]. В этой работе с помощью теоремы Виеториса об изоморфизме был построен первый топологический инвариант для мультиотображений с ацикличными значениями — число Лефшеца.

В дальнейшем построение ряда разнообразных топологических инвариантов мультиотображений различных классов и изучение па их основе неподвижных точек и точек совпадения осуществлялось в работах Х. Ф. Боненбласта и С. Карлипа, Ки Фана, И. Л. Гликсберга, А. Грапаса, И. В. Яворовского, А. Д. Мышкиса, Ю. Г. Борисовича, Б. Д. Гельмана, В. Г. Звягина, В. В. Обуховского, П. Дзекка, Ж. М. Ласри и Р. Робера, Д. Ж. Бургипа, Л. Гурневича, 3. Кухарского, Ю. Брышевского, Ю. Б. Зелинского, Ю. Е. Гликлиха, 3. Дзедзея, В. Крышевского и многих других. Применения методов теории операторных включений и теории неподвижных точек мультиотображений в различных задачах теории управляемых систем и теории дифференциальных включений описаиы в недавних монографиях Л. Гурпевича, М. И. Каменского, В. В. Обуховского и П. Дзекка, С. Ху и Н.Папагеоргиу. Подробная библиография по этим вопросам содержится в обзорах [7], [8], [9], [10] и книге [11].

В настоящей диссертационной работе получает дальнейшее развитие аппроксимативный метод в теории операторных включений (см. главы 2 и 3). В ней доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств. Ранее теоремы биекции для различных классов многозначных векторных полей изучались в работах Ю. Г. Борисовича [4], [5], В. В. Обуховского [24], В. Т. Дмитриенко [20] и других. Опираясь на доказанную теорему, в диссертации вводится абстрактное понятие топологического инварианта, определенного на множестве мультиполей, доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта. Полученная теорема применяется для построения топологической степени мультиполей со значениями из АМН-системы.

Далее в диссертационной работе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а (х) € Ф (х), где, а — замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф — многозначное отображение, являющееся композицией мультиотображеиия, имеющего «хорошие» значепия, и непрерывного однозначного отображения. Свойство значения быть «хорошим» означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом (АМ-системе). Для таких включений доказывается теорема существования решений (точек совпадения) и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества). В заключение полученные результаты применяются для исследования интегро-дифференциальной системы, которая может быть естественно интерпретируема как управляемая система с интегральной обратной связью.

Работа состоит из введения и трех глав.

Первая глава диссертации состоит из двух параграфов и посвящепа изучению таких семейств подмножеств метрического пространства, для которых теорему о существовании однозначных аппроксимаций у многозначных отображений с образами из этого семейства, можно получить из теоремы о существовании однозначных сечений. Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [17], [19].

Первый параграф этой главы является вспомогательным. Он посвящен изложению основных фактов теории многозначных отображений. В ней, следуя [6], [14], излагаются основные факты о непрерывных однозначных сечениях и е-аппроксимациях многозначных отображений с выпуклыми замкнутыми образами.

Основным в главе является второй параграф. В нем дается базовое в дальнейшей работе определение аппроксимационного семейства. Пусть Y — метрическое пространство.

1.2.1. Определение. Семейство подмножеств A (Y) пространства Y будем называть аппроксимационным, если существует отображение, А: P (Y) —"• A (Y), сопоставляющее произвольному непустому подмнооюеству из Y некоторое подмно-э/сество из семейства A{Y), удовлетворяющее следующим условиям: (А1) для любого В G A (Y) множество, А (Б) = В- (А2) если В, Се P (Y) и С С В, то {С) С Л (В);

A3) для любого е > 0 существует S = 6(e) > 0 такое, что для любого множества В С Y выполнено включение (Us (B)) С Ue (X (B)).

А4) для любого множества В С Y, любой точки у G Л (В) и любого е > 0, найдутся компактное подмножество В' С В и точка у' е Х (В') такие, что р (у, у') < г.

В этом параграфе приводятся примеры аппроксимационных семейств и изучаются их свойства. В частности, доказывается следующее утверждение.

1.2.6. Предложение. Пусть A (Y) — аппроксимационное семейство в пространстве Y. Тогда:

1) для любого е > 0 существует S > 0 такое, что если С? A{Y) и В С Щ©, то Л (В) С ие (С);

2) если многозначное отображение F: X —* P (Y) — полунепрерывно снизу, то многозначное отображение Fx: X A (Y), Fx (x) = X (F (x)) также полунепрерывно снизу.

Опираясь на это предложение, доказывается теорема об аппроксимации полунепрерывного сверху многозначного отображения полунепрерывными снизу.

1.2.7. Теорема. Пусть A (Y) — аппроксимационное семейство подмнооюеств в метрическом пространстве Y, пусть F: X —> A (Y) — полунепрерывное сверху многозначное отобраоюение, тогда для любого е > 0 существует полунепрерывная снизу е-аппроксгшация Fe: X —" A (Y) такая, что:

1)для любой точки х G X выполняется включение F (x) С Fe (x) — 2) образ Fe{X) С Л (F (X)).

Далее в этом параграфе дается определение системы Майкла и сильной системы.

Майкла.

1.2.8. Определение. Будем говорить, что семейство подмножеств M (Y) является системой Майкла, если оно удовлетворяет следующему условию: (М) для любого метрического пространства X, полунепрерывного снизу многозначного отображения F: X —> M (Y), замкнутого подмножества, А С X и непрерывного сечения f: А —> Y многозначного отображения Fсуществует непрерывное сечение g: X —*Y многозначного отображения F такое, что дд — /.

1.2.14. Определение. Будем говорить, что система подмножеств M (Y) является сильной системой Майкла, если эта система одновременно является системой Майкла и аппроксимационным семейством в Y. Сильную систему Майкла будем обозначать AM (Y).

Сильные системы Майкла тесно связаны с проблемой существования однозначных е-аппроксимаций многозначных отображений. Из теоремы 1.2.7 и определения сильной системы Майкла вытекает следующая теорема.

1.2.17. Теорема. Пусть многозначное отобраэюение F: X —> AM (Y) полунепрерывно сверху, тогда для любого е > 0 у многозначного отображения F существуют однозначная непрерывная е-аппроксимация fe и fe (X) С Л (F (X)).

Вторая глава диссертации посвящена развитию аппроксимативного метода в теории операторных включений. В пей доказывается теорема биекции для гомотопических классов многозначных векторных полей, у которых главной частью является однозначное собственное отображение, а образы многозначного отображения лежат в некотором фиксированном семействе подмножеств. Раннее теоремы биекции для некоторых классов многозначных векторных полей изучались в работах [4], [5], [20] и др.

Также в этой главе дается определение топологического инварианта на множестве многозначных векторных полей и доказывается теорема о продолжении и единственности топологического инварианта.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах автора [18], [1].

В этой главе дается следующее определение.

2.1.5. Определение. Семейство nodMHOOicecmeV (Y) назовем АМН-семейством, если:

HI) семейство V{Y) является сильной системой Майкла;

Н2) для любого компактного мноо/сества A G V (Y) множество А (Л) также является компактным;

НЗ) произвольная точка у? Y принадлежит семейству V (Y), т. е. {у} G V (Y) для любой точки у E. Y,.

Пусть X — метрическое пространство, Е — банахово пространство, v: X —* Е — фиксированное непрерывное собственное однозначное отображение, V (E) — АМН-семейство в Е. Пусть F: X —> V (E) — полунепрерывное сверху компактное многозначное отображение.

Рассмотрим многозначное собственное отображение Ф = v — F: X —> V (E). Такое отображение будем называть многозначным компактным векторным полем с главной частью v и компактной частью F.

Пусть, А — замкнутое подмножество в X, а В — компактное подмножество в Е.

2.1.7. Определение. Будем говорить, что многозначное компактное векторное поле Ф допустимо относительно пар (X, А) и (Е, Е D), если Ф (Л) С (ЕВ).

Обозначим Т>-р ((Х, Л) — (Е, ЕВ)) множество допустимых многозначных компакт-пых векторных полей с главной частью v.

В этом множестве естественно вводится понятие гомотопности, которое порождает отношение эквивалентности векторных полей.

2.1.8. Определение. Пусть.

Ф0 = vFo, Фх = v-Fxe V-p ((X, А)-, (Е, Е В)).

Будем говорить, что поле Фо гомотопно полю Ф1, (Фо ~ Ф1), если существует полунепрерывное сверху компактное отображение К: X х [0,1] —> V (E) такое, что: а) Фо (ж) — v (x) — К (х, 0), Ф^ж) = v (x) — К (х, 1) для любого х € Xб) (v (x) — К (х, t))nB = 0 для любых х Е, А и t Е [0,1].

Обозначим множество различных гомотопических классов Пр[(Х, Л) — (Е, Е В)]. В силу свойства (НЗ) определения АМН-системы, однозначные непрерывные компактные отображения являются частными случаями полунепрерывных сверху компактных многозначных отображений. Следовательно, в множестве.

VP ((X, A)-,(E, EB)) выделяется подмножество.

V0((X, A)-(E, EB)), это множество допустимых однозначных непрерывных компактных векторных полей <р — v — / с главной частью v и компактной частью /.

В этом подмножестве Vo ((X, Л) — (Е, Е В)) также можно определить отношение гомотопности, предполагая, что К является однозначным компактным непрерывным отображением. Тогда множество V0((X, A)-,(E, E В)) также распадается на множество непересекающихся гомотопических классов [фо. Обозначим это множество По[(Х, А)-,(Е, Е В)}.

Возникает отображение вложения множества По[(Х, А) — (Е, Е В)] во множество UV[(X, A)-(E, EB)}.

2.2.1. Теорема. Отображение вложения г: Пор, А)-, (Е, ЕВ)] - ПР[(Х, Л) — (Е, ЕВ)], устанавливает биективное соответствие между этими множествами.

Теорема биекции играет основопологающую роль в построении топологических инвариантов для допустимых многозначных векторных полей. Рассмотрим абстрактную схему этого построения.

Пусть задано некоторое отображение.

7:V0((X, A)-(E, EB))^G, где G — некоторое множество.

Будем называть отображение 7 топологическим инвариантом, если из того, что сРо, V?1 G T>q{(X, Л) — (Е, Е В)) и (р0 ~ (ри вытекает, что 7(^0) = 7(^1).

Таким образом, топологический инвариант 7 порождает отображение множества гомотопических классов.

По [(Х, АУ,(Е, ЕВ)} в множество G. Это отображение будем обозначать той же буквой 7. Пусть Go некоторое подмножество в G.

2.3.1. Определение. Будем говорить, что множество Gо является существенным для топологического инварианта 7, если для любого поля </? G Т>о ((Х, Л) — (Е, Е В)), из того что 7(<р) G Go, вытекает, что В С <�р (Х).

Аналогично можно определить понятие топологического инварианта на множестве.

Vv ((X, Ay,(E, EB)).

Имеет место следующая теорема о продолжении и единстенности топологических инвариантов.

2.3.2. Теорема. Пусть топологический инвариант.

7:V0((X, A)-(E, EB))^G такой, что множество Gq С G является для него существенным. Тогда существует единственный топологический инвариант.

7 :VP ((X, A)-(E, EB))-*G такой, что: a) если (р = v — / - однозначное векторное поле, то 7(<р) = 7(<р) — b) если Ф = v-F е V.

В заключение этой главы рассматривается вопрос о вращении (топологической степени) многозначных векторных полей.

Пусть теперь задана V (E) — произвольная AMII-система в пространстве Е. Пусть F: U —> Т{Е) — компактное полунепрерывное сверху многозначное отображение. Рассмотрим компактное векторное поле Ф (ж) = x—F (x). Пусть это поле невырождено на Г, т. е. Ф (ж) ^ 0. Очевидно, что множество всех невырожденных векторных поле образуют множество.

VP ((U, T)-(E, E 0)). Тогда из теорем 2.2.1 и 2.3.2 вытекает следующее утверждение.

2.4.2. Теорема. Существует и единственнен топологический инвариант j: VP ((U, ry,(E, E))^Z, который является продолжением 7 — вращения однозначных компактных векторных полей, причем множество Z 0 является для 7 существенным, т. е. если 7(Ф, U) ф 0, то существует точка х0 U такая, что 0 е Ф (ж0).

Опираясь на теорему 2.4.2, можно доказать следующий результат. Пусть V (E) — произвольная AMЯ-система в пространстве Е. Пусть U — ограниченное открытое множество, содержащее ноль пространства Е, F: U —> V (E) — компактное полунепрерывное сверху многозначное отображение. Обозначим Ф (ж) = х — F (x) — компактное векторное поле, порожденное F. Пусть Г = dU.

2.4.3. Теорема. Пусть для любой точки х G Г выполнено условие х $ A (F (x)U0), тогда отображение F имеет неподвижную точку.

Третья глава диссертации посвящена изучению одного класса операторных включений. Начиная с работы А. Д. Мышкиса [26] в целом ряде исследований (см., например, [12, 22, 31, 32, 33, 34, 35] и др.) аппроксимативиые методы применялись к различным классам певыпуклозиачиых многозначных отображений с целыо изучения их неподвижных точек и разрешимости операторных включений.

В работах [47], [15] изучались операторные уравнения вида а{х) — f (x), где алинейный непрерывный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а / - вполне непрерывное отображение. Для этих уравнений доказывались теоремы существования решений и изучалась топологическая размерность множества решений этого уравнения.

В работе [13] были рассмотрены операторные включения вида а (х) е Ф (ж), где, а — непрерывный линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф — многозначное вполне непрерывное отображение с выпуклыми замкнутыми образами. Для этих включений также доказывались теоремы существования решений и изучалась топологическая размерность множества решений этих включений.

В работе [16] изучались операторные уравнения вида а (х) = f (x), где, а — замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а / - вполне непрерывное отображение.

В настоящей главе аппроксимативные методы применяются для изучения операторных включений вида а (х) € Ф (ж), где, а — замкнутый линейный сюръективный оператор, действующий из одного банахова пространства в другое, а Ф — многозначное отображение, являющееся композицией многозначного отображения, имеющего «хорошие» образы, и непрерывного однозначного отображения. Свойство образа быть «хорошим» означает, что это множество лежит в семействе подмножеств, описываемом некоторым набором аксиом. Для таких включений доказывается теорема существования решений и выясняются некоторые свойства множества решений (неограниченность этого множества).

В заключение главы полученные результаты применяются для исследования одной иптегро-дифференциальной системы, которая может описывать управляемую систему с интегральной обратной связью.

Пусть X — метрическое пространство, Ф: X —> К (Е) — полунепрерывное сверху многозначное отображение.

3.1.3. Определение. Многозначное отображение Ф называется суперпозицион-но апроксимируемым многозначным отображением (SA-отображением), если существуют: метрическое пространство Y, правильная система Майкла AM (Y) в пространстве Y, полунепрерывное сверху многозначное отображение F: X —> AM (Y), непрерывное однозначное отображение р: Y —> Е такие, что для любой точки х? X справедливо равенство Ф (ж) = p (F (x)).

Многозначное отображение Ф называется вполне непрерывным SA-отображением, если многозначное отображение F: X —* АМ (Е) является вполне непрерывным.

Для SA-отображений справедлива следующая теорема о неподвижных точках.

3.1.4. Теорема. Пусть Т — замкнутое выпуклое ограниченное подмножество банахова пространства Е, Ф: Т —> К (Е) — многозначное вполне непрерывное SA-отображение. Если Ф (Т) С Т, то отображение Ф имеет неподвижную точку.

Пусть теперь Е, Е2- два банаховых пространства, а: D (a) С Е —> Е2 — замкнутый линейный сюръективный оператор. Число назовем нормой многозначного отображения а~1: Е2 —> Cv (E).

Рассмотрим оператор дифференцирования d: D[d) С Сад —> С[а, ь], где 0(d) — множество непрерывно дифференцируемых вектор-функций со значениями в Rn. Очевидно, что оператор d является замкнутым сюръективпым оператором. Вычислим для него 11 11 [.

3.2.1. Предложение. Число ||g?-1|| =.

Пусть F: Е —* Р (Е2) — многозначное отображение. Нас будет интересовать разрешимость следующего включения: a = sup (а (х) G Ф (ж).

3.1).

Обозначим N (a, Ф) множество решений этого включения.

Пусть Y — метрическое пространство, многозначное отображение F: X С Ei —* С (У) полунепрерывно сверху.

3.2.5. Определение. Будем говорить, что отображение F — вполне непрерывно по модулю отобраэюения, а (или а-вполне непрерывно), если для любого ограниченного множества, А С Е2 и любого ограниченного множества В С X множество.

F (B П а-1 (Л)) является компактом в Y.

3.2.7. Определение. Будем говорить, что многозначное SA-отображение Ф является а-вполне непрерывным, если а-вполне непрерывным является отображение F.

Справедлива следующая теорема.

3.2.8. Теорема. Пусть Ф: Е —" С (2?2) — многозначное SA-omo6paoicenue, удовлетворяющее следующим условиям:

1) Ф — а-вполне непрерывно;

2) существуют неотрицательные числа cud такие, что для любого х G Е справедливо неравенство: max ||?/|| < с||ж|| + d. у€Ф (х).

Если с < ||ali||, то N (a, Ф) является непустым мноэюеством.

Справедлива теорема, характеризующее некоторые свойства множества N (a, Ф).

3.2.9. Теорема. Пусть выполнены условия теоремы 3.2.8 и dim (Ker (a)) > 0.

Тогда множество N (a, Ф) является неограниченным.

В третьем параграфе этой главы теоремы 3.2.8, 3.2.9 применяются для изучения одного класса интегро-дифференциальных систем.

Пусть I — отрезок на числовой прямой, Е0, Е — конечномерные банаховы пространства, многозначное отображение F: I х Eq —¦> К (Е) таково, что F1) для каждого х € Е0 многозначное отображение F (-, x): I —"• К (Е) имеет измеримое сечение;

F2) для п.в. t G I многозначное отображение F (t, •): Eq —1> К (Е) полунепрерывно сверху;

F3) существуют такие суммируемые функции а,(3 :1 —> R1, что max \y\

Пусть [0,Т] С R, /: [О, Г] х Rn х Rs —" Rn — непрерывное отображение, удовлетворяющее следующему условию: ii) существуют такие положительные числа Ci, С2 и d, что для любых (t, u, v) е [О, Т] х Rn х Rs справедливо неравенство f{t, u, v)\.

Пусть к: [0,Т] х [О, Т] —> L (RS, RS) — непрерывное отображение. Обозначим /Го = max k (t, s).

Пусть многозначное отображение F: [О, Г] х Rn —> Kv (Rs) удовлетворяет условиям (Fl) — (F3).

В работе рассматривается следующая задача: x'(t) = f (t, x (t), y (t)) (3.4) h ye J (к oVF)(x), (3.5) о h где h G (О, Т]. Здесь J (к о VF)(x) — многозначный интегральный оператор Гаммеро штейна.

Решением задачи (3.4), (3.5) будем называть такую пару функций х G С ([0, h], Rn), у € С ([0, h], Rs), которые удовлетворяют (3.4) и (3.5) при любых t € [0, h].

Пусть / - оператор суперпозиции, порожденный отображением /, а многозначное отображение.

F: С ([0, h], Rn) Cv (C{[0,h], Rn) х C ([0,h], Rs)), h определено условием F (x) = (ж, J (k о VF)(x)). о.

Пусть d — оператор дифференцирования, где D{d) — множество непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [0, h].

3.3.10. Лемма. Задача (3−4), (3.5) эквивалентна следующему включению: d (x) е f (F (x)). (3.6).

Пусть многозначное отображене.

Ф: C ([0,h], Rn) C (C ([0,h], Rn)), Ф (х) = f (F (x)).

3.3.11. Лемма. Отображение Ф является d-вполне непрерывным SA-отображением.

Применяя теорему 3.2.8 для доказательства существования решений включения (3.6), получим следующее утверждение.

3.3.12. Теорема. Если a) множество решений задачи (3.4), (3.5) определенных на отрезке [0, h] является непустым мноэ/сествомb) множество траекторий {ж} этой системы является неограниченным в пространстве С ([0, h], Rn). h.

3−7) о то.

1. Ал-Хашеми Х.Р. О топологической степени для одного класса многозначных векторных полей.//Х.Р. Ал-Хашеми. — Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения. ТВМНА-2005. Воронеж, ВГУ. — 2005. — С. 12.

2. Ал-Хашеми Х. Р. Об одном операторном включении//Х.Р. Ал-Хашеми. Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Международная научная конференция. Воронеж, ВГУ. — 2005. — С.6.

3. Ал-Хашеми Х. Р. Об одной интегро-дифференциальной системе/ /Х.Р. Ал-Хашеми. Воронежская зимняя Математическая школа С. Г. Крейна. Воронеж, ВГУ. — 2006. — С.6.

4. Борисович Ю. Г. Современный подход к теории топологических характеристик нелинейных операторов. I.//Ю.Г. Борисович. Геом. и теория особенностей в нелинейных уравнениях. Воронеж, ВГУ. — 1987. — С.24−46.

5. Борисович Ю. Г. Современный подход к топологических характеристик нелинейных операторов. II.//Ю.Г. Борисович. -Глобал. анал. и нелинейн. уравнения. Воронеж, ВГУ. 1988. -С.22−43.

6.

Введение

в теорию многозначных отображений/Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 1986. — 102с.

7. Топологические методы в теории неподвижных точек многозначных точек многозначных отображений//Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. УМН, — 1980. — т.35, N 1. -С. 59−126.

8. Многозначные отображения.//Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. — 1982. — т. 19. — С. 127−229.

9. Многозначный анализ и операторные включения.//Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Современные проблемы математики. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Новейшие достижения. — 1986. — т.29. — С.151−211.

10. О новых результатах в теории многозначных отображений./ /Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Мат. анализ. 1987. — т.25. — С.121−195.

11.

Введение

в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений/Ю.Г. Борисович, Б. Д. Гельман, А. Д. Мышкис и др. Москва: Изд-во КомКнига, 2005. — 214с.

12. Борисович Ю. Г. О числе Лефшеца для одного класса многозначных отображений. //Ю.Г. Борисович, Ю. Е. Гликлих. 7-я летняя мат. школа, 1969. — Киев, 1970. — С.283−294.

13. Гельман Б. Д. О топологической размерности множества решений операторных включений, содержащих сюръективные операторы//Б.Д. Гельман. Вестник ВГУ, серия физика, математика. — 2001. — N1. — С.75−80.

14. Гельман Б. Д. Непрерывные сечения и аппроксимации многозначных отображений// Б. Д. Гельман. Вестник ВГУ, серия физика, математика. — 2002, N2. — С.50−55.

15. Гельман Б. Д. Об одном классе операторных уравнений//Б.Д. Гельман. Матем. заметки. — 2001. — т.70, N4. — С.544−552.

16. Гельман Б. Д. Бесконечномерная версия теоремы Борсука-Улама//Б.Д. Гельман. Функциональный анализ и его приложения. — 2004. — т.38, N 4. С. 1−5.

17. Гельман Б. Д. Об аппроксимациях многозначных отображений// Б. Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. Вестник ВГУ, серия физика, матем.- 2003. — N2. — С. 136−143.

18. Гельман Б. Д. О теореме биекции для одного класса многозначных отображений//Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. -Вестник ВГУ, серия физика, матем. 2004. — N2. — С. 184−189.

19. Гельман Б. Д. Об аппроксимациях многозначных отображе-ний//Б.Д. Гельман, Х.Р. Ал-Хашеми. Современные методы теории функций и смежные проблемы. (ВЗМШ-2005). — 2005. — С.70 .

20. Дмитриенко В. Т. Гомотопическая классификация одного класса многозначных отображений/В.Т. Дмитриенко. Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 27 мая 1980, N2092;80. — 18с.

21. Канторович JI.B. Функциональный анализ/ JI.B. Канторович, Г. П. Акилов. М: Наука. — 1977.

22. Корпев С. В. О некоторых вариантах теории топологической степени для невыпуклозначных мультиотображений.//С.В. Корнев, В. В. Обуховский. Труды матем. ф-та (новая серия). Воронеж, ВорГУ. — 2004. — N8. — С.56−74.

23. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа./М.А. Красносельский, П. П. Забрейко. М: Наука, 1975.

24. Обуховский В. В. К определению вращения одного класса компактно сужаемых многозначных векторных полей// В. В. Обуховский, Е. В. Горохов. Тр. Мат. фак. Воронеж, ун-т. — 1974. N 12. С. 45−54.

25. Реповш Д. Теория Э. Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения.//Д.Реповш, П. В. Семенов. Успехи матем. наук. — 1994. — т.54, N6. — С.49−80.

26. Мышкис А. Д. Обобщения теоремы о точке покоя динамической системы внутри замкнутой траектории//А.Д. Мышкис.- Матем. сб. 1954. — т.34(76), N3. — С.525−540.

27. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования//А.Ф. Филиппов. Вестн. Моск. ун-та. Сер. матам., механ., астрон., физ., химии. — 1959. — N 2. — С. 25−32.

28. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частыо//А.Ф. Филиппов. Матем. сб. — 1960. — т. 51, N 1. — С.99−128.

29. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью./А.Ф. Филиппов. М: Наука, 1985. — 223с.

30. Щепин Е. В. Селекторы фильтраций многозначных отображе-ний//Е.В. Щепин, Н. Б. Бродский. Труды мат. инст. Стекло-ва, в.212. — с.220−240.

31. Anichini G. Approximation of nonconvex set valued mappings. G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital. С (6). -1985, N4. — P. 145−154.

32. Anichini G. A further result on the approximation of nonconvex set valued mappings. //G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital. С (6). — 1985, N 4. — P. 155−171.

33. Anichini G. Approximation and selection for nonconvex multifunctions in infinite-dimensional spaces//G. Anichini, G. Conti, P. Zecca. Boll. Un. Mat. Ital., В (7). — 1990, N 4. — P.410−422.

34. Bader R. On the extension of approximations for set-valued maps and the repulsive fixed points.// R. Bader, G. Gabor, W. Kryszewski. Boll. Un. Mat. Ital. В (7). — 1996, N 10. — P. 399−416.

35. Bressan A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values.// A. Bressan, G. Colombo. Studia Math. — 1988, V.90, N 1. — P.69−86.

36. Cellina A. Approximation of set-valued functions and fixed-point theorems// A. Cellina. Ann. math. Рига. Appl. — 1969, v.82. -P. 17−24.

37. Eilenberg S., Montgomery D. Fixed point theorems for multivalued trasformations// S. Eilenberg, D. Montgomery. -Amer. J. Math. v. 68. — P.214−222.

38. Gorniewicz L. Fixed points of contractive multivalued maps// L. Gorniewicz, S.A. Marano, M. $losarski. Proc. Amer. Math. Soc.- 1996, V.124. P.2675−2683.

39. Gorniewicz L. Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings./L. Gorniewicz. Kluwer Acad. Publ. Dordrecht-Boston-London. — 1999.

40. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory//A. Granas, J. Dugundji. Springer-Verlag, New York, 2003.

41. Cellina A. Approximation of set-valued functions and fixed-point theorems//A. Cellina. Ann. math. Рига. Appl. — 1969, v.82. -P. 17−24.

42. Repovs D., Semenov P.V. Continuous Selections of Multivalued Mappings. Mathematics and its Applications/D. Repovs, P.V. Semenov N 455, Kluwer, Dordrecht. — 1998.

43. Kakutani S. A generalization of fixed point theorem//S. Kakutani. Duke Math. J. — 1941, N 8. — P. 457−459.

44. Kamenskii M. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Speces./ M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca. De Gruyter Ser. in Nonlinear Analysis and Appl. 7, Walter de Gruyter, Berlin-New York. — 2001.

45. Kryszewski W. Topological and approximation methods of degree theory of set-valued maps./W. Kryszewski. Dissertationes Math. (Rozprawy Mat.) 336 (1994), 1−101.

46. Michael E. Continuous selections, 1// E. Michael. Ann. of Math.- 1956, V.63, N 2. P. 361−382.

47. Ricccri В. On the topological dimension of the solution set of a class of nonlinear equations//B. Ricceri. C.R. Acad. Sci., Paris. — 1997, v.325. — P.65−70.

48. Rybiriski L.E. Continuous selections and variational systems//L.E. Rybinski. Wyzsa Szkola Inzyner., Instytut Matem., Zielona Gora, 1992.