Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге

Диссертация: Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В диссертации получены методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. Эти методы основаны на представлениях кусочно метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных краевых задач Римана… Читать ещё >

Трехэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
    • 1. 1. Основные обозначения и понятия
    • 1. 2. Вспомогательная краевая задача в классах аналитических функций
    • 1. 3. Краткий обзор литературы по краевым задачам в классах полианалитических и метааналитических функций
  • ГЛАВА II. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПЕРВОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
    • 2. 1. Постановка основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций
    • 2. 2. Решение и исследование картины разрешимости задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа в круговой области
    • 2. 3. О некоторых частных случаях задачи GRlM в классах метааналитических функций первого типа, допускающие решение в замкнутой форме
    • 2. 4. Решение и исследование картины разрешимости задачи GR2 м в классах метааналитических функций первого типа в круге
  • ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ТРЁХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВТОРОГО ТИПА В КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
    • 3. 1. Решение задачи GRlM в классах метааналитических функций второго типа в круговой области
    • 3. 2. Исследование картины разрешимости задачи GRX м в классах метааналитических функций второго типа
    • 3. 3. Об одном частном случае задачи GRх м в классах метааналитических функций второго типа, допускающем эффективное решение
    • 3. 4. Метод решения и исследование картины разрешимости задачи GR1U в классах метааналитических функций второго типа в круговой области

В современной теории функций комплексного переменного одной из важнейших областей исследований является теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и их различных обобщений.

В настоящее время теория краевых (граничных) задач в классах аналитичеdF (z) ских функций, т. е. решений уравнения Коши-Римана =0, благодаря о z фундаментальным работам JI.A. Аксентьева [4], Б. В. Боярского [22], И. Н. Векуа [24], Н. П. Векуа [26], Ф. Д. Гахова [29], Э. И. Зверовича [34], Р. С. Исаханова [35]-[36], Д. А. Квеселава [38], Г. Ф. Манджавидзе [47], Л. Г. Михайлова [51], Г. С. Михлина [52], Н. И. Мусхелишвили [54], Л. И. Чибриковой [76] и многих других известных математиков, приняла уже завершенный вид.

Однако, для решения некоторых прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Поэтому при постановке задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о классах рассматриваемых контуров и о других параметрах задачи. Исследования ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуроврассматриваются различные задачи, содержащие граничные значения функции, комплексно сопряжённой с искомойграничные задачи в классах различных обобщений аналитических функций и т. д.

Так, например, в последнее время, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) наблюдается интерес к краевым задачам в классах функций, являющихся различными обобщениями класса аналитических функций комплексного переменного (например, полианалитических, метааналитических, регулярных решений так называемого уравнения Бауэра-Пешля и т. д.) [21], [44], [47], [57]-[65], [67]-[68], [73]-[74], [79], [84]-[85]. В частности это явление обусловлено тем, что, как было обнаружено Г. В. Колосовым [39], эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить так называемые бианалитические функции, т. е. решения дифференциального уравнения ——1^- = 0. Кроме того, теория dz краевых задач для различных обобщений аналитических функций тесно связана с теорией дифференциальных уравнений [17], [77], теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [24] и другими разделами современной математики и механики [1]-[2], [25], [37], [40], [43], [45], [53], [56]-[57], [66], [73], [78], [87].

Большой вклад в развитие указанного направления внесли В. М. Адуков [1]-[2], И. А. Бикчантаев [19], А. В. Бицадзе [20], В. А. Габринович [27], М.П. Га-нин [28], Ф. Д. Гахов [29], В. И. Жегалов [32]-[33], К. М. Расулов [57]-[61], B.C. Рогожин [67], Р. С. Сакс [68], И. А. Соколов [71]-[72], М. Canak [80]-[81], В. Damjanovich [82]-[83], C.R. Shoe [86] и др.

Данная диссертация посвящена исследованию трёхэлементных линейных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге, т. е. в классах функций, являющихся решениями дифференциального уравнения вида d2F (z) dF (z) dz2 1 dz fiT^ + fli + = (0−1) где a0, al — некоторые комплексные числа.

Пусть Т+ ={z :z |< 1} - единичный круг на плоскости комплексного переменного z-x + iy. Обозначим границу круга Т+ через L, а область, дополняющую замкнутый круг Т+ u L до расширенной комплексной плоскости — через Т~.

Задача GR1M.

Требуется найти все кусочно метааналитнческне фунщии F (z) = {F+ (z), F~ (z)} класса2 M2 (T±)пЯ (1) (L), исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L = {t:t~l} граничным условиям:

1 Краевые задачи комплексного анализа называются трёхэлементными, если их краевые условия содержат три различных элемента (граничных значений) неизвестных функций (более подробно см., например, [46], с. 220.).

2 Определение класса м2(т±)пнт (ь) см. нас. 18−19. ox ox ox fi2=0ll (0aq0 + ga (()^o) + &{0, (03) ду ду dy где Gkj (t), gk (t) (k =, 2 j = 1,2) — заданные на L функции, удовлетворяющие условию H (L) (Гёлъдера), причем Gkl (t) Ф 0 на L. Задача GR2U.

Требуется найти все кусочно метааналитические функции F (z) = {F+(z), F~(z)} класса М2(Т±) П исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L граничным условиям:

F+ (0 = Gn (t)F-(t) + Gv,(t)F (,) + g, (I), (0.4).

0.5) дп+ дп on где д/дп+ (д/дп) — производная по внутренней (внешней) нормали к L, Gkj-(t), gk (t) {k = 1,2- j -1, 2) — заданные на L функции, удовлетворяюгцие условию.

H (L) (Гёлъдера), причем Gk] на L.

Прежде всего заметим, что при условии G12(Y) = G22(t) = 0 задачи GRX м и.

GR2 м впервые были поставлены Ф. Д. Гаховым в классе полианалитических функций как некоторые естественные обобщения краевой задачи Римана для аналитических функций (см. [29], § 32).

В случае Gl2(t) = G22(t) = 0 и когда L = {z:z=} задачи GR1M и GR2M были решены И. А. Соколовым в 60-х годах прошлого века при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами [71]-[72]. Позднее К. М. Расулову (см., например, [57]) совершенно иным методом удалось решить задачи Gi?, м и GR2 м (при.

Gu (t) = G22(t) = 0) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами как в классах бианалитических (полианалитических) функций, так и в классах метааналитических функций и некоторых их обобщений.

Впервые краевые задачи вида GRlM и GR2 м в классах кусочно полианалитических функций (без дополнительного условия G]2(t) = G22(t) = 0) были сформулированы К. М. Расуловым в монографии [57] в качестве естественных и важных обобщений основных (двухэлементных) краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.

В работах Н. Г. Анищенковой [15]-[16] задачи GRlM и GR1U были исследованы в классах кусочно бианалитических функций. Но, поскольку многие качественные свойства метааналитических функций существенно отличаются от свойств бианалитических функций (см., например, [18], [23], [77], [86]), то при исследовании краевых задач GR{ м и GR2 M в классах кусочно метааналитических функций возникает необходимость в использовании совершенно новых подходов и дополнительных математических средств (в частности, аналитическую теорию дифференциальных уравнений). Поэтому разработка методов решения задач GR] M и GR2 м в классах метааналитических функций является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач GRl м и GR2 M в классах кусочно метааналитических функций, построение теории их разрешимости и выявление их частных случаев, допускающих решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Перейдём к краткому изложению содержания работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации получены методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность. Эти методы основаны на представлениях кусочно метааналитических функций через аналитические функции комплексного переменного, а также на теории так называемых обобщенных краевых задач Римана в классах кусочно аналитических функций. При этом в работе существенно использованы методы теории функций комплексного переменного, теория интегральных уравнений (сингулярных и типа Фредгольма второго рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, активно применяется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.

При помощи разработанных методов решения рассматриваемых задач установлены необходимые и достаточные условия их разрешимости, а также их нётеровость. Кроме того, в работе выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены и при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом, четырехэлементных краевых задач и т. д.).

Среди результатов, полученных в диссертации, к основным относятся следующие:

1. Разработаны методы решения первой и второй основных трёхэлементных краевых задач типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в случае, когда линией скачков является окружность.

2. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач, а также их нётеровость.

3. Выделены частные случаи, когда трёхэлементные краевые задачи типа Римана в классах кусочно метааналитических функций в круге допускают решение в замкнутой форме (в интегралах типа Коши).

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.М. Матричная задача аппроксимации Паде как краевая задача Римана / В. М. Адуков // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математика, физика, химия. 2003. — Вып. 3, № 6 (22). — С. 20−35.
  2. В.М. Факторизация Винера-Хопфа и аппроксимации Паде матриц-функций: дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Адуков Виктор Михайлович. Челябинск, 2006. — 314 с.
  3. Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. / Э.Л. Айне- под ред. A.M. Эфроса. Харьков: ГНТИУ, 1939. — 719 с.
  4. JI.A. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения / JI.A. Аксентьев, Н. Б. Ильинский и др. // Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ. Т. 18. — М.: ВИНИТИ, 1980. — С. 67−124.
  5. В.В. О решении трехэлементной краевой задачи типа Газе-мана для некоторых обобщений бианалитических функций / В. В. Алексеенков //
  6. Н.Г. Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Анищенкова Надежда Геннадьевна. Смоленск, 2002. — 120 с.
  7. БалкМ.Б. Полианалитические функции и их обобщения / М. Б. Балк // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Сов. пробл. матем. фун. напр. Т. 85. — М.: ВИНИТИ, 1991.-С. 187−246.
  8. М.Б. О метааналитических функциях / М. Б. Балк, М. Ф. Зуев // Материалы научн. конф. Смоленского пед. ин-та, посвященной 50-летию ин-та. -Смоленск, 1971. С. 250−258.
  9. И.А. Некоторые краевые задачи для одного эллиптического уравнения: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Бикчантаев Ильдар Ахмедович. -Казань, 1972. 89 с.
  10. А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными / А. В. Бицадзе // Успехи матем. наук. 1948. — Т. 3, Вып. 6. — С. 211−212.
  11. И.Б. Кусочно непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Болотин Иван Борисович. Смоленск, 2004. — 110 с.
  12. .В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта / Б. В. Боярский // Сооб. АН Груз. ССР. Т. 25, Вып. 4. — 1960. — С. 385−390.
  13. И.Н. Обобщённые аналитические функции / И. Н. Векуа. М.: Наука, 1988.-509 с.
  14. Н.П. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений и приложения в механике / Н. П. Векуа. М.: Наука, 1991. — 255 с.
  15. Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений / Н. П. Векуа. -М.: Наука, 1970.-379 с.
  16. В.А. Краевые задачи карлемановского типа для полианалитических и метааналитических функций: дис. д-ра физ.-мат. наук. Минск, 1977.
  17. ГанинМ.П. Краевые задачи для полианалитических функций / М. П. Ганин // Докл. АН СССР. 1951. — Т. 80, № 3. — С. 313−316.
  18. Ф.Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. -М: Наука, 1977. 640 с.
  19. В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / В. В. Голубев. М.: Наука, 1966. — 436 с.
  20. Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного / Г. М. Голузин. М.: Наука, 1966. — 628 с.
  21. В.И. Некоторые краевые задачи для полианалитических функций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1976. -Вып. 13.-С. 80−85.
  22. В.И. Об одном обобщении полианалитических функций / В. И. Жегалов // Тр. Семинара по краевым задачам / Казанск. ун-т. 1975. -Вып. 12. — С. 50−57.
  23. Э.И. Двухэлементные краевые задачи и метод локально-конформного склеивания / Э. И. Зверович // Сибирский матем. журнал. 1973. -Т. 14, № 1.-С 64−85.
  24. Р.С. Дифференциальная граничная задача линейного сопряжения и её- применение к теории интегральных дифференциальных уравнений / Р. С. Исаханов // Сообщ. АН Груз. ССР. 1958. — Т. 20, № 6. — С. 659−666.
  25. Р.С. Линейные граничные задачи со смещениями теории функций: дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. -Тбилиси, 1983.-281 с.
  26. А.И. Математические методы двумерной упругости / А. И. Каландия. М.: Наука, 1973.-303 с.
  27. Д.А. Некоторые граничные задачи теории функций / Д. А. Квеселава // Тр. Тбилисского матем. ин-та. 1948. — Т. XVI. — С. 39−90.
  28. Г. В. Применение комплексной переменной в теории упругости / Г. В. Колосов. М.-Л.: ОНТИ, 1935.-224 с.
  29. Д.Б. Граничные задачи в теории массового обслуживания / Д. Б. Коэн. М.: Мир, 1987. — 272 с.
  30. М. Л. Интегральные уравнения / М. Л. Краснов. М.: Наука, 1975.-301 с.
  31. А.Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. СПб.: Изд-во «Лань», 2005.-432 с.
  32. М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. -М.: Наука, 1973. 736 с.
  33. С.В. Краевые задачи для функций, полианалитических в области: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Левинский Сергей Васильевич. -Одесса, 1991.-142 с.
  34. С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лех-ницкий. М.: Наука, 1977. — 415 с.
  35. Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г. С. Литвинчук. М: Наука, 1977. — 448 с.
  36. Г. Ф. Граничные задачи сопряжения со смещением для аналитических и обобщенных аналитических функций / Г. Ф. Манджавидзе. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1990. 174 с.
  37. А.И. Теория аналитических функций. В 2 т. Т. 1. / А. И. Маркушевич. М.: Наука, 1967. — 620 с.
  38. Ю.А. Об одной четырехэлементной краевой задаче типа Римана для бианалитических функций / Ю. А. Медведев, К. М. Расулов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». Челябинск, 2006. — Вып. 7. -№−7(62)-С. 54−58.
  39. Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. Смоленск, 2007. — 115 с.
  40. Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами / Л. Г. Михайлов. Душанбе, 1963. — 192 с.
  41. С.Г. Интегральные уравнения и их приложения к некоторым проблемам механики, математической физики и техники / С. Г. Михлин. -М.Л.: ГИТИ, 1949.-378 с.
  42. Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1966. — 707 с.
  43. Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. М.: Наука, 1968. — 511 с.
  44. И.И. Граничные свойства аналитических функций / И. И. Привалов. -М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 337 с.
  45. И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации / И. А. Прусов. -Минск, 1987.-182 с.
  46. К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К. М. Расулов. Смоленск: СГПУ, 1998. — 343 с.
  47. К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. — Минск, 1995.-241 с.
  48. К.М. Краевые задачи типа задачи Римана для полианалитических функций и некоторых их обобщений: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Расулов Карим Магомедович. Смоленск, 1980. — 125 с.
  49. К.М. Об одном общем подходе к решению классических краевых задач для полианалитических функций и их обобщений / К. М. Расулов // Дифференц. уравнения. 1993. — Т. 29, № 2. — С. 320−327.
  50. К.М. О решении одной видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге / К. М. Расулов, В. В. Сенчилов // Дифференц. уравнения. 2005. — Т. 41, № 3. — С. 415−418.
  51. К.М. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана в классах бианалитических функций в круге / К. М. Расулов, О. А. Титов // Литовский математический журнал. Вильнюс, 2006. — Т. 46, № 3. — С. 413−426.
  52. К.М. О решении одной краевой задачи типа Газемана для бианалитических функций / К. М. Расулов, Б. Ф. Фатулаев // Дифференц. уравнения. -2002. Т. 38, № 1.- С. 1−5.
  53. Т.Л. Задача сопряжения для бианалитических функций и её- связь с упруго-пластической задачей / Т. Л. Рева // Прикладная механика. Киев, 1972. -Т. 8, Вып. 10.-С. 65−70.
  54. B.C. Некоторые краевые задачи для полигармонического уравнения/B.C. Рогожин//Учен. зап. Казанск. ун-та. 1950. — Т. 110, кн. 4. — С. 71−93.
  55. Р.С. Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений / Р. С. Сакс. Новосибирск, 1975. — 160 с.
  56. С.Г. О сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнениях с аналитическими ядрами / С. Г. Самко // Изв. Сев.-кавказк. науч. центра высш. школы. Сер. естеств. наук. 1974. — № 4. — С. 86−94.
  57. В.В. Краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в круге: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Сенчилов Владислав Владимирович. Смоленск, 2006. — 101 с.
  58. И.А. Первая краевая задача типа Римана для полианалитических функций в случае произвольного контура / И. А. Соколов // Вестник Бел. гос. ун-та. Сер. 1. 1971.-№ 2. — С. 21−23.
  59. И.А. О краевых задачах типа Римана для полианалитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук / Соколов И. А. Минск, 1970.
  60. ТихоновА.Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М: Наука, 1972. — 735 с.
  61. Н. Сингулярные граничные задачи сопряжения: дис.. д-ра физ.-мат. наук: 01.01.01 / Усманов Нурулло. Душанбе, 2004. — 312 с.
  62. .Ф. Краевые задачи типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Фатулаев Бу-ба Фатулаевич. Смоленск, 2000. — 107 с.
  63. Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций / Л. И. Чибрикова. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1977. — 302 с.
  64. Balk М.В. Polyanalytic functions / М.В. Balk. Berlin: Akademie Verlag, 1991.-192 p.
  65. Bauer K.W. Uber einer der Differentialgleichung (1 + zJ)2Wr:J± ±n (n +1)W = 0 zugeordnete Functionentheorie / K.W. Bauer // Bonner math 1965. -Schrften 23.
  66. Begehr H. Boundary value problems in complex analysis / H. Begehr // Bo-letin de la Asociation Matematica Venezolana. 2005. — Vol. 12, № 1. — P. 65−85.
  67. Canak M. Einige Ergebnisse zur Theorie polyanalytischer Differential-gleichungen / M. Canak, Lj. Protic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). 2000. -Vol. 52.-P. 19−25.
  68. Damjanovic В. The boundary value problem for polyanalytic function in multiply-connected region / B. Damjanovic // Matematicki vesnik (Yugoslavia). -1986.-Vol. 38.-P. 411−415.
  69. Davis P. The Schwarz functions and its applications / P. Davis. Washington, 1974.-219 p.
  70. Rasulov K.M. About the solution in closed form of generalized Markushevich boundary value problem in the class of analytical functions / K.M. Rasulov // Mathematical modelling and analysis. 2004. Vol. 9, № 3. — P. 223−228.
  71. Shoe C.R. A boundary value problem of meta-analytic function in the unit circle / C.R. Shoe // Cyxak. 1986. — № 3. — P. 29−33.
  72. Stein M.E. Singular integrals and differentiability properties of functions / M.E. Stein. Princeton, 1970. — 303 p.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!