Краевая задача Римана на контурах неограниченной закрученности

0.1. Краевая задача Римана в классической постановке, как известно, заключается в следующем.

Дан простой замкнутый гладкий контур Г, разбивающий плоскость на две области: внутреннюю Г) и внешнюю D. На контуре заданы функции Get) и, удовлетворяющие условию Гёльдера, причём Gt 1)^0. /0.1/.

Требуется найти две функции аналитические соответственно в областях D и D — непрерывные вплоть до контура Г по краевому условию.

Tl) =Gc?)CPa) + get), ieT.

Задача /ОЛ/ впервые встречается в работах Б. Римана [I8S7 г.], затем в работах Д. Гильберта [1905 г.], И. Племеля [1908 г.], Т. Кар-лемана [1922 г.] как вспомогательная задача при исследовании некоторых проблем теории дифференциальных уравнений.

В 1934 году И. И. Привалов в своём докладе на втором Всесоюзном математическом съезде поставил задачу Римана как самостоятельную граничную задачу теории аналитических функций. И. И. Привалов предполагал [22], что контур Г — простой зашшутый спрямляемый, функции Gci) и^с^) — измеримые, причём (Gct)j € L^CT) L, (О, а решения (Z) и ^Рсг) представимы интегралом Коши через свои угловые предельные значения ^Ри) и Тс О.

При дополнительном предположении, что Gl-L)? hh С Г), И. И. Привалов высказал [221 некоторые общие соображения о разрешимости поставленной задачи Римана.

0.2. Впервые полное решение задачи Римана /0.1/ в замкнутой форме было дано в 1937 году Ф. Д. Гаховым.

Было установлено [ 3], что вопросы разрешимости и количества решений полностью определяются индексом Коши функции &U) по контуру Г :

7t=LncLr& U) ут? [.

Идя решений, исчезающих на бесконечности, результат Ф.Д.Гахо-ва может быть сформулирован в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи Римана /0.1/ и число условий разрешимости неоднородной задачи определяются по формулам:

Е0 = тале {о, 26j то — пгаос { О,-Эб] '.

Дальнейшие обобщения задачи Римана в классической постановке подробно изложены в монографиях Ф. Д. Гахова «Краевые задачи» [3] и Н. И. Мусхелишвили «Сингулярные интегральные уравнения» [19].

Отметим тут же, что в 1977 году А. А. Бабаев и В. В. Салаев получили [ I] этот же результат для задачи Римана в классической постановке, предполагая лишь, что контур Г спрямляемый и длина части контура Г, попавшая в круг радиуса? , не превосходит с-£, где С — константа.

0.3. В 1951 году Б. В. Хведелидзе дал полное решение задачи Римана в постановке Привалова, предполагая дополнительно [зз], что Г — ляпуновский контур, Gel)£ Нуоо (Г) Lp (Г) f.

Н<�р<�оо и *Р с г) tVcz) имеют угловые предельные значения, принадлежащие классу.

Было установлено [33], что и в этом случае остаётся справедливым результат Ф. Д. Гахова, сформулированный выше.

В дальнейшем в работах И. Б. Симоненко, И. И. Данилюка, В. Ю. Шелепова и других авторов было показано [33,7,1б], что этот же результат сохраняется для весьма широких классов контуров /кривых ограниченного вращения, К — кривых/ и коэффициентов /из класса и (П/.

Отметим, что в 1975 году Б. М. Кокилашвили и В. А. Пааташвили доказали [16]результат Ф. Д. Гахова для задачи Римана в постановке Привалова предполагая, что Gl+) — непрерывная функция, Gel) *о, а Г — спрямляемый контур, длина части которого, попавшая в круг радиуса &. , не превосходит с, где с — константа.

0.4. Относительно всех этих результатов важно отметить еледующее.

Характер разрешимости задачи Римана /как в классической постановке и упомянутых её обобщениях, так и в постановке Привалова/ зависит лишь от аргумента коэффициента Gel) /числа X /"но не зависит от контура Г и модуля коэффициента G U).

Некоторым исключением из этого правила является исключительный /не нетеровский/ случай задачи Римана /коэффициент Git) не отделён либо от нуля, либо от бесконечности/, в котором [3,19,33, 5,32] модуль коэффициента Gd) мог вызвать разве лишь уменьшение числа линейно независимых решений однородной задачи и числа условий разрешимости неоднородной задачи.

Отсюда, в частности, следует, что если рассмотреть модельный случай — задачу Римана с положительным коэффициентом Gii), то она не имеет решений, исчезающих на бесконечности и отличных от тождественного нуля.

Впервые зависимость разрешимости задачи Римана от контураГи модуля коэффициента GU) обнаружил в 1963 году Н. В. Говоров. Им был построен [4] пример однородной задачи Римана на специальном гладком контуре с неположительным индексом Коши коэффициента &U), имеющей, тем не менее, ограниченные и исчезающие на бесконечности решения, отличные от тождественного нуля. Эти решения в примере Н. В. Говорова возникали за счёт того, что модуль коэффициента GlI) имел в одной точке контура Г разрыв второго рода специальной конструкции.

Б дальнейшем, в 1978 году Р. К. Сейфуллаев обнаружил [24] это же, но уже для задачи Римана с кусочно-гёльдеровским коэффициентом на негладком контуре /примером может служить задача Римана с положительным и постоянным коэффициентом на логарифмической спирали/.

Отметим также работу Т. А. Запускаловой и Б. А. Каца [ II], в которой рассматривается аналогичная задача Римана, но при несколько иных условиях на контур и коэффициент.

Данную работу можно рассматривать как продолжение исследований Н. В. Говорова f4,5J, Р.К.Сейфуллаева[24], Т. А. Запускаловой и Б. А. Каца [п] и Т. А. Запускаловой fiol .

0.5. Прежде, чем перейти к описанию работ [24,II, I0], сделаем одно замечание о задачах Римана на негладких контурах /замкнутых или разомкнутых, неспрямляемых, квазиконформных/.

К настоящему времени имеется целый ряд работ /ссылки и информацию можно найти в [ю]/, в которых при различных предположениях на контур и коэффициент рассматриваются задачи Римана. Однако, и это подчеркнём особо, в указанных работах характер разрешимости определяется лишь аргументом коэффициента.

Поэтому, в дальнейшем указанные работы мы не рассматриваем,.

Мы не будем рассматривать также работы Б. А. Каца [ 12,13,141, посвящённые задачам Римана на жордановых контурах, так как, в частном случае, когда контур Г спрямляемый, причём длина части контура Г, попавшая в круг радиуса &, не превосходит х/ В [Ю] в качестве Г наряду с логарифмическими, рассматриваются также степенные спирали. Отметим, что степенные спирали не удовлетворяют ни условиям из [ 24], ни условиям данной работы. с ¦? , где с — константа, получаемые из указанных работ результаты покрываются результатами работ [l-24,II, I0l. 0.6. Рассмотрим работу Р. К. Сейфуллаева [24]х/. Пусть Г~ аТо-г — простой разомкнутый жорданов спрямляемый контур, удовлетворяющий условию рР где &t (f) — длина Г /1 [ г: I г-11* f] Доказывается, что.

—а-сцс.2 ФГ f-^OLe/) где d — диаметр контура Г .

При рассмотрении неоднородной задачи дополнительно требуется, чтобы контур Г удовлетворял условию:

Пусть Gd) к Cj U) — функции, заданные на контуре Г, (ус-Ь)Ф 0 и удовлетворяет условию Дини /этому условию, например, удовлетворяют гёльдеровы функции/, a удовлетворяет условию Гёльдера.

Решения задачи Римана ищутся в классе функций кусочно-голоморфных с линией скачков Г и исчезающих на бесконечности. х/ Для полноты обзора укажем также работу Р. К. Сейфуллаева [25], в которой рассматривается однородная задача Римана на контурах типа степенных спиралей.

Основной результат работы Сейфуллаева сформулируем в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной задачи вычисляются по формулам: ta = пъъх [О, -AiДг} > mo = rnch-x, {о, Л/ +, гда целые числа Л <, Л* определяются условиями (V-c?) А к) $ О, К.

К — V i (G"Lk)) 9 прир">0 ,?"=1 при.

Таким образом мы видим, что характер разрешимости данной задачи Римана может зависеть от контура Г и I G |. Отметим, однако, случай, когда, А к = А< = & /это имеет место, например, когда контур Г можно дополнить до замкнутого некоторой ломаной/. В этом случае, как следует из результата Р. К. Сейфуллаева, характер разрешимости полностью определяется аргументом коэффициента Get) 0.7. Рассмотримтеперь работы Т. А. Запускаловой и Б. А. Каца Llll и Т. А. Запускаловой [10].

Пусть Г= {?•? = г eocp (i • Q Ы), о < г ^ У}, Где Qct) непрерывно дифференцируемая на (о,*] функция, монотонно убывающая на (о г {] от + до 0. Пусть также I ^ I < с’ъ где С — константа. Контур Г — простой разомкнутый жорданов спрямляемый, закручивающийся вокруг точки t = 0 и удовлетворяет условию из [24]. Такие спирали называют спиралями логарифмического типа.

Пусть Get) = &xp2ufi[<) и < j V (х) (V-X)~'clX < /. о.

Предполагается также, чтоJ&-c*) ограничена на Г .

Пусть 4 л*Am. [ CI 4 JfrUbvMipacvJ-ft'^J^] ,.

J3 ' f" * p если Л — целое и Л1 /целая часть числа, А / в остальных случаях к".

При рассмотрении неоднородной задачи дополнительно требуется [Ю], чтобы функция V (Xj из определения класса К До,) удовлетворяла условию.

LM. -L-. L М*)<*"* coo.

J X^-X ' о.

Пусть далее = 1п у0 U), где д" с£) € Н^ (Г), у0(о) = 0, а неотрицательное целое число п и число ул определяются f10] в зависимости от контура I и функции.

Решения задачи Римана ищутся в классе функций, ограниченных и кусочно голоморфных с линией скачков Г .

Основной результат работ Т. А. Запускаловой и Б. А. Каца [ill и Т. А. Запускаловой [ю] /см.сноску на стр.6/ сформулируем в следующем виде: число линейно независимых решений однородной задачи и число условий разрешимости неоднородной задачи вычисляются по формулам:

I = Л1СХ. ОС [ 0,+^3, m = {o,-эе-O .

Таким образом, мы видим, что характер разрешимости данной задачи Римана также может зависеть от контура Г и .

0.8. Учитывая изложенное в п.п. 0.4,0.6,0.7, становится понятной необходимость более полного изучения влияния контура Г и |Gtl)|Ha характер разрешимости задачи Римана. Более того, возникает необходимость выделить топологические характеристики, которые описывают это влияние и которые входят в качестве компонент в формулу индекса задачи Римана.

Данная диссертация посвящена именно этим вопросам.

0.9. Диссертация состоит из введения и трёх глав, состоящих из девяти параграфов, списка основных обозначений и списка литературы.

1. Бабаев А. А., Салаев В. Б. Краевые задачи и сингулярные уравнения на спрямляемом контуре. — Мат. заметки, 1982, т.31, № 4, с. 571−580.

2. Балашов С. Е. Об особом интеграле типа Коши по спирали. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат., 1973, «2, с. 15−19.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977, 640 с.

4. Говоров Н. В. Пример разрешимой однородной краевой задачи Римана с отрицательным индексом её коэффициента. Учен.зап. Каб.-Балк. ун-та, 1963, вып. 19, с. 132−137.

5. Говоров Н. В. Об условиях неразрешимости однородной краевой задачи Римана с отрицательным индексом её коэффициента. Учен, зап. Каб.-Балк. ун-та, 1963, вып. 19, с. I24-I3I.

6. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинёв: Штиинца, 1973,426 с.

7. Данилюк И. И. Нерегулярные «граничные задачи на плоскости. М.: Наука, 1975, 296 с.

8. Дынькин Е. М., Осиленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения. В кн.: Математический анализ. Т. 21. М.: 1982, с. 42−129.

9. Евграфов М. А. Аналитические функции. М.: Наука, 1968, 471 с.

10. Запускалова Т. А. Краевые задачи теории аналитических функций на спиралеобразных контурах. Дис. канд. физ.-мат.наук.Казань, 1982, 118 с.

11. Запускалова Т. А., Кац Б. А. Краевая задача Римана на спиралеобразном контуре. В кн.: Труды семинара по краевым задачам. Казань, 1978, вып. 15, с. 79−83.

12. Кац Б. А. Краевая задача на негладком контуре бесконечной длины. Мат. заметки, 1983, т. 33, № 5, с. 669−678.

13. Кац Б. А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой. Изв. ВУЗов. Математика, 1983, № 4, с. 68−80.

14. Кац Б. А. Задача Римана на разомкнутой жордановой кривой.-Изв. ВУЗов. Математика, 1983, № 12, с. 30−38.

15. Кокилашвили В. М. 0 весовых неравенствах для сингулярных интегралов с ядром Коши на гладких контурах. Сообщ. АН Груз. ССР, 1978, т.90, № 3, с. 537−540.

16. Кокилашвили В. М., Пааташвили В. А. Краевая задача линейного сопряжения с измеримыми коэффициентами. Тр. Тбилис.мат.ин-та АН Груз. ССР, 1977, т.55, с. 59−92.

17. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956, 630 с.

18. Литвинчук Г. С., Спитковский И. М. Факторизация матриц-функций. Ч. 1−2. Одесса, 1984, 460 с. Рукопись представлена Одесским отд. ин-та экономики АН УССР. Деп. в ВИНИТИ, № 2410−84.

19. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968, 512 с.

20. Пааташвили В. А., Хускивадзе Г. А. Об ограниченности сингулярного оператора Коши в пространствах Лебега в случае негладких контуров. Тр. Тбилис. мат. ин-та АН Груз. ССР, 1982, т. 69, с. 93−107.

21. Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций.- М.-Л.:ГИТТЛ, 1950, 336 с.

22. Привалов И. И. Об одной граничной задаче в теории аналитическихфункций. Мат.сб., 1934, т. 41, Л 4, с. 519−526.

23. Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой. Мат. заметки, 1976, т.19, № 3,с. 365−380.

24. Сейфуллаев Р. К. Краевая задача Римана на негладкой разомкнутой кривой. Мат. сб., 1980, т. 112/154/, J6 2/6/, с.21−34.

25. Сейфуллаев Р. К. Разрешимость однородной краевой задачи Римана на разомкнутой кривой. В кн.: Теория функций и приближений. Труды Саратовской зимней школы 24 янв. — 5 февр. 1982 г., Саратов, 1983, с. 140−143.

26. Симоненко И. Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана. Изв. АН СССР. Сер.мат., 1968, т. 32, № 5, с. 11 381 146.

27. Симоненко И. Б. О глобальной и локальной факторизуемости измеримой матрицы-функции и нетеровости порождённого ею сингулярного оператора. Изв.ВУЗов. Математики, 1984, № 4, с. 81−87.

28. Симоненко И. Б. О замкнутости множества {(р,/) Wp (f)3и некоторых других свойствах весовых для сингулярного интеграла Коши функций в случае контуров класса R. Ростов-на-Дону, 1981, 27 е.- Рукопись представлена РТУ. Деп. в ВИНИТИ, Jfe 956−81.

29. Симоненко И. Б. Пример функции, удовлетворяющей условию Макен-хаунта, но не являющейся весовой для сингулярного интеграла Коши в случае контура, имеющего точки возврата. Ростов-на-Дону, 1983, 20 с. — Рукопись представлена РГУ. Деп. в ВИНИТИ, 1.2659−83.

30. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1979, 342 с.

31. Хавин В. П. Граничные свойства интегралов типа Коши и гармонически сопряжённых функций в областях со спрямляемой границей.-Мат.сб., 1965, т.68/110/, #4, с. 499−517.