Асимптотический подход в прямых и обратных задачах теории атомных столкновений

Асимптотический подход — он понимается в диссертации в весьма широком смысле играет в теории атомных столкновений ключевую роль. Примерами служат ее основные приближения — борцовское, квазиклассическое, адиабатическое [1−3]. Наряду с тем, что асимптотические методы важны для развития математического аппарата теории и для приближенного решения прикладных задач, в последнее время в связи с резким ростом вычислительных возможностей и расширением круга задач, изучаемых численно, возросла роль асимптотического анализа как составной части многих сложных расчетов. Он необходим в них для корректной постановки задачи и исследования различных областей параметров с целью выбора адекватных вычислительных схем, для контроля вычислений и расчета по аналитическим формулам, где это целесообразно, для интерпретации полученных результатов и оценки точности вычислений.

Рассмотренные в диссертации задачи различны по физической сути и объединены общим — асимптотическим — подходом, на котором основаны методы их исследования.

Целью диссертационной работы является исследование методами, развитыми на основе асимптотического подхода, следующих групп задач теории атомных столкновений:

1. вопросы, возникающие в адиабатическом и в адиабатическом гиперсферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел (асимптотика решений квантовой задачи двух кулоновских центров и неадиабатических матричных элементов в важных для приложений областях, связь адиабатического гиперсферического базиса с адиабатическим главы 1−3);

2. квантовое обобщение классической теории гармонического рассеяния (общая теория и анализ отдельных задач глава 4);

3. обратная задача (03) рассеяния центральным полем в квазиклассическом пределе (обобщение класса задач, сводящихся к уравнению.

Абеля, предельный переход в уравнении Марченко глава 5);

4. метод переменной спектральной плотности (ПСП) для квантовой ОЗ рассеяния с фиксированным моментом и квантовой ОЗ на конечном промежутке (теория и тестовые расчеты — глава 6).

Первая и вторая группа относятся к прямым задачам теории столкновений (в которых взаимодействие задано), а третья и четвертая — к обратным (где взаимодействие — искомая функция координат).

Полученные результаты разнообразны по характеру применения: часть из них представляет общетеоретический интерес и служит основой новых численных и аналитических методов, другие используются в расчетах конкретных физических систем.

Актуальность темы

.

Асимптотические разложения длинноволнового типа в задаче двух кулоновских центров. Адиабатический базис, который часто используется в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ), образован решениями задачи двух фиксированных кулоновских центров (система ¿-^е^) ~~ кулоновскими сфероидальными функциями (КСФ) [9]. Необходимость подробного его изучения обусловлена прежде всего фундаментальностью самой задачи двух центров, допускающей разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах г/. ср. В классической механике она детально изучалась еще Эйлером и Лежандром {4,5], а в теории атомных столкновений и в теории молекул она играет такую же основополагающую роль, как задача об атоме водорода в теории атома. Изучение КСФ имеет, кроме того, большое прикладное значение, поскольку они широко используются как базис (адиабатическое пг>е оставление). по которому паскладыва Гл .1 I I /7 1 *у 1 г~ ется полная волновая функция в расчетах конкретных трехчастичных систем. Задача при этом сводится к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений для коэффициентов, зависящих от межцентрового расстояния I? [6−1-0] (сохранение в сумме только одного слагаемого соответствует известному приближению Борна-Оппенгеймера.

6]). Метод адиабатического представления применяется, в частности, в исследованиях связанных состояний трехчастичных мезоатом-ных систем и процессов рассеяния 2 —> 2, важных в связи с проблемой /¿—катализа [10,11]. Вычисления для таких систем сложнее, чем для атомных, поскольку масса третьей частицы — мюона не может уже считаться подобно электронной массе пренебрежимо малой по сравнению с массами ядер. Реализация метода требует вычислени как самих КСФ, так и неадиабатических матричных элементов и радиальных функций в широком диапазоне /?. Обеспечить требуемую точность можно только максимально используя в алгоритме аналитические результаты для задачи двух центров, включая асимптотические формулы. Они применяются для привязки численных решений (например, при малых и больших Я), для исследования тех областей параметров, где требуется изменение алгоритма (граница сплошного спектра), для оценки вкладов различных областей спектра адиабатического гамильтониана в трехчастичную функцию и в энергию (в частности — вклада бесконечного числа дискретных состояний с энергиями вблизи границы сплошного спектра).

Имевшиеся в литературе аналитические результаты весьма полно отражены в монографии [9]- из нее, в частности, видно, что задача двух центров не была достаточно изучена при малых межцентровых расстояниях (Я —" 0) и вблизи границы сплошного спектра (Е —" 0). Эти вопросы исследуются в первой главе диссертации. Основной трудностью здесь является неаналитичность по Д и по? в указанных областях. На неаналитичность энергии терма Еи (Я) при Я —> 0 указывает, например, появление логарифмического члена в разложении по малому Я поправки второго порядка теории возмущений для энергии [9]. В диссертации развита асимптотическая техника, позволившая раскрыть происхождение этой особенности и адекватно ее описать. На основе этой техники и различных вариантов метода эталонного уравнения получены асимптотические формулы, описывающие поведение КСФ, термов и фаз при Я —> 0 и при Е —" 0 для различных соотношений между зарядами Z и Z4.

В разделе 1.1 исследуется радиальная задача в сплошном спектре (Е > 0), когда параметр с — R^jE/2 стремится к нулю. Развитый метод позволяет в принципе получить асимптотику с любой точностью и выделить неаналитическую по R часть, происхождение которой связано с неоднозначностью в общем случае радиальной функции при обходе точки? — оо. С использованием полученных соотношений в разделе 1.2 исследуется дискретный спектр радиальной задачи nppi R —> 0. Асимптотика решений угловой задачи и фаз рассеяния двумя кулоновскими центрами Amq при малых R (т — азимутальное число, q — число нулей угловой функции) построены в разделе 1.3 [42−44].

Дискретный спектр полной (т.е. трехмерной) задачи ZeZ<2 исследуется в разделе 1.4, где получено разложение при R —> 0 энергии терма Enim{R) <* произвольными квантовыми числами [41] (п — главное квантовое число, I — q + т — орбитальный момент объединенного атома). Оно состоит — как и разложение для фазы из двух частей: регулярной, содержащей четные степени i?, и нерегулярной, содержащей, начиная со степени 21 + 1, нечетные степени R и lili?. Регулярная часть получена с учетом членов порядка 0{/?4), а нерегулярная — с учетом членов 0(i?z/+3) и 0(Kzl+5 ln R) — для состояний с I = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0(Д5) и O (R^lnR) [41]. Как для энергий термов, так и для фаз рассеяния анализируется выход на асимптотику результатов численного расчета при малых R.

Структура разложений энергий и фаз при R —" 0 исследована в общем случае впервыеасимптотика для терма с произвольными п, 1, т была вычислена ранее до 0(R2) включительно (только первый поправочный член), а для основного состояния — до ()(Rh) [84]- асимптотика фаз не вычислялась. Развитая в разделах 1.1−1.4 техника и асимптотические формулы использовались впоследствии в работах других авторов, в частности, непосредственно для разработки численных алгоритмов и в аналитических выкладках [198].

В полученные разложения термов и фаз рассеяния при R, —у 0 входит в возрастающей степени параметр з = ZlZ<2?{Z + Поэтому они теряют точность, а затем и смысл, когда Z^? —> —Z^?. Физическая причина ясна: в разложении потенциала по мультиполям, главные члены которого определяют спектр при малых Я, второй член (дипольный) начинает превалировать над первым (заряд объединенного атома), и спектр из возмущенного кулоновского превращается в возмущенный дипольный (разделы 1.5, 1.6, 1.7).

В разделе 1.5 получены соотношения, описывающие выход в континуум и экспоненциальное поведение вблизи его границы термов конечного диполя [36]. Сплошной спектр этой задачи — асимптотика фаз рассеяния и особенности рассеяния полем диполя при низких энергиях рассматривается в разделе 1.6 [37−39]. Полученные результаты важны для исследований рассеяния электронов полярными молекулами и включены в книгу [117] и в обзоры [14,199].

В разделе 1.7 исследуются решения задачи ZeZч в окрестности границы сплошного спектра в случае, когда параметр в = ZZч{Z—Z2)~'1 велик, 5 1 [40]. Эти решения представляются как решения для конечного диполя с возмущением. Получены асимптотические формулы для точек выхода, для наклона термов, положения и ширины квазистационарных с, о стояний.

В разделе 1.8 изучается спектр системы ZeZч в окрестности нулевой энергии для случая Z = Z [58,71]. Получены ведущие при Е —> 0 члены разложений фаз рассеяния, энергий и волновых функций связанных состояний. Они выражаются через характеристики волновой функции нулевой энергии — нормировочную константу ]У?гп (а) и фазу Ф 1 т (а), а = + Z.

Асимптотика неадиабатических матричных элементов при малых и больших К необходима для расчетов в адиабатическом представлении как связанных состояний, так и процессов рассеяния 2 2 в системе трех тел с кулоновским взаимодействием. Точность всего расчета существенно зависит от точности вычисления матричных элементов, для которого главным (если не единственным) средством контроля является совпадение с асимптотикой. Малые Я характерны тем, что во многих случаях выражение для матричного элемента в сфероидальных координатах представляется в виде суммы слагаемых, старшие члены которых при Я —> 0 взаимно сокращаютсядля более точного вычисления всей суммы требуется соответствующая аналитическая формула. Асимптотика при больших Я нужна потому, что численный расчет всегда ведется до некоторого конечного Я = /Г, и необходимо во-первых, убедиться в его надежности при К* > 1 и, во-вторых, аппроксимировать матричные элементы в области Я > Я*.

Во второй главе диссертации исследуется асимптотика при Я —> со и при Я —> 0 матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектров задачи Z^eZ<2. Раздел 2.1 посвящен большим Я [45,47,54,67]. Основная задача, которую приходится здесь решать, — это нахождение асимптотики интегралов, которые оказываются экспоненциально малыми по сравнению с максимумом модуля подынтегральной функции на пути интегрирования [46]. Асимптотика при малых Я исследуется в разделе 2.2 [54,67]. Основной применяемый здесь прием — преобразование матричного элемента к виду, допускающему вычисление с использованием функций объединенного атома. Это достигается с помощью подходящих коммутационных соотношений. В обоих случаях Я —у оо и Я —" 0 исследование асимптотики проводилось в непосредственном взаимодействии с численным расчетом и использовалось для его контроля, приводятся соответствующие таблицы сравнения и указываются области, где происходит выход на асимптотику.

Полученные результаты использовались другими авторами в практических расчетах сечений упругих столкновений и перезарядки в ме-зоатомных системах [12,13] и при выводе приближенных формул для матричных элементов [200]. Метод вычисления интегралов специального вида, развитый при анализе асимптотики при Я 1 [46], вошел в монографию серии «Справочная математическая библиотека» [201] (стр.325−327).

Равномерная асимптотика квазиклассического типа в задаче двух кулоновских центров. Аналитические результаты для задачи 2 с, важны, в частности, для исследований, в которых можно ограничиться несколькими адиабатическими состояниями, например, в теории медленных атомных столкновений [3,15,133−137]. Особый интерес представляют квазистационарные состояния, а также свойства термов в комплексной плоскости К. в частности, точки ветвления, определяющие вероятность перехода при медленных столкновениях [15]. Необходимо не только получить для них приближенные аналитические формулы, но и понять их происхождение. Эти вопросы исследуются в третьей главе (разделы 3.1−3.5) на основе квазиклассического подхода [60,61,63−66,68]. Устанавливается связь квазистационарных состояний и точек ветвления со случаями предельного движения в классической задаче [143]. Они реализуются, когда точки остановки в радиальном или угловом уравнении сливаются либо друг с другом, либо с границей промежутка? — 1 или 7/ = ±1 — различные возможности рассмотрены в разделах 3.2 — 3.5. При помощи предложенной техники, основанной на методе эталонного уравнения, построена равномерная асимптотика квазиклассического типа в окрестностях соответствующих особенностей, которая описывает, в частности, бесконечные серии квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости межцентрового расстояния К.

Полученные формулы использовались рядом авторов в квазиклассических расчетах сечений упругих и неупругих столкновений мезоатомов [202] и в других работах.

Связь адиабатического гиперсферического и адиабатического подходов к кулоновской проблеме трех тел. В последнее время в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ) все шире используется адиабатический гиперсферический (АГС) подход, впервые примененный Мейсиком для описания автоионизационных состояний гелия [16] и хорошо зарекомендовавший себя в атомных и мезоатомных расчетах (см. [17−20] и имеющиеся там ссылки). Для процессов рассеяния 2 —>¦ 2 в КIIТТ. в частности, для процессов с перестройкой, он обладает существенным преимуществом по сравнению с обычным адиабатическим подходом: отдельные члены, А ГС-разложения в асимптотической области переходят в волновые функции невзаимодействующих фрагментов с правильными приведенными массами [15]. Существенно также то, что в отличие от обычного адиабатического базиса, состоящего из КСФ дискретного и сплошного спектра, АГС-базис состоит только из состояний дискретного спектра. Несмотря на отмеченные различия, во многих отношениях оба подхода весьма схожи. Важной задачей является вывод строгих формальных соотношений, описывающих связь между ними, поскольку многие результаты, полученные для разложения по КСФ, переносятся на АГС случай с небольшими изменениями, а сами базисные АГС-функции могут быть выражены в определенном приближении и в определенной области конфигурационного пространства через более простые и хорошо изученные КСФ. Связь АГС-базиса с КСФ исследуется в диссертации (разделы 3.6, 3.7) при помощи асимптотических формул квазиклассического типа [7274]. В частности, описан переход от чисто дискретного АГС-спектра к смешанному (дискретный + сплошной) спектру задачи двух куло-новских центров при стремлении массы третьей частицы к нулю и превращение в этом пределе квазипересечений АГС-термов в точные пересечения термов задачи двух кулоновских центров, обладающей более высокой симметрией. Предложена сфероидальная классификация состояний АГС гамильтопиана.

Полученные асимптотические результаты являются составной частью расчетов мезоатомных систем в АГС подходе [19,20,148−155].

Гармоническое рассеяние (ГР) в приближении эйконала, В.

1980 году Ю. Н. Демков [21,22] открыл уникальный и довольно широкий класс задач, которые, с одной стороны, соответствуют реальным физическим условиям для самых разных проблем, а с другой — обладают особенно простыми свойствами. Речь идет о гармоническом рассеянии. Это рассеяние на малые углы быстрых заряженных частиц электростатической и магнитостатической мишенью, когда рассеивающий потенциал гармоничен — удовлетворяет уравнению Лапласа. Области, в которых могут быть использованы методы ГР, весьма разнообразны: рассеяние иона молекулой, скользящее рассеяние поверхностью твердого тела, прохождение быстрых частиц через тонкие пленки, рассеяние протонов деформированными ядрами, электронная оптика. В классической механике ГР сводится к конформному отображению плоскости параметра удара на плоскость переданного импульса. Это дает возможность впервые в теории рассеяния — применить аппарат теории конформных преобразований подобно тому, как он применяется для плоских задач электростатики, гидродинамики и теории упругости.

Из сказанного следует актуальность обобщения теории ГР на квантовый случай. Оно строится в четвертой главе диссертации на основе приближения Глаубера [23] (эйконала) для амплитуды рассеяния, когда она представляется в виде интеграла по плоскости параметра удара. Развиваемые методы позволяют реализовать высказанную Ю. Н. Демковым идею о разделении переменных в эйкональном интеграле в случае гармонического потенциала. В результате оказывается возможным представить ее в виде суммы произведений контурных интегралов в целом ряде важных для приложений случаев.

В разделе 4.1 рассматривается рассеяние заряженной частицы системой кулоновских центров [48,49] и описывается процедура разделения переменных. Она основана на аналитическом продолжении подынтегральной функции в эйкональном интеграле по одной из переменных, надлежащей деформации контура интегрирования и введения понятий комплексного параметра удара Ь и комплексного переданного импульса р. В результате амплитуда представляется в виде конечной суммы парных прозведений функции от р на функцию от р*. С помощью развитой техники получено представление эйкональной амплитуды через известные специальные функции для ряда важных конкретных задач (раздел 4.2): два кулоновских центра, конечный диполь, точечный диполь, заряд + точечный диполь, потенциал а/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид [48,57]. В разделе 4.3 исследуется переход к большим и малым переданным импульсам и специфика картины рассеяния в этих случаях. В разделе 4.4 детально исследуется гармоническое рассеяние вблизи сингулярностей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйконал ьном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь) [50,51]. Для амплитуды рассеяния получено выражение через аналоги функций Бесселя и Эйри, удовлетворяющие уравнению порядка п, исследованы их основные свойства. Получены разложения амплитуды вблизи сингулярности и вдали от нее.

Квазиклассические методы в обратной задаче (ОЗ) рассеяния центральным полем. Для 03 рассеяния центральным полем в диссертации (глава 5) исследуются два вопроса, сформулированные в литературе ранее. Они важны для обобщения известных методов решения и для углубления понимания классической, квазжклассической и квантовой обратных задач и их взаимосвязи. Первый это вопрос о восстановлении потенциала по данным рассеяния, заданным на некоторой кривой в плоскости энергия Е — угловой момент Ь. Он возникает в связи с тем, что информацияо рассеянии, заданная в виде функции двух переменных Е, Ь (фаза рассеяния ¿-¡-(Е) в квантовой задаче или угол рассеяния х{Е, Ь) в классической), является избыточной: искомый сферически-симметричный потенциал У (г) — это функция только одной переменной г, и для нахождения У (г) данные рассеяния необходимо знать в плоскости (Е, Ь) лишь на некоторой кривой. В диссертации (раздел 5.1 [52]) получен общий вид кривых, для которых классическая и квазиклассическая 03 сводятся к уравнению Абеля — это двупараметрическое семейство парабол. Показано, что решение квазиклассической обратной задачи рассеяния есть комбинация решений двух независимых классических задач с различными исходными данными — углом рассеяния и временем задержки, изучен переход к известным алгоритмам при частных значениях параметров. Рассмотрены кривые, для которых 0−3 решается в несколько этапов поочередным применением преобразования Абеля и формул прямой задачи, Описаны случаи, когда результат может быть представлен в виде явной функции V® или r (V). Рассмотрены примеры.

Квантовая 03 на указанном семействе парабол была исследованана в работе Захарьева и Рудяка [27].

Второй вопрос, на актуальность исследования которого указывается, например, в монографии Шадана и Сабатье [28], — это квазиклассический предельный переход в методе Гельфанда-Левитана-Марченко [28−33] - основном точном методе решения квантовой ОЗ. Изучение перехода к квазиклассике, где физическая интерпретация наиболее наглядна, могло бы пролить свет и на физическое содержание точного метода, которое до конца еще не выяснено [34]. Анализ конкретных моделей (см., например, [184]) не вносит ясности в этот вопрос, так как для них предельный переход осуществляется фактически в окончательных формулах, относящихся только к данной модели.

В диссертации переход к квазиклассике изучен в уравнении Марченко для s-волны (раздел 5.2 [55,56]), Построена асимптотика при U —У О ядра оператора преобразования решения свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа ¿-'-матрицы. Показано, что в результате предельного перехода получается известное соотношение, связывающее квазиклассическую фазу рассеяния с потенциалом, но в специальном представлении в пространстве функций, преобразованных по Ле-жандру. Потенциал находится далее последовательным применением преобразований Лежандра и Абеля. При этом второй этап решения.

03 — восстановление потенциала по найденному ядру в квазиклассическом случае выглядит существенно иначе, чем в точном методе: в квазиклассческом пределе асимптотика ядра оператора преобразования строится вдали от диагонали, тогда как в квантовом алгоритме именно эта область является наиболее важной, поскольку потенциал восстанавливается по производной ядра на диагонали. В качестве примера подробно рассматривается 5-рассеяние на экспоненциальном потенциале отталкивания.

Метод переменной спектральной плотности (ПСИ) в квантовой обратной задаче развивается в шестой главе диссертации [59, 62,69.70]. Он основан на исследовании спектральной плотности задачи на промежутке с переменной левой границей г. Показано, что эта величина — переменная спектральная плотность (ПСП) — рассматриваемая как бесконечный набор функций от г, пронумерованный спектральным параметром (энергия) как индексом (дискретным или непрерывным), удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по г, в которой дискретному спектру соответствует обычное суммирование, а непрерывному — интегрирование. Система нелинейна. Данные рассеяния, т. е. спектральная плотность при г = 0, служат для нее начальными условиями, а нахождение спектральной плотности при г > 0 сводится к решению задачи Коши. После этого потенциал в точке г определяется уже известными методами.

Разработка метода ПСП представляет интерес с одной стороны потому, что для довольно широкого круга задач он удобен при численной реализации. Дело в том, что в нем искомые величины (в простейшем случае амплитуда решения Поста уравнения Шредингера) являются, как правило, плавными функциями координат и энергии. Это дает вычислительные преимущества, аналогичные возникающим в п рямой задаче, когда с целью повышения эффективности вычислительных алгоритмов от линейного уравнения Шредингера для волновой функции переходят к нелинейному уравнению для ее амплитуды [35].

С другой стороны, предложенная схема интересна чисто теоретически, так как речь идет о новом точном методе решения квантовой обратной задачи, не имеющем близких аналогов.

Развитый метод не предполагает малости какого-либо параметра. Использование асимптотического подхода при его разработке оказывается тем не менее существенным: для точной задачи он строится как обобщение разработанного в случае, когда применима теория возмущений, и все уравнения в первом порядке линейны. Кроме того, линеаризованные уравнения дают возможность относительно просто исследовать принципиальные моменты.

Метод ПСП развит в диссертации для двух обратных задач: 1) обратной задачи рассеяния центральным полем при фиксированном угловом моменте I и 2) обратной задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке. Рассмотренные примеры численной реализации показывают, что для обеих задач предложенный подход дает весьма хорошие результаты даже при использовании самых простых вычислительных схем.

Для простейшего случая — 5-рассеяния в отсутствие связанных состояний — метод излагается в разделе 6.1 [59,62], где выведено основное интегро-дифференциальное уравнение для спектральной плотности (т.е. в данном случае для модуля функции Иоста Е (Е, г)). Случай рассеяния с произвольным моментом при произвольным числе связанных состояний рассмотрен в разделе 6.2 [70]. Здесь получена нелинейная система уравнений для спектральной плотности — т. е. модуля функции Иоста Е (Е, г) и набора уровней энергии Еп (г) и нормировочных констант Сп (г) связанных состояний. Примеры численного решения квантовой обратной задачи рассеяния предложенным методом при значениях момента / = 0,1 для потенциалов с различным числом связанных состояний приведены в разделе 6.3.

В разделе 6.4 метод ПСП распространен на задачу восстановления потенциала по дискретному спектру (набору собственных энергий и нормировочных констант) задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке [69]. Приведены примеры численной реализации предложенного метода.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [36]-[74].

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр квантовой механики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета, в Физико-Техническом Институте имени А. Ф. Иоффе, Объединенном Институте Ядерных Исследований, Российском Научном Центре «Курчатовский институт», Институте Физики Высоких Энергий, Университете Фрибурга (Швейцария), Окриджской Национальной Лаборатории (США), на Международной (Белград, 1973) и на Всесоюзных конференциях по физике электронных и атомных столкновений: Тбилиси (1975), Петрозаводск (1978), Ленинград (1981), Рига (1984), Ужгород (1988), на семинаре «Теория атомов и атомных спектров» Тбилиси (1988), на 14-ой Международной конференции Few Body Problems in Physics, Вильямсбург (1994). Цикл работ «Гармоническое рассеяние», частью которого являются результаты четвертой главы диссертации, в 1995 году был удостоен премии имени В. А. Фока Российской Академии Наук (совместно с Ю.Н.Демковым).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Изучена асимптотика волновых функций, энергетических термов и фаз рассеяния в квантовой задаче двух кулоновских центров (система ZcZ•1) при малых межцентровых расстояниях К. Разложение энергии терма состоит из степенной и логарифмической частейстепенная часть для терма с произвольными квантовыми числами получена с учетом членов порядка О (Л4), а логарифмическая с учетом членов 0(Д2/+51п К) (/ - орбитальный момент объединенного атома) — для состояний с / = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0(Я, Ъ) и 0(Е&- 1пД) соответственно. Асимптотическое разложение фазы рассеяния имеет такую же структуру и получено с такой же точностью.

2. Исследованы решения задачи двух кулоновских центров вблизи границы континуума для дипольного (^ + ^ = 0) и близкого к нему (Z2 — Z [^1 + Zч = 0(1)) случаев, а также для случая Zl = Z2 > 0. Получены асимптотические формулы, детально описывающие структуру дискретного спектра, который в зависимости от параметров носит либо кулоновский, либо дипольный характер: выход термов в сплошной спектр для диполя, расщепление точек выхода и ширину квазистационарных уровней при Z + < 0, квантовый дефект при + ^ > О для различных случаев. В сплошном спектре изучено поведение фаз и амплитуды рассеяния при низких энергиях.

3. Построена асимптотика неадиабатических матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра задачи двух кулоновских центров, в области больших и малых Л, необходимая для расчетов связанных состояний и процессов рассеяния в системе трех тел с кулоновским взаимодействием ъ адиабатическом представлении.

4. Изучены особенности решений квантовой задачи двух кулоновских центров в областях параметров, соответствующих случаям вырождения классических точек остановки, когда в классической задаче имеет место предельное движение. Построены равномерные асимптотические формулы квазиклассического типа в этих областях, и установлена связь указанного вырождения с бесконечными сериями квазистационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости Я.

5. Исследована связь адиабатического и адиабатического гиперсферического (АГС) базисов в кулоновской проблеме трех тел. Получены асимптотические формулы, описывающие переход базисных АГС-функций в кулоновские сфероидальные функции, когда масса третьей частицы стремится к нулю. Чисто дискретный энергетический спектр АГС-гамильтониана переходит при этом в смешанный спектр задачи двух кулоновских центров, а квазипересечения АГС-термов в точные пересечения двухцентровых термов. Предложена сфероидальная классификация состояний АГС-гамильтониана.

6. Разработаны методы разделения переменных в эйкональном интеграле для амплитуды рассеяния гармоническим потенциалом, позволяющие обобщить на квантовый случай классическую теорию гармонического рассеяния. Амплитуда представляется при этом в виде суммы парных произведений контурных интегралов, зависящих от комплексного переданного импульса и от комплексно сопряженной к нему переменной. В частности, амплитуда рассеяния системой N кулоновских центров и некоторыми другими мишенями (конечный диполь, точечный диполь, заряд + диполь, потенциал а/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид) получена в виде конечной суммы парных произведений известных спецфункций.

7. Детально изучено гармоническое рассеяние вблизи сингулярно-стей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйкональном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь). Для амплитуды рассеяния получено выражение через спецфункции обобщения функций Бесселя и Эйри — которые являются решениями уравнения порядка п. Исследованы их основные свойства, а также разложения для амплитуды в окрестности сингулярной точки и вдали от нее.

8. Исследована классическая и квазиклассическая задачи о восстановлении сферически симметричного потенциала по данным рассеяния, заданным на кривой в плоскости энергия угловой момент. Получен общий вид кривых — это семейство парабол — для которых указанные обратные задачи сводятся к уравнению Абеля. Выведенные формулы обращения переходят в ранее известные при частных значениях параметров. Исследованы случаи, в которых решение может быть представлено в виде явной функции.

9. Исследован квазиклассический предел в уравнении Марченко в случае й-волны, построена асимптотика ядра оператора, преобразующего решение свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа^{-матрицы.} Показано, что уравнение для ядра обратного оператора преобразования, эквивалентное уравнению Марченко, в пределе приводит к квазиклассическому соотношению между потенциалом и фазой рассеяния. В качестве примера детально рассмотрено «-рассеяние на экспоненциальном потенциале.

10. Для квантовой обратной задачи рассеяния с фиксированным моментом / и квантовой обратной задачи на конечном промежутке предложен новый точный метод решения метод переменной спектральной плотности (ПСП). Он основан на нелинейном уравнении (системе уравнений), которому удовлетворяет спектральная плотность задачи с переменной левой границей г. Обратная задача сводится к задаче Коши для этого уравнения, причем данные рассеяния играют роль начальных условий. Благодаря достаточно плавной зависимости ПСП от г и от Е для широкого круга задач, метод удобен при численной реализации, что подтверждено тестовыми расчетами для ряда примеров.

Благодарности.

Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность Ю. Н. Демкову, И. В. Комарову и С. Ю. Славянову за постоянное внимание, многолетнюю поддержку и сотрудничество, многочисленные стимулирующие обсуждения задач, рассмотренных в диссертации.

Автор благодарен всем другим своим соавторам, всем участникам семинаров на кафедрах квантовой механики и математической физики Университета, в ОИЯИ, ИФВЭ, ФТИ, Курчатовском институте, где в разное время обсуждались отдельные результаты, вошедшие затем в диссертацию.

Автор благодарен своим оппонентам за нелегкий труд по оппонированию диссертации.