Дифференциальные и порождающие идеалы и нулевые множества их образующих

Задача о характеризации всех конечнопорожденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В настоящей работе она будет исследоваться для весовых пространств целых в CN функций. Поэтому как саму ее постановку, так и краткую предысторию мы дадим, коснувшись лишь тех работ, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации, никоим образом не претендуя на полноту освещения всех направлений в ее исследовании.

Задача о порождающих заключается в следующем: Пусть Е — некоторое кольцо целых в С^ функций- 3″ = (/i,., fm).

— фиксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо pern шить вопрос о том, когда идеал Е[3] := {/ = gjfj: gj? Е, j=i.

1 ^ j К с образующими fi,., fm совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы мы условимся в дальнейшем называть порождающими.

Задача о характеризации порождающих идеалов исследовалась А. Ф. Леонтьевым [17], В. В. Напалковым [20], А. Ю. Тимофеевым [23]-[25], [36], Ф. А. Шамояном [27], L. Carleson'oM [28], W. Hennekemper'oM [29], L. Hormander'oM [30], J.J.Kelleher'oM и В.А.ТауЬг'ом [31], [32], H. Scoda [35]. Начиная с работы [28], относящейся к кольцу аналитических ограниченных в единичном круге функций, условия, при которых система функций порождает конкретное кольцо целых функций, даются через оценку снизу ¡-^(г)] + • • • + |/т (г)| [8], [17], [20], [23], [28], [30]-[35].

В [29] ¥-.Неппекетрег рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка: оо, 0) с:={/€ Я (С)| Зр> ОЗС > 0 :1п|/(*)| < гр + С, V* е С}.

Он показал, что [оо, 0) с[Э:] совпадает с [оо, 0) с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие.

Существует р > 0 такое, что при любом г е С хотя бы одна из функций набора 5 Г не обращается в нуль (1) в круге {ио 6 С| |" — — г < р~1 ехр (—.

Кроме того, там же установлено, что [оо, 0) с[Эг] = [оо, 0) с тогда и только тогда, когда [оо, 0) с[?] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования. Заметим, что условие ?.Неппекетрег'а (1) эквивалентно такому:

Зр > 0: 1п—^ гр + р, Мг е С, аф) где аф) := 8пр{сг > 0| ^ (1 ^ у ^ т): /Д0 ф 0 при (- г < <*}.

Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в С функций минимального типа при порядке р (см. [24], [36]) и [р, оо]с — всех целых в С функций, имеющих порядок не выше р ([25]). Но, как будет показано в диссертации, соответствующие результаты [24], [25], [36] ошибочны. Более того, будет установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции (1з{г) невозможна. Других результатов в данном направлении нам неизвестно.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями, подчиненными некоторым достаточно общим свойствам. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:

• характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;

• описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;

• выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;

• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;

• применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.

Диссертация состоит из Введения и трех глав, первая глава разделяется на два разделав первой главе мы придерживаемся тройной нумерации параграфов (§ I.I.3 — третий параграф раздела I главы I), определений, получаемых утверждений и формул (определение I.I.1 — определение 1 раздела I главы Iтеорема I.II.3 — теорема 3 раздела II главы I- (I.II.1) — первая формула раздела II главы I) — во второй и третьей главах — двойная нумерация параграфов (§ III. 1 — первый параграф главы III) и тройная — пунктов, утверждений и формул (п. II.1.3 — третий пункт § II. 1- теорема III.2.2 — теорема 2 § III.2- (II.3.2) — вторая формула § II.3).

1. Абанин A.B. Модификация метода Л. Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3−12.

2. Агранович П. З. Индикаторы голоморфных функций многих переменных J/ Дисс.. канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1978.

3. Братищев A.B. Базисы Кете, целые функции и их приложения // Дисс.. доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1998.

4. Гришин А. Ф., Руссаковский A.M. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1985. Вып. 44. С. 32−42.

5. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

6. Епифанов О. В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83−92.

7. Епифанов О. В. О порождающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 44−46.

8. Ибадов Н. В. Неоднородные системы уравнений свертки в одном классе аналитических функций // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 39−49.

9. Коробейник Ю. Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Матем. сб. 1966. Т. 71. № 4. С. 535−544.

10. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 1. С. 73−126.

11. Коробейник Ю. Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки Л Матем. сборник. 1991. Т. 182. № 5. С. 661−680.

12. Коробейник Ю. Ф. Описание общего вида нетривиальных разложений нуля по экспонентам. Приложения // Известия АН СССР, сер. матем. 1991. Т. 55. № 5. С. 1049−1069.

13. Коробейник Ю. Ф. О ядре оператора свертки // Ростовский государственный университет: Ежегодник'91. Ростов н/Д., Изд-во Рост, ун-та, 1992. С. 32−43.

14. Красичков-Терновский И. Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. 1978. Т. 24. № 4. С. 531−546.

15. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956. 632 с.

16. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989.

17. Леонтьев А. Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 735−752.

18. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

19. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов из экспонент. М.: Наука, 1983. 175 с.

20. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.

21. Ронкин Л. И.

Введение

в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

22. Ронкин Л. И. Целые функции // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 9 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986. С. 5−36.

23. Тимофеев А. Ю. О представлении решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений // Матем. заметки. 1982. Т. 31. № 2. С. 245−256.

24. Тимофеев А. Ю. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их приложения: Учебное пособие по спецкурсу // Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 1989. 71 с.

25. Тимофеев А. Ю. Дифференциальные идеалы в пространствах целых функций I / Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 99−101.

26. Ткаченко В. А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Известия АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41. № 2. С. 378−391.

27. Шамоян Ф. А. Приложения интегральных представлений Джр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 3. С. 557−561.

28. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547−559.

29. Hennekemper W. Uber Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V. 46. P. 250−256.

30. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943−949.

31. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246−249.

32. Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions //J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190 209.

33. Korobeinik Yu.F. Absolutely representihg systems and convolution operators in the complex domain } j Turkish Journal of Mathematics. 1996. V. 20. N 2. S. 219−225.

34. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabrysehen Luckensatzes // Nachr. Gesell. Wiss. Gottingen. 1927. S. 187−195.

35. Scoda H. Application des techniques L2 a la theorie des ideaux d’une algebre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sei. Ec. Norm. Sup. 1972. 4-e serie. V. 5. N 4. P. 545−579.

36. Timofeev A.Ju. Die Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen, die bei vorgegebener Ordnung Minimaltyp besitzen // Math. Nachr. 1990. V. 147. P. 89−94.

37. Абанин A.B., Шабаршина И. С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3−5.

38. Абанин A.B., Шабаршина И. С. О совпадении дифференциальных и порождающих идеалов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 87−88.

39. Абанин A.B., Шабаршина И. С. Порождающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих // Доклады АН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151−153.

40. Шабаршина И. С. О порождающих для некоторых пространств целых функций // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1999. С. 23−24.

41. Абанин A.B., Шабаршина И. С. Нулевые множества образующих и дифференциальные идеалы // Международная школа-семинарпо геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н. В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 85−86.

42. Шабаршина И. С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26−29.

43. Шабаршина И. С. О факторизации оператора свертки // Актуальные проблемы математического анализа: Сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: Изд-во «Гинго», 2000. С. 165−170.