Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью
Гасымов М. Г., Разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка с особенностью в нуле // Труды летней школы по спектральной теории операторов и теории представления групп. Баку: Изд-во ЭЛМ. 1975. Кудишин П. М., О единственности решения обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Региональная научная конференция… Читать ещё >
Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т. д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных
приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полно изучены обратные задачи для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля у" + ч (х)у (0.1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В. А. Амбарцумяну [72], который исследовал исключительный случай восстановления потенциала д (х) по спектру. Дальнейшее развитие теория обратных задач получила в работе Г. Борга [76]. Он доказал единственность восстановления функции д (ж) на конечном интервале по двум спектрам дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с одним общим краевым условием. Аналогичный факт был установлен Н. Левинсоном [83], но для других спектральных характеристик. В работе А. Н. Тихонова [52] получена теорема единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля.
Важную роль в спектральной теории дифференциального оператора Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. К решению обратной задачи оператор преобразования первым применил В. А. Марченко [30], [31]. Он доказал, что дифференциальный оператор Штурма-Лиувилля, заданный на полуоси или конечном отрезке, однозначно определяется заданием спектральной функции.
Более сложной задачей является построение конструктивной процедуры восстановления дифференциального оператора и описание необходимых и достаточных условий на спектральные данные. Эти вопросы исследовались в работах М. Г. Гасымова, И. М. Гельфанда, М. Г. Крейна, Б. М. Левитана, Ф.С.Рофе-Бекетова, Л. Д. Фаддеева и других [4], [11], [13], [21] - [24], [30] - [34], [45], [54], [55], [75], [78], [80] - [82], [85].
Многие
приложения теории обратных задач связаны с дифференциальными операторами высших порядков с интегрируемыми коэффициентами п—2 у (п) + 1>(*)Уу) (°-2) з=о
В сравнении с дифференциальным оператором Штурма-Лиувилля, обратная задача для операторов (0.2) сложнее для изучения. В различных постановках она исследовалась в [25] - [28], [47] - [49], [57] - [59], [62] - [66], [68], [70], [73], [74] и др. В работах А. Ф. Леонтьева [29], В. И. Мацаева [35], М. К. Фаге [53], А. П. Хромова [60] выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет более сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако в случае аналитических коэффициентов [47], [56] операторы преобразования имеют такой же треугольный вид, как и для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В частности, М. Г. Гасымов [10], Л. А. Сахович [47] - [49], И. Г. Хачатрян [57], [58] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью «треугольного» оператора преобразования.
В работах З. Л. Лейбензона [25]-[28] исследовалась обратная задача для дифференциального оператора (0.2) на конечном отрезке при условии «разделенно-сти» спектров. З. Л. Лейбензон предложил эффективный метод решения обратной задачи, основанный на исследовании отображений пространств решений, связанных со спектральными свойствами операторов, и являющийся развитием идей Н. Левинсона [83]. Полное решение обратной задачи для конечного отрезка, полуоси и оси получено в работах В. А. Юрко, К. ВеаЬ, Р. Бе1й, С. Тоте!, Х^Ьои [62]-[66], [68], [70], [73], [74], [79], [90] - [92].
Большое число работ посвящено обратным задачам для уравнений в частных производных, например работы Ю. Е. Аниконова, Ю. М. Березанского, А. Л. Бухгейма, И. А. Васина, В. В. Дубровского, А. Б. Костина, Л. П. Нижника, А. И. Прилепко, В. Г. Романова, В. А. Садовничего [1] - [3], [5], [15] - [17], [38], [41] - [44], [86].
Данная работа посвящена исследованию обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью п-2 у = у{п) +? + Ф)) Уи) (о.з)
3=0 на конечном отрезке. Дифференциальные операторы (0.3) возникают в различных разделах математики и их
приложениях (см. [6], [7], [14], [84] и литературу в них). К уравнениям с особенностью £у = А у также сводятся многие дифференциальные уравнения с точкой поворота, например, уравнение = Лг (*)г (*), ≤> 0, г (<) ~ аР, * +0, 7> 0, и другие более общие уравнения. Точки поворота появляются в теории упругости, оптике, геофизике и других областях естественных наук. Обратная задача для уравнений с точками поворота и особенностями используются, в частности, при исследовании разрывных решений уравнений математической физики (см., например, [77]).
В случае п = 2 прямые и обратные задачи для операторов с особенностью (0.3) исследовались в работах многих авторов [7]-[9], [18], [39], [50], [89]. При произвольном п прямые задачи исследовались в [6], [67], [71]. В работе В. А. Юрко [67] построены специальные фундаментальные системы решений для дифференциального уравнения с особенностью 1у = Ху, получена асимптотика множителей Стокса для построенных фундаментальных систем решений. В работе [71] получена асимптотика спектра краевых задач для дифференциального оператора (0.3), доказана теорема о полноте системы собственных и присоединенных функций в соответствующих пространствах, получена теорема о разложении в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям. В отличие от обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью на полуоси, исследовавшейся в работах В. А. Юрко [67], [69], [88], обратная задача на конечном отрезке до сих пор не была изучена.
Наличие особенности у дифференциального оператора (0.3) вносит существенные трудности в исследование обратной задачи. Оператор преобразования не годится для этих целей ввиду сложности своей структуры. Поэтому в данной работе реализован иной подход, связанный с развитием идей метода контурного интеграла. Важную роль в этом методе играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью 1у = Ху, построенные в [67].
Дополнительную трудность в исследование обратной задачи вносит кратность спектра. В этом случае даже для оператора без особенностей вида (0.2), коэффициенты которого являются суммируемыми функциями, открытым является вопрос о постановке и решении обратной задачи. В данной работе вводятся дискретные спектральные данные — совокупность спектров (п — 1) -ой краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и матриц порядка п. Введенные спектральные характеристики можно рассматривать как обобщение спектральных характеристик, известных для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. В данной работе доказана теорема единственности восстановления коэффициентов дифференциального оператора по спектральным данным. Также получено конструктивное решение обратной задачи и необходимые и достаточные условия ее разрешимости. Центральным местом здесь является построение и исследование так называемого основного уравнения обратной задачи, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве. Таким образом, нелинейная обратная задача сводится к решению линейного уравнения. Доказана однозначная разрешимость этого уравнения. Возникающие при этом трудности, связанные с наличием особенности и кратностью спектра, преодолеваются введением дополнительного параметра в основное уравнение обратной задачи, а также выявлением и использованием структурных свойств спектральных характеристик.
Данная диссертация состоит из двух глав. В главе I производится исследование спектральных свойств операторов с особенностью, дается постановка обратной задачи, доказывается единственность ее решения. В § 1 вводится дифференциальное уравнение с особенностью, строятся специальные фундаментальные системы решений, вводятся краевые задачи к = 1, п — 1 приводится асимптотика их спектров.
§ 2 посвящен равносходимости разложений в ряд Фурье по системе собственных и присоединенных функций краевой задачи для дифференциального оператора (0.3) и по тригонометрической системе внутри конечного интервала. Для этого используется метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра. В случае, когда и^ = 0, ] = 0, п — 2, равносходимость имеет место для всякой суммируемой функции, что совпадает с результатом, полученным М. Стоуном [87]. Отметим, что вопросам равносходимости посвящены также работы [19], [20], [36], [46], [51], [61] и многие другие.
В § 3 вводятся спектральные данные — совокупность спектров (п —1)-ой краевой задачи вк и матриц 0г1/ь1)Р (Ло) — выявлены структурные свойства спектральных характеристик.
В § 4 главы I доказана единственность восстановления дифференциального оператора с регулярной особенностью по спектральным данным.
1. Аниконов Ю. Е., Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск, 1978.
2. Березанский Ю. М., Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // ДАН СССР. 1955. Т.105, N 2, С.197−200.
3. Березанский Ю. М., О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. матем. о-ва, 1958, Т.7. С.3−51.
4. Блох М. Ш., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной матрице-функции // ДАН СССР, сер. матем., 1953, т.92, N 2, с.209−212.
5. Бухгейм А. Л., Введение в теорию обратных задач. Новосибирск, 1988.
6. Вазов В., Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1968.
7. Ватсон Г., Теория бесселевых функций. Т.1. М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
8. Гасымов М. Г., Определение уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью по двум спектрам // ДАН СССР. 1965. Т.161. N2, С.247−276.
9. Гасымов М. Г., Разложения по собственным функциям несамосопряженного дифференциального оператора второго порядка с особенностью в нуле // Труды летней школы по спектральной теории операторов и теории представления групп. Баку: Изд-во ЭЛМ. 1975.
10. Гасымов М. Г., Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для одного класса обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка // ДАН СССР. 1982. Т.266, N5. С.1033−1036.
11. Гасымов М. Г., Левитан Б. М. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН, 1964, т. 19, N 2, 3−63.
12. Гахов Ф. Д., Краевые задачи. М., 1977.
13. Гельфанд И. М., Левитан Б. М., Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия АН СССР, сер. матем, 1951, т.15, 309−360.
14. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е., Свободные колебания тонких упругих оболочек, Наука, Москва, 1979.
15. Дубровский В. В., О многомерных обратных задачах спектрального анализа // УМН, 1993, Т.48, N 4, С.229−230.
16. Дубровский В. В., Теоремы единственности для обратных задач спектрального анализа // Дифференц. уравнения, 1997, Т.33, N 3, С.421−422.
17. Дубровский В. В., Садовничий В. А., Некоторые свойства операторов с дискретным спектром // Дифференц. уравнения, 1979, Т.15, N 7, С.1206−1211.
18. Жорницкая J1.А., Серов B.C., Об одной теореме единственности для оператора Штурма-Лиувилля на отрезке с потенциалом, имеющим неинтегрируе-мую особенность // Дифференд. уравнения, 1993, Т.29, N 12, С.2125−2134.
19. Ильин В. А., Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений // Дифференц. уравнения, 1980, Т.16, N5, С.771−794.
20. Ильин В. А., Необходимые и достаточные условия базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений. II. // Дифференц. уравнения. 1980, Т.16, N6. С.980−1009.
21. Крейн М. Г., Решение обратной задачи Штурма-Лиувилля // ДАН СССР, 1951, т.76, N 1, 21−24.
22. Крейн М. Г., Об одном методе эффективного решения обратной задачи // ДАН СССР, 1954, т.94, N 6, 987−990.
23. Левитан Б. М., Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: «Наука», 1984.
24. Левитан Б. М., Саргсян И. С., Операторы Штурма-Лиувилля и Дирака. М.: «Наука», 1988.
25. Лейбензон З. Л., Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка п > 2 и преобразования таких операторов // ДАН СССР, 1962, т. 142, N 3, 534- 537.
26. Лейбензон З. Л., Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков // Труды Моск. матем. о-ва, 1966, т.15, 70−144.
27. Лейбензон З. Л., Спектральные разложения отображений систем краевых задач // Труды Моск. матем. о-ва, 1971, т.25, 15−58.
28. Лейбензон З. Л., Спектральные характеристики самосопряженных и несамосопряженных {Ь, С%} систем с простым спектром // Тр. Летней школы по спектр, теории операторов и теории представления групп. Баку, 1975. С. 149−160.
29. Леонтьев А. Ф., Оценка роста решения одного дифференциального уравнения // СМЖ. 1960. Т.1, N3, С.456−487.
30. Марченко В. А., Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка // ДАН СССР, 1950, т.72, N3, 457−460.
31. Марченко В. А., Некоторые вопросы теории линейных дифференциальных операторов второго порядка // Труды Моск. матем. о-ва, 1952, т.1, 327−420.
32. Марченко В. А., Разложение по собственным функциям несамосопряженных сингулярных дифференциальных операторов второго порядка // Матем. Сб., 1960, т.52(94), N 2, с. 739−788.
33. Марченко В. А., Спектральная теория операторов ШтурмаЛиувилля. Киев: «Наукова Думка», 1972.
34. Марченко В. А., Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев: Наукова Думка", 1977.
35. Мацаев В. И., О существовании оператора преобразования для дифференциальных операторов высших порядков // ДАН СССР. 1960. Т.130, N3, С.499−502.
36. Минкин A.M., Разложение по собственным функциям одного класса негладких дифференциальных операторов Ред. журн. «Дифференц. уравнения». -Минск, 1989. 54с. Деп. в ВИНИТИ, N5407-B87.
37. Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы. М. «Наука», 1980.
38. Нижник Л. П., Обратная нестационарная задача рассеяния. Киев, 1973.
39. Панахов Э. С., Об определении дифференциального оператора с особенностью в нуле по двум спектрам. Баку, 1980. Деп. в ВИНИТИ, N4407−80 Деп.
40. Привалов И. И., Введение в теорию функций комплексного переменного. М. «Наука», 1967.
41. Прилепко А. И., Васин И. А., Обратная краевая задача для нелинейной системы Новье-Стокса с конечным переопределением // Дифференц. уравнения, 1989, Т.25, N.12, С.2164−2177.
42. Прилепко А. И., Костин А. Б., О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Матем. сб., 1992, Т.183, N.4, С.49−68.
43. Прилепко А. И., Костин А. Б., О некоторых задачах восстановления краевого условия для параболического уравнения // Дифференц. уравнения. 1996, Т.32, N1. С.107−116.
44. Романов В. Г., Обратные задачи математической физики. М., 1984.
45. Рофе-Бекетов Ф.С., Спектральная матрица и обратная задача Штурма-Лиувилля на оси // Теория функций, функц. анализ и их приложения. Харьков, 1967, вып.4, 189−197.
46. Рыхлов B.C., О равносходимости дифференциальных операторов с ненулевым коэффициентом при (п — 1) ой производной // Дифференц. уравнения, 1990, Т.26, N.6, С.975−989.
47. Сахнович Л. А., Обратная задача для дифференциальных операторов порядка п > 2 с аналитическими коэффициентами // Математ. сб., 1958, т.46(88), N 1, 61−76.
48. Сахнович Л. А., Метод оператора преобразования для уравнений высших порядков // Матем. сб., 1961, т.55(97), N 3, 347- 360.
49. Сахнович Л. А., Об обратной задаче для уравнений четвертого порядка // Матем. сб. 1962. Т.56(98), N2. С.137−146.
50. Сташевская В. В., Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т.93. N3. С.409−412.
51. Тамаркин Я. Д., О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград, 1917.
52. Тихонов А. Н., О единственности решения задачи электроразведки // ДАН СССР, 1949, т.69, N 6, 797−800.
53. Фаге М. К., Интегральные представления операторно-аналитических функций одной независимой переменой // Тр. Моск. матем. о-ва, 1959, Т.8, С.3−48.
54. Фаддеев Л. Д., О связи Бматрицы и потенциала для одномерного оператора Шредингера // ДАН СССР, 1958, т.121, N 1, 63−66.
55. Фаддеев Л. Д., Свойства 5 -матрицы одномерного уравнения Шредингера // Труды ин-та им. В. А. Стеклова, 1964, т.73, 314- 336.
56. Хачатрян И. Г., Об операторах преобразования для дифференциальных уравнений высших порядков // Изв. АН Арм.ССР. Сер. матем. 1978. Т.13, N3, С.215−237.
57. Хачатрян И. Г., О единственности восстановления дифференциального оператора с аналитическими коэффициентами по его спектральной матрице-функции // ДАН Арм. ССР, 1980, т. 71, N 2, 91- 97.
58. Хачатрян И. Г., О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси //Функц. Анализ и его прилож., 1983, т.17, N 1, 40−52.
59. Хачатрян И. Г., Об одной обратной задаче для дифференциальных операторов высших порядков на всей оси // Изв. АН Арм. ССР, Сер. Матем., 1983, т. 18, N 5, 394- 402.
60. Хромов А. П., Операторы преобразования для дифференциальных уравнений произвольных порядков // Исслед. по дифф. уравнениям и теории ф-ий, Саратов, 1971. Вып. 3. С.10−24.
61. Хромов А. П., Теоремы равносходимости для интегро-дифференциальных и интегральных операторов // Матем. сб. 1981, Т.114. N3, С.378−405.
62. Юрко В. А., Обратная задача для дифференциальных операторов, Саратов: изд-во СГУ, 1989, 176 с.
63. Юрко В. А., Восстановление дифференциальных операторов высших порядков 11 Диффернц. уравнения, 1989, Т.25, N9, 1540−1550.
64. Юрко В. А., Восстановление дифференциальных операторов по матрице Вейля // ДАН СССР, 1990, Т.313, N6, 1368−1372.
65. Юрко В. А., Восстановление несамосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по матрице Вейля // Математ. сб. 1991, т. 182, N 3, 431−456.
66. Юрко В. А., Обратная задача для дифференциальных операторов на полуоси 11 Изв. ВУЗов. Математика, 1991, N12, 67−76.
67. Юрко В. А., Обратная задача для дифференциальных уравнений с особенностью /I Дифференц. уравнения, 1992, Т.28, N8, 1355−1362.
68. Юрко В. А., Обратная задача для самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Доклады РАН, 1993, Т.333, N4, 449−451.
69. Юрко В. А., Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с особенностью // Изв. ВУЗов. Математика, 1993, N7(373), С.59−67.
70. Юрко В. А., Об определении самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси // Математ. заметки, 1995, Т.57, вып. 3, 451−462.
71. Юрко В. А., О дифференциальных операторах высших порядков с регулярной особенностью // Математ. сборник, 1995, т.186, N6, С.133−160.
72. Ambarzumian V.A., Ueber eine Frage der Eigenwerttheorie, Zs.f.Phys. 53 (1929), 690−695.
73. Beals R., The inverse problem for ordinary differential operators on the line, Amer. J. Math. 107 (1985), 281−366.
74. Beals R., Deift P. and Tomei C., Direct and inverse scattering on the line, Math. Surveys and Monographs, v.28. Amer. Math. Soc. Providence: RI, 1988.
75. Belishev M.I. An inverse spectral indefinite problem for the equation y" +zp (x)y=0 on an interval, Funkt.Anal. i Prilozh. 21 (1987), no.2, 68−69 (Russian) — English transl. in Funct. Anal. Appl. 21 (1987), no.2, 146−148.
76. Borg G., Eine Umkehrung der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgabe, Acta Math. 78 (1946), 1−96.
77. Constantin, Adrian., On the inverse spectral problem for the Camassa-Holm equation, J.Funct.Anal. 155 (1998), no. 2, 352−363.
78. Deift P. and Trubowitz E., Inverse scattering on the line, Comm. Pure Appl. Math. 32 (1979), 121−251.
79. Deift P. and Zhou, Xin, Direct and inverse scattering on the line with arbitrary singularities. Comm. Pure Appl. Math. 44 (1991), no.5, 485−533.
80. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function I, Nuovo Cimento 2 (1955), 917−961.
81. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function II, Nuovo Cimento 3 (1956), 56−84.
82. Kay J. and Moses H., The determination of the scattering potential from the spectral measure function III, Nuovo Cimento 3 (1956), 276−304.
83. Levinson N., The inverse Sturm-Liouville problem, Math. Tidsskr. 13 (1949), 25−30.
84. McHugh J., An historical survey of ordinary linear differential equations with a large parameter and turning points, Arch. Hist. Exact. Sci., 7 (1970), 277−324.
85. Poschel J. and Trubowitz E., Inverse spectral theory. Academic Press, New York, 1987.
86. Prilepko, Aleksej I.- Vasin, Igor A. On a nonlinear non-stationary inverse problem of hydrodynamics, Inverse Probl. 7, No.2, L13-L16 (1991).
87. Stone M.H., A comparison of the series Fourier and Birkhoff, Trans. Amer. Math. Soc. 1926, V.28, N4. P.695−761.
88. Yurko V.A., On higher-order differential operators with a singular point, Inverse Problems, 9(1993), P.495−502.
89. Zhornitskaya L.A. and Serov V.S., Inverse eigenvalue problems for a singular Sturm-Liouville operator on (0,1), Inverse Problems 10 (1994), no.4, 975−987.
90. Zhou, Xin., Direct and inverse scattering transforms with arbitrary spectral singularities, Comm. Pure Appl. Math. 42 (1989), no.7, 895−938.
91. Zhou Xin. Inverse scattering transform for systems with rational spectral dependence, J. Diff. Eq. 115 (1995), no. 2, 277−303.
92. Zhou, Xin., L2 -Sobolev space bijectivity of the scattering and inverse scattering transforms, Comm. Pure Appl. Math. 51 (1998), no.7, 697−731.
93. Кудишин П. М., О дифференциальных операторах высших порядков с особенностью. // Деп. в ВИНИТИ, 07.07.95, N2057;B95, 18с.
94. Кудишин П. М., Теорема равносходимости для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Современные проблемы теории функций и их приложения, Изд.Саратов.университета, 1996, С. 68.
95. Кудишин П. М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Деп. в ВИНИТИ, 14.11.97, N3347-B97, 27с.
96. Кудишин П. М., Восстановление дифференциальных операторов высших порядков по спектральным данным в случае кратного спектра // Современные проблемы теории функций и их приложения. Изд-во Сарат. ун-та, 1997, С. 92.
97. Кудишин П. М., Теорема равносходимости для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Изв. ВУЗов. Математика. 1998, N1(428), С.41−50.
98. Кудишин П. М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с регулярной особенностью // Теория приближений и гармонический анализ: Труды международной конференции.-Тула:ТулГУ, 1998, С.138−139.
99. Кудишин П. М., Обратная задача для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Математика, механика и их приложения: Материалы науч.- практ. конф., Саратов, октябрь 1997 г. Изд.-во Сарат. ун-та, 1998, С.23−24.
100. Кудишин П. М., О единственности решения обратной задачи для дифференциальных операторов высших порядков с особенностью // Региональная научная конференция «Молодежь и наука на пороге XXI века». Саратов, СГУ, 1998, С.60−61.
101. Кудишин П. М., Критерий разрешимости обратной задачи // Воронежская зимняя математическая школа. «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Тезисы докладов (27 января 4 февраля), 1999, С. 110.