Вращательно-симметричные движения жидкости представляют большой интерес в связи с возможностью описать на их основе катастрофические явления в природе, такие как водовороты, смерчи, торнадо, циклонические вихри, а также использовать их в вихревых технологиях (сепараторы, циклоны-пылеуловители и др.) и при проектировании гидроэнергетических установок. Плодотворные исследования этих природных явлений и моделирование технологических процессов выполняются на основе модели идеальной несжимаемой жидкости [14].
Для плоского и осесимметричного движения идеальной несжимаемой жидкости доказаны глобальные теоремы существования и единственности решений основных задач, таких как задача Коши и задача протекания, в то время как в случае вращательной симметрии до сих пор имеются только локальные результаты. Поэтому важно иметь широкий набор точных решений этих уравнений. Точные решения можно использовать для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, тестирования численных методов. Они часто отражают асимптотику и позволяют исследовать качественные свойства системы.
Один из наиболее мощных и универсальных методов интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными — это групповой анализ дифференциальных уравнений, разработанный С. Ли и Э. Нётер, и развитый в 6080 гг. XX века в работах Г. Биркгофа [5], JI.B. Овсянникова [6,7], Н. Х. Ибрагимова [8], П. Олвера [9], и других ученых. Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений, является поиск непрерывных групп симметрии системы дифференциальных уравнений, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнения инвариантными. Далее вычисляются комбинации независимых и зависимых переменных, не меняющиеся при групповых преобразованиях — инварианты группы симметрии системы, которые выбираются в качестве новых переменных. Такая процедура приводит к понижению размерности системы уравнений, а в некоторых случаях — к понижению ее порядка или к разделению переменных.
Групповой анализ дифференциальных уравнений давно стал мощным инструментом исследования нелинейных уравнений и краевых задач. Особенно плодотворно его применение к фундаментальным уравнениям механики и физики, поскольку принципы инвариантности закладываются уже при выводе этих уравнений. Различные примеры точных решений моделей механики сплошных сред можно найти в работах JI.B. Овсянникова, В. К. Андреева, О. И. Богоявленского, С. В. Головина, О. В. Капцова, С. В. Мелешко, П. Олвера, В. В. Пухначева, К. Роджерса, В. И. Фущича, С. В. Хабирова, А. А. Чеснокова, А. П. Чупахина и других авторов.
Цель работы заключается в изучении групповых свойств модели вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости, интегрировании редуцированных систем уравнений, построении новых точных решений и их физической интерпретации. В работе используется техника группового анализа, методы общей теории дифференциальных уравнений, а также численное моделирование.
В диссертации представлены три класса точных решений: инвариантные решения, полученные с использованием оператора Л. В. Капитанского [10], частично инвариантные решения и решения, построенные с помощью частично инвариантных.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты.
• Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря). Построены однои двумерные оптимальные системы подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе. Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского.
• Получены точные решения, являющиеся частично инвариантными относительно некоторой 6-ти параметрической группы. В качестве примера приложения этих решений решена задача о неустановившемся движении жидкости в полубесконечном цилиндре, поверхность которого непроницаема, а на оси распределен вихреисточник переменной интенсивности. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси.
• Решена задача о деформации цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом в случае непотенциального поля скоростей и наличии вихреисточника на оси симметрии.
• Подробно исследован класс стационарных неавтомодельных течений, которые определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка, интегрируемой в квадратурах. Приведены типичные фазовые портреты течений.
• Рассмотрены решения, построенные на основе частично инвариантных, с помощью метода, предложенного В. В. Пухначевым [11]. Установлена локальная по времени разрешимость начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 4-го порядка, описывающего такие решения. Кроме того, для этого уравнения рассмотрена обобщенная задача Гурса. Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши.
Достоверность полученных в диссертации результатов устанавливается доказательствами. Результаты иллюстрируются численными примерами и наглядным графическим материалом. Все результаты являются новыми.
Результаты выполненных в диссертационной работе исследований вносят вклад в теоретическую гидродинамику, пополняя набор известных точных решений и существенно обобщая некоторые существующие точные решения вращательно-симметричного движения идеальной несжимаемой жидкости. Точные решения могут быть использованы при физическом моделировании вихревых течений, а также использоваться в качестве тестовых при конструировании численных методов. Результаты работы представляют интерес для специалистов в следующих областях: теоретическая гидродинамика, моделирование вихревых течений, групповой анализ дифференциальных уравнений.
Основные результаты докладывались на семинаре под руководством академика РАН JI.B. Овсянникова и д.ф.-м.н. А. П. Чупахина в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН В. В. Пухначева в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством д.ф.-м.н. P.M. Гарипова и профессора Б. А. Луговцова в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН И. А. Тайманова в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН, на семинаре под руководством чл.-корр. РАН С. В. Алексеенко в Институте теплофизики им. С. С. Кутателадзе СО РАН, на семинаре под руководством профессора О. В. Капцова в Институте вычислительного моделирования СО РАН, а также на следующих научных конференциях:
Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 2001),.
Международная молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения -2001» (Казань, 2001),.
II и III Международные конференции «Применение симметрии и косимметрии в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи, 2001; 2002),.
XL Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2002),.
Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004),.
Всероссийские конференции «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП)» (Абрау-Дюрсо, 2004) и «Аналитические методы в газовой динамике (САМГАД)» (Санкт-Петербург, 2006),.
Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2005),.
Международная конференция «Проблемы современной математики и механики» (Казахстан, Алматы, 2005),.
VI и VII Международные конференции «Симметрия в нелинейной математической физике» (Украина, Киев, 2005; 2007).
Основные положения диссертации опубликованы в работах [29−32]. Работа [31] выполнена в соавторстве с В. В. Пухначевым. Вклад авторов в совместной работе является равным.
Диссертация объемом 92 страницы состоит из введения, трех глав, заключения, 1 приложения, 25 иллюстраций и списка литературы из 32 наименований.
Заключение
.
В заключении еще раз сформулируем все основные результаты, полученные в диссертации.
1. Вычислена группа, допускаемая системой уравнений Эйлера вращательно-симметричного движения (в переменных радиальной и осевой компонент скорости, квадрата циркуляции окружной скорости и азимутальной компоненты вихря) (п. 1.2). Построены однои двумерные оптимальные системы подалгебр бесконечномерной алгебры Ли, отвечающей найденной группе (п. 1.3). Даны различные примеры инвариантных и частично инвариантных решений, полученных с помощью аналога оператора Капитанского (п. 1.4). В частности, построены примеры сопряжения закрученных потоков с осесимметричными, а также потенциальных течений с вихревыми. Подробно исследован класс стационарных решений, близких к автомодельным, привидены типичные фазовые портреты течений.
2. Рассмотрено частично инвариантное решение уравнений Эйлера (несжимаемая жидкость), в котором вертикальная компонента скорости является функцией вертикальной координаты и времени, в то время как оставшиеся компоненты скорости и давление не зависят от полярного угла в цилиндрической системе координат. На основе проведенной классификации уравнений, полученных путем анализа переопределенной системы, были рассмотрены две системы гиперболического типа. Первая из них дает решения в полуцилиндре с особенностями на оси симметрии (п. 2.3), а также стационарные и автомодельные решения (п. 2.5, 2.6). Вторая система описывает движение цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом (п. 2.4). Получены следующие результаты: а) Показано, что возможным решением первой системы является периодическое по времени движение жидкости (сильно нелинейные колебания), с поверхностью сильного разрыва, по одну сторону от которой жидкость движется как вращающийся поршень. Это движение порождается взаимодействием источников и вихрей, распределенных на оси симметрии. Показано, что выбором начальных данных можно добиться концентрации особенностей на оси, т. е. промоделировать источник со сколь угодно малым носителем. б) Получен новый класс стационарных и автомодельных частично инвариантных решений уравнений Эйлера. Получены точные решения, описывающие вихревое движение жидкости с закруткой в криволинейных каналах (п. 2.5). Проведена классификация автомодельных решений редуцированной системы с двумя независимыми переменными, которая допускает 3-параметрическую группу растяжений, в то время как исходная система уравнений Эйлера обладает 2-параметрической группой (п. 2.6). в) Решена система гиперболического типа с одной пространственной переменной, которая описывает деформацию цилиндрического слоя со свободной боковой поверхностью под штампом. Отличительными особенностями рассмотренной задачи является то, что интенсивность источника или стока может быть задана произвольной функцией времени и может быть рассмотрена начально-краевая задача для определяющего дифференциального уравнения. Кроме того, поле скоростей по пространственным координатам нелинейно. Замечательным является тот факт, что когда действует источник, мы можем задавать значение циркуляции на оси симметрии, а когда он сменяется стоком, циркуляция уже не задается — ее значение получается по ходу решения нашего дифференциального уравнения. Особое внимание уделено изучению контактных разрывов и разрывов завихренности, характерных для рассмотренного типа движений. В частности, показано, что условие отсутствия контактных разрывов в решении задачи со свободной границей носит нелокальный характер.
Рассмотрены вращательно-симметричные решения уравнений Эйлера с линейной зависимостью осевой компоненты скорости от осевой координаты. Методами группового анализа дифференциальных уравнений осуществлена редукция указанных уравнений к гиперболическому уравнению четвертого порядка. Для этого уравнения’доказана локальная по времени однозначная разрешимость начально-краевой задачи (п. 3.2). Кроме того, для него рассмотрена обобщенная задача Гурса (п. 3.3). Получены достаточные условия разрушения ее решения за конечное время, а также условия существования классического решения в ситуации, когда оно определено для всех значений радиальной координаты. Установлено, что в классе изучаемых решений уравнений Эйлера задание начального поля скоростей во всем пространстве не определяет однозначно решение задачи Коши.
В заключение еще раз отметим, что исходная система уравнений (1.1) имеет составной тип: у нее имеются как вещественные, так и комплексные характеристики (наличие последних связано с несжимаемостью жидкости). Одним из результатов диссертации является построение подмоделей исходной модели вращательно симметричного движения, в которых гиперболическая часть отделяется от эллиптической. В частности, разрешающие системы для частично инвариантных решений главы 2 являются-гиперболическими. Ключевое уравнение 4-го порядка, изучаемое в главе 3, является гиперболическим, но не ^-гиперболическим.
