Затопленные струйные МГД течения

Магнитная гидродинамика (МГД) изучает движение электропроводящей среды при наличии магнитного поля. Существенная особенность такого движения состоит в том, что возникающие в жидкости электрические токи меняют внешнее поле, а взаимодействие индуцированного тока и магнитного поля оказывает механическое воздействие на поток, изменяя его состояние. Действительно, если в движущейся среде имеются электрические заряды, то они испытывают действие сил Лоренца. Если эти заряды обладают свободой перемещения, т. е. среда электропроводящая, то в ней возникают индуцированные электрические токи, которые взаимодействуют с обусловившим их магнитным полем двояким образом. Первый вид взаимодействия выражается в появлении действующих на среду пондеромоторных сил, второй проявляется в возмущении самого исходного магнитного поля. Совокупность этих эффектов составляет предмет изучения магнитной гидродинамики.

В область применения магнитной гидродинамики входят очень разнообразные физические объекты — от жидких металлов до космической плазмы. Для применимости магнитной гидродинамики необходимо, чтобы для рассматриваемого движения характерные расстояния и промежутки времени были велики по сравнению соответственно с длиной пробега и временем пробега носителей тока (электронов, ионов).

Магнитная проницаемость сред, о которых идет речь в магнитной гидродинамике, мало отличается от единицы, и это отличие не имеет значения для изучаемых явлений. Поэтому везде будем полагать ?1 = 1.

В данной работе анализируются струйные течения в магнитной гидродинамике. Естесственно, что построение данной теории базируется на теории немагнитных течений.

Важным этапом развития теории струй начался с изучения несжимаемой жидкости [1, 20, 71, 81]. Сразу возникло два направления исследования по теории ламинарных и турбулентных струй. Данная работа посвящена ламинарной теории, однако, при использовании некоторых гипотез проводится сравнение с экспериментальными данными [50, 65, 85] измерений турбулентных затопленных струй.

Теория ламинарных струй берет начало с работ Шлихтинга (Schlichting) [71], Слезкина [31], Ландау [20] и Сквайра (Squire) [76], в которых были получены автомодельные решения уравнения пограничного слоя (Шлихтинг), и, соответсвенно, уравнений Навье-Стокса (решение Слезкина-Ландау-Сквайра) для точечного источника импульса, расположенного в неограниченном пространстве, затопленном несжимаемой вязкой жидкостью. В свою очередь, они породили два направления в развитии теории ламинарных затопленных струй, учитывающих неавтомодельность реального струйного течения от конечного по размерам источника струи.

Первое направление основывается на анализе полных уравнений Навье-Стокса и было вызвано необходимостью придать затопленным вязким струям физический смысл течения от направленного источника жидкости, поскольку решение Слезкина-Ландау-Сквайра соответствует течению с расходом равным нулю. Попытка описать струю с конечным расходом была предпринята Румером [28], однако, полученное решение не является аналитическим в области течения, и его надо видоизменить [38]. Изучению конвективной диффузии пассивной примеси в автомодельной струе посвящена работа [29]. Одновременно продолжался поиск новых точных решений уравнений Навье-Стокса [10, 13, 37, 56, 66, 67, 68, 73, 77].

Вторым направлением в исследовании затопленных струй стала разработка асимптотической теории неавтомодельных струй в рамках теории пограничного слоя. Лойцянский [24, 25] впервые рассмотрел слабо закрученную затопленную струю, характеризующуюся конечным потоком момента количества движения, вызывающего вращение.

В рамках этого направления было предпринято довольно много попыток теоретического описания закрученных осесимметричных затопленных струй. Было вычислено большое количество членов асимптотического разложения решения уравнений Прандтля, целью которых стало получение экспериментально наблюдавшегося обратного тока жидкости для достаточно сильно закрученной струи. Однако на этом пути не удалось достичь приемлемых для сравнения с опытом результатов.

Характерной особенностью исследованных ранее решений уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости в обоих направлениях является допущение об аналитичности решения в бесконечно удаленной точке. Как показывается в работах [16, 38], оно не позволяет корректно описать затопленную струю, поскольку решение уравнений Навье-Стокса для задач о струйном течении неаналитично на бесконечности. Во втором порядке разложение скорости по обратному сферическому радиусу необходимо пополнить слагаемым, пропорциональным г-21п г, где г — сферический радиус.

Следует отметить, что указанные выше направления в развитии теории ламинарных затопленных струй далеко не исчерпывают все теоретические подходы для изучения струйных течений. В рамках теории пограничного слоя получили развитие задачи о полуограниченной струе [9], о струе в спутном потоке и о следе за равномерно движущимся телом [19]. Несколько в стороне от упоминавшихся теорий асимптотических разложений по целым степеням сферического радиуса г для уравнений Навье-Стокса и по целым обратным степеням продольной координаты? для уравнений пограничного слоя лежит метод интегральных соотношений [26] и эквивалентной задачи теплопроводности [10]. С развитием вычислительной техники большое внимание стали посвящать моделированию турбулентных струй [8, 11]. Характерная особенность большинства их них — использование приближения пограничного слоя.

С теоретической точки зрения струйные течения характеризуются ненулевым полным потоком импульса на бесконечности, который определяет течение при г —)¦ оо (г —оо). Это, в сущности, и является определением произвольных неавтомодельных затопленных струй. Отсюда представление о струе, как о течении от некоторого источника импульса, характеризуемого точными интегралами сохранения: потоками импульса, момента импульса и массы, несет в себе основное физическое содержание струйного движения, что справедливо для самых различных постановок задач о струйном движении жидкости. Такой подход приводит к построению решения на основе его разложения в бесконечно удаленной точке, что сродни мультипольным разложениям в классической теории поля. В работе [38] строится обобщенное муль-типольное разложение решений уравнений Навье-Стокса для задач струйного движения несжимаемой вязкой жидкости. В случае задачи о струйном истечении из ограниченной области главным членом разложения в бесконечно удаленной точке является автомодельное решение Слезкина-Ландау-Сквайра. Оно удовлетворяет полным уравнениям Навье-Стокса. Строго говоря, обобщенные мультипольные разложения решения гидродинамической задачи представляют собой асимптотические разложения решения в бесконечно удаленной точке. Однако если эти разложения сходятся к непрерывным дифференцируемым функциям, то они являются и точным решением полных уравнений гидродинамики для широкого класса краевых задач.

Результаты, относящиеся к теории ламинарных затопленных струй, имеют в основном фундаментальное значение для теории. В практических приложениях струи, как правило, турбулентны. Тем не менее полученные результаты могут быть применены и для моделирования турбулентных струйных течений. В основе будет лежать гипотеза о постоянстве турбулентной вязкости vt = const, которая очень хорошо работает при теоретическом описании турбулентных затопленных струй [33]. Сравнение с экспериментом показывает, что первые члены разложения очень неплохо описывают реальные неавтомодельные турбулентные струи, несмотря на то, что в области неавтомодель-ности предположение о постоянстве турбулентной вязкости не обосновано. Согласие опыта и асимптотических решений для ламинарных затопленных струй, в которых положено и — щ, объясняется, по-видимому, тем, что главные члены разложения определяются точными интегралами сохранения, а переменность турбулентной вязкости здесь не столь существенна.

В данной работе строится аналогичная асимптотическая теория для струйного течения в магнитной гидродинамике, главным членом которого является решение Слезкина-Ландау-Сквайра. Помимо законов сохранения уравнений Навье-Стокса, в магнитной гидродинамике существуют дополнительные интегралы движения, которые определяют решение для магнитного поля, а также влияют на поле скорости. Помимо числа Рейнольдса, которое является определяющим параметром течения, в магнитной гидродинамике важным является безразмерное число Бэтчелора, которое определяется проводимостью и вязкостью среды. В данной работе показано, что наличие некоторых интегралов сохранения удивительным образом зависит от значения числа Бэтчелора.

Если проследить за исследованием в магнитной гидродинамике несжимаемой жидкости, то наиболее известными результатами, получившими отражение в литературе, являются выравнивание (уплощение) поля скорости и подавление турбулентных пульсаций в магнитном поле. К середине прошлого века среди немногочисленных работ по магнитной гидродинамике наиболее известными являлись теоретическая работа Гартмана (Hartman) [47], где было показано, что магнитное поле приводит к уплощению эпюры скоростей между двумя параллельными бесконечными стенками, и экспериментальная работа Гартмана и Лазаруса (Hartman, Lazarus) [48], в которой для объяснения некоторого снижения коэффициента сопротивления при МГД-течении в трубе была выдвинута гипотеза о подавлении турбулентности магнитным полем. В то же время астрофизики уже имели в своем распоряжении фундаментальный труд Альфевна [3].

Магнитная гидродинамика резко неоднородных течений, в том числе течений, порождаемых самим магнитным полем, также не имела полного и систематического отражения. Первой работой, в которой было продемонстрировано, что магнитное поле может приводить к образованию неоднородной скоростной структуры и к дестабилизации течения, является, по-видимому, работа Ленерта (Lehnert) [54]. Ленерт показал, что если магнитное поле ориентировать перпендикулярно дну цилиндрической емкости, заполненной ртутью, а вблизи дна поместить вращающееся медное кольцо, то из всей жидкости вращаться будет только лишь та часть, которая расположена непосредственно над кольцом. При больших значениях напряженности поля движущийся слой ртути сворачивается в вихревые кольца, т. е. течение в магнитном поле дистабилизируется.

К этому же классу являений относится и течение Ханта (Hunt) [49], где наличие хорошо проводящих стенок, перпендикулярных полю, приводит к образованию М-образной скоростной структуры, и вообще все случаи, когда имеются неоднородности в проводимости границ области течения. Для этого класса явлений характерно образование вблизи электрической неоднородности «следа» с резкими поперечными изменениями параметров течения, распространяющегося вдоль направления магнитного поля.

Вероятно одной из первых работ по изучению двумерного струйного течения проводящей жидкости в поперечном магнитном поле была работа Моро (Могеаи) [61]. Рассматривалось ламинарное течение, поэтому Моро удалось получить точное решение уравнений Навье-Стокса. Это решение показало, что сила Лоренца уменьшает импульс струи и может даже вообще разрушить струйное течение на конечном расстоянии от источника импульса, порождающего струю. Моффат и Тумре (Moffat, Toomre) [60] решали эту задачу, исследую идеальную жидкость. Они также обнаружили, что струя разрушается магнитным полем. Эти результаты нашли отражение и в работе Банса-ла и Гупты (Bansal, Gupta) [40], которые изучали турбулентную двумерную струю. В работе Дэвидсона (Davidson) [45] исследовалась уже трехмерная струя. Показано, что в этом случае изначально осесимметричная струя со временем преобретает более сложную форму, теряя симметрию. Трехмерные струи сильно отличаются от двумерных. Сила Лоренца не уменьшает импульс струи, а перераспределяет его так, чтобы уменьшить кинетическую энергию течения. Важным следствием неизменности импульса струи является то, что магнитное поле теперь не разрушает струю.

Струйное течение конического класса в присутствии магнитного поля вперве изучал Ву (АД/и) [84]. Его решение основывалось на течении Слезкина-Ландау-Сквайра. Необходимо отметить целую серию работ [57, 63, 64, 74, 78, 79, 80], посвященную коническому течению проводящей жидкости в полупространстве, вызванную точечным электродом. Эти работы имеют важное фундаментальное значение, а также являются простейшей моделью промышленного процесса. Множество различных результатов обобщено в монографиях [6, 35], в которых изучены и классифицированы различные течения конического класса. Подробнее об этих работах будет рассказано в главе II.

Целями данной работы являются:

— поиск новых точных решений уравнений магнитной гидродинамики;

— сравнение экспериментальных результатов измерений затопленной струи с теоретическим расчетом, используя асимптотический подход;

— распространение асимптотического метода на течения проводящей жидкости. Изучение законов сохранения струйного МГД течения. Построение общего решения течения неавтомодельной струи, определяемое интегралами сохранения;

— изучение вопроса устойчивости затопленной струи к бесконечно малым возмущениям.

Для достижения этих целей необходимо решить следующие задачи:

1. Получить систему уравнений магнитной гидродинамики для конического класса и для неавтомодельной задачи.

2. Создать регулярный алгоритм расчета дифференциальных уравнений типа Лежандра, используя асимптотические разложения в окрестности особых точек.

3. Построить общее решение неавтомодельной задачи, опираясь на законы сохранения, вытекающие из уравнений движения магнитной гидродинамики.

4. Изучить систему уравнений для бесконечно малых возмущений, линеаризованную на решении Слезкина-Ландау-Сквайра.

В работе получены новые научные результаты:

1. Получено точное решение уравнений магнитной гидродинамики для класса конических течений.

2. Построено общее решение неавтомодельной МГД задачи о струйном течении, используя интегралы сохранения.

3. Получены результаты, свидетельствующие об устойчивости струи Слезкина-Ландау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям определенного класса.

Положения, выносимые на защиту:

1. Найдено новое семейство точных решений уравнений магнитной гидродинамики для конического класса.

2. Разработан асимптотический подход, который представляет собой обобщенное мультипольное разложение, для описания неавтомодельных МГД струй.

3. Исследован вопрос устойчивости затопленной струи Слезкина-Ландау-Сквайра. Показано, что для бесконечно малых возмущений определенного класса она является устойчивой.

4. Найдено представление поля скорости, соответсвующее компонентам вектора момента количества движения, перпендикулярным импульсу, порождающим затопленную струю. Эти компоненты соответсвуют описанию неосе-симметричной струи.

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

5.5. Выводы и результаты по главе.

Согласно данному подходу к анализу устойчивости течения Слезкина-Ландау-Сквайра к бесконечно малым возмущениям, затопленная струя является асимптотически устойчивой. Точные решения линеаризованных уравнений на бесконечно малые возмущения, полученные для состояния покоя, могут быть интерпретированы как возмущения при медленном движении в приближении Стокса. Согласно выражениям и виду полученных возмущений (рис.), амплитуда полоидальных осесимметричных возмущений растет в течении определенного безразмерного времени г = 4^/г2, достагает своего максимума и монотонно стремится к нулю при т —" оо. Штерн и Хуссейн [75] также использовали переменную г4/г2, однако, работали в приближении дальнего поля струи, т. е. г —" оо. Их анализ аналогичен рассмотрению начальной стадии роста возмущений при г —у 0. Вероятно, это является причиной того, что результаты, полученные в их работе, интерпретировались как неустойчивость осесимметричной моды возмущений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключение отметим основные результаты работы:

1. Найдено новое точное решение уравнений магнитной гидродинамики в классе конических течений.

2. Рассмотрена задача о неавтомодельной затопленной струе в магнитном поле. Выявлена роль интегралов сохранения в построении решения. Показано, что рассматриваемый асимптотический подход хорошо согласуется с экспериментальными данными. Также показано, что магнитное поле подавляет струйное движение.

3. Найдено аналитическое представление поля скорости, которое описывает неосесимметричную затопленную струю.

4. Рассмотрен вопрос об устойчивости затопленной струи. Показано, что струя является асимптотически устойчивой к бесконечно малым возмущениям.

Автор выражает глубокую благодарность Яворскому Н. И., под непосредственным руководством которого выполнялась данная работа.