Теория бумва усреднения для исследования явления равномерного 2-раскрашивания в системах управления, в преобразователях сигналов и в моделях статистической механики

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Объектами исследования в диссертации являются:

1) Введенная автором булева усредняющая процедура.

Un = 8gn (<3j> - Е Ttunt-, (0.1) где <|> - действительное число, (и) и Гт,) (nez, («w- - после дои «вательности действительных чисел. Мы называем применение процедуры (0.1) булевым усреднением. Название процедуры оправдывается следующими соображениями. Можно считать, что на каждом п-м.

00 шаге в процедуре (0.1) подсчитывавтся средневзвешенное е f.u.

1 = 7 * членов последовательности un2, un3. с весовыми коэффициентами, 72, к3,. я делается попытка ограниченными средствами приблизить средневзвешенное к предписанному значению ф, полагая ип равным (+1), если средневзвешенное не достигает ф, и полагая ип равным (—1), если средневзвешенное превосходит ф.

2) Явление равномерного 2-раскрапшвания. Оно может быть описано следующим образом. Распределим равномерно счетное множество символов + (плюс) на прямой на расстоянии х друг от друга, и счетное множество символов — (минус) на другой прямой на расстоянии v друг от другазатем совместим обе прямые. Полученное распределение плюсов среди минусов есть равномерное 2-раскрашивание с числол вращения (долей плюсов в общем потоке символов), равным v/(i+v). Булева усредняющая система (0.1) описывает поведение некоторых моделей и систем, в которых наблюдается равномерное 2раскрашивание, если положить, что на /i-м месте (пе&-) на прямой находится символ + (плюс) при в (0.1) и находится символ минус) при ип=-1 в (0.1).

3) Модели статистической механики, в которых энергия выражается формально определенным гамильтонианом Хаббарда.

В «-ф У ut +? (0−2) teZ *><*.

Здесь ип может указывать положительную (ип=1) или отрицательную (ип=-1) направленность спина частицы, занимающей п~е место на прямойф — напряженность внешнего поляэнергия взаимодействия частиц на расстоянии (единиц. В других интерпретациях un может быть указателем наличия (и=1) или отсутствия электрона в п-м ft месте на прямой (ть&г) — ф — химическим потенциалом. Эвристические соображения подтверждают, что булева усредняющая процедура (0.1) минимизирует гамильтониан (0.2).

4) Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием (leaky Integration) (рис. 0.1).

Линейный фильтр

Квантователь.

Блок усреднения x (t).

Я и п AVg.

Рис. 0.1. Аналого-цифровой преобразователь с сигма — дельта модуляцией и неполным суммированием.

Импульсный Объект елемент управления Ф л i ИЭ и l (t) г г.

Рис. 0.2. Широтно-имоульсная система управления.

Здесь un указывает полярность выходного сигнала квантователя на гс-м такте его работыхп — подлежащий преобразованию аналоговый сигналесть последовательность коэф? ициентов в передаточной функции линейного фильтра. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает поведение выходного сигнала un квантователя q в аналого-цифровом преобразователе при постоянстве входного аналогового.

00 сигнала хп и равенстве ф = хп Z Т{ I.

5) Широтно-импульсная система управления с структурой, указанной на рис. 0.2. Здесь и — выходной сигнал импульсного элемента ИЭ, у (t) -импульсная переходная функция (ИПФ) объекта управления. Булева усредняющая процедура (0.1) описывает релейные режимы широтно-импульсных систем, в которых ип указывает полярность управляющего сигнала на n-м такте работы импульсного элемента в релейном режимеф — внешний сигналесть интеграл от импульсной переходной функции i ((t) управляемого объекта по t-му периоду модуляции.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является создание теории булева усреднения и анализ средствами этой теории явления равномерного 2-раскрашивания в моделях статистической механики, в аналого-цифровых преобразователях и в системах управления.

В моделях статистической механики равномерное 2-раскрашивание означает равномерное распределение частиц с спином up среди частиц с спином down (в другой интерпретации — электронов среди дырок) в пропорции, определенной напряженностью внешнего поля (соответственно, химическим потенциалом). В системах управления и в аналого-цифровых преобразователях это означает равномерное распределение положительных импульсов среди отрицательных в пропорции, определяемой внешним сигналом. Наши исследования мы ограничиваем рациональными числами вращения и, следовательно, периодическими процессами в указанных системах и моделях.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Теория булевого усреднения является новым направлением в системном анализе. Результаты, впервые установленные автором в этой теории, таковы: 1) При монотонном убывании и положительности последовательности (yi) периодические конфигурации существуют в булевой усредняющей системе при почти всех значениях переменной ф. 2) Существует однозначная зависимость числа вращения (доли плюсов) в периодических конфигурациях от значения параметра фэта зависимость имеет вид канторовой лестницыэта канторова лестница полна. 3) Все равномерно 2-раскрашенные последовательности символов + (плюс) и — (минус) являются периодическими конфигурациями в булевой усредняющей системе (0.1) 4) Бели последовательность (Ki) выпукла (т.е. 74+г<�С7{+7{+2^ Д-пя всех t^N), то только равномерное 2-раскрашенные последовательности плюсов и минусов являются периодическими конфигурациями в булевой усредняющей системе (0.1).

В работе указан двумерный вариант булева усреднения, в котором обнаружено явление, сходное с двойникованием кристаллов.

Вне рамок теории булева усреднения новым в работе является построение совокупности равномерно 2-раскрашеннных слов как компонентов некоторого упорядоченного множества J посредством операции конкатенации (соединения) слов.

В приложениях теории булевого усреднения подучены следующие новые результаты.

1) В моделях статистической механики ?82, 59, 71: булева усредняющая процедура (0.1) интерпретирована как процесс минимизации гамильтониана Хаббардавпервые рассмотрены указанные модели, в которых функции взаимодействия (i (i) свободны от условия выпуклости, в то время как в предшествующих работах Дж. Хаббарда [82].

1978), П. Бака и Р. Брушсмы 159) (1982), С. Буркова и Я. Синая [7] (1963) рассматривались модели только с выпуклыми функциями взаимодействиядоказано существование однозначной зависимости числа вращения периодической конфигурации от химического потенциала даже при наличии неравномерно раскрашенных периодических конфигурацийдоказана полнота канторовой лестницы, изображающей эту зависимость (аналогичные утверждения о полноте установлены ранее П. Баком и Р. Бруинсмой, С. Е. Бурковым и Я. Г. Синаем в других моделях и при ограничении выпуклыми функциями взаимодействия) — определены понятия самых слабых плюсов и минусов в периодической конфигурации, первыми опрокидывающихся при медленном уменьшении (соответственно, увеличении) химического потенциаладаны алгоритмы поиска самых слабых плюсов и минусовуказана связь между конечными автоматами и исследуемыми моделями с близкодействиемуказано существование «упрощенной канторовой лестницы** в случае близкодействияповедение модели статистической механики с показательной функцией взаимодействия описано с помощью итераций кусочно-линейного отображения прямой в себя.

2) Б аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией t34, 64, 66, 71, 72, 74, 79−81, 84, 104, 122, 1231 с обобщенным неполным суммированием: впервые поставлена проблема периодических конфигурацийдоказано существование однозначной зависимости выходного сигнала в периодических режимах от входного аналогового сигналапоказано, что эта зависимость имеет вид канторовой лестницы и эта лестница полнадоказано, что в периодических режимах АЦП появляются все те последовательности плюсов и минусов (а при выпуклости и только те), которые являются равномерно 2-раскрашенными. Впервые указано, какие выходные импульсы квантователя опрокидываются первыми при медленном изменении входного сигнала.

3) В широтно-импульсных системах управления [6, 12−15, 18−20, 22−31, 40, 41, 52−53, 86, 89, 92−94, 103, 111, 113−116]: впервые показано, что в релейном варианте (при нулевом пороге чувствительности импульсного элемента) эти системы могут работать как аналого-цифровые преобразователивпервые показано, что область многотактных релейных периодических режимов в пространстве параметров системы с показательной импульсной переходной функцией (ИПФ) образует самоподобную фигуру (фрактал).

Вне рамок теории булевого усреднения в работе впервые указаны области хаотического поведения системы с показательной ИПФдоказано, что детерминированный хаос появляется при сколь угодно малых периодах модуляции.

В диссертации также впервые дано применение теории булева усреднения к проблеме циклов разрывного кусочно-линейного отображения прямой в себяпоказано, что известные результаты Н. Н. Леонова [42] (1959), Дж. Кифера [911(1987), С. Парка и Р. Грея [104] (1992), автора [26] (1992) о существовании и полноте канторовой лестницы для указанного отображения являются простыми следствиями результатов теории булева усреднения. Кроме того, впервые постро-ена самоподобная фигура (фрактал) для бесформульного конструирования канторовой лестницы для кусочно-линейного отображения.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Многократные переоткрытия явления равномерного 2-раскрашивания от работ XIX века до девяностых годов нынешнего свидетельствуют о желательности создания общих теорий для этого явления. Вряд ли может быть дана одна универсальная теория. Но нужда в относительно общих теориях есть, и в диссертации предлагается одна из них — теория булевого усреднения, достаточно адекватно описывающая поведение разнородных систем, в которых наблюдается явление равномерного 2-раскравшвания.

Теория булевого усреднения в статистической механике дает пример применения идей теории управления в физике. Дж. Хаббард (82] в 1978 г. предложил гамильтониан с антиферромагнитным взаимодействием, минимум которого достигается в основных состояниях с равномерным в некотором смысле распределением спинов up и down. Ограничиваясь только случаем выпуклых функций взаимодействия, он описал номенклатуру периодических конфигураций, пере открыв явление равномерного 2-раскрашивания. Естественно, возникла проблема поведения модели при невыпуклой функции взаимодействия. В 1983 году С. Е. Бурков и Я. Г. Синай [7] ввели в рамки математических стандартов постановку задачи о минимизации гамильтониана Хаббарда и доказали полноту канторовой лестницы, с ним связанной. Аналогичные результаты получили П. Бак и Р. Бруинсма. Но и в этих работах не затрагивалась проблема поведения модели при не выпуклых функциях взаимодействия. В диссертации показано, что основные результаты предшественников (существование и полнота канторовой лестницы) в исследуемой модели сохраняются и при функциях взаимодействия, свободных от условия выпуклости.

В аналого-цифровых преобразователях (АЦП) с сигма-дельта модуляцией с 60-х годов исследовалась так называемая идеальная сигма-дельта модуляция С64, 741. С абстрактной точки зрения эта система связана с группой вращений окружности. С конца восьмидесятых годов появились работы американских исследователей Р. Грея (104), Д. Делчампса [1221, Л. Чуа [721 с сотрудниками и других по АЦП с сигма-дельта модуляцией с утечкой. Модель с утечкой оказалась более адекватной реальным АЦП. С абстрактной точки зрения она связана с итерациями кусочно-линейного отображения. И, наконец, в декабре 1993 г. появилась работа Д. Делчампса [711, в которой он рассмотрел модель АЦЯ с некоторым линейным фильтром, передаточная функция H (z) которого может иметь вид.

Е (0.3) i-f z или.

H (z)= Е^, (0.4) z где р есть утечка, (leakage), 0<р<1, или.

Е Ь, (0.5).

1=1 zn где (7nJ-произвольная последовательность. Переход от (0.3) к (0.4) ведет от идеальной сигма-дельта модуляции к модуляции с утечкойпереход же от (0.4) к (0.5) является качественно новым шагом, поскольку вводит бесконечную последовательность параметров (Kt) вместо одного параметра — утечки р. Д. Двлчампс не ставил проблему периодических процессов в АЦП с фильтром (0.5). В диссертации же дана полная теория периодических режимов в АЦП указанного вида (мы будем говорить, что в таких случаях имеет место обобщенное неполное суммирование), поскольку теория булева усреднения оказалась адекватным инструментом для решения этой проблемы.

В широтно-импульсных системах управления теория булева усреднения выявляет символическую динамику поведения. В современной теории динамических систем интенсивно исследуются хаос и фракталы. В то же время только считанные работы посвящены символической динамике, хаосу и фракталам в системах управления. Обнаружение и исследование этих явлений отвечает нынешним потребностям науки.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ. Основная часть диссертации имеет теоретический характер. Созданная автором теория булева усреднения дает единое теоретическое обоснование явлению равномерного 2-раокрашивания в моделях статистической механики, в аналого-цифровых преобразователях и в широтно-импульсных системах управления. Центральные результаты теории булева усреднения — это доказательство существования и полноты канторовой лестницы, связывающей числа вращения периодических конфигураций в усредняющей системе с параметрами системы, а также доказательство единственности периодических конфигураций в случае выпуклой последовательности (К{)-Пример двумерного аналога булевой усредняющей системы указывает на связь булева усреднения с теорией кристаллов.

Введение

понятий самых слабых плюсов и минусов в периодической конфигурации утончает наше понимание как отдельно поведения исследуемых разнородных систем, так и неожиданных связей между ними.

Часть теории, посвященная системе с близкодействием, дает основание говорить о «памяти» исследуемых в приложениях систем. Теория итераций кусочно-линейных отображений обогащена в диссертации фрактальной структурой, с помощью которой бесформульно строится канторова лестница для таких отображений. Теория периодических процессов в АЦП с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием полностью построена автором (для этого просто достаточно было интерпретировать понятия теории булевого усреднения в терминах АЦП). В теории АЦП с сигма-дельта модуляцией автор впервые ввел разграничение поведения преобразователя в зависимости от наличия или отсутствия свойств монотонности и выпуклости последовательности в (0.5). Теория широтнои ре-лейно-импульсных систем управления пополнена исчерпывающим исследованием фрактальной области многотактных релейных периодических режимов, а также указанием на неизбежность детерминированного хаоса в системе.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В статистической механике модели с гамильтонианом Хаббарда, как указал П. Бак С591, описывают свойства интеркалированных графитов и органических проводников, интенсивно изучаемых в настоящее время в связи с обнаруженной в некоторых из них сверхпроводимостью. Естественно, результаты диссертации, в частности, снятие ограничения выпуклости функции взаимодействия в модели, проясняют ситуацию в этой области статистической механики.

Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией широко применяются в аудиотехнике. Переход от передаточной функции фильтра (0.3) к (0.4) с сохранением основных характеристик АЦП трактуется в работах американских исследователей Р. Грея, Д. Делчампса и Л. Чуа как указание на робастность АЦП с сигма-дельта модуляцией, как толерантность АЦП к несовершенству его компонентов. Доказанное же в диссертации сохранение основных свойств АЦП и при переходе от (0.4) к (0.5) усиливает наши представления об этой робастности и дает основание для конструирования АЦП с заданными характеристиками в широких пределах, ибо изменение счетного множества параметров (7t) в (0.5) дает, естественно/больше возможностей, чем изменение только утечки р в (0.4). Подсказанное теорией булева усреднения качественное разделение АЦП с сигма-дельта модуляцией на АЦП с монотонными последовательностями (когда гарантируется существование канторовой лестницы) и немонотонными (когда ее может не быть) также дает ориентиры в конструировании АЦП. То же касается разделения монотонных последовательностей (ц1) на выпуклые (когда периодические режимы однозначно зависят от входного сигнала) и невыпуклые (когда может не быть однозначной зависимости периодического режима от входного сигнала/но усредненный выходной сигнал все же однозначно зависит от входного). В АЦП с сигма-дельта модуляцией указанные дихотомии введены впервые автором.

В широтно-импульсных системах управления практически денно в диссертации обоснование возможности работы широтно-импульсной системы в релейном режиме в качестве аналого-цифрового преобразователя с сигма-дельта модуляцией и неполным суммированием. Практический интерес представляет вывод о неизбежности хаоса в широтно-импульсной системе, что предупреждает практиков об опасности настройки импульсного элемента на слишком высокую чувствительность.

МЕТОДЫ исследования. В теории булевого усреднения неожиданно плодотворным оказалось применение теории чисел, в частности, результатов, связанных с теоретико-числовой функцией <р Эйлера. Для описаний областей существования периодических конфигураций в булевой усредняющей системе (0.1) автор определил дискретные аналоги импульсно-частотных характеристик (ИЧХ). Ранее автор применя л ИЧХ для исследований периодических процессов в системах управления.

При исследовании кусочно-линейного отображения применен модифицированный вариант метода ренормализации, введенного в теорию итераций отображений Я. Старком [1181, К. Ханиным и Я. Синаем [881. Идеи ре-'нормализации проходят также и в изложении теории равномерного 2- раскрашивания. Работа в основном имеет теоретический характер, но также содержит результаты нескольких численных экспериментов, например, карты периодических режимов и хаоса в широтно-импульсной системе.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации были представлены на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы фундаментальных наук», Международных семинарах «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», «Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации», Втором коллоквиуме по дифференциальным уравнениям, Американской конференции по управлению, Второй Европейской конференции по управлению.

Эти результаты обсуждались на семинарах кафедры теоретической кибернетики Санкт-Петербургского государственного университета, кафедр общих проблем управления, теории вероятностей и функционального анализа Московского государственного университета, а также на семинаре А. Н. Шарковского в Математическом институте Академии наук Украины и на семинарах Института системного анализа РАН.

ПУБЛИКАЦИИ. Все результата работы получены лично автором. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, трех глав и списка литературы. Каждая из трех глав предваряется аннотацией и историко-литературным введением, а завершается сравнением результатов главы с известными результатами. Диссертация изложена на 224 страницах. Библиография содержит 123 наименования.

1. Алексеев В. М. Символическая динамика. Тр. X1.мат. школы. Киев: Ин-т математики. 1976.

2. Арнольд В. И. Замечания о теории возмущений для задач типа Матье // УМН. 1983. Вып. 4. С. 189−203.

3. Асарин Е. А., Козякин B.C., Красносельский М. А., Кузнецов Н. А. Анализ устойчивости рассинхронизованных дискретных систем. 1,11. М.: Наука. 1992.

4. Берендее Д. А., Куку лиев P.M., Филиппов К. К. Приборы и системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией. Л.: Машиностроение. 1982.

5. Берже П., Помо М. и Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991.

6. Боуэн Р. Методы символической динамики. Под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир. 1979.

7. Бурков С. Е. и Синай Я. Г. Фазовые диаграммы одномерных решетчатых моделей с дальнодействукзщим антиферромагнитным взаимодействием // УМН. 1983. Т.38. Вып. 4. С, 205−225.

8. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А.

Введение

в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1987.

9. Бухштаб А. А. Теория чисел. М.: Просвещение. 1966.

10. Венков Б. А. Элементарная теория чисел. М.-Л.: 1937.

11. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука. 1965.

12. Гелиг А. Х. Динамика импульсных систем и нейронных сетей. Л.: Изд-во ЛГУ. 1982.

13. Гелиг А. Х., Леонов Г. А. и Якубович В. А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.- Наука. 1978.

14. Гелиг А. Х. и Чурилов А. Н. Колебания и устойчивость нелинейныхимпульсных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ. 1993.

15. Гольц М. Е., Гудзенко А. В., Остреров В. М., Шевченко Б. П., Шпи-глер Л. А. Быстродействующие электроприводы постоянного тока с широтно-импульсными преобразователями. М.: Энергоатомиздат. 1986.

16. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. М.: Наука. 1971.

17. Джури Е. И. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз. 1963.

18. Заславский А. Я. Основные состояния в модели типа Френкеля-Конторовой// Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1986. Т.50. С. 969−999.

19. Каретный О. Я. и Кипнис М. М. Периодические режимы работы ши-ротно-импульсных систем управления. I, II. // АиТ. 1987. .№ 11. С. 46−54. #12. С. 42−48.

20. Каретный О. Я. и Кипнис М. М. Мера инерционности линейного динамического звена // АиТ. 1990. # 7. С. 16−23.

21. Керимов А. А. Об основных состояниях одномерных антиферромагнитных моделей с дальнодействием // Теор. и мат. физ. 1984. Т. 3. С. 473−479.

22. Кипнис М. М., Иванова И. В., Кибешев А. Н., Пак И. И., Рывкина В. А. Карты периодических режимов работы упрощенных моделей широтно-импульсных систем первого и второго рода. Деп. в ВИНИТИ. # 3795 В90. С. 1−28.

23. Кипнис М. М. Фазовые портреты широтно-импульсных систем// АиТ. 1990. # 12. С. 105−115.

24. Кипнис М. М. Карты периодических режимов работы упрощенной модели интегральных широтно-импульсных систем. Деп. в ВИНИТИ. # 1834 В90. С. 1−18. 3.

25. Кипнис М. М. Хаотические явления в детерминированной широтноимпульсной системе управления//Актуальные проблемы фундаментальных наук. Мевдунар. научно-техн. конф. М. 1991. Т. 11. 0. 90−92.

26. Кипнис М. М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсной системы управления//ДАН. 1992. Т. 324. * 2. С. 273−276.м.

27. Кипнис М. М. Хаотические явления в детерминированной одномерной широтно-импульсной системе управления //Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. # 1. С. 107−112.

28. Кипнис М. М. Локальная устойчивость импульсных систем и устойчивость нулевого решения квазилинейных дискретных уравнений в свертках// АиТ. 1992. Л 3. С. 92−100.

29. Кипнис М. М. Применение дискретных уравнений в свертках для проверки устойчивости периодических процессов в широтноимt пульсных системах // АиТ. 1992. * 4. С. 86−93.

30. Кипнис М. М. Устойчивость нулевого решения квазилинейного дискретного уравнения в свертках и устойчивость импульсных систем //Устойчивость и колебания нелинейных систем управл. Междунар. семинар. Тезисы докладов. М.: 1992. С. 62.

31. Кипнис М. М. Одномерные модели статистической механики с гамильтонианом Хаббарда и функцией взаимодействия, свободной от условия выпуклости // ДАН. 1994. Т. 336. * 3. С. 316−319.

32. Кипнис М. М. Самоподобие в периодических релейных режимах импульсных систем управления//Устойчивость и колебания не линейных систем управл. Междунар. семинар. Тезисы докладов. Сама ра. 1994. С. 23.

33. Кипнис М. М. Аналого-цифровые преобразователи с сигма-дельта модуляцией и обобщенным неполным суммированием //Челябинский гос. пед. ин-т. Челябинск. 1944. 10 С. Деп. в ВИНИТИ 24.11.-94. «2698-В94.

34. Клепцын А. Ф. Исследование устойчивости рассинхронизованных двухкомпонентных систем //IX Всесоюзное совещание по проблемам управления. Тезисы докладов. М. 1983. С. 27−28.

35. Клепцын А. Ф. Об устойчивости рассинхрониз^ованных сложных систем специального вида// АиТ. 1985. J64. С. 169−172.

36. Клепцын А. Ф., Козякин B.C., Красносельский М. А., Кузнецов Н. А. О влиянии малой рассинхронизации на устойчивость сложных систем. I, 11,111. // АиТ. 1983. J6 7. С. 44−51. 1984. Л 3. С. 42- 47. 1984. J6 8. С. 63−67.

37. Козякин B.C. О наблюдаемости периодических режимов, возникающих при потере устойчивости положения равновесия. АиТ. 1985. *. С. 42−48.

38. Козякин B.C. Об анализе устойчивости рассинхрониз.^ованных систем методами символической динамики // ДАН СССР. 1990. Т. 311. * 3. С. 549−552.

39. Коршунов A.H. Грубость широтно-импульсных систем, скорректированных по методу компенсации нулей и полюсов непрерывной части // АиТ. 1990. * 12. С. 116−124.

40. Кунцевич В. М.,. Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотнои широтно-импульсной модуляцией. Киев: Техн1ка. 1970.

41. Леонов Н. Н. О точечном преобразовании прямой в прямую // Изв. ВУЗ. Радиофизика. 1959. Т. 2. # 6. С. 942−956.43.