Каждой такой паре S, можно поставить в соответствие некоторое число, которое называется поверхностным интегралом 2 рода по верхней стороне поверхности от вектор-функции, обозначаетсяи может быть вычислено по формуле, связывающей поверхностный интеграл 2 рода с поверхностным интегралом 1 рода:(9)Для поверхности S, заданной явным уравнением и проектирующейся на плоскость Oxyвзаимооднозначно, для практических вычислений удобна формула:(10)гдеD — проекция поверхности Sна плоскость OxyДля поверхностных интегралов 2 рода выполняются свойства линейности и аддитивности (см. п. 1.3)2.2 Формула Остроградского-Гаусса
Связь между поверхностным интегралом 2 рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью устанавливает теорема. Теорема 2.
1. Если функцииP (x, y, z), Q (x, y, z) иR (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной области V, то имеет место формула (11)где S — граница области V и интегрирование по Sпроизводится по ее внешней стороне. Формула (11) называется формулой Остроградского-Гаусса и является аналогом формулы Остроградского-Грина (7).Замечание 1. Формула (11) остается справедливой для любой области, которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида. Замечание 2.Формулу Остроградского -Гаусса можно использовать для вычисления поверхностных интегралов 2 рода по замкнутым поверхностям.
2.3 Формула Стокса
Связь между поверхностным и криволинейным интегралами 2 рода устанавливает следующая теорема. Теорема 2.2Если функцииP (x, y, z), Q (x, y, z) иR (x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула:==(12)гдеL — граница поверхности Sи интегрирование вдоль кривойLпроизводится в положительном направлении (рис.
6).Рисунок 6Также формулу Стокса применяют в следующем виде:(13)2.4 Примеры вычисления поверхностного интеграла 2 рода
Пример 5. Вычислить поверхностный интеграл 2-го родагде S — верхняя сторона части конуса при
Решение:
Перейдем к полярным координатам. Выбрана верхняя сторона поверхности и проекция части конуса на плоскость Оху- круг: Рисунок 7Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл 2-го родапо контуру при положительном направлении обхода контура. Рисунок 8Решение:
Вычислим .Выберем в качестве поверхности, натянутой на контур λ, часть плоскости Оху, ограниченную этим контуром, и применим формулу Стокса:
Шипачев, В. С. Высшая математика: Учеб.
для вузов/ В. С. Шипачев — 3-е изд., стер. — М.: Высшаяшкола. 1996. -
479 с. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. 3-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.
— 288 с. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов /И.Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. — М.: Наука, 1986. — 544 с. Данко, П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах/П.Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.- В 2-х ч. Ч. 1. — М.: Высш. шк., 1986.
— 304 с. Бугров, Я.С., Никольский, С. М. Высшая математика. (В 3-х томах) Учеб.
для вузов. — М.: Дрофа, 2004
