Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Комплексы алгоритмов и программ синтеза разностных множеств и расчета таблиц неприводимых полиномов над конечными полями

Диссертация: Комплексы алгоритмов и программ синтеза разностных множеств и расчета таблиц неприводимых полиномов над конечными полями
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Использование математического аппарата циклотомических чисел для построения ДКП оказывается привлекательным в силу своего обобщающего характера. Попытка реализовать возможности обобщенного анализа и синтеза ДКП привела к разработке В. Е. Гантмахером основ теории спектров разности классов вьиетов (СРКВ) над простыми полями Галуа, которая позволяет решать задачи анализа, синтеза и формирования ДКП… Читать ещё >

Комплексы алгоритмов и программ синтеза разностных множеств и расчета таблиц неприводимых полиномов над конечными полями (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава 1. СПЕКТРЫ РАЗНОСТИ КЛАССОВ ВЫЧЕТОВ ПО МОДУЛЮ К = ру шш2ру
    • 1. 1. Упорядочение смежных классов вычетов
      • 1. 1. 1. Смежные классы по модулю N = ру
      • 1. 1. 2. Особенности упорядочения смежных классов по модулю N = 2ру
    • 1. 2. Спектры разности классов вычетов
    • 1. 3. Общие свойства спектров разности классов вычетов
      • 1. 3. 1. Обобщение основных свойств СРКВ над ОР (р) на модуль
  • N = ру или 2ру
    • 1. 3. 2. Свойства СРКВ, специфические для модуля N = ру или 2ру
    • 1. 4. Взаимосвязь СРКВ по различному модулю
    • 1. 5. Выводы
  • Глава 2. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ СИНТЕЗА РАЗНОСТНЫХ МНОЖЕСТВ
    • 2. 1. Взаимосвязь между СРКВ и основными параметрами РМ
    • 2. 2. Метод синтеза РМ на основе одного, двух и трех классов
    • 2. 3. Алгоритмы синтеза РМ
    • 2. 4. Оценка эффективности алгоритмов синтеза РМ
    • 2. 5. Характеристика программ и результаты расчетов
    • 2. 5. Выводы
  • Глава 3. АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА ТАБЛИЦ НЕПРИВОДИМЫХ ПОЛИНОМОВ НАД ПРОСТЫМИ И РАСШИРЕННЫМИ ПОЛЯМИ ГАЛУА
    • 3. 1. Метод построения неприводимых полиномов над полем ОБ^)
    • 3. 2. Алгоритмы расчета таблиц неприводимых полиномов
    • 3. 3. Характеристика программ и результаты расчетов
    • 3. 4. Выводы

Решение широкого круга задач методами математического моделирования требует формирования случайных (псевдослучайных) последовательностей. При проектировании различных радиотехнических комплексов и систем связи очень часто приходится решать проблемы имитации и обработки случайных сигналов [1−3]. В системах технической диагностики имитация случайных сигналов необходима для исследования работоспособности сложных систем и сетей, встроенного тестового контроля [4]. Как правило, вместо случайных успешно применяются псевдослучайные последовательности (ПСП), которые удовлетворяют определенным критериям случайности (уравновешенность, свойство серий, свойство корреляции и др.) [5−7].

Одним из методов получения ПСП является их построение на основе разностных множеств (РМ) [8]. Для построения ПСП путем рекуррентных вычислительных процедур требуются неприводимые полиномы (НП) над полями Галуа. В качестве генератора ПСП применяются автономные линейные последовательностные машины [9].

В теории и практике сложных широкополосных сигналов РМ, сбалансированные на один или два уровня, широко применяются для синтеза дискретно-кодированных последовательностей (ДКП) с хорошими автокорреляционными свойствами [8,10−13]. В свою очередь, для построения некоторых РМ используются НП [14].

Спектр применения НП очень широк. НП необходимы для построения ПСП, которые используются для решения задач методом Монте-Карло, для защиты от несанкционированного доступа. Кроме того, НП лежат в основе наиболее распространенных правил кодирования, которые в радиотехнических системах различного назначения применяются для формирования сложных широкополосных и сверхширокополосных сигналов [3, 8,13], в системах связи и передачи информации — для построения циклических кодов, контролирующих и исправляющих ошибки, и их декодеров [15, 16] и многих других приложениях.

Т.о., актуальность исследования разностных множеств и неприводимых полиномов над простыми и расширенными полями Галуа обусловлена их разнообразным применением в различных областях науки и техники.

Основными параметрами РМ, сбалансированного на ш уровней, ••Ат) являются модуль ]ЧГ, число вычетов К+, число уровней ш и множество значений уровней {Л, и} (и = 1, т) [8]. Обзор РМ, сбалансированных на один уровень можно найти, например, в [13, 14, 17, 18]. Известно несколько семейств разностных множеств: это РМ Зингера и их обобщения Гордона-Миллса-Велча [19, 20], РМ биквадратичных вычетов, РМ биквадратичных вычетов с добавлением нуля, РМ восьмеричных вычетов, РМ восьмеричных вычетов с добавлением нуля и РМ типа Адамара, которые объединяют РМ Зингера с 01 (общие в классах РМ Зингера и Адамара), РМ квадратичных вычетов, Якоби и Холла [13].

РМ широко применяются для синтеза ДКП, который заключается в поиске новых или деформации известных правил кодирования для достижения заданных пороговых значений параметров ДКП [21]. Для синтеза бинарных последовательностей с т-уровневой автокорреляционной функцией требуются РМ, сбалансированные на ш уровней. Задача синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более А, тах совпадений» (боковые лепестки периодической автокорреляционной функции двоичных последовательностей ограничены величиной А, тах) сводится к поиску РМ, ограниченных по уровню величиной А, тах. Т.о., синтез РМ заключается в поиске новых РМ, параметры которых удовлетворяют заданным пороговым значениям. Простейшее решение задачи синтеза РМ связано с перебором большого числа вариантов, который даже при сравнительно небольшом числе переменных невозможно выполнить с помощью ЭВМ. Алгоритмы направленного поиска, позволяющие резко сократить перебор, разработаны В. Е. Гантмахером в [22] для синтеза двоичных последовательностей со свойством «не более Хтах совпадений» на основе математического аппарата циклотомических чисел.

Теория циклотомии восходит к Гауссу [23, 24]. Математики прошлого века [25] рассматривали случай простого поля ОБ (р). Обобщение на случай произвольного конечного поля ОР^рп| было получено X. Митчеллом [26]. Интерес к циклотомии был возрожден в 1935 г. важными результатами Л. Диксона [17, 27]. Вычисления циклотомических чисел низкого порядка, начатые статьями Л. Диксона, были продолжены другими математиками. В зарубежной научной литературе приводятся таблицы цик-лотомических чисел до двадцатого порядка включительно [28−31].

М. Холл [14] использовал математический аппарат циклотомических чисел для описания РМ, сбалансированных на один уровень, а именно для описания РМ квадратичных, биквадратичных, восьмеричных вычетов и РМ, впоследствии названных его именем.

Циклотомические числа нашли свое применение для решения прикладных задач в теории сигналов. В 1967 г. А.М. Boehmer [32] применила математический аппарат циклотомических чисел для синтеза оптимальных по минимаксному критерию бинарных импульсных сигналов. В 1975 г. М. Б. Свердлик [8] предпринял неудачную попытку применить циклотомические числа для синтеза бинарных периодических квазиортогональных сигналов, после чего они были незаслуженно забыты.

Использование математического аппарата циклотомических чисел для построения ДКП оказывается привлекательным в силу своего обобщающего характера. Попытка реализовать возможности обобщенного анализа и синтеза ДКП привела к разработке В. Е. Гантмахером [33−36] основ теории спектров разности классов вьиетов (СРКВ) над простыми полями Галуа, которая позволяет решать задачи анализа, синтеза и формирования ДКП на основе математического аппарата циклотомических чисел. В терминологии теории СРКВ циклотомическое число соответствует гармонике СРКВ, порядок циклотомического числа — числу смежных классов d разбиения ненулевых элементов поля GF (p). Т.о., теория СРКВ позволяет строить алгоритмы синтеза РМ. Результаты расчетов В. Е. Гантмахера приведены, например, в [37]. Однако, предложенная В. Е. Гантмахером теория СРКВ применима для синтеза РМ лишь по простому модулю. Вместе с тем существование примитивного элемента для чисел.

N = pY или 2pY дает возможность упорядочить смежные классы вычетов и распространить теорию СРКВ на модуль N = р7 или 2р7 .

Одно из решений задачи построения РМ, сбалансированных на один уровень, а именно — РМ Зингера, сводится к поиску НП над простыми и расширенными полями Галуа. Известно много исследований свойств неприводимых многочленов с коэффициентами из простых и расширенных полей Галуа. Одно из первых крупных исследований неприводимых многочленов от одной переменной над полем GF (q) было проведено Л. Диксоном [38] в 1901 г. Классические методы построения неприводимых многочленов можно найти в работах [38−40]. Алгоритм построения НП над конечным простым полем был предложен в статьях [41, 42]. В работах [43, 44] описаны вероятностные алгоритмы для построения НП. P.P. Варшамов и A.M. Анто-нян [45] описали метод построения новых НП над полем GF (2) на основе неприводимого многочлена. В статье Р. Р. Варшамова [46] показано как строить НП над GF (2) на основе примитивных многочленов, а также содержится теоретико-матричный метод построения НП, степени которых делят п на основе некоторого НП степени п. В работе P.P. Варшамова и Л. И. Гамкрелидзе [47] описаны методы поиска примитивных полиномов для случая простого поля GF (p). Разработки методов генерирования НП над конечными полями предприняты также в работах P.P. Варшамова [48, 49]. В статье [50] приведены алгоритмы для построения новых примитивных многочленов над GF (p) на основе одного такого многочлена.

На основе разработанного в [51] алгоритма расчета коэффициентов НП второй степени над простыми полями Галуа рассчитаны самые полные из известных ранее таблицы НП второй степени с р < 997 [52]. Метод построения алгоритма базируется на использовании формулы решения нормированного уравнения второй степени. Однако область применения такого алгоритма ограничена четвертой степенью НП (п < 4), поскольку общее уравнение n-ой степени при п > 4 неразрешимо в радикалах [53]. Уже для третьей степени НП алгоритм расчета коэффициентов НП [54] становится громоздким.

Проведенный обзор показал, что алгоритмов построения НП много, но они очень специализированные — одни применимы только для GF (2), другие только для GF (p), р Ф 0 mod 2, третьи только для п — не простое число и т. д. Кроме того, практически все они неудобны для реализации на ЭВМ. Следовательно, одна из проблем построения НП состоит в необходимости унификации алгоритма вычисления коэффициентов НП и адаптации его к ЭВМ.

Другая проблема состоит в необходимости расширения известных полных таблиц НП с указанием периодов корней, поскольку объемы известных таблиц НП уже не удовлетворяют возрастающим потребностям в НП для решения многих прикладных задач. Так для обеспечения криптостойкости систем связи производят многократную замену НП, взятых из некоторого множества НП. Глобальное множество НП необходимо также для построения ансамблей ДКП, обладающих низким уровнем боковых лепестков периодических автои взаимнокорреляционных функций. Ансамбли ДКП применяются в системах связи, например, для обеспечения кодового разделения абонентов в одной и той же полосе частот [1].

НП с коэффициентами из поля СР (2) применяются для синтеза бинарных последовательностей, пользующихся наибольшей популярностью у разработчиков радиоэлектронных систем. Поэтому в научно-технической литературе наиболее широко представлены таблицы НП над ОБ (2) [16, 55−57].

Таблицы НП над простыми полями нечетной характеристики были рассчитаны еще в 1935 г. [58]. Опубликованные таблицы были ограничены четвертой степенью (п < 4) для характеристики р=7. В 1970 г. они были расширены Г. А. Гараковым [59], поднявшим на единицу границу для п и добавившим случаи р=11 и п < 4. Другие расширения таблиц были получены в работе [60], где были рассмотрены случаи 11 <р<37 для п=2 и 11<р<19 для п=3. Наиболее полные из известных автору таблиц примитивных полиномов [61] над полями с нечетной характеристикой ограничены пятой степенью (п < 5) для ртах = 47.

Сформулируем перечисленные выше проблемы синтеза РМ и построения НП над конечными полями.

Проблема синтеза РМ заключается в том, что отсутствуют удобные для реализации на ЭВМ методы синтеза РМ по модулю N = ру или 2р7.

Проблемы построения множества НП над конечными полями заключаются в том, что:

— отсутствуют удобные для реализации на ЭВМ методы расчета глобального множества НП для заданной характеристики поля и степени полинома над простыми и расширенными полями Галуа;

— на нынешнем этапе развития науки и техники существующие полные таблицы НП уже не удовлетворяют запросам разработчиков современных радиотехнических и вычислительных систем.

Т.о., объектом исследований являются разностные множества и неприводимые полиномы над конечными полями, а предметом исследований — вычислительные методы и программы синтеза РМ и построения полных таблиц НП.

Цель диссертационной работы состоит в разработке удобных для реализации на.

ЭВМ методов синтеза разностных множеств по модулю N = р7 или 2р7 и расчета полных таблиц неприводимых полиномов над простыми и расширенными полями Галуа, а также в разработке на основе полученных методов алгоритмов и программ для ЭВМ.

Структура и содержание диссертации определяются решением сформулированных выше проблем.

Первая глава посвящена распространению теории СРКВ на модуль.

N = р7 или 2р7. Доказан ряд лемм, теорем и следствий, определяющих основные свойства СРКВ.

Во второй главе разрабатываются алгоритмы синтеза РМ на основе СРКВ, и в качестве примера приводятся результаты синтеза РМ на ЭВМ, выполненные по предложенным алгоритмам.

В третьей главе исследуются алгоритмы расчета полных таблиц нормированных НП на простыми и расширенными полями Галуа и приводятся результаты расчетов.

Удобный для реализации на ЭВМ алгоритм вычисления коэффициентов НП произвольной степени над полями произвольной характеристики состоит в получении всего множества НП заданной степени на основе одного примитивного полинома и базируется на использовании М-последовательностей, смежных классов вычетов по модулю М = -1 и обобщенной формулы расчета коэффициентов. Сокращение вычислений и решение проблемы компактного вывода результатов расчета достигается за счет цуговой структуры М-последовательности.

В заключении содержатся выводы и оценка полученных результатов.

Приложение содержит две программы для ЭВМ: синтеза РМ на основе СРКВ и расчета таблиц НП над расширенными полями Галуа.

Основные задачи, решаемые в диссертации:

— распространить теорию СРКВ и метод синтеза РМ на основе СРКВ на модуль N = ру или 2ру;

— разработать алгоритмы и программы синтеза РМ на основе СРКВ;

— получить удобный для реализации на ЭВМ метод расчета коэффициентов НП над простыми и расширенными полями Галуа для заданных характеристики поля и степени НП;

— разработать алгоритмы и программы расчета таблиц НП над простыми и расширенными полями Галуа.

Основные положения диссертационной работы были представлены на:

— НТК НовГУ. 1995,1996;

— всероссийской НТК с международным участием «Электроника и информатика». Москва. Зеленоград. 1995;

— третьей межведомственной НТК «Проблемные вопросы сбора, обработки и передачи информации в сложных радиотехнических системах». Санкт-Петербург. Пушкин. 1997;

— первой международной конференции и выставке «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва. 1998.

В полном объеме диссертация докладывалась на.

— расширенном заседании кафедры прикладной математики НовГУ им. Ярослава Мудрого, апрель 1998.

Научные результаты опубликованы автором в 8 работах. Из них две книги, 4 печатные работы, 2 отчета о НИР. Зарегистрированы в РосАПО 2 программы для ЭВМ.

3.4. Выводы.

Таким образом, предложены алгоритмы расчета таблиц НП на основе одного примитивного полинома как над простыми, так и над расширенными полями Галуа.

Отличительными особенностями разработанных алгоритмов являются:

— универсальность (инвариантность к характеристике поля, степени полинома и виду поля — простое или расширенное);

— удобство в расчетах — одновременно с коэффициентами НП вычисляются корни и их периоды;

— быстродействие, обусловленное тем, что расчеты ведутся на основе одного цуга, а большинство операндов — числа;

— простота реализуемости на ЭВМ;

— компактность представления результатов расчета полной таблицы НП в виде относительно небольшого информационного блока.

Рассчитанные таблицы НП значительно превосходят по объему все известные автору в отечественной и зарубежной научно-технической литературе. Наиболее полные известные таблицы ограничены для п < 4 характеристикой ртах =11, для п < 3 — ртах = 19 и для п = 2 — ртах = 37. Предлагаемые таблицы имеют не менее чем на единицу больше границу для п, а по максимальной характеристике границу Ртах = 97 для п = 2. Опубликованные таблицы НП над расширенными полями можно назвать уникальными, так как среди множества публикаций аналогов, сравнимых по объему представленной информации, найти не удалось. Следует отметить, что опубликованные таблицы НП составляют лишь 0,2% от рассчитанных для простых полей и сотые доли процента для расширенных полей, а время расчета полных таблиц составляет несколько минут на персональном компьютере средней производительности.

Разработанные программы расчета таблиц НП позволяют рассчитывать НП с заданными ограничениями на параметры (НП с минимальным числом ненулевых коэффициентов, с заданным периодом и др.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Доказаны леммы, теоремы и следствия, определяющие основные свойства спектров разности классов вычетов по модулю N = ру или 2ру. Т.о., теория СРКВ над простым полем Галуа обобщена на модуль N = или 2ру.

2. Распространен метод синтеза РМ на основе СРКВ на модуль N = ру или 2ру.

Разработанный метод позволяет компактно представить результаты синтеза в виде относительно небольшого информационного блока.

3. Предложены алгоритмы синтеза РМ, с заданным ограничением на число и величину уровней, на основе одного и нескольких классов. Достоинствами алгоритмов является:

— универсальность: применим для синтеза РМ на основе произвольного числа классов / любой длины, по произвольному модулю N = ру или 2ру;

— простая реализуемость на ЭВМ — все операнды числа.

4. Разработан комплекс программ синтеза РМ на основе одного и нескольких классов вычетов (/ < 3).

В качестве иллюстрации работы программ приведены результаты расчетов на ЭВМ РМ, ограниченных по уровню А, тах = 1 и А, тах = 2, при N < 104 на основе одного, двух и трех классов. Следует отметить, что расчеты РМ выполняются всего за несколько минут на компьютере средней производительности.

5. Доказана теорема, определяющая метод расчета глобального множества нор- -мированных НП для заданных характеристики поля и степени полинома, на основе одного примитивного полинома.

Предложенный метод расчета позволяет осуществить компактный вывод результатов расчета таблицы НП для заданной характеристики поля и степени полинома в виде относительно небольшого информационного блока.

6. Предложены алгоритмы расчета коэффициентов НП и их периодов над простыми и расширенными полями Галуа. Достоинствами алгоритмов являются:

— универсальность — они применимы для расчета коэффициентов НП произвольной степени как над простыми, так и над расширенными полями Галуа произвольной характеристики;

— простота реализуемости на ЭВМ — большинство операндов числа;

— удобство в расчетах — одновременно с коэффициентами НП вычисляются корни и их периоды.

7. Разработан комплекс программ расчета таблиц НП над простыми и расширенными полями Галуа.

По результатам расчетов опубликованы таблицы НП значительно превосходящие по объему все известные автору в отечественной и зарубежной научно-технической литературе:

— таблицы НП над ОР (р) для рп1 < 2 • 104, 3<р<97, п< 10;

— таблицы НП над в?(ф (ч = РП) Для <104, 2<р<97, п<11, ш<7.

Следует отметить, что опубликованные таблицы НП составляют лишь 0,2% от рассчитанных для простых полей и сотые доли процента для расширенных полей, а время расчета таблиц НП составляет всего несколько минут на компьютере средней производительности.

Достоинствами разработанных алгоритмов и программ расчета таблиц НП и синтеза РМ является возможность рассчитывать НП и синтезировать РМ с заданными ограничениями на параметры (НП с минимальным числом ненулевых коэффициентов, «с заданным периодом и др.- РМ, сбалансированные на определенное число уровней, с ограничением по максимальному значению уровня и др.).

Показать весь текст

Список литературы

  1. Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио и связь, 1985. — 384с.
  2. А.И. и др. Теория и применение псевдослучайных сигналов. -М.: Наука, 1969. -367с.
  3. В.И., Гантмахер В. Е. Дискретно-кодированные последовательности. Ростов на Дону, 1990. -288 с.
  4. Технические средства диагностирования: Справочник /Под ред. В. В. Клюева. -М.: Машиностроение, 1989. 672с.
  5. Г. И. Статистическая теория приема сложных сигналов. -М., 1977. -400с.
  6. Цифровые методы в космической связи /Под ред. С. Голомба. -М., 1969. -271с.
  7. .Н., Демиденко С. Н. Генерирование и применение псевдослучайных сигналов в системах испытаний и контроля. Минск: Наука и техника, 1986. — 200с.
  8. М.Б. Оптимальные дискретные сигналы. -М., 1975. -200с.
  9. А. Линейные последовательностные машины. М., 1975. — 384с.
  10. Кук Ч., Бернфельд М. Радиолокационные сигналы. Теория и применение. -М.: Сов. Радио, 1971. 567с.
  11. П.Пелехатый М. И. О некоторых блок-конструкциях, порождающих последовательности с хорошими автокорреляционными свойствами. //Радиотехника и электроника. -1970, т. 15. -№ 7.
  12. Bose R.C., Nair K.R. Partially balanced incomplete block designs. Sankhya, -The Indian J. Of Statistics, 1939, v.4, pt.3.
  13. B.M. Периодические дискретные сигналы с оптимальными корреляционными свойствами. -М., 1992. -162 с.
  14. М. Комбинаторика. -М., 1970. -375 с.
  15. Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. М., 1986. -576с.
  16. У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. -М., 1976.
  17. Dickson L.E. Cyclotomy and trinomial congruencies. Trans. Amer. Math. Soc. Vol. 37, pp. 363−380, 1935.
  18. Storer T. Cyclotomy and Difference Sets. Markham, Chicago, 1967.
  19. Baumert L.D. Cyclic different sets. -Berlin-Heidelberg, New York- Springer Verlag, 1971.-166 p.
  20. Scholtz R.A., Welch L.R. GMB sequences //IEEE Trans. -1984. -V. IT-30, № 3. -p. 549−553.
  21. Д.Е., Седлецкий P.M. Вопросы синтеза радиолокационных сигналов. -М.: Сов. Радио, 1973.
  22. В.Е. Двоичные последовательности со свойством «не более Хт совпадений», сформированные на основе классов вычетов по простому модулю /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1994. -11с. -Деп. в ВИНИТИ № 2457-В94 от 28.10.94.
  23. К.Ф. Арифметические исследования. -В кн.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. -М.: Изд. АН СССР, 1959. -С. 7−583.
  24. К.Ф. Теория биквадратичных вычетов. Сочинение первое. -В кн.: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. -М.: Изд. АН СССР, 1959, с. 655−685.
  25. Kummer Е.Е. Uber die Erganzungssatze zu den allgemeinen Reciprocitatsgesetzen, J reina anden. Math. Vol. 44, pp. 93−146, 1852- Collected Papers, vol. 1, pp. 485−538, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.
  26. Mitchell H.H. On the congruence cx +1 = dy in a Galois field, Ann. Of Math. (2) vol. 18, pp. 120−131,1917.
  27. Dickson L.E. Cyclotomy, higher congruencies and Warning’s problem. Amer. J. Math. -vol. 57, pp. 391−424,1935.
  28. Baumert L.D., Fredricken H. The cyclotomic numbers of order eighteen with applications to difference sets. Math. Comp. Vol. 1, pp. 204−219, 1967.
  29. Evans R.J., Hill J.R. The cyclotomic numbers of order sixteen. Math. Comp. Vol. 33, pp. 827−835,1979.
  30. Leonard P.A., Willians K.S. The cyclotomic numbers of order seventeen. Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 51, pp. 295−300,1975.
  31. Muskat J.B., Whiteman A.L. The cyclotomic numbers of order twenty. Acta Arith. Vol. 17, pp. 185−216, 1970.
  32. Boehmer A.M. Binary pulse compression codes /ЛЕЕЕ Trans. -1967. -V. IT -13.2.
  33. B.E. О некоторых свойствах спектров классов вычетов //Прикладная математика: Межвуз. сб. -Новгород, 1994. -Вып.1. -С.8−13.
  34. В.Е. Числовые методы анализа, синтеза и формирования периодических дискретно-кодированных последовательностей //Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды 2— международной науч.-техн. конф. -М., 1994. -С. В40-В43.
  35. В.Е. Спектры классов вычетов и их применение для анализа, синтеза и формирования периодических дискретно-кодированных последовательностей //Вестник Нов. гос. университета. Сер. «Естественные науки». -Новгород, 1995. -№ 1. -С.81−87.
  36. В.Е. Анализ, синтез и формирование дискретно-кодированных сигналов с применением в радиолокации: Дис. на соискание ученой степени доктора техн. наук: 05.12.04. Защищена 26.06.86- Утв. 22.11.96. СПб., 1986. -489с.: ил.
  37. Dickson L.E. Linear Groups with an Explosition of the Galois Field Theory. Teub-ner, Leipzig, 1901- Dover, New York, 1958.
  38. Albert A.A. Fundamental Concepts of Higher Algebra. Univ. Of Chicago Press, Chicago, 1956 имеется перевод гл. 5 «Конечные поля»: В кн.: Кибернетический сборник, нов. сер., вып. 3. -М.: Мир, 1966. -С. 7−49.
  39. Dickson L.E. Higher irreducible congruencies. Bull. Amer. Math. Soc. Vol. 3, pp. 381−389, 1897.
  40. C.P. Целочисленные полиномы, неприводимые по модулю p. Rev. Math. Pures Appl. Vol 4, pp. 369−379, 1959.
  41. Popovici C.P. Irreducible polynomials modulo p (Romanian). Acad. R.P. Romine Fil. Iasi Stud. Cere. Sti. Mat. Vol 11, pp. 13−23,1960.
  42. Rabin M.O. Probabilistic algorithms in finite fields. SIAM J. Computing, vol. 9, pp. 273−280, 1980.
  43. Calmet J., Loos R. An improvement of Rabin' probabilistic algorithms for generating irreducible polynomials over GF (p). Inform. Process. Let, vol. 11, pp. 94−95, 1980.
  44. P.P., Антонян A.M. Об одном методе синтеза неприводимых полиномов над конечными полями //Доклад АН АрмССР, 1978. -Т.66. № 4. -С. 197−199.
  45. P.P. Некоторые вопросы конструктивной теории приводимости полиномов над конечными полями. В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 27. — М.: Физ-матгиз, 1973. -С. 127−134- исправления: вып. 28. -С. 280.
  46. P.P., Гамкрелидзе Л. И. Об одном методе построения примитивных полиномов над конечными полями. Сообщ. АН ГССР, 1980. -Т. 99. -№ 1., -С. 61−64.
  47. P.P. Об одном методе построения неприводимых полиномов над конечными полями //Доклад АН АрмССР, 1984., -Т.79. № 1. — С. 26−28.
  48. Р.Р. Общий метод синтеза неприводимых полиномов над полями Галуа //Доклад АН АрмССР, 1984. -Т.275. С. 1041−1044.
  49. Alanen J.D., Knuth D.E. A table of minimum functions for generating Galois fieldof GF (pn). Sankhya Ser. A23,128p., 1961.
  50. B.E. Численные методы поиска неприводимых полиномов второй степени /Новгородский политехи, ин-т. -Новгород, 1986. -11с. -Деп. в ВИНИТИ № 8536−1386 от 15.12.86.
  51. В.Е., Филиппов С. В. Неприводимые полиномы второй степени над простыми полями Галуа/Новгородский политехи, ин-т. -Новгород, 1987. -31с. -Деп. в ВИНИТИ № 6192-В87 от 24.08.87.
  52. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. -М., 1976. -648 с.
  53. В.Е. Алгоритмы расчета коэффициентов неприводимых над GF(q) полиномов третьей степени /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1994. -7с. -Деп. в ВИНИТИ №>2394-В94 от 21.10.94.
  54. Г. А. Алгоритм определения неприводимых двоичных полиномов и их показателей. Изв. АН АрмССР, серия физ.-мат. науки, 1964. -Т.17. -№ 5. -С. 7−16.
  55. Marsh R.W. Table of Irreducible Polynomials over GF (2) through Degree 19. Office of Techn. Serv. U.S. Dept. of Commerce, Washington, D.C., 1957.
  56. Mossige S. Table of irreducible polynomials over GF (2) of degrees 10 through 0. Math. Сотр. V.26, pp.1007−1009,1972.
  57. Church R. Tables of irreducible polynomials for the first four prime module //Ann. of Math. (2) Vol. 36 pp. 198−209,1935.
  58. Г. А. Таблицы неприводимых полиномов над полем GF(p) (р < 11). -Матем. вопр. киберн. и выч. техн. Труды ВЦ АН АрмССР и Ереван, гос. унив., вып. 6,1970.-С. 112−142.
  59. Chang J. A., Godwin H.J. A table of irreducible polynomials and their exponents. Proc. Cambridge Philos. Soc. Vol. 65, pp. 513−522,1969.
  60. Alanen J.D., Knuth D.E. Tables of finite fields. Sankhya Ser. A26, pp. 305−328, 1964.
  61. К., Роузен M. Классическое введение в современную теорию чисел.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. -416 с.
  62. Р., Нидеррайтер А. Конечные поля. В 2-х т. T.l. -М: Мир, 1988. 430 с.
  63. Г. А., Корн Т. А. Справочник для научных работников и инженеров. -М., 1984. -831 е., издание пятое.
  64. В.Е., Захарин Ю. В. Таблицы неприводимых над GF(p) полиномов /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1995. -270 с. -Деп. в ВИНИТИ № 910-В95 от 05.04.95.
  65. В.Е., Захарин Ю. В. Таблицы неприводимых над GF|pnj полиномов /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1995. 465 с. — Деп. в ВИНИТИ № 3006-В95 от 10.11.95.
  66. В.Е., Захарин Ю. В. Вычисление коэффициентов неприводимых над полем GF(p) полиномов произвольной степени /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1995. -12 с. -Деп. в ВИНИТИ № 803-В95 от 31.03.95.
  67. В.Е., Захарин Ю. В. Вычисление коэффициентов неприводимых над расширенным полем Галуа полиномов /Новгор. госуд. университет. -Новгород, 1995. -8 с. -Деп. в ВИНИТИ № 3070-В95 от 21.11.95.
  68. В.Е., Захарин Ю. В. Эффективный метод построения таблиц неприводимых над простыми полями Галуа полиномов произвольной степени //Электроника и информатика: Тез. докладов Всероссийской науч.-техн. конф. МГИЭТ ТУ. М., 1995. — С. 322−323.
  69. В.Е., Захарин Ю. В. Расчет таблиц неприводимых над простыми и расширенными полями Галуа полиномов //Цифровая обработка сигналов и ее применение: Труды Первой Международной науч.-техн. конференции. М., 1998. -Т. 2, -С. 46−50.
  70. В.Е., Захарин Ю. В. Расчет коэффициентов неприводимых над простыми полями Галуа полиномов. Программа для ЭВМ. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ в РосАПО № 970 105 от 13.03.97.
  71. В.Е., Захарин Ю. В. Расчет коэффициентов неприводимых над расширенными полями Галуа полиномов. Программа для ЭВМ. Зарег. в Реестре программ для ЭВМ в РосАПО № 970 106 от 13.03.97.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!