Схема Гарнера вычисления значений полиномов

Степень полинома.

P — вещественный массив размерности [n+1]. Коэффициенты полинома P (x).

x — вещественная переменная. Точка, в которой необходимо вычислить значение полинома.

с — вещественная переменная. Коэффициент, определяющий двучлен (x-c).

4.3Выходные параметры

Q — вещественный массив размерности n-1. Коэффициенты полинома Q (x).

x1 — вещественная переменная. Левая граница действительных корней.

x2 — вещественная переменная. Правая граница действительных корней.

4.4Структура программы В программе используются следующие процедуры и функции:

Вычисление значения полинома по схеме Горнера:

function polinom (n: integer; x: real; P: ArrayType):real;

Входные параметры:

n — переменная целого типа. Степень полинома.

x — вещественная переменная. Точка, в которой необходимо вычислить значение полинома.

P — вещественный массив размерности [n+1]. Коэффициенты полинома P (x).

Выходные параметры:

Возвращает действительное число, значение полинома P (x) в точке x.

Перебор возможных корней уравнения:

procedure korni (A, n: integer; P: ArrayType; var x1, x2: real; var flag: integer);

Входные параметры:

A — переменная целого типа. Свободный член исходного полинома, приведенный к целому виду.

n — переменная целого типа. Степень полинома.

P — вещественный массив размерности [n+1]. Коэффициенты полинома P (x).

Выходные параметры:

x1 — вещественная переменная. Левый корень полинома P (x).

x2 — вещественная переменная. Правый корень полинома P (x).

flag — переменная целого типа. Флаг, определяющий корни или нет.

Деление полинома P (x) на двучлен (x-c)

procedure delenie (n: integer; P: ArrayType; C: real; var Q: ArrayType);

Входные параметры:

n — переменная целого типа. Степень полинома.

P — вещественный массив размерности [n+1]. Коэффициенты полинома P (x).

с — вещественная переменная. Коэффициент, определяющий двучлен (x-c).

Выходные параметры:

Q — вещественный массив размерности n-1. Коэффициенты полинома Q (x).

5Контрольный пример Отладка программы проводилась на полиноме P (x)=(x-2)*(x+1.5)=x2−0.5x-3. Степень полинома n=2.

Массив коэффициентов полинома P:

— 3

— 0.5

Коэффициент двучлена с и частное от деления Q (x)

C=2

Q (x)=x+1.5

Точки вычисления значения полинома:

X=-1.5 P (x)=0

X=1 P (x)=-2.5

Левая граница корней: x1=-2

Правая граница: x2=3

При запуске при запуске программы были получены такие же результаты, следовательно, можно судить о работоспособности программы.

6.Оценка погрешности вычисления значения полинома Единственная погрешность, которая накапливается в процессе вычисления, это погрешность от внутреннего представления чисел в памяти компьютера. При вычислении значения непосредственно возведением в степень или используя схему Горнера, погрешности будут одного порядка. Если коэффициенты ai и x целые числа, то погрешности вообще нет. При вычислении частного от деления полинома на двучлен у схемы Горнера есть преимущество, относительно явного деления в столбик, так как операция деления не производится то погрешность гораздо меньше, чем в явном виде. Это связано с тем, что при делении числа на число вводится наибольшая погрешность в вычисления, по сравнению с другими операциями (сложения, умножения и вычитания).

Вывод Использование схемы Горнера позволяет достаточно просто вычислить значение полинома в точке и разделить полином на двучлен, что значительно упрощает нахождение корней уравнения. Основным преимуществом схемы Горнера от явного вычисления полинома в точке в том, что используя ее можно не только проверить, является ли заданное число корнем, но и найти полином, который получится в результате разложения исходного на два множителя. Кроме того схема Горнера позволяет довольно просто определить границы интервала действительных корней уравнения.