Формы представления и конкретизация определяющих соотношений нелинейной теории упругости

Построение математических моделей состояния материалов, универсально работающих при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформируемого твердого тела. Центральной проблемой при этом является формулировка соотношений между напряжениями и деформациями. Инженерная практика постоянно требует совершенствования методики расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений.

Данная работа посвящена изучению определяющих соотношений нелинейно-упругих материалов, которые находят всё большее применение в технике.

Нелинейные варианты теории упругости наиболее развиты для изотропных материалов, о которых и пойдет речь в настоящей диссертации. Впервые изложение основ нелинейной теории упругости было дано в моно-графиии В. В. Новожилова [50], изданной в 1948 году. Дальнейшее становление этой отрасли знаний связано с исследованиями И. И. Гольденблата [16], Л. А. Толоконникова [70], В. Новацкого [51], К. Ф. Черныха [76−78] и других авторов. Нелинейной теории упругости посвящены монографии А. И. Лурье [32, 33].

В основе моделей поведения упругих тел, учитывающих геометрическую нелинейность, лежит кинематика конечных деформаций, наиболее полно изложенная в книгах Л. И. Седова [62,63], А. И. Лурье [32,33], В. В. Новожилова, К. Ф. Черныха [53,76−78], а также нашедшая своё отражение в работах [11, 15, 16,18,28,34, 35, 38, 56, 66] и многих других.

Таким образом, к настоящему времени накопилось достаточно много подходов к построению определяющих соотношений нелинейной теории упругости. В данной работе производится анализ этих подходов, которым посвящено большое количество работ, в том числе [5, 10−13, 30, 34−41, 46, 48,49, 54, 56, 57, 64−66, 68, 72, 76, 78, 81, 82].

В работах Гузя [19], JI. Трелоара [73], Э. Э. Лавендела [30], В.И. Би-дермана [10] рассматриваются связи напряжений и деформаций, построенные на основе выражения свободной энергии как функции алгебраических инвариантов тензора Коши-Грина. Однако подобный подход не позволяет при описании процесса выделить специфические эффекты поведения материала, поскольку алгебраические инварианты тензора Коши-Грина не имеют четко выраженного физического смысла.

Вместе с тем в работах JI.A. Толоконникова [68,70], A.A. Маркина [38,45], A.B. Муравлева [49] обозначился другой тип определяющих соотношений, характерный большей гибкостью построения моделей и отражающий только необходимые исследователю явления. Такие связи между напряжениями и деформациями строятся через свободную энергию как функцию естественных инвариантов левого тензора Генки. Среди них, например, естественным образом выделяются соотношения, удовлетворяющие частному постулату изотропии Ильюшина.

Следует обратить внимание, что среди таких связей напряжений и деформаций сжимаемых материалов есть класс, позволяющий разделить деформирование на изменение объема и формы, и одновременно удовлетворяющий частному постулату изотропии Ильюшина. Подобные варианты определяющих соотношений особенно интересны с одной стороны из-за относительной простоты их построения (не приходится рассматривать зависимость свободной энергии от угла вида деформированного состояния), а с другой — тем, что реальные эксперименты действительно показывают существенное различие в реакции материала на изменение объема и формы. Таким образом весьма актуально сравнение связей напряжений и деформаций подобного рода с другими соотношениями, а также с экспериментальными данными.

Законы упругости, в которых учитывается влияние на гидростатические напряжения формоизменения [33, 66, 71], описывают дилатационные явления в упругих изотропных материалах. Работа Н. М. Матченко, A.A.

Трещева [48] посвящена связям напряжений и деформаций, позволяющим отразить эффекты разносопротивляемости при растяжении и сжатии.

Таким образом, значительный интерес приобретают определяющие соотношения, которые позволяют контролируемо (соответствующим подбором материальных констант) описывать только те или иные эффекты и таким образом гибко и оперативно строить модели поведения процесса. В частности, в данной работе приводятся примеры подобных связей напряжений и деформаций, производится их сравнение с законами Гузя, Мурнагана, Трелоара, Муни-Ривлина, Бидермана, не позволяющих естественным образом получить частные случаи.

Использованию частного постулата изотропии посвящено немало работ, например [1,3,22,45,79,80]. Однако поскольку до сих пор нет четкого ответа о достоверности частного постулата изотропии при конечных деформациях, предлагается программа проведения эксперимента чистого сдвига по напряжениям или деформациям и сравнение полученных результатов с соответствующими данными моделей, удовлетворяющих этому постулату.

Так как апробация конкретного определяющего соотношения должна производиться на многих видах нагружений, проанализированы не только классические виды напряженно-деформированного состояния. В частности, представлены и решены новые задачи о комбинированном сдвиге однородного, нелинейно-упругого полого цилиндра как в рамках модели сжимаемого, так и несжимаемого материала. Полученные результаты могут быть использованы для проверки достоверности и конкретизации используемых определяющих соотношений.

В первом разделе диссертации рассматриваются основные меры деформаций и напряжений, используемые в нелинейной теории упругости. Приводятся выражения алгебраических, а также естественных инвариантов Толоконникова-Новожилова этих мер. Отмечается, что естественные инварианты левого тензора Генки позволяют разделить процесс деформирования на изменение объема и формы. Записываются формы уравнения равновесия, представления удельной работы внешних сил.

Во втором разделе приводятся и анализируются конкретные формы свободной энергии. Показывается, что представление свободной энергии как функции естественных инвариантов левого тензора Генки допускает контролируемо учитывать или опускать из рассмотрения такие эффекты поведения материала как разносопротивляемость, дилатацию, разделение процесса на изменение объема и формы. Однако выражение свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить наличие или отсутствие указанных эффектов.

Третий раздел посвящен анализу конкретных определяющих соотношений на однородных классических видах нагружения, а именно простого растяжения (сжатия), чистого сдвига по напряжениям и деформациям. Для простого растяжения на примере различных видов связей напряжений и деформаций приводится сравнение модельных данных с экспериментальными, взятыми из работы [73], изучается эффект отражения разносопротивля-емости при растяжении-сжатии. Таким образом, подтверждаются выводы второй главы. Предлагаются варианты конкретизации определяющих соотношений, удовлетворяющих частному постулату. Подчеркивается достаточность единственного эксперимента на простое растяжение для этого. При рассмотрении чистого сдвига по напряжениям или деформациям указываются возможные схемы проведения экспериментов, а также зависимости между нагрузками, построенными для конкретных определяющих соотношений. Следовательно, сравнение экспериментальных и модельных зависимостей усилий позволяют сделать выводы о степени достоверности связи напряжений и деформаций, а также выполнении частного постулата изотропии Ильюшина.

В четвертой главе рассмотрены новые задачи о комбинированном сдвиге полого цилиндра. Для этих моделей характерно неоднородное напряженно-деформированное состояние. Построив с точностью до обоби 1 и щенных перемещении меры напряжении и деформации, записываются 7 уравнения равновесия и дополнительные условия. Таким образом, определяются постановки задач. Полученные системы нелинейных дифференциальных уравнений относительно обобщенных перемещений решаются численными методами. В результате по заданной траектории внешнего деформирования определяются внешние нагрузки и становится возможным сравнение соответствующих экспериментальных данных с модельными, что характеризует степень достоверности определяющего соотношения.

Работа выполнена на кафедре «Математическое моделирование» Тульского государственного университета. Целью диссертационной работы является изучение форм представления и конкретизации определяющих соотношений нелинейной упругости.

Основные результаты по теме данной диссертации были доложены на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», г. Тула, 2009, регулярных научных семинарах кафедры Математического моделирования, г. Тула, 2009;2011.

По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы, три из которых в изданиях, рекомендованных ВАК.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы из 87 наименований и содержит 107 страниц и 28 рисунков.

4.6. Выводы по главе.

1. Результаты полученных решений задач о комбинированном сдвиге могут использоваться при расчете цилиндрических резинометаллических шарниров и уплотнителей, широко применяемых в машиностроении.

2. Сравнение углов относительного поворота торцевых сечений, относительных осевых сдвигов с внешним моментом и осевой нагрузкой, получаемых экспериментально, с модельными решениями позволяют установить степень достоверности используемых определяющих соотношений.

3. Наблюдаются незначительные отличия зависимостей внешнего момента и силы от соответствующих обобщенных перемещений обоймы в случае использования моделей сжимаемого и несжимаемого материалов.

Заключение

.

Таким образом, в диссертации получены выводы и результаты:

1) Представление свободной энергии через естественные инварианты тензора Генки в рамках частного постулата изотропии позволяет последовательно отразить различные виды реакции материала на конечные упругие деформации: в частности, построить модель, независимо реагирующую на изменение объема и формымодель, отражающую разносопротивляемость всестороннему растяжению-сжатиюучесть появление гидростатической составляющей при формоизменении.

2) Представление свободной энергии через инварианты тензора Коши-Грина не позволяет последовательно отразить реакцию сжимаемого материала на изменение объема и формы при конечных деформациях, эффекты разносопротивляемости и дилатации, удовлетворить требованиям частного постулата изотропии.

3) Использование для несжимаемых материалов определяющего соотношения в форме связи между «повернутым» тензором напряжений и тензором Генки позволяет ассоциировать множитель Лагранжа с первым инвариантом тензора истинных напряжений. В случае использования связи между энергетическим тензором напряжений и тензором деформаций Ко-ши-Грина это условие не выполняется.

4) Для конкретизации соотношений, определяющих свойства как сжимаемых, так и несжимаемых материалов в рамках предельной формы частного постулата изотропии при конечных деформациях достаточно экспериментов на растяжение.

5) Результаты эксперимента на чистый сдвиг по деформациям позволяют установить величину деформаций, при которых отклонения несжимаемых материалов от частного постулата изотропии могут стать существенными.

6) Результаты полученных решений задач о комбинированном сдвиге могут использоваться при расчете цилиндрических резинометаллических шарниров и уплотнителей, широко применяемых в машиностроении.

7) При комбинированном сдвиге наблюдаются незначительные отличия зависимостей внешнего момента и силы от соответствующих обобщенных перемещений обоймы в случае использования моделей сжимаемого и несжимаемого материалов.

8) Сравнение экспериментальной и теоретической зависимостей внешних момента и силы от перемещения внешней обоймы при комбинированном сдвиге может быть использовано для установления степени достоверности используемых определяющих соотношений.