Интегральные представления голоморфных функций в пространстве С2 и их приложение к решению краевых задач математической физики

Теория интегральных представлений функций многих комплексных переменных возникла в конце прошлого века. Эта область особенна богата важными приложениями и имеет связь со многими раделами математической и теоретической физики |~I?].

С самого начала развития этой теории и до настоящего времени одной из основных ее проблем была и остается задача о построении интегральных представлений для функций многих переменных, голоморфных в наперед заданной области голоморфности.

В 1936 годубнла установлена формула Бергмана-Вейля с голоморфным ядром, которая, однако, полностью не решила проблему интегрального представления из-за узости областей для которых она имеет место.

В 1943 году была получена формула Мартинелли-Бохнера, которая имеет место практически для всех областей, но ядро представления неголоморфно.

В 1955 года lepe [21*] получил наиболее общую интегральную формулу с голоморфным ядром, которая все еще не охватывает всего множества классов областей.

В связи с работами B.C. Владимирова [l3, , усилился интерес к интегральным представлениям функций, голоморфных в неограниченных областях. На этом пути можно отметить работы Гиндикина [1б], Айзенберга, обобщение Ярмухамедовым формулы Мартинелли-Бохнера [30] .

В последние годы усилился интерес к решению краевых задач для голоморфных функций многих комплексных переменных.

Задачу линейного сопряжения для трубчатых областей рассмотрел B.C. Владимиров, для бицилиндрических областейВ.А. Какичев, им же рассмотрена двумерная краевая задача типа задачи Римана, содержащая интегро-ди§ ференциальные операторы ?19]. Задачи линейного сопряжения для двоякокруговых областей вида К ' С (Ъ < | * i? 1 < i, С 7 Of ci7 0- (г) ^ (1Ь гл) j были рассмотрены Г. Л. Луканкиным [23] и В. И. Богановым Qll] .

В настоящей работе рассматриваются области из пространно ства С двух комплексных переменных следующих видов:

I. Ограниченная полная двоякокруговая область Я) с центром граница которой ф (М) = i -4>o[i2il)z0, о? Rij Ф0 (R<) = о дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне / Ь[Ф]? &. L&>} - определитель Леви {7*] / называется областью класса.

II. Область-Ов с2 называется областью Хартокса или полукруговой областью с плоскостью симметрии j (2) — 0 если вместе с каждой точкой этой области принадлежат и все точки вида, Область Хартокса называется полной, если (2*, A^JcIX для всех|АМи.

III. Будем говорить, что неограниченная полная двоякокруговая область & с центром (о, о) принадлежит класс у 7 если параметризующие ее границу функции и t?(u>) ложительны, непрерывно дифференцируемы и связаны соотношением.

Оо ;

ПОf.

Ъъ M tD Zj (cd) tUu>).

Б котором г/(о)=о, о, <(*)=<*>

Для областей? д^СТ) А. А. Темляков [2б] получил интегральные представления голоморфных функций л Лп.

0.1/ 0 < Лтг.

9 о /0.2/.

Y-r * vt где Lpl-f4^^/^^, и" г1СтГ' ' ^r;

Формулы /0.1/ и /0.2/ были названы [27] интегральными предетавленияш Темлякова I и II родов. Позднее Бавриным [б] получено интегральное представление Темлякова III рода i in о О.

Укажем на некоторые свойства интегралов /0.1/, /0.2/ и /0.3/.

I. Ядро интегралов /0.1/ и /0.3/ совпадает с ядром Ковш одного комплексного переменного (Л, а интеграла /0.2/ является значением оператора Ь от этого ядра. ъ-и.

0.3/.

2. Плотность представления /0.2/ совпадает со значением f-на, а в /0.1/ и /0.3/ соответственно с.

Определение 0.1. Класс функций i (t, efi) / / на множестве Д={(гД, ч): ^^^ /.

И УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ условию c?^oi±-f /поЬ равно мерно относительной жЬ / -к /, будем обозначать символом (.¿-р^).

На основе интегральной формулы /0.1/ был рассмотрен [4] интеграл типа Темлякова I рода ЛЯ.

Л*С й.

0.4/ J для гиперконуса К, где, и лж.

Vtf^ «I J S — (l.

0.5/.

Lt для гипершара: /2-г/ где II ~ +^в .

Определение 0.2. Функции, определяемые интегралами /0.4/ и /0.5/ при (?) € С будем называть пункциями классов 0. ж 0.. Для функций классов 0 и & имеют место теоремы |4*]: Теорема 0.1. Если пункция и), то интеграл /0.4/ представляет собой голоморфную функцию в области К ,.

Теорема 0.2. Вне области К интеграл /0.4/ является а/ неголоморфной непрерывной пункцией в области 8 б/ голоморфной функцией в областях непрерывной функцией в замкнутой области Е1 ОЕ^ в/ интеграл /0.4/ представляет собой непрерывную функцию в С^ за исключением точек окружности особенностей.

Области К, ?, Е1, ^^, а также множества В1 и В^ можно иллюстрировать в абсолютном октанте /рис. 01/.

Интеграл типа Темлякова /0.4/ был успешно применен для постановки и решения следующей краевой задачи линейного сопряжения [2з] .

Краевая задача 0.1. Требуется найти функцию класса О., обращающуюся в нуль на двумерном многообразии бесконечно удаленных точек, удовлетворяющую в точках окружности особенностей В1 краевому условию.

-(с^о) = + +, /0−6/ где (r (s0) и — непрерывные на В>* заданные функции.

Для функций ¦((%) класса (2- доказана 22~ .

Теорема 0.3. если ty (?,-e, V)? Lip (a), то в точках границы гипершара нормальная производная интеграла /0.5/, взятого по границе гипершара*?^, совершает скачок, а именно, имеет место следующая формула 4.

— l.

1^JCT-Wlf '.

0.7/ о.

В работе 8] для областей (Т) получено интегральное представление 4тг. .

ООО.

JT /.

0.6/.

0 |*ы.

ИИ ^ в котором значение функции -}- определяется значением оператора, заданного на двумерном множестве j ' jb exp [t< *,®e 'Та Я¹].

Данная диссертация посвящена получению новых интегральных представлений для полукруговых и двоякокруговых областей пространства С2 двух комплексных переменных и их применению для постановки и решения краевых задач.

В ней получены следующие результаты:

1. Интегральная формула /0.8/ распространена на неограниченные полные двоякокруговые области.

2. Получены интегральные представления с ядрами Коши для полукруговых областей. Заметим, что полученные ранее интегральные формулы с ядрами Коши не выходили за рамки п-круговых областей.

3. Разработан математический аппарат для решения двумерных краевых задач типа задачи Римана с краевыми условиями, содержащими частные производные. Заметим, что в этом направлении решена только краевая задача 0.1.

4. Получены системы дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют исследованные в данной работе классы пункций.

5. Ранее полученные интегральные представления, формулы Шварца и Пуассона для областей Ю € (т) применены для постановки и решения краевых задач математической физики, содер-жа"ще частные производные высших порядков. В этом направлении решены только задачи Дирихле, Шварца и Гильберта.

6. Уточнена и конкретизирована формула /0.7/ скачка нормальной производной интеграла /0.5/. Рассотрены некоторые следствия результатов исследования настоящей работы для функции одного комплексного переменного, которые представляют определенный интерес.

Перейдем к более детальному изложению содержания диссертации.

II.

В I I, для полукруговых областей Х1&С, получены аналоги интегральных представлений /0.1/, /0.2/ и /0.3/. Так, например, аналог формулы /0.1/ имеет вид.

Г ГХГГ Г го о где -^(тД,) — параметрические уравнения границы? Х2. ,§-<-ес£. Л¹ • Л=Л (г,-Ь) некоторая весовая. функция,.

Ъ ' ж.

— уравнение границы Отметим некоторые свойства интеграла /0.9/.

1. Внутренний интеграл в /0.9/ является интегралом Коши одного комплексного переменного и1 .

2. Интегральная формула /0.9/ выражает значение функции.

2) внутри области-Очерез значение на^-^- .

В § 2, для неограниченных выпуклых двоякокруговых областей г п с N получены интегральные формулы, которые распространяют и обобщают интегральное представление /0.8/.

Рассмотрим теперь в С2 ограниченные двоякокругове области.

В этом же параграфе получено интегральное представление для областей К (, р>" Ц, которое восстанавливает функцию в области по значению ???7 на множестве и имеет вид 4.

Г" Г Г.

А9 ¿-к г ^ и Д <0.

0.10/ где 0 = С? ¿-сх?, б> ¿-о") — & ¿-¿-Я 7.

11 в 1 с?*1.

Гх €.

Полученные в главе I интегральные представления допускают ряд приложений / §§ 3 — 8/ Рассмотрим их.

Заменяя в интегральной формуле /0.10/ выражение ^-¿-[Д на произвольную функцию ¿-(^г^ ^^рд и, интегрируя по параметрам тЦ, ,, , получим интеграл.

ЧлЧ dt dt vo. ii/.

Ъ-Иъ л Ы.

В главе III изучаются функции класса ,) представимых интегралом /0.11/. Заметим, что при ?.

Л^о и Jфункции класса И (t^ffa) совпадают с классом функций Q, изученных в [i] и j4j .

В § 3 показано, что функции класса голоморфными в и области, а также в областях.

Г,=[а): -Л 2*1- 1 >01 *д/г"/ п = {сг) -Ль М-1 ^ и неголомор^ными в области ь^и^ОР^^о есть> по существу, функции класса И (^Дд) по сравнению с функциями класса й осуществляют аналитическое продолжение из области К в область К^/ч"^) / К С К /.

Дальнейшие исследования в этом параграфе связаны с поведением функций класса М (Ь^^х) вне области голоморфности.

В § 4 показано /теорема 4.1/, что область неголоморфности сНкО^с^иР^ОР*) функций класса Ж^'Дг) единственным образом разбивается на множества Ек, к= 1,., 11 /рис. 4.1/, в каждом из которых функции класса М (представишь: отличными друг от друга интегральными формулами.

Полученные формул ел. позволяют вычислять функция" :класса И в каждой точке области неголоморфности. Следует отметить, что.

14 п функции класса Ы, в отличие от функций класса I I в области неголоморфности Е представимы одной интегральной формулой. Кроме того здесь показано, что функции класса.

М (^'Др.) непрерывны в простанстве С2, в то время как функции класса О, имеют окружности особенностей /теорема 0.2/. В § 5 устанавливается связь функций класса С с функциями (ц>) класса О. /теорема 5.1/. Например, с"+отМ), 0[й=?к^ где.

§ ь посвящен изучению функщ р (¿-ДО •Как щий Ь [?3 — I4 классе дни класса Р С, показали исследования /теорема 6.1/, функ.

1 к ^ % ции класса г ^ ¿-2у, в отличие от функции класса п V. 1 непрерывны в С за исключением точек множеств.

С< = {£"):|г<|=/, 1 ,.

Здесь же получены формулы предельных значений /аналоги формул Сохоцкого/ функций класса из областей Е^ ,.

Еч и К (А/на множестве Сл. м / о!,]6.

В главе 17, изученные свойства функцийклассов I I и^^ и Р^т'Дд) позволяют поставить и решить пространственные /двумерные/ краевые задачи с краевыми условиями, заданными на Ск. Краевые условия этих задач содержат частные производные от искомых функций.

Здесь же получены решения некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных в выше указанных классах функций.

В § 7 поставлена краевая задача 7.1 с краевым условием где Kl-'i, Х-1, либо /сс./, Х- 0, либо ?-0 Д:|. L ^ ^[jf^f^OJ ?/ - предельные значения функций f (2) класса М (^Д^) при JC-Х — о } функций f-* D[iJ при? С-Х на множестве С1, (г (5°) — заданная на окружности непрерывная функия класса Lip X. Решение краевой задачи 7.1 сводится к решению полных особых интегральных уравнений /7.3/ и /7.4/, относящихся как к нормальному типу, так и к исключительным случаям.

Краевая задача 7.2. Найти в С2 функцию класса М (0-,.