Оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами и их приложения

Исследования диссертации относятся, с одной стороны, к вопросу об ограниченности из Lp (Rn) в Lq (Rn) операторов типа потенциала с ядрами или символами, осциллирующими на бесконечности, а с другой — к задаче обращения и описания образов таких операторов в неэллиптическом случаях.

В диссертации рассматриваются операторы типа потенциала.

K"*" ip)(x) = J Wх — уЫу) dy (1).

К" с ядрами, удовлетворяющими следующим условиям.

В окрестности точки г = 0 ядро &ад7(г) представимо в виде dlr).

Wr) = ^> 0.

1 > р > (1 — п)/2, 0 ф 0, -1,., [(1 — n)/2] + 1, в окрестности точки г = оо — в виде a®e±ir -^Г-" 0 < Re, а < п. (4).

Характеристики о (г) и b® предполагаются достаточно гладкими в соответствующих окрестностях, a d® ограничена и стабилизируется в нуле как гельдеровская функция. Вне указанных окрестностей ядро оператора (1) предполагается ограниченным.

Рассмотрены также случаи, когда 7 = п и (или) Р = 1. При этом предполагается, что ядро &ад7(г) ограничено в соответствующих окрестностях точек г = 0 и г = 1 (в частности, в случае 7 = п и /3 = 1 оно ограничено в Rn).

Рассматриваемый класс операторов содержит в себе, в частности: а) операторы Бохнера-Рисса комплексного порядка/?, (1—n)/2 < Re/? < (п + 1)/2- б) акустические потенциалы, реализующие отрицательные степени операторы Гельмгольца + Д вГв) дробные потенциалы типа Стрихарца по Rn с осциллирующими на бесконечности характеристиками.

Получены Ьр Lg-оценки для оператора (1). Более точно, описаны выпуклые множества (1/р, 1/д)-плоскости, для точек которых оператор }(<*$, 7 ограничен из Lp в Lq и указаны области, в которых этот оператор не ограничен. В некоторых случаях описана^{-характеристика} оператора (1), т. е. дано описание множества всех пар (l/p, l/q), для которых он ограничен из Lp в Lq. Отметим, что особенности ядра оператора на сфере в Rn порождают осцилляцию его символа на бесконечности. Таким образом, исследованы операторы ядра и символы которых одновременно осциллируют на бесконечности, такие операторы ранее не рассматривались.

При получении Lp-Lqоценок для оператора (1), удалось обнаружить несколько интересных эффектов, демонстрирующих, влияние особенностей ядра ка$а (у) в нуле и на единичной сфере, а также осцилляции ядра на бесконечности, на картину ограниченности оператора. В частности, выделены случаи, когда С — характеристика С{Ка^,')) состоит из одной точки или является пустым множеством.

Развитый в диссертации подход к получению Lp —> Дооценок для оператора (1) основан, с одной стороны, на технике работы с операторами свертки с осциллирующими символами, развитой в работе [51] и модифицированной в статьях [58,62], а с другой — на исследовании «модельных» операторов с осциллирующими на бесконечности ядрами. Этот подход позволил, в частности, обобщить результаты по ограниченности оператора (1) на случай, когда его ядро имеет степенные особенности на любом конечном объединении сфер в Rn.

Методом аппроксимативных обратных операторов (АОО) построено обращение потенциалов / = K^^ip, <р € Ьр в неэллиптическом случае, когда символ потенциала (1) вырождается на произвольном, меры нуль, множестве в Rn.

В настоящее время имеется большое число исследований по обращению и описанию образов операторов типа потенциала вида / - упЫу) dV> 0 < Rea < п, (5).

R" с достаточно гладкими (не осциллирующими) характеристиками а (у) в эллиптическом случае (см. книги [32−35], обзорные статьи [22,23,36], а также имеющуюся в них библиографию).

Отметим, что первые результаты в этом направлении принадлежат С. Г. Самко, построившему обращение риссовых потенциалов Ка (т. е. потенциалов (5) с постоянной характеристикой а (у)) и описавшему образ Ka (Lp), а также более общие функциональные пространства Lpr{R"), в терминах гиперсингулярных интегралов (ГСИ) (см. [25,26]).

В начале 90-х, в работах В. А. Ногина и его учеников (см., например, [2,9]) был разработан новый метод обращения операторов типа потенциала — метод АОО. В рамках этого метода было построено обращение операторов типа потенциала вида (5) с особенностями их ядер на том или ином множестве в Мп в неэллиптическом случае.

Потенциалы вида (5) с осциллирующими на бесконечности характеристиками а (у) исследовались мало. Ранее Lp —> Дооценки для таких операторов были получены лишь в двух случаях «специфической» осцилляции, порождаемой функцией Бесселя (операторы Бохнера-Рисса, см. [5]) или функцией Ханкеля (акустические потенциалы, см. [20]), а также модельный случай, когда а (у) = ев (5) (см. [21]). Имеется также ряд работ по ограниченности оператора Бохнера-Рисса положительного вещественного порядка в Lp (Е. М. Stein, Ch. Fefferman, P. Sjolin и др.) — их обзор дан в [45, гл.9].

Обращение потенциалов вида (5) с осциллирующими ядрами и плотностями из Ьр в неэллиптическом случае было построено ранее в следующих специальных случаях: когда а (у) = ё1^ (см. [2]), для акустических потенциалов (см. [9]), а также в случае потенциалов (5) с характеристиками вида (c-faj ег’М и (b + c егЧ с? Rn, 6 G Ссм. [18,19], соответственно. Однако, образы указанных потенциалов не были ранее описаны ни при каких си.

Имеется также ряд работ по операторам типа потенциала с особенностями ядер на различных многообразиях в Rra. Интерес к таким потенциалам вызван, прежде всего, их приложением в теории комплексных степеней классических операторов математической физики: волновых операторов, операторов Клейна-Гордона-Фока и Шрёдингера, телеграфного оператора и др. (см. книгу [33, Sections9, И], обзорные статьи [22,23,36], а также статьи [17,19,42]). Дробные потенциалы Р. Стри-харца.

M/V)(z) =^rff / (! — МУ" V (* - У) dy, (6).

М<1 введенные и исследованные в [1], и их модификации (так называемые операторы типа Стрихарца-Пераля-Мияси) также играют важную роль в различных вопросах анализа и математической физики (см. [23]).

В диссертации были построены^{характеристики} обобщенных потенциалов Стрихарца вида Ь (у)(1-у2ГМх-у)Лу, (7).

М<1 где 6(г) — достаточно гладкая функция такая, что 6(1) ^ 0, и их аналогов по Rn: кЦ<�р){х) = J b (y)(l — y2 ио^ф-У) dVl (8).

Kn < /? < 1, /? ф 0, -1,., + l], 6(1) ф 0, в предположении, что характеристика 6(г) стабилизируется на бесконечности, как гельдеровская функция и 6(оо) Ф 0 (см. [51]).

Заметим еще, что обращение и описание потенциалов (8) и их модификаций, а также потенциалов (7) в рамках Lp-пространств в неэллиптическом случае было дано в [37,51].

Все приведенные в диссертации результаты являются новыми. Принципиально новым являются следующие результаты.

1) Разработан новый подход к получению Lp — Lq — оценок для оператора Бохнера-Рисса и акустического потенциала, основанный на интерполяции аналитических семейств операторов и оценках Е. Стейна для некоторых осцилляторных интегралов. В рамках этого метода удалось решить открытые уже более 20 лет задачи, которые заведомо не могли быть решены использовавшимися ранее методами (см. замечание 3.1).

2) Описан образ акустического потенциала и, тем самым, дано описание естественной области определения комплексных степеней с положительными вещественными частями, операторов Гельмгольца в R" .

3) Впервые исследован вопрос об ограниченности из Ьр в Lq операторов типа потенциала, ядра и символы которых одновременно осциллируют на бесконечности.

4) Впервые описаны образы широкого класса операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами в неэллиптическом случае.

Перейдем к детальному изложению полученных результатов. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на 12 параграфов.

В первой главе исследуются операторы Бохнера-Рисса и акустические потенциалы. Операторы Бохнера-Рисса В13 с символами.

27r)-t2^-1(l-^)(l-|^|V представимы в виде.

В'<�р)(х) = J y-Wj,-MMx-y)dy, (9).

Rn.

1 — п)/2 < Re/? < (n + l)/2, где Ju (z) — функция Бесселя порядка и.

Акустические потенциалы, реализующие отрицательные степени оператора Гельмгольца в Еп, имеют вид.

A*.

Rn.

О < Re7 < n + 1, hM) = CnM4L^(y\ (11) 2 где Cn, 7 = 2 2 7 Г ". — первая функция Ханкеля. Получе.

Г (7/2) ны Lp Lq — оценки для операторов (9) и (10), а в некоторых случаях удалось построить их? — характеристику.

§ 1 носит вспомогательный характер. В нем собраны необходимые в дальнейшем обозначения, вспомогательные сведения и утверждения. В § 2 получены LpLqоценки для операторов.

Sy)(x)= J а (уУ%а~пф-у)<1у, 0<�п, (12) М>лг где характеристика а (г) предполагается достаточно гладкой в окрестности точки г = оо, а (оо) ф 0. Построены выпуклые множества на (1/р, 1/q) — плоскости для точек которых оператор (12) ограничен из Lp в Lq и указаны области, в которых он не ограничен.

В параграфах 3 и 4 получены Lp — Lqоценки для операторов (9) и (10) комплексного порядка. Более точно, описаны выпуклые множества (1/р, 1/q) — плоскости, для точек которых рассмотренные операторы ограничены из Lp в Lq. В некоторых случаях построена С — характеристика указанных операторов. Удалось решить ряд вопросов, открытых более двадцати лет (см. замечания 3.1 и 4.3).

В § 5 даны приложения оценок для акустического потенциала к получению Lp-Lqоценок для некоторых операторов с осциллирующими ядрами. Именно, уточнены результаты для оператора S*, полученные в § 2. Кроме того, рассмотрены модификации акустического потенциала, именно, потенциалы Н]<�р, задаваемые в образах Фурье равенством то=т -1 — *op/2(i+Kim), (13) где 0 < Re7 < n +1, Ref? > 0. Операторы (13) близки к акустическим потенциалам в том смысле, что символы операторов и А1 имеют особенности одинакового порядка на единичной сфере. Отсюда возникает естественный вопрос о влиянии скорости убывания символа оператора (13) не бесконечности на картину ограниченности этого оператора из Lp в Lq.

В главе 2 получены Lp —" Lq — оценки для операторов (1). И рассмотрены некоторые частные случаи этого оператора.

В § 6 построена С — характеристика оператора мЦ<�р)(х) = [ Ыу)(1 — у2 4- tO/-V (® — V) dy, (14) где функция 6(г) является достаточно гладкой в окрестности точки г = 1.

В § 7 получены аналогичные результаты для оператора свертки с ядром.

В § 8 получены оценки для оператора (1). В некоторых случаях построена С — характеристика этого оператора. В этом параграфе также рассмотрены частные случаи изменения параметров 7 и 0, именно, 7 = п, (5 = 1. Кроме того, приведен ряд интересных эффектов, демонстрирующих влияние на картину ограниченности оператора (1) осцилляции его ядра на бесконечности, а также особенностей ядра в начале координат и на единичной сфере. В частности, рассмотрены ситуации, когда оператор (1) не ограничен из Lp в Lq ни для каких р и q, указаны также случаи, когда /^-характеристикой этого оператора является точка.

Глава 3 посвящена приложению результатов полученных в главах 1 и 2 к обращению и описанию образа оператора (1) в неэллиптическом случаях и к описанию образа акустического потенциала.

В § 9 проводится исследование символа оператора (1) необходимое для построения обращения и описания образа этого оператора.

В § 10, в рамках метода АОО, строится обращение потенциалов (1) с Lp-плотностями в неэллиптическом случае. Здесь мы предполагаем, что mes{?: ка>р, Ж = 0} = 0, (15) где 7(|?|) — символ оператора (1). Обращение потенциала / = Ка’Р', у (р1 у 6 Lp строится в виде.

H^yJAf-Uf, (16))(t)| (17) (Mm2+iS)№ 2 + (? + i)2Yl i > Re a (2[n/2] + 1) + [n/2](3 — n) + 3 — (n — l)/2.

Как видно из (17), построение обращения потенциала / = в неэллиптическом случае связано с «улучшением» функции 1/А-ад7(|?|) не только на бесконечности и на единичной сфере, но и на множестве нулей символа /гад7(|£|).

В § 11 дано описание образа в терминах оператора (16) в неэллиптическом случае, когда выполнено условие (15). Как отмечалось выше, при этом мы существенно используем информацию о действии оператора (1) из Lp в Lqi + Lq2, полученную в теореме 8.2. Отметим, что возникающие здесь принципиальные трудности связаны с вопросом о плотности в Lp пространства Фу С. Г. Самко-П. И. Лизоркина, построенного по множеству, являющемуся объединением множества нулей символа оператора (1), единичной сферы и начала координат. Эти трудности преодолеваются с помощью указанных Ьр Lqi + Lq2-оценок.

В § 12 описан образ акустического потенциала / = А^ср в терминах обращающих конструкций. При этом существенно используются оценки из Ьр в Lqi + Lq2 для оператора Л7, полученные в § 4.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [51−58, 61,63,65]. Работы [51,54−58,61,63] выполнены вместе с научным руководителем В. А. Ногиным, а работа [65] совместно с В. А. Ногиным и А. Н. Карапетянцем. В работах [51,54−58,61,63] В. А. Ногину принадлежат постановка задач и основные идеи доказательств содержащихся там результатов, Д. Н. Карасеву принадлежат доказательства указанных результатов. В работе [65] В. А. Ногину принадлежит постановка задачи и основные идеи доказательств теорем 1−3. Д. Н. Карасеву принадлежат доказательства теорем 1 и 2.

Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре Кемницкого технического университета (Германия) проходящего под руководством профессоров А. Бётчера и Б. Зильбермананеоднократно докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета, на международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2004).

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту Ногину В. А. за постановку задач, постоянную поддержку и внимание к работе.

1. Абрамян А. В., Ногин В. А. Комплексные степени некоторых дифференциальных операторов второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами в Lp-пространствах // Диф. уравнения, 2001. Т. 37, № 6. С. 1−3.

2. Алисултанова Э. Д., Заволженский М. М., Ногин В. А. Обращение потенциалов Рисса с осциллирующими характеристиками. Деп. в ВИНИТИ, Москва, 1992. № 192-В92. 23 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966. 296 с.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 296 с.

5. Borjeson L. Estimates for the Bochner-Riesz operator with negative index // Indiana University Mathematics Journal, 1986. Vol. 35, No 2. P. 225−233.

6. J.-G. Bak, D. McMichael, D. Oberlin, U Lq estimates off the line of duality // J. Austral. Math. Soc., 1995, (Series A). No 58, P. 154−166.

7. Ватсон Г. H. Теория бесселевых функций. М.: Изд. иностр. л-ры, 1949. 798 с.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1971. 1108 с.

9. Заволженский М. М., Ногин В. А. Об одном методе обращения операторов типа потенциала. Деп. в ВИНИТИ, Москва, 1991. № 978-В91. 81с.

10. Karapetyants A. N., Nogin V. A. Complex powers of second order non-homogeneous elliptic differential operators with degenerating symbols in the spaces Lp (Rn). Reporto Interno, CINVESTAV-IPN. Mexico, October (2000), No 282.

11. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные пространства Lrp (En). Теоремы вложения // Мат. сб., 1963. Т. 60, № 3. С. 325−353.

12. Лизоркин П. И. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов в теории вложений классов дифференцируемых функций // Тр. МИАН АН СССР, 1969. Т. 105. С. 89−107.

13. Miyachi A. On some estimates for the wave equation in LP and Hp // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA, 1980. V.27. P. 331−354.

14. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers //J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA, 1981. V.28. P. 267−315.

15. Никифоров А. Ф., Уваров В. В. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344 с.

16. Nogin V. A., Luzhetskaya P. A. Inversion and description of the ranges of multiplier operators of Strichartz-Peral-Miyachi-type // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2000. V.3, № 1. P. 87−96.

17. Ногин В. А., Чеголин А. П. Комплексные степени одного неэллиптического дифференциального оператора с даламбертианом в главной части в .^-пространствах. Деп. в ВИНИТИ, Москва, 2001. № 625-В2001.

18. Ногин В. А., Шевченко К. С. Обращение некоторых риссовых потенциалов с осциллирующими характеристиками в неэллиптическом случае // Известия вузов, Мат., 1999. № 10. С. 77−79.

19. Ногин В. А., Трут JI. И. Обращение некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами в рамках пространств Ьр (Жп) // Известия вузов, Северо-Кавказский регион, Мат., 2001. № 3. С. 68.

20. Ногин В. А., Рубин B.C. Оценки для потенциалов с осциллирующими ядрами, связанных с уравнением Гельмгольца // Дифференциальные уравнения, 1990. Т. 26, № 9. С. 1608−1613.

21. Ногин В. А., Сухинин Е. В. Lp —> Дооценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими характеристиками. Деп. в ВИНИТИ, Москва, 1998. № 643-В98. 15 с.

22. Nogin V. A., Samko S.G. Method of approximating inverse operators and its applications to inversion of potential-type integral transforms // Integral Transforms and Special Functions, 1999. Vol. 6, № 1−2. P. 89 104.

23. Nogin V.A., Samko S.G. Some applications of potentials and approximative inverse operators in multi-dimensional fractional calculus // Fractional Calculus & Applied Analysis, 1999. Vol.2, № 2. P. 205−228.

24. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 375 с.

25. Самко С. Г. О пространствах риссовых потенциалов // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1976. Т.40, № 5. С. 1143−1172.

26. Samko S.G. Spaces Щг (Rn) and hypersingular integrals // Studia Math., 1977. Vol. 61, No 3. P. 193−230.

27. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы, их символы и обращение // Докл. АН СССР, 1977. Т. 232, № 3. С. 528−531.

28. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристикамиих символы и обращение // Труды МИАН СССР, 1980. Т. 156. С. 157−222.

29. Самко С. Г. Об обобщенных потенциалах Рисса // Семин. Инстит. Прикл. Мат. Тбил. Ун-та, 1978. Т. 5−6. С. 235−249.

30. Samko S. G. A new approach to the inversion of the Riesz potential operator // Fractional Calculus & Applied Analysis, 1998. Vol. 1, No3. P. 225−245.

31. Samko S. G. Some notes to the author’s paper «A new approach to the inversion of the Riesz potential operator» // Fractional Calculus к Applied Analysis, 1999. Vol.2, Nol. P.63−66.

32. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1984. 208 с.

33. Samko S.G. Hypersingular Integrals and Their Applications. Series «Analytical Methods and Special Functions», Vol. 5. Taylor к Prances, London-New-York, 2002. 376 p.

34. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

35. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. Gordon & Breach. Sci. Publ., London-New-York, 1993. 976 p.

36. Samko S. G. Inversion theorems for potential-type integral transforms in Rn and on Sn~l // Integral Transforms and Special Functions, 1993. Vol.1, No 2. P. 145−163. .

37. Самко С. Г., Умархаджиев С. М. Приложения гиперсингулярных интегралов к многомерным интегральным уравнениям первого рода // Труды Мат. Инст. им. Стеклова, 1985. Т. 172. С. 299−312.

38. Самко С. Г., Костецкая Г. С. Абсолютная интегрируемость интегралов Фурье // Вестник РУДН (Математика), 1994. № 1. С. 138−168.

39. Самко С. Г Об основных функциях, исчезающих на заданном множестве и о делении на функции // Мат. заметки, 1977. Т. 21, № 5. С. 677−689.

40. Самко С. Г. О плотности в Lp (]R.n) пространства Ф&bdquoтипа Лизоркина // Мат. заметки, 1982. Т.31, № 6. С.855−865.

41. Samko S. G. Denseness of spaces Фу of Lizorkin type in the mixed IS{En)-spaces // Studia Math., 1995. No5. P. 119−210.

42. Samko S. G. Fractional powers of operators via hypersingular integrals. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, 2000. Vol.42. P.259−272.

43. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973. 342 с.

44. Стейн И. М., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 336 с.

45. Stein Е.М. Harmonic Analysis: Real-variable Method, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1993).

46. Strichartz R.S. Convolutions with kernels having singularities on a sphere // Trans. Amer. Math. Soc., 1970. V.146. P. 461−471.

47. Федорюк M.B. Метод перевала. M.: Наука, 1977. 368 с.

48. Fefferman Ch. A note on spherical summation multipliers // Israel J. Math., 1973. Vol.5, № 1. P.44−52.

49. P. A. Tomas, A note on spherical summation multiplier. Israel J. Math., Vol.5, No 1 (1973), p.44−52.

50. Hormander L., Estimates for translation invariant operators in № spaces // Acta Mathematica, 1960. Vol. 104. P. 93−140.

51. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L-characteristic of some potential-type operators with radial kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus к Applied Analysis, 2001. Vol. 4, No 3. P. 343−366.

52. D. N. Karasev, Lp —> L9-estimates for some potential-type operators with oscillating kernels, // Fractional Calculus & Applied Analysis, 2002, Vol. 5, No. 2, P. 131−153.

53. Д. H. Карасев, Lp —" £9-оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Дифференциальные уравнения, 2003, Т. 39, № 3, С. 418−420.

54. D. N. Karasev, V. A. Nogin, Estimates for the acoustic potentials and their application // Proceedings of A. Razmadze Math. Inst., 2002, Vol. 129, P. 29−51.

55. D.N. Karasev, V.A. Nogin, (Lp —"• Lg)-estimates for the Bochner-Riesz operator of complex order // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen, 2002, Vol. 21, No. 4, P. 915−929.

56. D. N. Karasev, V.A. Nogin, Inversion of some potential-type operators with oscillating kernels in the elliptic and non-elliptic cases // Integral Transforms and Special Functions, 2002, Vol. 13, P. 529−545 .

57. D. N. Karasev, V. A. Nogin, Description of the ranges of some potential-type operators with oscillating kernels in the non-elliptic case // Fractional Calculus к Applied Analysis, 2002, Vol 5, No 3, P. 316−349.

58. D.N. Karasev, V.A.Nogin, On Boundedness of Some Potential-type Operators with Oscillating Kernels // Math. Nachr., 2005, Vol. 278, No. 5, P. 554−574.

59. M.A. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, B.A. Ногин, Lp — Lq оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, Естественные науки, 2004, № 2, С. 27−30.

60. М.А. Betilgiriev, D.N. Karasev, Lp — Lq estimates for some potential type operators with oscillating kernels // Fractional Calculus k, Applied Analysis, 2004, Vol. 7, No 2, P. 213−241.

61. Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Lp — Lq оценки для акустических потенциалов и их приложения. Известия Вузов, Северо-Кавказский регион, Естественные науки (Приложение) 2006, № 5, С. 3−7.

62. А. Н. Карапетянц, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами // Известия национальной академии наук Армении, 2003, Т 38, № 2, С. 37−62.

63. Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Оценки для некоторых операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами и некоторые их приложения // Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, естественные науки, 2003, № 1, С. 8−11.

64. М. А. Бетилгириев, Д. Н. Карасев, В. А. Ногин, Описание образа одного оператора типа потенциала с осциллирующим ядром // Владикавказский математический журнал, 2005, Т 7, Вып. 2,17−25.

65. A.N. Karapetyants, D.N. Karasev, V.A.Nogin, Lp —"^-estimates for the fractional acoustic potentials and some related operators // Fractional Calculus к Applied Analysis, 2005, Vol. 8, No. 2, P. 155 172.