ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π° ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅, ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 2-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΡΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (- Π‘ΡΠΈΠΏΠΈΠΎΠ½ Π΄Π΅Π»Ρ Π€Π΅ΡΡΠΎ, ΠΠΈΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π’Π°ΡΡΠ°Π»ΡΡ, ΠΠΆΠΈΡΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎ ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ, Π Π°ΡΠ°ΡΠ»Ρ ΠΠΎΠΌΠ±Π΅Π»Π»ΠΈ) Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» v-1 ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ 2+1=0, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π°+bβ’v-1) Π΄Π»Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°: ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΎΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π΅.
Π‘ΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅.
I.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
.
II. ΠΠ± ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
III. ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ».
1. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
2. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ.
3. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
4. ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
5. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ.
IV. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π΅ΠΉ ΠΈ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ.
1. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠ΅ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ.
2. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π€Π΅ΡΡΠ°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
V. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
VI.
ΠΠ°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
.
VII.
ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°
.
I.
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅
.
ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ Π² Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ΅. Π ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π² ΡΡΠ΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠΊΠΎΠ»Π΅ ΠΈΠ·ΡΡΠ°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 1-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΠ΅) ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 2-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π°Π½ΠΎ:
(?) ΠΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ax+b=0, Π³Π΄Π΅ Π°?0, ΡΠΎ x=-b/a — Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ;
(?) ΠΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ax+bx+c=0, Π³Π΄Π΅ a, b, c — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, a?0, ΡΠΎ x=-b±vbβ’b-4ac/2a; ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ D = b2 — 4ac, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΡΠΎΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ:
ΠΡΠΈ D>0 — Π΄Π²Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ, D=0 — ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΄Π²ΡΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ (ΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ-ΡΠΎ ΠΆΠ΅, Π΄Π²Π° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ), D<0 — Π½Π΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΈΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΡΡΡΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΡ — ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π±ΠΈΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅), ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅, … ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π΅ΠΉ ΠΈ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (Ρ ΠΎΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Ρ), Π² ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ΅ Π½Π΅ Π΄Π°Π΅ΡΡΡ, Ρ.ΠΊ. ΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
Π¦Π΅Π»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ° ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡΡ ΡΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΡ ΡΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠΊΠΎΠ» Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠΌ ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ — ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, Π½Π°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ, Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ ΠΈ Π² ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΏΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
II. ΠΠ± ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈ ΠΈΡ ΡΠΎΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΈ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π² ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Π° ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅, ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 2-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΈΡΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (- Π‘ΡΠΈΠΏΠΈΠΎΠ½ Π΄Π΅Π»Ρ Π€Π΅ΡΡΠΎ, ΠΠΈΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π’Π°ΡΡΠ°Π»ΡΡ, ΠΠΆΠΈΡΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΎ ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ, Π Π°ΡΠ°ΡΠ»Ρ ΠΠΎΠΌΠ±Π΅Π»Π»ΠΈ) Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» v-1 ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Ρ 2+1=0, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π°+bβ’v-1) Π΄Π»Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (Ρ -Π°)2+b2=0. ΠΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π°+bβ’v-1) ΡΡΠ°Π»ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ «ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ», Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ «ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ» ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΈΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (Π°+bi) (ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ» i Π΄Π»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ v-1 Π²Π²Π΅Π» ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ Π² XVIII Π².). ΠΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ D < 0), Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 3-Π΅ΠΉ ΠΈ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈXVI Π². ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠΊΠΎΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° XIXΠ²Π΅ΠΊΠ° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ Ρ ΡΠ²Π½ΡΠΌ Π½Π΅Π΄ΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ±Π΅ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. ΠΠ½ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°Π»ΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° «ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ» (ΠΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ), «Π½Π΅ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ», «Π²ΡΠΌΡΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ», «Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ ΠΈΠ·Π±ΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡΠ΄ΡΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ» (ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ)… ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π» ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° «ΠΈΠ·ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΡΡΠ΄Π΅ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ±Π΅ΠΆΠΈΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΡΡ Π°», Π° v-1 ΡΡΠΈΡΠ°Π» ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΡΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΈΡΠ° (ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π·Π°Π²Π΅ΡΠ°Π» Π½Π°ΡΠ΅ΡΡΠ°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΠΈΠ»Π΅).
ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π°ΠΏΠΏΠ°ΡΠ°ΡΠ° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (Π½Π΅ΡΠΌΠΎΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·ΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊ Π½ΠΈΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅), ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ. ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Π²ΡΠ΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡ . Π ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ ΠΎΠ½ΠΈ Π³Π»ΡΠ±ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ Π² ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΏΡΠΎΡΡΠΈΠ² ΠΈΡ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΡΡΡΠ΄Π½ΡΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠΎΠ² Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² XVII—XVIII Π²Π².Π΅ΠΊΠΎΠ² ΡΠΎΡΡΠΎΡΠ» Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ n-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, Ρ. Π΅. ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π° a0β’xn+a1β’xn-1+…+an-1β’x+an=0. ΠΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎΡΡ, Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ — ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ n. Π Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡΠΌ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΡΠ²Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΡΡΠ΅ΡΠΏΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΉ: Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n (n?1) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠ°Π·, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ (Π° ΡΡΠΎ — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡΠΈΡ Ρ Π½ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ). ΠΡΠΈ n?5 ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n Π½Π΅ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΠΎ Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°Ρ , Ρ. Π΅. Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π² XIX Π² ΠΏΠΎΡΠ²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π½Π°Π³Π»ΡΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ (ΠΠ°ΡΡΡ Π² 1831 Π³, ΠΠ΅ΡΡΠ΅Π»Ρ Π² 1799 Π³, ΠΡΠ³Π°Π½ Π² 1806 Π³), ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌ Π΄Π»Ρ Π½ΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ·Π½Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΡΠΎΠ±Π΅Π½Π½ΠΎ Π³ΠΈΠ΄ΡΠΎΠΈ Π°ΡΡΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΠΊΠΈ, ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΡΠ³ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠ΄Π΅Π·ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. Π‘ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ «ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ », ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅. Π Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌΡ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ°Π·Π²ΠΈΠ»ΠΎΡΡ Π² Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΠΉ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π» ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ — ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ (Π’Π€ΠΠ).
III/ ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ».
1. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΠΈ Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ.
ΠΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΡΡΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΠ» Π² XIX Π² (1835 Π³) ΠΈΡΠ»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠΈΠ»ΡΡΠΌ Π ΠΎΡΠΌΠ΅Π½ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½. ΠΠΎ ΠΠ°ΠΌΠΈΠ»ΡΡΠΎΠ½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° — ΡΡΠΎ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ z=(x, y) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2); (1)
(x1, y1)β’(x2, y2)=(x1β’x2 — yiy2, xiy2 + x2y1). (2)
ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΈ y Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z=(x, y) ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π°ΠΌΠΈ Rez ΠΈ Imz ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ (real — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ, imanginerum — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΉ).
ΠΠ²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z1=(x1, y1) ΠΈ z2=(x2, y2) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π² ΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x1=x2 ΠΈ y1=y2. ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (x, y) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅: (x, y)=(x, 0)+(0,1)(y, 0). (3)
Π§ΠΈΡΠ»Π° Π²ΠΈΠ΄Π° (Ρ , 0) ΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Ρ , Ρ. Π΅. (Ρ , 0)=Ρ , ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (0,1), Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΠ΅ΠΉ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ i, Ρ. Π΅. (0,1)=i, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ i2=-1, ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (3) ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ z=x+iy ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z=(x, y).
ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°:
Π°) z1+z2=z2+z1 (ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ) Π±) z1z2=z2z1
Π²) z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 (ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ) Π³) z1(z2z3)=(z1z2)z3
Π΄) (z1+z2)z3=z1z3+z2z3 (ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΡΠΈΠ±ΡΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ) ΠΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» z1=x1+iy1 ΠΈ z2=x2+iy2 ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ z1-z2 ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ z1/z2 ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ z+z2=z1 ΠΈ zz2=z1 (ΠΏΡΠΈ z2?0). ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ z1 Π½Π° z2 Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ:
z1-z2=(x1-x2)+i (y1-y2), (4)
z1/z2=(x1x2+y1y2)/(x22+y22) + i ((y1x2-x1y2)/(x22+y22)) (5)
ΠΠ°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½Π°Ρ , Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ — ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: z=z1+(-z2), Π³Π΄Π΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (-z2) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ z2; Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ: z=z1(z2-1), Π³Π΄Π΅ z2-1 — ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ z2 (z2?0). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π°ΠΌ:
— ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» © ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° R Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», Ρ. Π΅. Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ (ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ΅Π΄ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ );
— ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π² ΠΈΡΠΎΠ³Π΅ (ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ) i2=-1.
2. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡ.
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ «Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅» ΠΈΠ»ΠΈ «ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅» Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π»ΠΈΡΠ΅Π½ΠΎ ΡΠΌΡΡΠ»Π° (Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ).
ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π΄Π΅ΠΊΠ°ΡΡΠΎΠ²Π° ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ 0xy, ΡΠΎ Π²ΡΡΠΊΠΎΠΌΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ z=x+iy ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π° Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (Ρ , Ρ) Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ «Ρ » ΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠΎΠΉ «Ρ», Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 0 Π. ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π (Ρ , Ρ) (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ — Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ 0Π) ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z=x+iy.
ΠΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΡΡ, ΠΎΡΡ 0Ρ — ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ r=vx2+y2-, ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, Ρ. Π΅. ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z=x+iy ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ |z|.
Π£Π³ΠΎΠ» ?=(0Π,?0Ρ ) ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈ 0Ρ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ 0 Π, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z=x+iy ?0, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ.
ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (?0), ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π° Π½Π° ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ 2? ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Argz (Π΄Π»Ρ ΡΠΈΡΠ»Π° z=0 Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΌΡΡΠ»Π°).
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ? Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ³Π»Π°, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡ (ΠΎΡΡ 0Ρ) Π΄ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡ-Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z (ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ? > 0, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡΠΎΡ ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² ΡΠ°ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΈ ΠΈ? <0 Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z=x+iy ?0 Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅? ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ cos?=x/vx2+y2; sin?=y/vx2+y2.
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Argz ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΈ 0? Argz<2? Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ argz. Π Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Ρ. Π΅. Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ -?<…
ΠΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Ρ , Ρ ΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ r,? Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ x=rcos?, y=rsin?, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, z=x+iy=r (cos?+isin?). ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ. Π΅. z= r (cos?+isin?) (6) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z?0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ Π² ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (cos?+isin?) ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅, Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»Π° ei?=cos?+isin? (7). ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»? (Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ) ΡΡΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°. Π‘ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΎ Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ z=rei? (8)
3. ΠΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°.
ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° z=x+iy ΡΠΈΡΠ»ΠΎ x-iy (ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΠ΅Π΅ΡΡ ΠΎΡ z Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ z. ΠΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄ ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ z Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Π° ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ (Π΄ΡΡΠ³ ΠΊ Π΄ΡΡΠ³Ρ), Ρ.ΠΊ. (z)=z. ΠΠ· ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌΡ ΡΠ΅Π±Π΅. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ (ΡΠΈΡ.2).
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ |z|=|z|, argz=-argz. ΠΡΠΎΠΌΠ΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ,
z+z=2x=2Rez;
z-z=2iy=2iImz;
zz=x2+y2=|z|2,
Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅: z1+z2=z1+z2; z1z2=z1z2; (z1/z2)=z1/z2; P (z)=P (z), Π³Π΄Π΅ Π (z) — Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ; (P (z)/Q (z))=(P (z)/Q (z)), Π³Π΄Π΅ P ΠΈ Q — ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½Ρ Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ.
4. ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ.
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. Π‘ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ) ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ) Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ (ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ). ΠΠ½Π°ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ zn=a Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ z. Π ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌΠΎ, Ρ ΠΎΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎ: Π² ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ. Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅:
va=v?+i?=±((v|a|+?)/2 ± i (v|a|-?)/2)), Π³Π΄Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ «+» Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ Π±Π΅ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ?>0, «-» — ΠΏΡΠΈ ?<0.
5. ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ.
ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z1 ΠΈ z2. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z3, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠΌ 0Π‘ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° 0ΠΠ‘Π (ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΎΠ²): z1+z2=0A+0B=0C=z3.
Π ΠΈΡ.3
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ (z1-z2) Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ°Ρ ΠΈΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΌΠΌΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° 0Π, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z1 ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° 0D=—0 Π, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ 0 Π (ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΅ΠΌΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ): z1-z2=z1+(-z2)=0A+0D=0E=BA. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ (z1-z2) Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΠ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ° 0ΠΠ‘Π.
ΠΠ»Ρ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°.
Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° z1=r1(cos?1+isin?1) ΠΈ z2=r2(cos?2+isin?2). ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΠΈΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ z1z2=r1r2(cos (?1+?2)+isin (?1+?2)). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡΡΡ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ. ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠΎΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ.
ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ z1 Π½Π° z2, ΡΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ: z1/z2=(z1z2)/(z2z2)=(r1(cos?1+isin?1)r2(cos?2-isin?2))/ (r2(cos?2+isin?2)r2(cos?2-isin?2))=(r1/r2)(cos (?1-?2)+isin (?1-?2)), Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΡ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ.
ΠΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z=r (cos?+isin?) ΡΠ°ΠΌΠΎ Π½Π° ΡΠ΅Π±Ρ «n» ΡΠ°Π·, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ zn=rn(cos?+isin?)n=rn(cosn?+isinn?). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π² ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ «n» Π² ΡΡ ΠΆΠ΅ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ, Π° Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½Ρ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π° «n» (Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ). Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ r=1, ΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄ (cos?+isin?)n= cosn?+isinn? (9). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΡΠ°Π²ΡΠ° (1667−1754).
ΠΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ. ΠΡΡΡΡ Π°=rei?, z=?ei?. Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ zn=a Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ nva: ?nein?=rei?. ΠΡΡΡΠ΄Π° Ρ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΊΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Ρ 2?, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ: ?n=r, n?-?=2?K, ΠΈΠ»ΠΈ ?=nvr; ?K+1=(?+2?K)/n (ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π=0,1,2…n-1). Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, zk=nvr (cos?+isin?)=nvr ((cos?+2K?)/n+isin (?+2K?)/n)) (10), Π³Π΄Π΅ nvr , — Π°ΡΠΈΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, Π° Π=0,1,2,…, n-1; Ρ. Π΅. ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ n Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ «n» ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ zk (ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ z=0. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ Π½ΡΠ»Ρ).
ΠΠ°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠ΅Π΄Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» zk+1 ΠΈ zk ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½Π° ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° 2?/n: ?k+1-?k=(?+2?(K+1))/n-(?+2?K)/n=2?/n. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ nva ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ Π² Π²Π΅ΡΡΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
IV. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΊ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ 3-Π΅ΠΉ ΠΈ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ.
1. Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3-Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ: x3+ax2+bx+c=0 (11).
(ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3-Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ). Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ x=y-a/3 ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ y3+py+q=0 (11'), Π³Π΄Π΅ p ΠΈ q — Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΡ, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ a, b, c. ΠΡΡΡΡ Ρ0 — ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (11'). ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ0=?+?, Π³Π΄Π΅? ΠΈ? — Π½Π΅ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ?3+?3+(?+?)(3??+p)+q=0 (12). ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ? ΠΈ? ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ 3??+Ρ=0. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΠΎΡ ΡΠΈΡΠ΅Π»? ΠΈ? Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½, Ρ.ΠΊ. ΠΎΠ½ΠΈ (Π²ΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅) ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
?+?=Ρ0;
??=-Ρ/3, Π° Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ.
ΠΡΠΈ ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (12) ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ?3+?3+q=0, Π° Ρ.ΠΊ. Π΅ΡΠ΅ ?3?3=-Ρ3/27, ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ
?3+?3=-q;
?3?3=-Ρ3/27,
ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΠΈΠ΅ΡΠ° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ?3 ΠΈ ?3 ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ t2+qt-p3/27=0. ΠΡΡΡΠ΄Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ: ?3=-q/2+vq2/4+p3/27; ?3=-q/2-vq2/4+p3/27, Π³Π΄Π΅ vq2/4+p3/27 ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ. ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (11') Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ D=(q/2)2+(p/3)3.
y1.2.3=nv-q/2+vq2/4+p3/27+3v-q/2-vq2/4+p3/27, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ 3v? ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ 3v? Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π±ΡΠ»ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ??=-Ρ/3. ΠΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ ΠΠ°ΡΠ΄Π°Π½ΠΎ (Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ=3v?+3v?, Π³Π΄Π΅ ?=-q/2+vq2/4+p3/27; ?=-q/2-vq2/4+p3/27. ΠΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠ² Π² Π½Π΅Π΅ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Ρ ΠΈ q ΠΈΡ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· a, b, c ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ°Ρ Π°/3, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (11).
2. ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π€Π΅ΡΡΠ°ΡΠΈ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ.
Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 4-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ x4+ax3+bx2+cx+d=0 (13). Π‘Π΄Π΅Π»Π°Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ =Ρ-Π°/4, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ4+ΡΡ2+qy+r=0 (14) c ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ p, q, r, Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΎΡ a, b, c, d. ΠΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Ρ (y2+p/2)2+qy+(r-p2/4)=0, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ, Π²Π²Π΅Π΄Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ?, ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π»Π΅Π²ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ Π² ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ (y2+p/2+?)2-[2?(y2+p/2)+?2-qy+p2/4-r]=0 (15)
ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ? ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ 2? y2-qy+(?p+?2+p2/4-r) ΡΡΠ°Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ (ΡΠΎΡΠ½ΡΠΌ) ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΠΊΡΠΈΠΌΠΈΠ½Π°Π½Ρ Π±ΡΠ» ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ, Ρ. Π΅. ΡΡΠΎΠ±Ρ q2-8?(?p+?2+p2/4-r)=0, ΠΈΠ»ΠΈ 8?3+8p?2+8?(p2/4-r)-q2=0. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ? ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ 3-Π΅ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ. ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ «?» Π²Π·ΡΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠΎ Π»Π΅Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (15) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡΠ»Π΅Π½ΠΎΠ² 2-ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ «Ρ».
V. ΠΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΈ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½ΡΠ΅ Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π».
1. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ: ii2i3…i10=?
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ii2i3…i10=i1+2+…+10=i11β’10/2=i55=ii54=i (i2)27=i (-1)27=-i.
2. ΠΠ°ΠΊΠΎΠ² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ: Π°) |z|, Π±) Argz; Π²) |z1-z2|, Π³) Arg (z1/z2)?
ΠΡΠ²Π΅Ρ: Π°) ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z;
Π±) ΡΠ³ΠΎΠ», Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Ρ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ° 0 Π, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z;
Π²) |z1-z2|- ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ z1 ΠΈ z2, ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° z1 ΠΈ z2;
Π³) Arg (z1/z2) — ΡΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ 0z1 ΠΈ 0z2.
3. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ cos3?=cos3?-3sin2?cos?; sin3?=3cos2?sin?-sin3?.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΡΠ°Π²ΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: cos3?+isin3?=(cos?+isin?)3=(cos3?-3cos?sin2?)+(3cos2?sin?-sin3?), ΠΏΡΠΈΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΡΡΠΎ cos3?=cos3?-3sin2?cos?, sin3?=3cos2?sin?- sin3?.
4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: (3x-5y)+i (x+2y)=4+16i
3x-5y=4
x+2y=16 x=8; y=4.
ΠΡΠ²Π΅Ρ: z=8+4i.
5. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2) ΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ».
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: |z1+z2|2+|z1-z2|2= (z1+z2)(z1+z2)+(z1-z2)(z1-z2)= (z1+z2)(z1+z2)+ +(z1-z2)(z1-z2)=2 z1 z1+2 z2 z2=2(|z1|2+|z2|2).
ΠΠ΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ»: ΡΡΠΌΠΌΠ° ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π΄Π»ΠΈΠ½ Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»Π΅ΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°.
6. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ:
Π°) |z-z0|=R; Π±) z=z0+Reit (0?t<2?)
ΠΡΠ²Π΅Ρ: ΠΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ°Π΄ΠΈΡΡΠ° R Ρ ΡΠ΅Π½ΡΡΠΎΠΌ Π² z0.
Π²) |z-3i|=|z+2|;
Π³) |z+i|=|z-3|=|z-1-i|;
Π΄) |z|?R
?/4?argz?5?/4
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Π²) ΡΠΎΡΠΊΠ° z Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±ΡΡΡ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ z1=-2, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ z2=3i, Ρ. Π΅. Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅, ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ ΠΠ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ — ΡΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ°Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΠΎΡΠΊΡ Π‘ (Ρ Ρ;ΡΡ), Π³Π΄Π΅ Ρ Ρ=(-2+0)/2=-1; ΡΡ=(3+0)/2=3/2, ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ½Π°Ρ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΡ ΠΠ.
Π³) Π Π°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° |z+i|=|z-3| ΠΈ |z-3|=|z-1-i|, ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ — ΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½Π½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠΎΠ², ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΊ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ°ΠΌ ΠΠ ΠΈ ΠΠ‘ (Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΊ ΠΠ‘).
Π΄) ΠΠ΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΡΠΊΡΡΠ³, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π»ΡΡΠ°ΠΌΠΈ argz=?/4 ΠΈ argz=5?/4 ΠΈ ΠΎΠΊΡΡΠΆΠ½ΠΎΡΡΡΡ |z|=R, Π½Π΅ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΉ (β’) z=0.
7. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΡΠΎΠΆΠ΄Π΅ΡΡΠ²ΠΎ:
(2x-z)2+(2x-z)2=2Re (z2).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
1) (2x-z)2+(2x-z)2= 4x2-4xz+z2+4x2-4xz+z2=8x2-4x (z+z)+z2+z2=8x2-4x2x+(z+z)2;
— 2zz=(2x)2-2|z|2=4x2-2(x2+y2)=2(x2+y2)=2Re (z2).
2) 2Re (z2)=2Re (x+iy)2=2Re (x2-y2+2ixy)=2(x2-y2).
8. Π Π΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
(3-i)z1-(4+2i)z2=1+3i;
(4+2i)z1+(2+3i)z2=7.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΠ°:
?= (3-i)-(4+2i) =(2+3i)(3-i)+(4+2i)2 =21+23i
(4+2i)+(2+3i)
?z1= (1+3i)-(4+2i) =(2+6i+3i-9)+28+14i =21+23i
7 (2+3i)
?z2= (3-i) (1+3i) =21−7i-4−2i-12i+6 =23−21i
(4+2i) 7
Z1= 21+23i =1; z2= 23−21i =-i(21+23i) =-i
21+23i 21+23i 21+23i
ΠΡΠ²Π΅Ρ: z1=1; z2=-i.
9. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ (Π°2+1)(b2+1)(c2+1) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΡΠΌΠΌΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΎΠ² ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (a, b, c — ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°).
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ: Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π°2+1=|a+i|2, ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: (Π°2+1)(b2+1)(c2+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i (a+b))(c+i)((ab-1)+i (a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i ((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i ((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))2+(ab+bc+ca-1)2.
10. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ:
Π‘=cos?+cos2?+…+cosn?; S=sin?+sin2?+…+sinn?.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΌΠΌΡ ?=Ρ+iS=(ei?+e2i?+…+ein?) ΠΈ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ, Ρ. Π΅. Π‘=Re?; S=Im?. ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: ei?+e2i?+…+ein?= ei?((1- ein?)/(1- ei?))= (ei?(1- ein?) (1- e-i?))/((1- ei?) (1- e-i?))= =(ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)/|1- ei?|2.
ΠΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ |1- ei?|2=|(1-cos?)-isin?|2=(1-cos?)2+sin2?=4sin2(?/2);
Re (ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)= cos?-1-cos (n+1)?+cosn?= =- 2sin2(?/2)+2sin (?/2)sin (n?+?/2)= 2sin (?/2)2sin (n?/2)cos ((n+1)?)/2 ΠΈ Im (ei?-1- ei?(n+1)+ ein?)=sin?-sin (n+1)?+sinn?=2sin (?/2)(cos (?/2)-cos (n?+?/2))= =2sin (?/2)2sin (n?/2)sin (((n+1)?)/2), ΡΠΎ Π‘=(4sin (?/2)sin (n?/2)cos (((n+1)?)/2))/(4sin2(?/2)) = =[sin (n?/2) cos (((n+1)?)/2))]/ sin (?/2);
S=(4sin (?/2)sin (n?/2)cos (((n+1)?)/2))/(4sin2(?/2)) = =[sin (n?/2) cos (((n+1)?)/2))]/ sin (?/2)
11. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ 1+e?cos?+e2?cos2?+…+en?cosn?.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
S (x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ Ρ =?.
Π ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΏΡΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΌΠΌΡ S (x) ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌ:
?(z)=1+ex+ix+e2x+i2x+…+enx+inx= 1+ex (1+i)+e2x (1+i)+…+enx (1+i)=(1-(ex (1+i))n+1)/(1- ex (1+i))= =1-ex (n+1)(1+i)/(1-ex (1+i))=((1-ex (n+1)(1+i))(1-ex (1-i))/((1-ex (1+i))(1-ex (1-i))) =(1- ex (n+1)(1+i)— ex (1-i)+ex (n+2+ni))/|1- ex (1+i)|2=
=(1-e(n+1)xei (n+1)x-exe-ix+e(n+2)xexni)/(1−2excosx+e2x)
Ρ.ΠΊ. S (x)=Re?(z), ΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ:
S (x)=1+excosx+e2xcos2x+…+enxcosnx=(1-e(n+1)xcos (n+1)x+e(n+2)xcosnx-excosx)/(1−2excosx+e2x)
ΠΡΡΡΠ΄Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΠ°Ρ ΡΡΠΌΠΌΠ° ΡΠ°Π²Π½Π°:
S (?)=1+e?cos?+e2?cos2?+…+en?cosn?= (1+e?+e?(n+2)(-1)n-e(n+1)(-1)n+1)/(1+2e?+e2?)= =((1+e?)+(-1)ne?(n+1)(e?+1))/(e?+1)2=(1+(-1)ne?(n+1))/(1+e?)
12. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Re (z-1)/(z+1)=0 |z|=1.
ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ:
Π’.ΠΊ. (z-1)/(z+1)=((z-1)(z+1))/((z+1)(z+1))=(zz+z-z-1)/|z+1|2=((|z|2-1)+2iy)/|z+1|2; ΡΠΎ Re (z-1)(z+1)=0, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ |z|2-1=0 |z|=1.
13. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Ρ 4v1+iv3. ΠΠ°ΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΠΈΠ»Π»ΡΡΡΡΠ°ΡΠΈΡ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
z=4v1+iv3=4va, Π³Π΄Π΅ a=1+iv3.
Π’.ΠΊ. Π°=r (cos?+isin?)=2(cos?/3+isin?/3), ΡΠΎ zk=4v2(cos (?/3+2K?)/4+isin (?/3+2K?), Π³Π΄Π΅ Π=0,1,2,3.
ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
Z0= 4v2(cos?/12+isin?/12); z1=4v2(cos7?/12+isin7?/12);
Z2=4v2(cos13?/12+isin13?/12); z4=4v2(cos19?/12+isin19?/12).
14. ΠΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 1/(1+iv3)6-1/(v3-i)6 =z
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ:
Z=((1-iv3)/((1+iv3)(1-iv3)))6-((v3+i)/((v3-i)(v3+i)))6= =(1-iv3)6/|1+iv3|12-(v3+i)6/|v3+i|12=z1-z2=(Ρ.ΠΊ. |z1|=|z2|=2; ?1=-?/3; ?2=?/6, ΡΠΎ)=½6β’26(cos (-?/3)+isin (-?/3))6-½6β’26(cos?/6+isin?/6))6= =cos (-2?)+isin (-2?)-cos?-isin?=1-(-1)=2.
VII. ΠΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΠ°.
VIII.
1. ΠΡΡΠ°Ρ Π. Π. «ΠΠ»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ». Π., «ΠΠ°ΡΠΊΠ°», 1983.
2. ΠΠ°ΡΠΊΡΡΠ΅Π²ΠΈΡ Π. Π. «ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ½ΡΠ΅ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ». Π., «Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΡΠ³ΠΈΠ·», 1960.
3. Π‘ΡΡΠΎΠΉΠΊ Π. Π―. «ΠΡΠ°ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡΠ΅ΡΠΊ ΠΈΡΡΠΎΡΠΈΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ». Π., «ΠΠ°ΡΠΊΠ°», 1969.
4. Π―Π³Π»ΠΎΠΌ Π. Π. «ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠΈ». Π., Π€ΠΈΠ·ΠΌΠ°ΡΠ³ΠΈΠ·, 1963.
5. Π‘ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ (Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΡΡΡΠΏΠ°ΡΡΠΈΡ Π² ΠΠ£ΠΡ) ΠΏΠΎΠ΄ ΡΠ΅Π΄Π°ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π€ΠΈΠ»ΡΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Π° Π. Π€. «ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ²Π° ΠΡΠΌΠΊΠ°», ΠΠΈΠ΅Π² — 1972.