Дифференциальные операции второго порядка

Контрольная работа тема: «Дифференциальные операции второго порядка»

Москва 2014

• Введение
• 1. Оператор Лапласа
• 2. Градиент дивергенции
• 3. Дивергенция градиента и ротора
• 4. Ротор градиента и ротора
• 5. Формулы Грина
• Список использованной литературы и источников

Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.

Для скалярного поля был введен один оператор первого порядка

.

Для векторного поля введены два оператора первого порядка

.

Повторное применение оператора «набла» приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.

Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.

1. Оператор Лапласа

Рассмотрим скалярное поле. Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле

.

Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .

Вычислим в явном виде. Используя оператор «набла», имеем

.

Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:

.

Выражение, естественно, получилось таким же.

Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:

дифференциальная операция градиент дивергенция

.

Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать

.

Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа с соответствующими граничными условиями.

2. Градиент дивергенции

Рассмотрим операцию. В прямоугольной декартовой системе координат имеем

Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.

Отметим, что некорректное использование оператора «набла» может привести к неверным результатам:

.

В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании

.

Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении). Заменять действие двух операторов «набла» одним оператором Д недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.

Следует иметь в виду, что операции с оператором требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.

3. Дивергенция градиента и ротора

Дивергенцию градиента мы определили в § 1

где был введен оператор Лапласа

.

Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора «набла» :

.

Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.

В выражении рассматривается смешанное произведение трех векторов, и. Отметим отличие этого случая от выражения

которое не является смешанным произведением (выражение является скалярным произведением, а не векторным).

4. Ротор градиента и ротора

Для операции можно также использовать оператор «набла» :

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.

Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.

Используя теорему Стокса, можем записать

.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы:

Теорема 1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру равна нулю.

Следствие 1. Криволинейный интеграл от градиента скалярной функции не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется начальной и конечной точками линии интегрирования.

.

Доказательство. Сделаем рисунок.

Выполним простейшие преобразования

Следовательно

. Имеем

.

Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек, А и В:

.

Вычислим операцию. Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения

.

Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде

.

Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор «набла» не стоял на последней позиции. В терминах оператора «набла» получим

.

(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)

Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать

.

Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.

Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.

5. Формулы Грина

Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского

.

Пусть и — две произвольные скалярные функции. Положим

.

Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид

.

Можно записать

.

Здесь введено обозначение

для производной функции по направлению

После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим

.

Эта формула называется первой формулой Грина.

Аналогично, если положить

то первая формула Грина примет вид

.

Вычитая соответствующие формулы, получим

.

Эта формула называется второй формулой Грина.

Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.

Теорема 1. Значение функции во внутренней точке области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой

где

расстояние между точками и. Доказательство. Рассмотрим точку и окружим ее маленькой сферической поверхностью радиуса

Введем функцию

где

.

Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции (сделать самостоятельно)

.

Из второй формулы Грина

записанной для области, ограниченной поверхностями S и, получим

Рассмотрим интеграл по поверхности сферы

Учитывая условие, получим

Пусть. Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид

.

Применим к нашему интегралу теорему о среднем

.

В пределе получим

.

Возвращаемся к первоначальной формуле Грина

. тсюда

.

В дальнейшем мы будем использовать эту формулу и другие формулы Грина при решении различных уравнений математической физики.

6. Вопросы и задачи

1. Вычислить оператор Лапласа для функций:

а) ,

б), где ,

в) ,

г) ,

д), где .

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

2. Кальницкий Л. А., Добротин Д. А., Жевержев В. Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.

3. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.