Весовые пространства Степанова и точные оценки решений эволюционных уравнений

Часто решения эволюцинных уравнений записываются в виде u (t) = B (t)f, (1) где /- элемент некоторого банахова пространства F с нормой ||*||f> B (t)-семейство линейных ограниченных при каждом t G [0, оо) операторов действующих из F в некоторое банахово пространство U.

Представление (1) используется при исследовании различных свойств решений соответствующих задач. Например, при изучении поведения решения задачи Коши при t —> оо для абстрактного дифференциального уравнения вида = +/(«), (2) «(0) = 0, (3) где Агенератор Сополугруппы U (t) действующей в банаховом пространстве Е, f (t)~ векторнозначная функция со значениями в Е.

Как известно (см. [2]), в этом случае решение задачи (2)-(3) имеет вид u (t) =^U (t-s)f (s)ds = B (t)f. (4).

Так как оценку поведения решения u (t) при t —У оо желательно получить наиболее точную, то здесь важной характеристикой оператора B (t) является функция.

B (t)f\u m{t) = sup е*1 \JWF / которая вводится в настоящей диссертации и называется функциональной нормой оператора В (Ь).

Очевидно, что имеет место оценка т (4)||/||р,.

5) при этом она является наилучшей в классе оценок вида нти < Ртпг,.

6) в том смысле, что если установлена оценка (6), то необходимо р (£) > т (Ь).

В диссертации изучается вопрос о поведении решений уравнения вида (1) при? —" оо в случае когда, А является производящим оператором Со полугруппы. Как известно, уже для ограниченных операторов А, когда, по выражению С. Г. Крейна (см. [1], стр. 274) «. вопросы существования и единственности решения задачи Коши, непрерывной зависимости его от начальных данных всегда решались положительно и поэтому основное внимание уделялось поведению решений при? —> оо, то для неограниченного оператора эти вопросы становятся центральными». Поэтому в последние десятилетия этому вопросу уделяется большое внимание.

В частности, его изучению посвящена теория стабилизации решения задачи Коши для параболических и гиперболических однородных (/(?) = 0) уравнений [14]—[16], где результаты формулируются в терминах начальных данных Коши.

В диссертации исследуется вопрос о поведении решений уравнения (2) в зависимости от свободного члена /(?).

С этой целью здесь изучается вопрос о нахождении явного вида функ.

•" циональных норм некоторых интегральных операторов вида roo.

B (t)u= K (t, s) u (s)ds, (7) j о в специальных весовых пространствах Степанова SP)<Piе определяемых нормой imiw= suP [JT^H'WeMI. № i6[0,oo) где p > 1, (p (t)~ достаточно гладкая положительная при t > О, фунция, такая, что <р (0) = О, cp'(t) > 0, ip" {t) < 0.

Очевидно, что классические пространства Степанова определяемые нормой (см. [1],[2]) u\sp=sup[ft+1u (s)4s}K (9) teR Jt являются частным случаем пространств SPiiP: e ПРИ = t, Е = R1.

Одним из основных отличий классических Spпространств Степанова от Lpпространств с нормой.

NUP = [ ?°Н")Г<�ь$- (ю) является то, что Spпространства содержат ограниченные на всей действительной оси или полуоси функции в отличие от пространств Lp.

Желание включить ограниченные, а также растущие при t —> оо функции в пространстве типа Lp приводит к введению весовых пространств LPtV [0, оо) с нормой р>ц. а" где v (s)~ некоторые весовые функции.

В тоже время, очевидно, что пространства Spjtp при соответствующем выборе функции.

0 и lim^oo u (t) = оо, то достаточно взять.

Таким образом, с точки зрения включения неограниченных при t —"¦ оо функций пространства SPjIP и являются похожими, однако между ними оказывается есть одно существенное различие (и это показывается в диссертации) заключающееся в том, что точные оценки поведения решения задачи Коши, для уравнений рассматриваемых в диссертации, в принципе не возможны для LPjvпространств, в то время как для Spjip-пространств они имеют место и здесь получены.

Например, уже для простейшей задчи Коши u'(t) = f (t), — t G [0, оо) (12) u (0) = 0, (13) для / 6 не существует точной оценки роста решения на бесконечности в том смысле, что если есть оценка вида.

H*)l.

0, чтобы имело место обратное неравенство ер (*)||/1к,< Ht).

В тоже время в случае пространств Si}(p это не так, в силу того, что при <�р (п).

16).

Следовательно оценка (15) не улучшаема.

В этом случае функциональная норма т (£) оператора В (¿-)/ = /д f (s)ds действующего из в С[о, оо) равна т{Ь) — + 1).

Диссертация состоит из трех глав и десяти параграфов.

Первая глава содержит факты изложенные в монографиях С.Г. Крей-на, Хилле, Филлипса, Иосиды и др. (см [1]—[3]), необходимые в дальнейшем для постановки и решения задач рассматриваемых в диссертации.

Самостоятельные, новые результаты содержатся во второй и третьей главах.

Вторая глава посвящена изучению векторнозначных функций /(?) со значениями в некотором пространстве Е для которых конечны нормы: а) в случае Ь Е = [0, оо) где функция.

О,.

< О, lim^oo.

17) где <�р (Ь) где функция </?(?), такая, что </?(?) е СЦ^, <р (0) = 0, > О, <�р (—Ь) = — вгдть< 0, Ии^-х" = оо.

Так введенные весовые пространства Степанова, в зависимости от веса <�р{Ь) могут содержать функции /(?) произвольного роста на ±-оо. В этом случае они похожи на фукнции Ьр%&bdquoс весом V (х).

В тоже время здесь доказывается принципиальная разница Бр^ и (см. теорему 2.1.1 и теорему 2.3.1).

В главе II также доказываются эквивалентные (17) и (18) нормировки, которые помимо различных приложений имеют и самостоятельный интерес.

Так в качестве следствия 2.2.1 из леммы 2.2.3 получен результат принадлежащий X. Массера и Х. Шефферу и приведенный в [10].

Результаты полученные во второй главе применяются в третьей главе к точным оценкам решений дифференциальных уравнений, в следующем направлении.

Как известно пространства были введены Степановым В. В. при изучении почти-периодических функций на всей действительной оси К.

В дальнейшем эти пространства были использованы X. Массера, X. Шеффером, М. Г. Крейном, Ю. Л. Далецким, Е. А. Барбашиным и др. при изучении устойчивости решений эволюционного уравнения.

М = + /(*), (19) где А (Ь)~ линейный и ограниченный, при каждом ¿-ЕЛ, в некотором банаховом пространстве Е оператор.

Б.М. Левитан и В. В. Жиков (см. [9]) применили 5рпространства при изучении устойчивости решения уравнения (19) в случае когда А{&euro-), вообще говоря, неограниченный оператор в Е, в предположении, что разрешающие операторы [/(?, в), (? > в) сильно непрерывны по в 6 й и удовлетворяют оценке.

М)|| <Меш^ Ц>з) (20).

При этом были введены понятия корректного и усиленно корректного оператора Ь = ^ — А.

По Жикову-Левитану оператор Ь называется корректным, если справедлива оценка для любых и, Ьи € С^-оо^я].

М|с < М^ЬиЦс, (21) где Спространство непрерывных и ограниченных функций и (х) с нормой.

Н|с = 8ир||и (а:)||я. (22) хев.

И оператор Ьусиленно корректный, если для любых и? С, Ьи Е ?>2 выполняется оценка.

Ыс е М2\Ьи\з2. (23).

Очевидно, что когда Ь имеет обратный оператор Ь~1, то оценка (23) эквивалентна оценке.

Ь-Ч\с < М2\Пз2. (24).

Однако 52 не является максимально широким пространством из которого оператор Ь~1 ограниченно действует в С, так как при выполнении (20) в случае ш < 0, справедлива более сильная оценка.

7||с<�М3||/||51. (25).

Оказывается, что именно Si является максимально широким пространством для которого справедливы неравенства типа (24), (25). В связи с этим операторы L для которых выполняется оценка ti||<7 < M4\LU\F, (26) для всех и е С, Lu е F, где F наиболее широкое пространство при котором выполняется (26) названы в [18] максимально корректным.

Пусть Аодно из множеств R+ = [0, оо) или R= (—оо, оо), р (х) > 0-достаточно гладкая весовая функция.

Обозначим через СР (А, Е) пространство непрерывных и ограниченных с весом р (х) функций для которых конечна норма.

Нс^вирЦр^К^Нв. (27) х€А.

По аналогии с определением максимальной корректности оператора L, дадим.

Определение 1. Оператор L будем называть максимально корректным на паре пространсвт СР (А, Е) и F, если для всех и Е СР (А, Е) Г Lu Е F выполняется оценка.

Не, < M5\Lu\f. (28).

Нетрудно видеть, что для B (t) = (^ — Л (£))-1 = L~l задачи определения функциональной нормы оператора B{t) и максимальной корректности оператора L являются" эквивалентными, при этом имеем равенство р (х) =^у и, следовательно, эти задачи сводятся к нахождению веса р (х) по пространству F.

Таким образом возникает проблема указания класса пространств в котором определяется пространство Р.

Естественно, что это должны быть м весовые" прострнсвта. В диссертации показано, что решают эту проблему не пространства ЬР}1/, а Бр^- пространства.

1. Функциональный анализ (под редакцией С.Г. Крейна). М.: «Наука», 1972, 544 с.

2. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: «Наука», 1967, 464 с.

3. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: «Наука, 1966, 499 с.

4. Хилле Э., Филлипс Р. Фунциональный анализ и полугруппы. М.: Издательство иностанной литературы, 1962, 829 с.

5. Люстерник A.A., Соболев В. И. Элементыфункционального анализа. М.:" Наука", 1965, 517 с.

6. Иосида К. Функциональный анализ, М.: «Мир», 1967, 624 с.

7. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве М.: «Наука», 1970, 534 с.

8. Левитан Б. М. Почтипериодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Гостехиздат, 1953, 396 с.

9. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Издательство МГУ, 1978, 204 с.

10. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения, М.: «Мир», 1970, 456 с.

11. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз, 1962, т.2, 807 с.

12. Костин В. А. Пространства ЬРЛ и эволюционные уравнения в банаховом пространстве.// Дифференциальные уравнения. N8, 1969, с. 161 568.

13. Костин В. А. Неравенства для норм производных в пространствах LPiy// мат. заметки, т. 6, N4, 1969, с. 472−473.

14. Репников В. Д. Нкоторые теоремы о стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений, ДАН СССР, 1963, т. 157, N3, с. 527−530.

15. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений. ДАН СССР, 1964, т. 157, N3, с. 532−535.

16. Глушак A.B., Репников В. Д. О стабилизации решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве. ДАН, 1992, т. 326, N2, с. 224−226.

17. Полянский А. Д., Вязьмин A.B., Журов А. И., Казенин Д. А. Справочник по точным решениям уравнений теплои массопереноса. М.: Факториал, 1938, 367 с.

18. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя: автореф. дис. канд. ф.-м. наук/ A.B. Костин.- Воронеж, 2002. 19 с. канд. дисс., Воронеж 2002.

19. Абунавас М. Х. О точной оценке поведения решений эволюционных уравнений на полуоси. Сборник трудов молодых ученых, Воронеж, Вор-ГУ, 2003, с. 1−12.

20. Абунавас М. Х. Поведение на бесконечности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с вырождением. ВЗМШ-2003, материалы конференции современные методы теории функций и смежные проблемы, Воронеж 2003, стр. 5−6.

21. Абунавас М. Х., Костин В. А. О неулучшаемых оценках решений дифференциальных уравнений. Седьмая Крымская Международная математическая Школа. МФЛ-2004, тез. док., Симферополь с. 8.