Усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера свободных абелевых и близких к ним групп

Свободные абелевы группы — достаточно хорошо изученный математический объект. Поэтому при возникновении нового понятия, функции возникает естественное желание в первую очередь исследовать это понятие для свободных абелевых групп, потом пытаться изучать какие-нибудь близкие группы. В данной диссертации рассматриваются два сравнительно новых понятия в теории групп: усредненная функция Дена и спектр Райдемайстера, которые в первую очередь исследованы как раз для свободных абелевых групп.

Усредненная функция Дена.

Идея рассмотрения изопериметрической функции для конечно определенных групп восходит к работам Макса Дена 1910;12 годов. Ден доказывает, что проблема равенства слов для стандартного представления фундаментальной группы замкнутой ориентируемой поверхности второго рода и выше разрешима. Теперь алгоритм ее решения так и называется алгоритмом Дена. Прямым следствием этого факта является то, что функция Дена этих групп удовлетворяет неравенству D{n) < п. Этот результат был расширен М. Д. Гриндлингером в 1960 году, представившим группы, удовлетворяющие условию С (|) малого сокращения ([15]).

Однако, понятие изопериметрической функции и функции Дена оформилось только в конце 80-х — начале 90-х в связи с возникновением и развитием теории словесно-гиперболических групп. В своей монографии «Гиперболические группы» в 1987 году Громов впервые вводит определение функции Дена ([19]) и показывает, что словесно-гиперболические группы удовлетворяют линейному изопериметрическому неравенству.

Изучение изопериметрических функций (и в особенности функции Депа) быстро стало одной из основных тем геометрической теории групп, поскольку тип роста этих функций — естественный квази-изометрический инвариант конечно определенных групп. Кроме того, рекурсивность функции Дена эквивалентна тому, что в данной группе разрешима проблема равенства слов.

Площадью единичного слова называют площадь минимальной диаграммы ван Кампена этого слова (или, что эквивалентно, минимальное количество преобразований Дена, необходимое для этого слова). Изопериметрические функции (как и в геометрии) ограничивают сверху рост площади слова в зависимости от его длины. Функция Дена — минимальная из всех изопериметрических функций.

Известно ([19] и [37]), что линейность функции Дена эквивалентна тому, что группа гиперболическая.

А.Ю.Ольшанский [22] (см. также [4] и [23]) доказал теорему о том, что если функция Дена субквадратична, то группа гиперболическая.

Функция Дена автоматных групп (а в частности, и свободных абелевых групп) квадратична ([6]).

В работе ([5]) Брэйди и Бридсон доказали, что множество действительных чисел d, для которых существует конечно-определенная группа с функцией Дена, эквивалентной nd, плотно в интервале [2- Ч-оо).

В статье [14] Герстен, Хольт и Райли полностью доказали известную (с + 1)-гипотезу (а именно: любая конечно порожденная нилыютентная группа ступени с допускает в качестве изопериметрической функцию эквивалентную nc+1).

Бывают группы с экспоненциальной функцией Дена. Такова, например, группа Баумслага-Солитера В{1, 2) =< a, bab = b2a > ([12]).

У группы Баумслага-Герстена G =< a, t (t~la~lt)a (t~lat) = а2 > функция Дена растет быстрее, чем любая фиксированная башня экспонент (а именно, D (n) ~ ехр (ехр{. (ехр (1)).))) ([13]).

4 V ' iog2n] экспонент.

В 90-х годах XX века в теории алгоритмов и теории сложности появилась новая тенденция: оценивать сложность алгоритмов не в «худшем» случае, а в среднем.

Тут же эта идея была подхвачена и во многих других отраслях математики, в частности, в теории групп стали возникать попытки усреднить функцию Дена.

Первое определение усредненной функции Дена дает М. Громов в работе [18] в 1993 году. В этой же работе он утверждает без доказательства, что усредненная функция Дена свободных абелевых групп субквадратична и задает вопрос: «Верно ли, что для любой группы ее усредненная функция Дена субассимптотична по отношению к функции Дена? Т. е. верно ли, что lim = 0.» .

Этот вопрос в данное время и определяет основные направления в исследовании усредненной функции Дена.

В 2003 году в статье Е. Г. Кукиной и В. А. Романькова [42] доказана гипотеза Громова о субквадратичности усредненной функции Дена для свободных абелевых групп в естественном представлении. Эта работа и составила главу 2 данной диссертации.

Если про функцию Дена известно ([6]), что она не зависит от представления группы, то про усредненную функцию Дена пока такого факта доказать не удалось.

В.А.Романьков ([39]) замечает, что доказательство результата из статьи [42] легко распространить на все абелевы группы в любых конечных представлениях.

В 2008 году оценку на усредненную функцию Дена существенно улучшили О. В. Богопольский и Э. Вентура ([1]), доказав, что усредненная функция Дена абелевых групп ограничена сверху функцией п log2 п. Это наилучшая полученная оценка сверху на усредненную функцию Дена для свободных абелевых групп.

В работах [39], [38] В. А. Романьков доказывает, что усредненная функция Дена произвольной конечноиорождеиной нильпотентной группы ступени нильпотентности с > 1 субассимптотична по отношению к функции кс+1. Этот результат в частности даст положительный ответ на вопрос Громова для свободных нильпотентных конечно порожденных групп любой ступени с > 1 в любом конечном представлении.

Р.Янг ([30]) доказывает субассимптотичность для большинства нильпотентных групп. В частности, если нильпотентная группа удовлетворяет изопериметрическому неравенству D (k) ^ ка для, а > 2 тогда усредненная функция Дена а (к), причем в случае неабелевых свободных нильпотентных групп эта оценка точна. Однако, определение Янга отличается от классического определения, введенного Громовым. Янг добавляет единичный элемент в систему порождающих. От шара (множества всех единичных элементов длины < п) переходит к сфере (множеству всех единичных элементов длины ровно п), что может существенно уменьшить площади единичных слов в среднем, поскольку короткие слова с небольшой площадью теперь учитываются много раз (в единичное слово можно в любое место вставить этот новый порождающий и снова получить единичное слово).

В работе [45] (и в главе 3 данной диссертации) разобран пример группы с сублинейной усредненной функией Дена.

Была предпринята попытка ([43]) по-другому усреднить функцию Дена. Классическое определение усредняет функцию Дена равномерноа новое — относительно любого вероятностного распределения. Идея введения на группах вероятностного распределения восходит к работам Боровика, Мясникова, Шпильрайна и Ремесленникова [3] и [2]. Кроме того, естественные распределения вероятности на группе возникают и в других случаях (например, в случае рассмотрения случайного блуждания по графу Кэли группы).

Доказано, что в этом случае при некоторых ограничениях на распределение и функцию Дена группы, новая усредненная функция Дена не превосходит константы. Этот результат составляет главу 4 данной диссертации.

Спектр Райдемайстера.

Изучение свойства скрученной сопряженности мотивировано топологической теорией фиксированных точек отображений, также именуемой теорией Нильсена. В 1927;1932гг цикле статей [21] Нильсен вводит классы фиксированных точек гомеоморфизмов поверхностей. Впоследствии Райдемайстер разработал алгебраические основания для теории Нильсена для любого образа любого компактного многогранника (см. [24]). В этой работе Райдемайстера появляются классы скрученной сопряженности групп гомеоморфизмов. Оказалось, что классы фиксированных точек образов могут быть легко отождествленны с классами сопряженности лифтинга образа универсального замощения компактного многогранникаи классы сопряженности лифтинга могут быть отождествленны с классами скрученной сопряженности гомоморфизма, индуцированного на фундаментальную группу многогранника.

Пусть X — связный компактный многогранник и /: X —> X его непрерывное отображение. Число Райдемайстера R (f) (то есть количество «/(-сопряженных классов, где ф = — индуцированный гомоморфизм фундаментальной группы) очень значимо для изучения неподвижных точек /. В частности, конечность числа Райдемайстера играет очень важную роль.

В настоящее время важна проблема получения аналога известной теоремы Бернсайда-Фробениуса для скрученной сопряженности. С этой целыо важно описать класс групп R^ (класс тех групп, для которых й (</>) = оо для любого автоморфизма ф) (см. 11]). Для следующих групп показана их принадлежность классу R00:

• неэлементарные гиперболичные по Громову группы [41],[20];

• группы Баумслага-Солитера за исключением В (1,1) [8];

• относительно гиперболичные группы [9];

• группы Григорчука и Гупты-Сидки [11];

• свободные нильпотентные группы ранга 2 ступени с > 4, ранга 3 ступени с > 12, ранга г > 4 ступени с > 2 г [25, 46].

Довольно естественно возникает понятие спектра Райдемайстера группы (т.е. множества всех чисел Райдемайстера автоморфизмов этой группы). Оно впервые введено в работах [44] и [46].

В работе [34] доказано, что спектр группы Гейзенберга N22 содержит кроме бесконечности любое четное число, но не изучен вопрос о принадлежности спектру нечетных чисел. В работе диссертанта [44] получено, что нечетные числа не принадлежат спектру группы Гейзенберга N22- В этой же работе показано, что спектр свободной абелевой группы ранга г > 2 содержит все натуральные числа и бесконечность, а спектр свободной нильпотентной группы N32 ранга 3 ступени 2 содержит все нечетные числа, все числа, делящиеся на 4 и бесконечность. Эти результаты составляют главу 5 данной диссертации. Кроме того, в части 5.3 полностью закрыт вопрос о спектре конечно порожденных абелевых групп.

В работе [46] В. А. Романьковым вычислен спектр свободной нильпотентной группы ранга 2 ступени 3 ^(А^з) = {2к2к G N} U {оо}.

Основные результаты диссертации опубликованы ([42], [43], [45], [44], [46]), докладывались на международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 17−19 ноября 2003) — неоднократно на Омском алгебраическом семинаре (в 2002 и 2003 годах) — в рамках международной школы-семинара «Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах» (Омск, 16−22 августа 2009).

Заключение

.

Определение усредненной функции Дена дал М. Громов в работе [18] в 1993 году. До сих пор усредненная функция Дена остается мало изученным объектом. Ясно, что у усредненной функции Дена есть много свойств, неприсущих функции Дена. Например, функция Дена монотонно возрастает, а усредненная функция Дена бывает немонотонна (например, для группы Z3 =< а > а{ 3) = ±-,<х (4) = 5) = §).

Оказывается, трудно вычислить усредненную функцию Дена с точностью до эквивалентности функций. Почти все публикации дают только верхнюю оценку на усредненную функцию Дена (см. [39],[38],[1], [30]).

До сих пор неизвестно, зависит ли усредненная функция Дена от представления группы или нет. Если зависит, то как?

Возможно ли доказать еубквадратичность усредненной функции Дена для произвольных автоматных групп?

Возможно ли доказать сублинейность усредненной функции Дена для гиперболических или хотя бы для конечных групп? (Как это удалось сделать для группы Z2.).

Можно ли доказать свойство субассимптотичности для всех групп? Или обрисовать класс групп, для которых это свойство выполнено.

Ответы на эти вопросы неизвестны.