Почти возрастающая функция

Почти возрастающая функция

Определение: Функция f (x) на отрезке [a, b] называется почти возрастающей на этом отрезке, если существует C>0: для любых принадлежащих [a, b]: => f (?

Утверждение 1. Рассмотрим монотонно убывающую и непрерывную на [a, b] функцию f (x). Функция f (x) монотонно убывает на [a, b] тогда существует постоянная константа C = на промежутке [a, b] причем inf f (x)>0.

Доказательство: По определению почти возрастающей функции должна существовать C (C-const) что f (?. Очевидно, что C= то есть, f (? .

Пусть =a, =b, так как принадлежат [a, b]. Так как функция f (x) монотонно убывает на [a, b] то sup f (x) будет достигаться на левой границе [a, b], inf f (x) достигается на правой границе. => f (a)=sup f (x) на [a, b], f (b)=inf f (x), так как C= то отсюда следует, что C =. Тем самым найдено постоянное c.

Докажем что inf f (x)>0. Предположим противное, пусть inf f (x) ?0, то и f (b) так как f (a)=sup f (x), f (b)=inf f (x), по определению существует C>0 такое что f (?, так как функция f (x) монотонно убывает и непрерывна на [a, b], то f (a)? только тогда, когда С<0. Противоречие с тем что С>0. Отсюда следует inf f (x)>0.

Утверждение 2. Рассмотрим монотонно убывающую и непрерывную на интервале (a,+?) функцию f (x). Пусть функция ограничена снизу М такое, что f (x)M и M>0. Тогда если функция f (x) имеет конечный предел при x то inf f (x) будет равен этому пределу.

Доказательство. Допустим, что функция f (x) ограничена снизу, то есть, ограничена снизу множество {f (x)} значений функций. Тогда для этого множества существует конечная точная нижняя грань A (A=inf f (x)). Докажем. Что это число, А и будет искомым пределом. Существует, по свойству точной нижней грани, найдем такое значение x'>a, что f (x) f (x)< A+ с другой стороны A- выполняется неравенство |f (x) — A|<

Утверждение 3. Для того чтобы монотонно убывающая и непрерывная на интервале (a,+?) функция f (x) почти возрастала необходимо чтобы inf f (x) >0

Доказательство: Аналогично доказательству для монотонно убывающей на [a, b] функции f (x).

Пример 1: Рассмотрим функцию f (x)=-+3 на промежутке от [0,1] существует С>0. На промежутке [0,1] sup f (x)=3, inf f (x)=2 => C

Пример 2: Рассмотрим функцию f (x)= на промежутке от (1,) функция ограничена снизу М>0, так как существует предел этой функции и M>0, то существует. Очевидно что на промежутке (1, sup f (x)=8, а для того чтобы найти inf f (x) необходимо найти предел этой функции. ==2. inf f (x)>0 Таким образом, .

Утверждение 4. Пусть функция f (x): непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a, b] путь далее существует. Для того чтобы найти inf f (x) и sup f (x) на промежутке [a, b] необходимо найти точки экстремума и вычислить значения функции в этих точках. То есть:

1) Найти f ?(x)

2) Найти точки, в которых f ?(x)=0 или f ?(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a.b];

3) Вычислить значения функции f (x) в точках, полученных в пункте 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно sup f (x) и inf f (x) для функции f (x) на отрезке [a, b].

Следствие: Для того чтобы вычислить inf f (x) и sup f (x) необходимо, чтобы существовали точки экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f (x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f (x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:

f (x₁+)₁+) — f (x)<0. Тогда при <0

при >0

По определению: =f?(x₁) т. е. если? х?0, но? х<0, то f?(x₁)? 0, а если? х?0, но? х>0, то f?(x₁)? 0.

А возможно это только в том случае, если при? х?0 f?(x₁) = 0.

Для случая, если функция f (x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a, b], и дифференцируема во всех точках этого интервала. Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции fў(x) меняет знак с «+» на «- «, то в точке х = х₁ функция f (x) имеет максимум, а если производная меняет знак с «- «на «+» — то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа: f (x) — f (x₁) = fў(e) (x — x₁), где x < e < x₁.

Тогда: 1) Если х < x₁, то e < x₁; fў(e)>0; fў(e) (x — x₁)<0, следовательно

f (x) — f (x₁)<0 или f (x) < f (x₁).

2) Если х > x₁, то e > x₁ fў(e)<0; fў(e) (x — x₁)<0, следовательно

f (x) — f (x₁)<0 или f (x) < f (x₁).

Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f (x) < f (x₁) в любых точках вблизи х₁, т. е. х₁ — точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.

Утверждение 5: Пусть функция f (x): непрерывна и дифференцируема на промежутке (a,+ пусть, далее, функция f (x) ограничена снизу М такое, что f (x)M>0. Пусть так же существует предел этой функции при x. Для того чтобы найти inf f (x) необходимо найти предел функции f (x) при x. Sup f (x) находиться из условия нахождения точки максимума.

Если предел функции равняется бесконечности, то необходимо найти точки минимума и найти наименьшее значение в этих точках.

Пример 3: Рассмотрим функцию f (x)=sin x+2 на промежутке от (1,)

Наибольшее и наименьшее значение функции равны 3 и 1 соответственно. Значит sup f (x)=3, inf f (x)=1 таким образом C=3.

возрастающий функция дифференцируемость

Пример 4: Рассмотрим функцию f (x)=-x²-1. На промежутке (0,+) данная функция не является почти возрастающей, так как она не ограничена и не существует точная нижняя грань.

Пример 5: Рассмотрим функцию f (x)=5. По определению почти возрастающей функции существует C>0: для любых принадлежащих [a, b]: => f (?. Здесь inf f (x) = sup f (x) Очевидно, что C1. Рассмотри данную функцию на промежутке от [0,3] пусть значение функции в этих точках равна 5. Отсюда следует f (? то есть f (? => 5=5.

Следствие: Для того чтобы существовала почти возрастающая функция для функции f (x) необходимо чтобы функция f (x) была ограничена снизу положительным числом, и имел inf f (x)>0.