Вероятность наступления события

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет Кафедра прикладной математической статистики

Контрольная работа по математике

Вариант 2

Выполнила студентка гр. 3/10−4-вв, Герасимова М.А.

Проверила преподаватель Меньшенина А.В.

Нижний Новгород

2011 г.

Задача 2.

Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Каждый билет содержит 2 вопроса программы. Найти вероятность того, что студент знает оба вопроса программы.

Решение:

Пусть событие А — благоприятный исход — студент знает оба вопроса программы, — общее число вопросов программы; - такое число вопросов знает студент; - число вопросов в билете; - необходимое число вопросов в билете, которое необходимо знать.

— число равновозможных элементарных исходов:

— число исходов, благоприятствующих событию А:

— вероятность благоприятного исхода.

Ответ:

Вероятность того, что студент знает оба вопроса программы, равна 0,557 (55,7%).

Задача 12.

Два студента ищут нужную книгу в магазинах. Вероятность того, что книга будет найдена первым студентом, равна 0,6, а вторым — 0,7. Найти вероятность того, что только один студент найдет книгу.

Решение:

— событие, при котором книгу найдет первый студент; - событие, при котором книгу найдет второй студент; - событие, противоположное событию, при котором первый студент не найдет книгу; - событие, противоположное событию, при котором второй студент не найдет книгу; - вероятность того, что книга будет найдена первым студентом; - вероятность того, что книга будет найдена вторым студентом; - - вероятность события, противоположного событию. — - вероятность события, противоположного событию .

Событие А, состоящее в том, что только один студент найдет книгу, может быть представлено следующими случаями:

— книгу найдет первый студент, а второй не найдет;

— книгу найдет второй студент, а первый не найдет; Тогда событие А можно представить в виде суммы несовместных событий:, а вероятность наступления события А как:

Ответ:

вероятность того, что только один студент найдет книгу, равна 0,46 (46%).

Задача 22.

Вероятность выполнить работу без ошибок для 10-ти студентов равна 0,95, для других 15-ти студентов — 0,7, для остальных 3-х — 0,2. Преподаватель берет наудачу одну тетрадь для проверки. Какова вероятность того, что работа выполнена без ошибок?

Решение:

— выполнение взятой наугад работы без ошибок — составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы, их вероятности равны

.

Условные вероятности события А — выполнение взятой работы без ошибок — следующие:

По формуле полной вероятности получим:

Ответ:

вероятность того, что взятая наугад работа выполнена без ошибок, равна 0,7357 (73,57%).

Задача 32.

Найти вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы один раз четное число очков.

Решение:

А — событие, при котором выпадает четное число очков игральной кости; - число испытаний; - повторение события, т. е. выпадение четного числа очков хотя бы 1 раз; - вероятность того, что выпадет четное число очков (т.к. 3 из 6 граней игральной кости с четным числом очков); - вероятность того, что выпадет нечетное число очков; - вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу; - четное число очков выпадет хотя бы 1 раз.

По формуле Бернулли рассчитаем вероятность того, что четное число очков не выпадет ни разу из 4-х подбрасываний:

Вероятность того, что четные очки выпадут хотя бы 1 раз, равна:

Ответ:

вероятность того, что при 4-х подбрасываниях игральной кости выпадет хотя бы 1 раз четное число очков, равна 0,9375 (94%).

Задача 42.

Вероятность производства бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется бракованных:

· 8;

· менее 8.

Решение:

А — событие, при котором наблюдается производство бракованных деталей; - вероятность производства бракованной детали; - число испытаний; - число повторений события, при котором наступит брак;

Рассчитаем параметр — среднее число событий в серии изиспытаний: — в среднем на 1000 деталей приходится 8 бракованных; - условие выполняется, т. е. можно использовать для решения формулу Пуассона ;

;

вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных;

— вероятность того, что среди 1000 деталей бракованных будет менее 8 бракованных.

Ответ:

вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 8 бракованных равна 0,139; менее 8 бракованных — 0,453.

Задача 52.

При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.

Решение:

— вероятность изготовления годных клемм; - вероятность изготовления негодных клемм; - число испытаний; А- событие - производство годных клемм; - число повторений события А;

Вероятность события А по интегральной формуле Лапласа будет равна:

где

Используя таблицу значений функций Лапласа, найдем соответствующие значения: .

Подставим полученные значения в интегральную формулу Лапласа: — вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных.

Ответ:

вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 (включительно) годных равна 0,8533 (85%).

Задача 62.

вероятность событие математический ожидание

Даны результаты наблюдений случайной величины Х.

1. Построить полигон, гистограмму, эмпирическую функцию распределения.

2. Найти оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения исследуемой случайной величины.

3. Задаваясь доверительной вероятностью, найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения.

4. Задаваясь уровнем значимости, проверить гипотезу о нормальном законе распределения с помощью критерия Пирсона.

Решение:

Подсчитаем объем выборкии по формуле Стрэджеса определим оптимальное число интервалов группировки данных:. Примем, тогда ширина каждого интервала

Вычислим середины интервалов, найдем частоты попадания в каждый из интервалов, накопленные частоты и получим эмпирический закон и функцию распределения в форме таблицы:

Для наглядного представления построим полигон частот: по оси х — интервалы, по оси y — частоты .

Гистограмму плотности частот: по оси х — интервалы, по оси y — плотности частот. Эмпирическую функцию распределения по оси х — интервалы, по оси y — функция распределения .

1. Вычислим статистические оценки параметров распределения:

среднее значение

.

исправленную дисперсию

исправленное среднеквадратичное отклонение

Задаваясь доверительной вероятностью, найдем доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратичного отклонения. По таблице распределения Стьюдента при и получаем коэффициент. Тогда для математического ожидания a доверительный интервал будет следующий:

; .

По таблице распределения при и числе значений получи коэффициент и находим для среднего квадратичного отклонения доверительный интервал:

; .

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона при уровне значимости, означающем вероятность (риск) совершить ошибку при проверке гипотезы, а именно: принять верной ошибочную гипотезу. По таблице критических точекраспределения для числа степеней свободы имеем критическое значение. Вычислим наблюдаемое по выборке значение критерия Пирсона:

где — теоретические частоты, а , — соответственно правые и левые границы интервалов разбиения данных; - среднее значение параметров распределения. Результаты вычислений приведем в таблице:

Получим, т. е. гипотезу о нормальном распределении случайной величины принимаем.