Приложения групп ЛИ к конструированию дивергентных форм уравнения Эйлера и моделированию в задачах ламинарного пограничного слоя

Групповой анализ дифференциальных уравнений возник как научное направление в работах выдающегося норвежского математика XIX века Софуса Ли (1842−1899 г. г.) [51,52] и служил главной составной частью его важнейшего творения — теории непрерывных групп. Первоначальная основная задача группового анализа — вопрос о разрешимости в квадратурах обыкновенных дифференциальных уравнений — была решена самим Ли, но не нашла практического применения.

Интерес к групповому анализу возродил Л. В. Овсянников, который в 1958 г. опубликовал работу [40], положившую начало систематическим исследованиям в области группового анализа дифференциальных уравнений механики. В основе этой теории лежит понятие непрерывной группы преобразований, введенное Софусом Ли.

Л.В. Овсянниковым [41,42] были введены понятия инвариантных и частично-инвариантных решений и предложены простые и эффективные алгоритмы их построения. Примерами инвариантных решений являются широко использующиеся в механике стационарные, одномерные, осесимметрические, автомодельные решения. Теоретико-групповой подход создал возможность для регулярного поиска и классификации частных решений нелинейных дифференциальных уравнений и позволил построить отдельные классы точных решений дифференциальных уравнений механики и математической физики.

Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Это направление исследований получило название современного группового анализа.

Основной идеей группового анализа в области интегрирования дифференциальных уравнений является поиск так называемых непрерывных групп симметрии дифференциального уравнения, то есть непрерывных преобразований зависимых и независимых переменных, оставляющих уравнение инвариантным. Таким образом, инфинитезимальный аппарат Ли-Овсянникова является эффективным средством отыскания частных (инвариантных и частично инвариантных) решений уравнений математической физики. Этот аппарат позволяет в ряде случаев понижать порядок дифференциального уравнения с помощью операции группового расслоения. Но, тем не менее, краевые условия к фактор-системам задаются только в соответствии с уже найденными преобразованиями. Это говорит о том, что теория Ли носит локальный характер.

Что же касается механики сплошных сред, то методы теории групп Ли оказались плодотворными для отыскания решений дифференциальных уравнений в частных производных, моделирующих различные процессы в аэрогазодинамике, теории упругости, теории относительности и в других Г естественнонаучных дисциплинах.

Одним из основных инструментов построения законов сохранения физических процессов, допускающих вариационную формулировку, является первая теорема Эмми Нетер [53], которая устанавливает связь между инвариантностью вариационного интеграла относительно конечномерной группы Ли и дивергентными формами уравнения Эйлера. Эта теорема дает достаточное условие существования законов сохранения для уравнений Эйлера. Н. Х. Ибрагимов [19] дал новое доказательство этой теоремы для n-мерных интегралов на языке инфинитезимальных операторов Ли, что в сочетании с техникой группового анализа, развитого Л. В. Овсянниковым, дает возможность удобного способа построения законов сохранения. Используя понятие слабого лагранжиана, он также установил не только достаточные, но и необходимые условия существования законов сохранения уравнений Эйлера.

В первые годы развития теории пограничного слоя ученые пытались найти автомодельные решения, которые физически описывали бы некоторые частные течения. Фундаментальностью и глубиной отличаются труды А. А. Дородницына 1942;1948 гг. [16−18] по теории пограничного слоя в сжимаемом газе, определившие развитие этого раздела аэродинамики. Их идеи неразрывно связаны с природой сжимаемости и поэтому стали основой современных аналитических и численных методов расчета пограничного слоя в газе, включая самые сложные случаи с теплопередачей, излучением, протеканием равновесных и неравновесных физико-химических процессов. В работе [17] предложено преобразование переменных, которое теперь стало классическим и носит имя автора. Групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя получили дальнейшее развитие в работах И. И. Пухначева [46], Ю. Н. Павловского [44,45], B.C. Каплан [22], К. Г. Гараева [1−6,8], В. Г. Павлова [6,8,13], С. А. Дербенева [12−15], В. А. Овчинникова [8,43]. С тех пор новые полученные автомодельные решения, имеющие физическую интерпретацию, автору неизвестны.

Как правило, в большинстве этих работ ограничивались отысканием группы непрерывных преобразований, допускаемой уравнениями ламинарного пограничного слоя, и построением соответствующих фактор-систем. Это позволило с единых позиций систематизировать полученные ранее различными авторами автомодельные решения.

Метод группового анализа дает возможность выделить из всего множества решений исследуемой системы дифференциальных уравнений инвариантные решения. В результате получаем совокупность фактор-систем, содержащих меньшее число независимых переменных, чем в исходной системе.

Диссертационная работа выполнена на кафедре специальной математики Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева.

Приведем краткое содержание диссертационной работы.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы и приложений. Работа изложена на 84 страницах основного текстаиллюстративный материал представлен в виде 5 графиковприложения содержат 33 таблицыбиблиография включает 53 наименования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Получены новые первые интегралы уравнения Эйлера в простейшей задаче вариационного исчисления. построена дивергентная форма уравнения Эйлера-Остроградского для вариационной задачи с двумя независимыми переменными. Задача вычисления экстремального значения функционала по области V сведена к вычислению интеграла по поверхности S, ограничивающей эту область.

3. Дано приложение однопараметрической группы К вариационной задаче с подвижным концом.

4. Исследованы групповые свойства уравнений ламинарного пограничного слоя в задаче обтекания непроницаемого цилиндрического тела сверхзвуковым потоком газа. Получены определяющие уравнения для отыскания координат инфинитезимального оператора Ли. В общем случае эти уравнения разрешить не удалось. Однако подробно рассмотрены два случая.

Случай 1. Pr = 1- Ь (т) = 1 (линейная зависимость вязкости от температуры) — т = constбезразмерная скорость на внешней границе пограничного слоя подчиняется специальному дифференциальному уравнению имеет решение, отличное от классического.

Построена фактор-система, поставлена и решена соответствующая краевая задача. Получено новое автомодельное решение. Это стало возможным потому, что в качестве математической модели были взяты уравнения пограничного слоя в переменных Дородницына, которые.

2. Основываясь на теории L*- инвариантности функционалов у с начальным условием, а (0) = 0, которое е редуцируют исходные уравнения в уравнения, содержащие меньшее число искомых функций, нежели исходные. Использование аппарата Ли-Овсянникова позволило свести уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям, для которых формулируется соответствующая краевая задача.

Построены распределения безразмерной скорости ае (х) на внешней границе пограничного слоя и соответствующие им формы обтекаемого профиля при различных значениях параметра С* е (0−0.5].

Получены формулы для аэродинамических характеристик обтекаемого тела (касательного напряжения трения и локального теплового потока). Построены характерные графики. Случай 2. ?гфЬ (т) = constг = const.

Условие инвариантности уравнений пограничного слоя относительно оператора приводит к постоянной скорости на внешней границе a — const, что соответствует случаю обтекания клина в сверхзвуковом потоке.

5. В задаче обтекания тела вращения сверхзвуковым потоком газа показано, что соответствующая фактор-система совпадает по форме с фактор-системой для случая обтекания цилиндрического тела. Получены формулы для касательного напряжения трения и локального теплового потока.