Обратные задачи для параболических уравнений высокого порядка

Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.

Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь прежде всего работы А. И. Прилепко [37−48], [72], Ю.Е. Ани-конова [1], [55−58], Б. А. Бубнова [11−12], Е. Г. Саватеева [50], Н.Я.

Безнощенко [5−8], Ю. Я. Белова [9−10], Д. Г. Орловского [31−35], И. А. Васина [36], В. Л. Камынина [22−23], В. В. Соловьева [51−53], A. JIo-ренци (Италия) [64−65], [70], Н. И. Иванчова (Украина) [17−21], А. И. Кожанова [67−69] и других.

Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Методика исследования. Для поставленных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Линейная задача исследуется с помощью перехода к локальной краевой задаче для линейного уравнения составного типа и перехода к нелокальной краевой задаче для линейного «нагруженного» уравнения составного типа.

Нелинейная краевая задача исследуется с помощью перехода к нелинейному «нагруженному» уравнению составного типа.

Доказывается существование регулярного решения преобразованной задачи и возможность построения с помощью найденной функции решения исходной обратной задачи.

Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для параболических уравнений высокого порядка.

Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на:

1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института АлтГТУ им. И. И. Ползунова (филиал) (2000;2003 гг.).

2. Семинаре «Неклассические уравнения математической физики» (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск 2000;2003 гг.).

3. Семинаре «Избранные вопросы математического анализа» (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор Демиденко Г. В.) (Новосибирск 2000;2003 гг.).

4. Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели». Челябинск. 2002.

5. Международной Школе-конференции «Обратные задачи: теория и приложения». Ханты-Мансийск. 2002.

6. На семинаре кафедры математического анализа Стерлита-макского государственного педагогического института (руководитель — доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерли-тамак 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание [24−29].

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы. Нумерация формул — тройная: первая цифра указывает главу, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований.

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений // Новосибирск: Наука. 1978.

2. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // Доклады Академии наук СССР. 1989. Т. 306, № 6. С. 1289−1293.

3. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // Доклады АН СССР. 1988. Т. 298, № 4. С. 777−779.

4. Аниконов Ю. Е., Вишневский М. П. Формулы в обратной задаче для эволюционного уравнения // Сиб. мат. журнал. 1996. Т. 37, № 5. С. 963−976.

5. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициента в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. Ко 1. С.24−25.

6. Безнощенко Н. Я. О существовании решения задач определения коэффициентов при старших производных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 6. С.996−1000.

7. Безнощенко Н. Я. Достаточные условия существования решения задач определения коэффициентов при старших производных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения.1983. Т. 19. № и. С. 1980;1915.

8. Безнощенко Н. Я. Неединственность решения задач определения коэффициентов при старших членах уравнений в частных производных // Математические заметки. 1984. Т. 36, № 3. С. 305−308.

9. Белов Ю. Я. Обратная задача для уравнения Бюргерса // Доклады Академии наук СССР. 1992. Т. 323, № 3. С. 385−389.

10. Белов Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // Доклады Академии наук СССР. 1991. Т. 316, № 4. С. 800−805.

11. Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратных задач для параболических и эллиптических уравнений // Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: издательство института математики. 1986. С. 25−29.

12. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений // Новосибирск. 1987. С. 43. (Препринт / АН СССР. Сибирское отделение. ВЦ, № 714).

13. Бухгейм А. Я. Уравнения Вольтерра и обратные задачи // Новосибирск: Наука. 1983. 208 с.

14. Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений // Алматы: Институт теоретической и прикладной математики. 1995.

15. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

16. Дубля З. Д О задаче Дирихле для некоторого класса уравнений третьего порядка // Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13, Ко 1, С. 50−55.

17. Иванчов Н. И. Обратная задача теплопроводности в двух-компонентной среде // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 666−672.

18. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями // Украинский математический журнал. 1993. Т. 45, № 8. С. 1066−1071.

19. Иванчов Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости // Сибирский математический журнал. 1994. Т. 35, № 3. С. 612−621.

20. Иванчов Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении // Сибирский математический журнал. 1998. Т. 39, № 3. С. 539−550.

21. Гванчов Н. И., Побир! вська Н. В. Одночасне визначен-ня двоих коэфщ1энт1 В у параболшчному piBHHHHi у выпадку нелокальных та штегральних умов // Украинский математический журнал. 2001. Т. 53, № 5. С. 589−596.

22. Камынин B.JI. Предельный переход в обратной задаче длянедивиргентных параболических уравнений с условием финального переопределения // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, Ко 2. С. 247−253.

23. Камынин B.JI., Саролди М. Нелинейная обратная задача параболического уравнения высокого порядка // Журнал «Выч. математика и матем. физики». 1998. Т. 38, Kq 10. С. 1683−1691.

24. Кириллова Г. А. Линейная обратная задача с интегральным переопределением для одного класса параболических уравнений высокого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2002. Т.9, вып. 2. С. 57−74.

25. Кириллова Г. А. Обратные задачи для одного класса параболических уравнений высокого порядка // Материалы международной научной конференции. Челябинск. ЧГУ. 2002. С. 47.

26. Кириллова Г. А. Линейная обратная задача для параболических уравнений высокого порядка // Материалы международной Школы-конференции. Ханты-Мансийск. 2002. С. 19−20.

27. Кириллова Г. А. Линейная обратная задача для одного класса параболичесикх уравнений высокого порядка // Вестник НГУ. 2003, Т. З, Ко 1. С. 28−37.

28. Кириллова Г. А. Обратная задача для параболического уравнения высокого порядка с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения // Математические заметки ЯГУ. 2003. Т.10, № 1. С. 34−45.

29. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7, №> 1. С. 35−49.

30. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии // М.: Высшая школа. 1995.

31. Орловский Д. Г. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения высокого порядка в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, Ко 6. С. 1081−1084.

32. Орловский Д. Г. Слабые и сильные решения обратных задач для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27, № 5. С. 867−874.

33. Орловский Д. Г. О разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения в классе Гёльдера // Математические заметки. 1991. Т. 50, № 3. С. 107−112.

34. Орловский Д. Г. Фредгольмова разрешимость краевых обратных задач для абстрактных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 687−697.

35. Орловский Д. Г. Определение параметра параболического уравнения в гильбертовой структуре // Математические заметки. 1994. Т. 55, Ко 3. С. 109−117.

36. Прилепко А. И., Васини А. Постановка и исследование нелинейной обратной задачи управления движением вязкой несжимаемой жидкости // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 4. С. 697−709.

37. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении, I// Сиб. мат. журнал, 1992. Т. 33, № 3. С. 144−155.

38. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Математический сборник. 1992. Т. 183, № 4, С. 49−68.

39. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении, II // Сиб. мат. журнал, 1993. Т. 34, № 5. С. 147−162.

40. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения, 1.// Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 1. С. 107−116.

41. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения, 1. // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 11. С. 15 191 528.

42. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, I // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 119−129.

43. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, II // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, № 4. С. 694−701.

44. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики, III // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, Kq 8. С. 1343−1353.

45. Прилепко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 1. С. 136−143.

46. Прилепко А. И., Соловьев В. В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа, I // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 10. С. 1791−1799.

47. Прилепко А. И., Соловьев В. В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа, II // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 11. С. 1971;1980.

48. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Математические заметки. 1992. Т. 51, т 2. С. 77−87.

49. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Фредгольновость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журнал «Выч. математика и матем. физики». 2003. Т. 43, № 9. С. 1392−1401.

50. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения // Сиб. мат. журнал, 1995. Т. 36, № 1. С. 177−185.

51. Соловьев В. В. О существовании решения в задаче определения коэффициента в полулинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1992. Т. 28, № 12. С. 21 012 110.

52. Соловьев В. В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1060−1069.

53. Соловьев В. В. Существование решения в «целом» обратной задачи определения источника в квазилинейном уравнении параболического типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 536−544.

54. Abasheeva N.L. Determination of a right-hand side term in an operatordifferential equation of mixed type // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V. 10, N 6. P. 547−560.

55. Anikonov Ju. E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differential Equations // Utrecht: VSP. 1995.

56. Anikonov Ju. E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems // Utrecht: VSR 1997.

57. Anikonov Ju. E. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 51. P. 1−26.

58. Anikonov Ju. E. Inverse problems for evolution and differential-differense equations with a parameter // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. 11, N 5. P. 439−474.

59. Cannon J.R. and Ewing R.E. Quasilinear parabolic systems with non-linear boundary conditions, inverse and improperty posed problems in differential equations // Proc. Conf. Math. Numer. Nath., Hall. 1979. P. 35−43.

60. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of parameter p{t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Problems. 1988. V.4, N 1. P.35−45.

61. Colombo F. and Lorenzi A. An identification problem related to parabolic integro-differential equations with non commiting spatial operators // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2000. V.8. P. 505−540.

62. Congsheng Li, Yichen Ma and Kaitai Li. An inverse parabolic problem for nonlinear sourse term with nonlinear boundary conditions // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 4. P. 371−388.

63. Choi J. Inverse problem for a parabolic equation with space-periodic boundary conditions by a Carmelan estimate // J.Inv.IllPosed Problems. 2003. V. ll, N 2. P. 111−136.

64. Faragon A. and Lorenzi A. Parabolic integro-differential identification problems related to radial memory kernels // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2001. V.9. P. 489−529.

65. Faragon A. and Lorenzi A. Parabolic integro-differential identification problems related to radial memory kernels with special symmetries // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 1. P. 67−88.

66. Denisov A.M. and Lorenzi A. Recovering nonlinear terms with a priori unknoun domains of definition in second order nonlinear ordinary differential equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 2. P. 137−160.

67. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

68. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547−658.

69. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 5. P. 505−522.

70. Lorenzi A. and Prilepko A. Fredholm-type results for integrodifferencial identification of parabolic problems. Universita Deghi Studi di Milano Quaderno, 17, 1992.

71. Nakagini S. and Haruki S. An indentification problemfot linear retarded functional differencial equations // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 3. P. 255−262.

72. Prilepko A. I. and Tkachenko D.S. Inverse problem for a parabolic equation with integral overdetermination // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 2. P. 191−218.

73. Riqanti R. and Savateev F. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equition // Rapporto Interno, 25. Politechico di Torino, Turin. 1991.