Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом

Классический подход к решению уравнения свертки в пространствах аналитических функций (см., в частности, [6]) или его дискретною аналога (см., например, [50]) — в пространствах последовательностей состоит в применении к обеим частям этого уравнения непрерывного либо, соответственно, дискретного преобразования Фурье (Фурье-Лапласа), переводящего свертку оригиналов в произведение изображений, что позволяет свести исходную задачу к задаче факторизации функций в некотором функциональном пространстве. Как следствие, возникает вопрос об описании замкнутых идеалов в различных пространствах (аналитических) функций. Свойства операторов свертки, а также близкие к ним проблемы факторизации и описания замкнутых идеалов в различных функциональных пространствах исследовались многими отечественными и зарубежными математиками: достаточно привести в пример работы ia-ких ученых, как JI. Эренпрайс [59], Б. Мальгранж [62], И.Ф. Красичков-Терновский ([20]-[22]), А. Ф. Леонтьев [28], Ю. Ф. Коробейник [19], Н. К. Никольский ([38],[39]), А. М. Седлецкий [45], М. Г. Крейн [23], В. В. Напалков [34], Н. А. Широков ([54]-[56], [63]), A.C. Кривошеев [24], P.C. Юлмухаметов [57]. Тесная связь между оператором сдвига, с помощью которого часто определяется свертка, и оператором дифференцирования породила также интерес к исследованиям так называемых D-операторов (из современных работ см., например, [9]). Большое внимание к проблемам данной тематики обусловлено тем, что, с одной стороны, многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки, а с другой стороны — операторы свертки часто применяются при решении задач прикладного характера. При этом важную роль играет специфика рассматриваемых пространств аналитических функций, в частности, многие исследования приводят к необходимости конструктивного изучения пространства II (Ur) аналитических в открытом круге Ur радиуса г (с центром в начале координат комплексной плоскости) функций с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространства Н (17,) функций, аналитических в замкнутом круге Пг радиуса г, — индуктивною предела при т —* +со пространств Я (С/гт]/т).

Благодаря наличию в пространствах H (Ur) естественного базиса Шаудера {zn}l, любая задача для этих пространств может быть поставлена в терминах коэффициентов Тейлора — например, задача о представлении аналитических функций рядами экспонент, решением которой занимался А. Ф. Леонтьев [27], или вопрос эквивалентности дифференциальных операторов, изучавшийся K.M. Фишманом [48]. Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, вследствие чего локально выпуклые пространства, классу которых принадлежат многие функциональные пространства, имеют естественное изоморфное представление в виде пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство функций L2(0−1), которое может быть представлено как пространство последовательностей /2. Менее тривиален пример пространства Бергмана AP (U) аналитических в единичном круге U функций с нормой f{z)p dxdy z <1.

Up где 1 < p < +co, изоморфного пространству 1Р. В данной работе показано, что пространство Н (иг) для г > 1 изоморфно проективному пределу Вг весовых гильбертовых пространств комплекснозначных последовательностей с неотрицательными индек.

I С1 Р сами /-я = {а = {а&bdquo-} ||а|/2д ||2 = < +оо}, где 1 < А < г, а пространсгво п-0 Л.

У,) — индуктивному пределу пространств /2 А, где, А > г.

Изоморфное представление пространств аналитических функций в виде пространств последовательностей делает актуальной задачу решения дискретною аналога уравнения свертки. Под руководством Напалкова В. В. изучением уравнения свертки для различных пространств последовательностей занимались Карпов A.B. (см. [12]), Ким В. Э. (см. [13],[36]), Коган (Сапронова) Г. А. (см. [15],[37]), Шагапов И. А. ([52]).

В данной диссертации исследуется дискретный аналог уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом, причем особую важность в ходе исследований приобрел вопрос о способе реализации таких пространств в виде пространств аналитических функций. В связи с этим возникла необходимость построения естественного изоморфизма между гильбертовыми пространствами последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весом и некоторыми функциональными пространствами. Специфика структуры гильбертова пространства, а также введение в весовых пространствах последовательностей преобразования Меллина (а не преобразования Фурье-Лапласа, как в вышеупомянутых работах), позволили получить требуемую изоморфную реализацию таких пространств в виде пространств функций, аналитических в круге и в кольце комплексной плоскости, а также в виде функциональных пространств типа Харди и Бергмана. Отдельная задача, решению которой посвящена глава 4 диссертации, состояла в определении на исследуемых пространствах последовательностей операции, обладающей всеми свойствами свертки, и изучении аналога уравнения свертки для такой операции.

В работе получены следующие основные результаты:

• построена естественная изоморфная реализация относительно преобразования Меллина гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов, в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат;

• на элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами определена бинарная операция, обладающая всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных относительно преобразования Меллина пространствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей- • получено описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки, а также необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки для случая таких пространств последовательностей.

Структура диссертации.

Работа состоит из введения и 4 глав.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи работы, перечислены научные положения, выносимые автором на защиту, описана структура работы и приведены ее краткое содержание, а также список публикаций автора по теме диссертации.

1. Вахрамеева A.B. Об операторе Меллина в гильбертовых пространствах весовых последовательностей II Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова. 5−11 сентября 2004 года. Ростов-на-Дону, 2004. -С.88−89.

2. Вахрамеева A.B. Описание пространств преобразований Фурье-Лапласа элементов гильбертовых пространств последовательностей II Вестник УГАТУ. 2003. — Т. 4, № 2. — С. 168−170.

3. Вахрамеева A.B. Описание пространства, сопряэ/сенного к индуктивному пределу гильбертовых пространств последовательностей II Казань: Мат-лы VI Казанской межд. школы-конф., 27 июня-4 июля 2003.-С. 46−47.

4. Вахрамеева A.B. Теорема типа Пэли-Винера для весовых пространств последовательностей II Труды XXIII конф. молодых ученых мех.-матем. факультета МГУ. 9−14 апреля 2001 г. 4.1. М.: ЦПИ при мех.-матем. факультете МГУ, 2001. — С. 98−100.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. — 512 с.

6. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. -470 с.

7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: Изд. иностр. литер., 1963.-312 с.

8. Карпов A.B. Уравнения свертки в пространствах числовых посчедо-вательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2001.-99 с.

9. З. Ким В. Э. О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2005. -85 с.Н.Кириллов A.A., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционачьного анализа. М.: Наука, 1979. — 382 с.

10. Коган Г. А. Экспоненциальные ряды в весовых пространствах посче-довательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 2003. 141 с.

11. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1972. — 496 с.

12. Кондаков В. П. Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их допочняемых подпространствах II Сибирский мат. журнал. 2001. — Т.42, № 6. — С. 1300−1313.

13. Коренблюм Б. Инвариантные подпространства оператора сдвига во взвешенном гильбертовом пространстве II Матем. сборник. -1972. -Т.89, № 1. С. 110−137.

14. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах Изд. Ростовского ун-та, 1983. — 156 с.

15. Красичков И. Ф. О замкнутых идеалах в локально выпуклых алгебрах целых функций. Алгебры минимального типа II Сибирский мат. журнал. 1968. — Т. IX, № 1. — С. 77−96.

16. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства пространств аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях П Матем. сборник. 1972. — Т.88, № 1. — С. 3−30.

17. Красичков-Терновский И. Ф. Однородное уравнение типа свертки на выпуклых областях // ДАН СССР. 1971. — Т. 197, № 1. — С. 29−30.

18. Крейн М. Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от разности аргументов II Успехи мат. наук. 1958. — Т. ХШ, вып.5(83). — С. 3−120.

19. Кривошеев А. С., Напалков В. В. Комплексный анализ и операторы свертки // Успехи матем. наук, 1992. Т. 57, вып.6(288). — С. 3−58.

20. Кусис П.

Введение

в теорию пространств № (с приложением доказательства Волффа теоремы о короне). М.: Мир, 1984. — 366 с.

21. Левин Б .Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.-632 с.

22. Леонтьев А. Ф. О представлении аналитических в открытом круге функций рядами Дирихле II Мат. заметки. 1968. — Т. З, вып.2. — С.113−124.

23. Леонтьев А. Ф. О свойствах последовательностей починомов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси // Изв. АН СССР. Сер. Ма-тем. Т. 29. — 1965. — С.269−328.

24. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1992. -79 с.

25. Луценко В. И., Юлмухаметов P.C. Обобщение теоремы Пэчи-Винера на весовые пространства II Мат. заметки. 1990. — Т.48, вып.5. — С. 80−87.ЗКЛюстерник Л.А., Соболев В. И. Элементы функционального анализаМ.: 1965 -520 с.

26. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. -М.: Наука, 1966.-388 с.

27. Митягин Б. С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах.!I Успехи матем. наук. 1961. — Т. XVI, вып. 4. — С. 63−132.

28. Напалков В. В. О базисе в пространстве решений уравнения свертки II Мат. заметки. 1988. — Т.43, вып.1. — С.44−55.

29. Напалков В. В., Зайцева A.B. Теорема Пэли-Винера дчя пространств последовательностей. II Докл. АН России. 2000. — Т. 374, № 2. — С. 157−159.

30. Напалков В. В., Ким В. Э. Изоморфизм между пространствами решений уравнений свертки И ДАН. 2004. — Т. 394, № 1. — С. 12−21.

31. Никольский H.K. Замкнутые идеалы в некоторых алгебрах цешх функций II Сибирский мат. журнал. 1968. — Т. IX, № 1. — С. 211−215.

32. Никольский Н. К. Избранные задачи весовой аппроксимации и спектрального анализа.// Труды матем. инст-та им. В. А. Стеклова Т. СХХ. — Изд. «Наука», Ленингр. отд., 1974. — 272 с.

33. Платонов С. С. Об одной теореме Пэли-Винера-Ахиезера II Тр. Петрозаводского гос. университета. Серия «Математика». — 1998. -Вып. 5.-С. 131−139.

34. Пустыльник Е. И. Квазивогнутые функции.!I Деп. ВИНИТИ, рег.№ 1202−79 (1979 г.)-33 с.

35. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.-258 с.

36. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ М.: Мир, 1973. — 470 с.

37. Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально-выпуктх пространств, важных в приложениях.// В сб. «Математика», 1957. -Т. 1, № 1.-С. 60−77.

38. Седлецкий A.M. Биортогональные разложения функций в ряды экспонент на вещественной оси/1 Успехи матем. наук. 1982. — Т. 37, вып. 5.-С. 51−95.

39. Смирнов В. И., Лебедев H.A. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1964. — 440 с.

40. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. (В 3-х тт.)-М.: Наука, 1970.

41. Фишман K.M. К вопросу об эквивалентности дифференциальных операторов в пространстве аналитических функций в круге // Успехи матем. наук, 1964.-T.XIX, вып.5(119). С. 143−147.

42. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах М.: Мир, 1970. -352 с.

43. Чеботарев Г. Н. Уравнения Винера-Хопфа Казань: Изд-во КГУ, 1974. 104 с.

44. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. М.: Наука, 1985. — 571 с.

45. Шагапов И. А. Инвариантные подпространства в пространствах числовых последовательностей. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат. наук. Уфа, 1999. — 91 с.

46. Шведенко C.B. Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге, шаре.// В сб. «Итоги науки и техники», сер. «Математический анализ», т.23. М., 1985.-С. 3−124.

47. Широков H.A. Деление на внутреннюю функцию не меняет класса гладкости И Докл. АН СССР. 1983. — Т. 268, № 4. -С. 821−823.

48. Широков H.A. Замкнутые идеалы алгебр типа B" pq II Изв. АН СССР, сер. математическая. 1982. — Т.46, № 6. — С. 1316−1332.

49. Широков H.A. Идеалы и факторизация в алгебрах аналитических функций, гладких вплоть до границы II Труды матем. инст-та им. В. А. Стеклова Т. СХХХ. «Спектральная теория функций и операторов». -Изд. «Наука», Ленингр. отд., 1978. — С. 196−222.

50. Юлмухаметов P.C. Однородные уравнения свертки // ДАН СССР. -1991. Т. 316, № 2. — С. 312−315.

51. Юлмухаметов P.C. Преобразование Лапласа в весовых гильбертовых пространствах // Тезисы докл. Всесоюзной школы-конф. «Современные проблемы теории функций» (15−25.05.1989г.). Баку, 1989. -С. 109−110.

52. Ehrenpreis L. Mean periodic functions II Amer. J. Math., 1955 V. 77, № 2. — P. 293−326.

53. Hedenmalm H., Korenblum В., Zhu К. Theory of Bergman Spaces. -Springer-Verlag New-York, 2000. 286 p.l.Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1977.

54. Malgrange B. Existence et approximation de solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution II Ann. Inst. Fourier, 1955;56. -V.6. P. 271−355.

55. Shirokov N.A. Division and Multiplication by Inner Functions in Spaces of Analytic Functions Smooth up to the Boundary II Lect. Notes Math. -1981.-№ 864.-P. 413−439.