Вероятностный анализ характеристик субпортфелей на страховом рынке

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Нефтекамский филиал Экономико-математический факультет Кафедра математического моделирования Дипломная работа на тему:

«Вероятностный анализ характеристик субпортфелей на страховом рынке»

Выполнил студент 5 курса дневного отделения группы М-51

Шарифуллина И.Г.

Допускается к защите:

Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., проф.

Спивак С.И. ________

Научный руководитель к.ф.-м.н., доц.

Сафина Г. Ф._________

Нефтекамск 2008

1. Основы страхования

1.1 Понятие страхового рынка и условия его существования

1.2 Страховой тариф

1.3 Цели управления страховой организацией

1.4 Задачи актуария в страховой компании

1.5 Анализ риска страховщика и путей его снижения

1.6 Перестрахование и формы его организации

2. Анализ риска субпортфелей на страховом рынке

2.1 Рисковая надбавка

2.2 Нетто-премия

2.3 Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации

2.4 Вероятность разорения страховой компании

2.5 Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба

2.6 Приближенные методы расчета вероятности разорения

2.6.1 Приближение Пуассона

2.6.2 Приближение Гаусса

2.7 Аппроксимация биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона

3. Разработка программного модуля определения характеристик субпортфелей

3.1 Задача двух субпортфелей

3.2 Задача трех субпортфелей

3.3 Общие сведения о программе

3.4 Функциональное назначение программы

3.5 Анализ входных и выходных данных

3.6 Анализ результатов

Заключение

ПРИЛОЖЕНИЕ, А Модуль расчета характеристик двух субпортфелей

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Модуль расчета характеристик трех субпортфелей

ПРИЛОЖЕНИЕ В Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни

ПРИЛОЖЕНИЕ Г Основные модули

История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование — неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. В современном мире страхование является важнейшей предпосылкой стабильной и безопасной жизнедеятельности каждого отдельного человека, семьи, общества в целом. Оно стало одним из основных источников долгосрочных финансовых ресурсов экономически развитых государств. Исходя из этого можно говорить об актуальности выбранной темы дипломной работы.

Риски потерь, уничтожения и повреждения имущества, расстройства здоровья, гибели людей, нарушения имущественных интересов постоянно сопутствуют производственной и любой иной деятельности и обыденной жизни каждого члена общества.

Страхование позволяет пострадавшим возмещать ущерб, причиненный случайными разрушительными, неблагоприятными событиями, и получить страховые суммы (страховое обеспечение) при дожитии до определенного срока или возраста, наступлении временной нетрудоспособности, инвалидности, а также других случаев, оговоренных в договоре страхования. За счет этого страхование обеспечивает непрерывность производственной, любой иной общественно полезной деятельности и приемлемый их уровень, а также уровень жизни, доходов людей при наступлении определенных событий, именуемых страховыми случаями.

Страховые организации призваны аккумулировать в себе взносы клиентов и выплачивать компенсации по мере наступления страховых случаев, выступая, таким образом, посредником в процессе, когда группа индивидов оплачивает потери тех членов группы, которые подверглись воздействию страхового случая.

Клиент (страхователь), заключая договор со страховой компанией (страховщиком), не избавляет себя от риска, соответственно, компания не «принимает» риск на себя. Она принимает ответственность за выплату денежного возмещения последствий риска данному клиенту, а взнос (премия) — цена такой ответственности.

Для заключения страхового контракта необходимы три условия:

· потенциальный клиент должен осознавать, что наступление страхового случая нанесет ему и его семье серьезный материальный урон;

· он должен быть уверен, что при наличии договора страховая компания выполнит свои обязательства перед ним, и тем самым материальные потери будут компенсированы (полностью или в значительной мере);

· клиент должен иметь материальные возможности для оплаты страховой защиты.

Третье условие предполагает соответствие между объемом и качеством страховой защиты и платой за нее. При этом подразумевается, что процесс не детерминированный, а стохастический, и что существующий риск можно оценить количественно. То есть для определенного промежутка времени, для которого составляется договор, известны вероятность того, что страховой случай произойдет, и величина ущерба, возникшего в результате этого случая, которая подлежит возмещению. Исследуемая нами проблема анализа риска субпортфелей на страховом рынке стоит на стыке теории вероятностей, актуарной математики и финансовой математики.

Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных работ, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.

Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель «случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю или страховым полисам. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности». Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, — вероятность разорения.

Основателем теории риска считается Ф.Лундберг. В своих классических работах он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером в. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна [5], Дж. Гранделла и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория «геометрического суммирования» случайных величин. Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.

В монографии В. В. Калашникова подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным образом классического процесса риска и его обобщений, и описаны методы построения оценок вероятности разорения. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Венинга ([7], и других), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.

В дипломной работе Л. В. Шалуновой «Математические модели вероятности разорения страховых компаний» рассматриваются модели рисков, исследуется вычисление вероятности разорения как рисковой характеристики страховой компании (модель Крамера-Лундберга). В работе особое внимание уделяется актуарным расчетам, связанным с инвестиционной активностью страховой компании на финансовом рынке, состоящем из двух активов: безрискового и рискового.

Целью дипломной работы является исследование вероятностных характеристик субпортфелей на страховом рынке и разработка программного модуля для определения характеристик портфелей.

В соответствии с целью нами выдвинуты следующие задачи:

· Изучение страхового рынка с точки зрения риска страховщика и путей снижения риска;

· Анализ страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации;

· Исследование вероятности разорения страховой компании точными и приближенными методами;

· Разработка программного модуля для расчета характеристик субпортфелей.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что рассмотренный расчет рисковых характеристик портфеля обеспечивает эквивалентность обязательств сторон — страховщика и страхователя. Проведенный анализ риска субпортфелей указывает пути снижения риска и повышение вероятности неразорения страховой компании.

Практическая значимость результатов исследования состоит в разработанном программном модуле для определения характеристик субпортфелей и вероятности разорения страховых компаний. Программа может быть использована в страховых компаниях, использующих от одного до пяти разных видов субпортфелей страховых договоров. Она упрощает расчеты работников страховых компаний, ускоряет принятие рациональных решений.

В первой главе работы изучены основные понятия страхового рынка. Рассмотрены цели управления страховой организацией и задачи актуария в страховой компании. Проанализирован риск страховщика, рассмотрены пути снижения риска.

Во второй главе проанализированы модели краткосрочного страхования жизни, индивидуальные убытки страхователя и страховщика. Исследованы методы точного расчета характеристик суммарного ущерба страховой компании и приближенного расчета вероятности разорения страховой компании. Рассмотрены принципы назначения страховых премий.

В третьей главе проводится анализ моделей страхования на конкретных страховых случаях. Приведена программная реализация к этим задачам.

При разработке практических приложений дипломной работы (разработка программы) были использованы: среда программирования Delphi, информационные технологии — Windows XP.

1. Основы страхования

1.1 Понятие страхового рынка и условия его существования

Страховой рынок — это особая социально-экономическая среда, определенная сфера денежных отношений, где объектом купли-продажи выступает страховая защита, формируется предложение и спрос на нее.

Страховой рынок можно рассматривать также:

как форму организации денежных отношений по формированию и распределению страхового фонда для обеспечения страховой защиты общества;

как совокупность страховых организаций (страховщиков), которые принимают участие в оказании соответствующих страховых услуг.

Объективной основой развития страхового рынка является возникающая в процессе воспроизводства потребность обеспечения бесперебойности финансово-хозяйственной деятельности и оказание денежной помощи в случае наступления непредвиденных неблагоприятных событий.

Основаниями страхового рынка являются: свободная рыночная экономика, многообразие форм собственности, свободное ценообразование — расчет тарифных ставок, наличие конкуренции, свобода выбора, разработка и внедрение новых видов страховых услуг и т. д.

Обязательные условия существования страхового рынка:

наличие общественной потребности в страховых услугах — формирование спроса;

наличие страховщиков, способных удовлетворить эту потребность, — формирование предложения.

В связи с этим выделяют рынок страховщика и рынок страхователя. Функционирующий страховой рынок представляет собой сложную, интегрированную систему, включающую различные структурные звенья. Первичное звено страхового рынка — страховое общество или страховая компания. Именно здесь осуществляется процесс формирования и использования страхового фонда, проявляются экономические отношения, переплетаются личные, групповые, коллективные интересы.

Кроме того, на страховом рынке также действуют и другие его субъекты: перестраховочные компании, посредники страховщика — страховые агенты и брокеры (маклеры), различные объединения страховщиков: страховые пулы, союзы и т. д.

Специфическим товаром, предлагаемым на страховом рынке, является страховая услуга, которая может быть представлена на основе договора (в добровольном страховании) или закона (в обязательном страховании).

Перечень видов страхования, представленных на страховом рынке, определяет ассортимент страховых услуг, включая дополнительные, индивидуальные условия по договорам страхования.

Страхователь — физическое или юридическое лицо, уплачивающее денежные (страховые) взносы и имеющее право по закону или на основе договора получить денежную сумму при наступлении страхового случая. Страхователь обладает определенным страховым интересом. Через страховой интерес реализуются конкретные отношения, в которые вступает страхователь со страховщиком. Страхователь, выступающий на международном страховом рынке, может также называться полисодержателем.

Страховщик — организация (юридическое лицо), проводящая страхование, принимающая на себя обязательство возместить ущерб или выплатить страховую сумму, а также ведающая вопросами создания и расходования страхового фонда. В Российской Федерации страховщиками в настоящее время выступают акционерные страховые компании. В международной страховой практике для обозначения страховщика также используется термин андеррайтер. Страховщик вступает в конкретные отношения со страхователем. В своих действиях, формируя эти отношения, он руководствуется имеющимися у страхователя и в обществе в целом страховыми интересами.

1.2 Страховой тариф

Страховой тариф, или тарифная ставка, представляет собой денежную плату страхователя за единицу страховой суммы. Другими словами, страховой тариф является ценой единицы страховой услуги и применяется для определения величины страхового взноса страхователя, который, в свою очередь, является долей участия каждого страхователя в страховом фонде. От того, насколько правильно страховщик рассчитает эту долю, во многом зависят его возможности обеспечения страховой защиты. Если страховой тариф будет занижен, то средств страхового фонда не хватит для осуществления выплат по оговоренным в договорах страховым случаям. Если же страховой тариф будет завышен, то высокая цена на страховые услуги или отпугнет страхователей, или при заключении договоров на таких условиях будут ущемляться их экономические интересы.

В практике страхования тарифная ставка, лежащая в основе страхового взноса, называется брутто-ставкой. Брутто-ставка состоит из двух частей: нетто-ставки и нагрузки.

Нетто-ставка может составлять до 90% брутто-ставки и является источником формирования страховых фондов, используемых на выплаты страхователям. Если по договору объект страхуется от нескольких рисков, то производится суммирование нетто-ставок по каждому из этих рисков. В рисковых видах страхования нетто-ставка напрямую связана с вероятностью наступления страхового события. Достаточно часто фактические размеры ущерба превышают ту теоретическую величину, которая была заложена в страховые тарифы при разработке, что может привести к неплатежеспособности страховщика, поэтому в нетто-ставку по рисковым видам страхования закладывается рисковая надбавка для покрытия таких превышений.

Нагрузка используется для финансирования деятельности страховщика и покрывает его расходы на ведение дела, на проведение предупредительных мероприятий, уменьшающих вероятность реализации и размеры последствий страховых случаев, а также включает прибыль страховой компании. В зависимости от видов страхования нагрузка может составлять от 9 до 40% брутто-ставки.

Страховая премия — оплаченный страховой интерес; плата за страховой риск в денежной форме. Страховую премию оплачивает страхователь и вносит страховщику согласно закону или договору страхования. По экономическому содержанию страховая премия есть сумма цены страхового риска и затрат страховщика, связанных с покрытием расходов на проведение страхования. Страховую премию определяют исходя из страхового тарифа. Вносится страхователем единовременно авансом при вступлении в страховые правоотношения или частями (например, ежемесячно, ежеквартально) в течение всего срока страхования. Размер страховой премии отражается в страховом полисе. Объем поступления страховой премии от всех функционирующих страховщиков — один из важнейших показателей состояния страхового рынка. Синонимами термина «страховая премия» являются страховой взнос и страховой платеж.

1.3 Цели управления страховой организацией

Главной целью деятельности коммерческого предприятия любой отрасли экономики является получение прибыли. В деятельности же страховой организации прибыль как разница между доходами и расходами от осуществления страховых операций может в определенных случаях и не являться главным приоритетом в результате их деятельности. Это обусловлено целью страхования — обеспечением возмещения страховщиком ущерба, причиненным страховым случаем страхователю, или выплаты страхового обеспечения (страховой суммы) по видам страхования жизни.

Источником средств для таких страховых выплат служит страховой фонд, формируемый страховщиком из уплачиваемых страхователями страховых премий (взносов). Основную часть страховой премии обычно составляет нетто-премия, формируемая за счет нетто-ставки в страховом тарифе и обеспечивающая создание фонда денежных средств, предназначенного для страховых выплат. «Нагрузка» же в страховом тарифе обеспечивает формирование средств не только для покрытия расходов страховой организации, но и определенной суммы прибыли.

Важнейшим источником получения страховой организацией прибыли является инвестирование страховых резервов и собственных средств. Прибыль, получаемая от инвестирования страховых резервов, создаваемых по страхованию жизни, учитывается, например, заранее при расчете величины тарифной ставки и способствует ее снижению. Чем выше доходность инвестиций, тем ниже тариф по видам страхования жизни.

Прибыль страховщика позволяет ему наряду с формированием дохода из получаемых страховых премии по договорам страхования решать после уплаты налога на прибыль следующие задачи:

* покрывать расходы на исследования, разработку и продвижение новых видов (подвидов) страхования на рынок страховых услуг;

* дотировать временно убыточные виды страхования;

* осуществлять подготовку и повышение квалификации кадров, решать социальные проблемы работников организации;

* создавать фонды денежных средств, обеспечивающих нормальное функционирование и развитие страховой организации (резервный фонд, фонд накопления, фонд социальной сферы, фонд потребления);

* увеличивать уставный капитал.

1.4 Задачи актуария в страховой компании

Исторически первой задачей, которую пришлось решать актуарию, была задача определения величины страховой премии, обеспечивающей эквивалентность рисков страховщика и страхователя, т. е. равенство современных величин их возможных потерь. Для простоты проанализируем пример без учета процесса наращения, т. е. будем считать, что сумма собранных премий равна сумме выплаченных страховых возмещений.

Предположим, что актуарий проанализировал страховые договоры определенного типа и выяснил влияние различных факторов на возможность возникновения страхового случая и величину убытков. Тогда он может разбить все неоднородное множество договоров на несколько однородных подмножеств (групп). Это позволяет внутри каждой группы рассматривать не ущерб по каждому договору, а суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее.

Пусть на основании предыдущего опыта выяснено, что за единицу времени (год) в группе из договоров произошло случаев. Тогда частость позволяет оценить вероятность наступления страхового случая.

Если из года в год эмпирические значения практически равны, т. е. их колебания случайны и не содержат тренда, то нет необходимости в прогнозировании поведения этой величины, достаточно знать ее среднее значение. При большом общем числе наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что истинное значение параметра будет находиться в очень узком доверительном интервале.

Тогда можно для дальнейших расчетов взять не точную оценку, а правую границу доверительного интервала (это уменьшит вероятность разорения страховой компании, но несколько снизит ее конкурентоспособность).

Теперь можно приступать к планированию политики компании относительно этого вида риска на следующий год. Собранные премии должны обеспечить выполнение страховщиком своих обязательств. Однако он сможет это сделать только, если фактическое число страховых случаев будет равно своему математическому ожиданию (принцип эквивалентности риска) или меньше его. В последнем случае страховщик даже получит доход.

Однако его больше интересует противоположная ситуация: превышение фактического числа случаев над ожидаемым, которая может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого страховщик использует такие средства, как рисковая надбавка, а также привлекает собственный капитал для создания начального резерва.

Отдельная и очень важная задача — оценка страховых резервов. Страховой резерв — это выраженный в денежной форме размер будущих обязательств. На эту величину пассивов страховщик должен иметь активы. Собственные средства в страховании называются «маржа платежеспособности». Они оцениваются по принципу компромисса между надежностью и прибылью.

Решение этого комплекса задач начинается с построения доверительного интервала для числа страховых случаев. При этом страховщика интересует самая неблагоприятная ситуация: выход за правую границу, и соответственно, вероятность этого. Разность между правой границей и средним значением и представляет ту часть риска страховщика как предпринимателя, которую он хочет (и должен!) устранить (предотвратить).

Очевидно, что прямое повышение надежности функционирования компании вызовет расширительного интервала, т. е. увеличение разности между правой границей и средним значением. Если среднее значение не изменится, то отношение этой разности к среднему значению (относительная погрешность) возрастет. Тогда страховщик сталкивается с проблемой допустимой величины рисковой надбавки.

Эта надбавка призвана отдалить правую границу и тем самым уменьшить вероятность выхода за нее. Поэтому любой разумный клиент согласен платить эту надбавку, если она мала по сравнению с величиной премии, рассчитанной из принципа эквивалентности. Возможность снизить вероятность разорения компании простым увеличением этой надбавки (за счет клиента!) ограничена из-за конкуренции.

Следовательно, необходимо учитывать возможность возникновения на страховом рынке ситуации, при которой придется снижать эту надбавку. Возникает задача поиска разумного компромисса между повышением надежности и повышением конкурентоспособности. Очевидно, играет роль и объем портфеля. Чем он больше, тем компания устойчивее. Она может поддерживать высокую конкурентоспособность, уменьшая надбавку (т.е. снижая тариф) практически без ущерба для надежности.

Когда же возможности повышения надежности путем введения рисковой надбавки исчерпаны, компания привлекает свои средства. Если величина начального капитала рассчитана правильно, то он расходуется и пополняется таким образом, что (в среднем) не возрастает и не убывает. Отметим, что излишний начальный капитал — это средства, извлеченные из оборота. Они не приносят дохода (или приносят значительно меньший доход, чем возможно), поэтому, слишком большой резерв не целесообразен. К тому же для предпринимателя важно соотношение между своими средствами и привлеченными (собранными премиями).

Но и снижение капитала недопустимо, так как может помешать компании выполнить свои обязательства, и тем самым подорвать доверие к страховой компании, да и к страховому бизнесу в целом. Поэтому государственные органы, курирующие страховой бизнес, особенно жестко контролируют именно эту сторону деятельности страховых компаний.

Повысить надежность можно путем перестрахования, однако за услуги перестраховочной компании надо платить, в то время как свой капитал остается в своем распоряжении. Поэтому актуарий обязан тщательно просчитать все возможные варианты перестрахования и сконструировать оптимальную комбинацию надбавки, капитала и перестрахования, обеспечивающую решение многоцелевой задачи: высокую надежность и конкурентоспособность, и еще прибыль. (До сих пор не упоминалась нагрузка, включающая расходы на ведение дела превентивные мероприятия, а также прибыль акционеров).

Общая схема функционирования страхового общества может быть представлена следующим образом. Имеется однородное множество договоров, число которых достаточно велико, а вероятность наступления страхового случая в каждом отдельном договоре очень мала и приблизительно одинакова для каждого конкретного клиента. Страховая сумма, выплачиваемая клиенту при наступлении страхового случая, в простейшем случае также одинакова.

Актуарий должен решить для данной страховой компании следующие задачи:

* определить величину рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств и риска у страховщика и страхователя;

* определить величину рисковой надбавки;

* определить величину страхового запаса (капитала), обеспечивающего выживание (неразорение) компании с определенной надежностью;

* проанализировать возможность повышения устойчивости компании с помощью перестрахования и рассчитать плату за перестрахование при различных условиях договора и перестраховании;

* оценить положение компании на страховом рынке и в зависимости от ситуации сформулировать подтвержденные расчетами рекомендации по укреплению позиций компании.

Важно отметить, что конкретного клиента интересует только его собственный договор, то есть индивидуальный риск. Для отдельного клиента страховой случай может либо наступить с вероятностью, либо не наступить с вероятностью. Следовательно, страхователь рискует премией с вероятностью, а страховщик рискует разницей между страховой суммой и полученной премией с вероятностью. Поэтому принцип эквивалентности риска сторон (при отсутствии индексации) приводит к уравнению:, отсюда: .

Если договоров несколько, то компанию интересует не отдельный договор и наступление случая в нем, а общее число случаев для всего портфеля и сумма всех выплат, т. е. коллективный риск по всему портфелю. Все страхователей внесут в виде премии по, в среднем следует ожидать страховых случаев, в каждом из которых придется выплатить возмещение, т. е., или. Результат тот же. Рисковая премия не зависит от числа договоров в портфеле, но рассчитанная на основе рисковой премии нетто-премия зависит от. Соответственно, это отразится и на брутто-премии (где добавится влияние еще и третьих факторов).

Если размер выплаты фиксирован, то можно оперировать числом страховых случаев, т. е. имеет место биномиальный закон распределения, поэтому (при малой вероятности страхового случая в отдельном договоре) для однородного портфеля общее число случаев за срок действия договора подчиняется закону Пуассона. Отметим, что при определенных условиях оба распределения можно аппроксимировать нормальным законом. При распределенной величине ущерба, если портфель качественно однороден, т. е. не содержит резко выделяющихся наблюдений (договоров), то согласно закону больших чисел суммарный ущерб в портфеле подчиняется нормальному закону.

Данное обстоятельство объясняет причину широкого применения указанных распределений (а также тесно связанных с ними других законов) в актуарных расчетах. Например, если число случаев за единицу времени подчиняется распределению Пуассона, то длительность временного интервала между двумя очередными случаями подчиняется экспоненциальному распределению.

Вначале для упрощения будем считать, что размер выплат фиксирован. Тогда общий убыток страховщика пропорционален числу страховых случаев. Если объем однородного портфеля велик, а вероятность страхового случая в одном договоре мала, то применима пуассоновская аппроксимация. Наибольшее значение плотности в точке (интенсивность потока заявок или математическое ожидание количества заявок — исков о возмещении понесенного ущерба). Как было показано ранее, если страховая сумма, выплачиваемая при наступлении страхового случая, во всех договорах постоянна и равна, а единовременная страховая премия, вносимая клиентом для обеспечения эквивалентности риска, равна, то из равенства собранной суммы взносов и общей суммы выплат следует:. Результат совпал с полученным ранее, как и должно быть.

Однако нетрудно заметить, что собранная сумма взносов (рисковых премий) обеспечивает выплату компенсаций только при благоприятной для страховщика ситуации, когда фактическое число случаев не превосходит его математического ожидания:, т. е. при таких условиях помощь может быть оказана только первым клиентам. При меньшем количестве случаев компания сохраняет часть невостребованных средств. Но нельзя обращать эту сумму в прибыль, она должна быть направлена в страховой фонд (резерв) на случай превышения фактического числа выплат над ожидаемым в следующем году.

На практике возможно использование остатка для распределения между страхователями, у которых не было страховых случаев (в виде поощрения), или эти средства можно пустить в оборот, чтобы в дальнейшем вернуть клиентам несколько большую сумму. Важно, что эта часть средств, собранных с клиентов (но не истраченных на выплату возмещений), не становится собственностью (или даже доходом) компании, а продолжает принадлежать совокупности клиентов и должна использоваться в их интересах.

1.5 Анализ риска страховщика и путей его снижения

События могут развиваться и по неблагоприятному для компании сценарию, когда уже на начальном этапе (в первый год) сумма выплат превысит сумму собранных рисковых премий. Тогда компания будет в состоянии выплатить компенсацию лишь первым пострадавшим клиентам за счет собранных рисковых премий.

Каждый разумный клиент понимает, что такая ситуация может ударить по нему, если именно он окажетсям, поэтому он согласен заплатить несколько больше, чем рисковая премия, чтобы избежать этого. Эта идея и лежит в основе рисковой надбавки, которая добавляется к рисковой премии для обеспечения безубыточности и повышения устойчивости компании. Сумма этих двух составляющих называется нетто-премией.

Однако и из соображений разумности, и из-за конкуренции эта надбавка не может быть слишком большой. Важно, сколько дополнительных страховых случаев (сверх ожидаемого) она покрывает. Это зависит от поведения кривой плотности распределения справа от точки. Чем круче она убывает, тем эффективнее работает надбавка (меньший процент надбавки по отношению к рисковой премии обеспечивает большой процент вероятности неразорения компании).

Если рисковая надбавка отсутствует, то весь последующий риск (после) компания вынуждена обеспечивать за свой счет: либо увеличивать начальный капитал из своих средств, либо обращаться к перестраховщику, оплачивая его услуги из своих средств (все собранные рисковые премии полностью возвращаются клиентам в виде страховых возмещений, в среднем!).

Таким образом, как будет видно в дальнейшем, надбавка используется для повышения надежности компании, но пути достижения этой цели (и соответственно, использования надбавки) могут различаться.

Итак, наибольшая доля риска страховщика покрывается собранными рисковыми премиями (около 60%) и рисковой надбавкой, которая в зависимости от вида страхования и поведения кривой плотности распределения составляет 10−20%. Далее начинается зона ответственности капитала (начального резерва). Очевидно, что создание слишком большого резерва нецелесообразно из-за того, что средства, отвлеченные в резерв, либо вообще не приносят доход либо приносят его значительно меньше, чем при инвестировании. Создание резерва — необходимость, направленная на повышение надежности.

Возникает задача поиска разумного компромисса между величиной резерва и надежностью. Поэтому величина резерва может меняться в зависимости от ситуации (подотрасли страхования, конкретного вида кривой плотности распределения риска, процентной ставки, политики компании на страховом рынке и т. д.). Соответственно меняются и границы зоны ответственности резерва за риск, причем как правая, так и левая.

Дело в том, что в зависимости от ситуации на рынке компания иногда вынуждена уменьшать величину рисковой надбавки. Соответственно уменьшается вероятность неразорения. Поэтому для поддержания устойчивости на прежнем уровне необходимо расширить зону ответственности резерва, т. е. увеличить резерв (привлечь дополнительный собственный капитал).

Другой причиной увеличения резерва может быть слишком большая плата за перестрахование. Тогда компания вынуждена уменьшить долю риска, передаваемого на перестрахование, и соответственно увеличить резерв. Наконец из-за общей экономической ситуации эффективность инвестиций может снизиться, и компании выгоднее увеличить резерв, но при этом снизить передаваемый в перестрахование риск и плату за него.

На практике начальный резерв создают таким, чтобы он вместе с рисковой премией и рисковой надбавкой обеспечил вероятность неразорения в пределах 90−95%, а на перестрахование передают последующий риск. Таким образом, ответственность перестраховщика начинается с указанной надежности, и он обеспечивает дальнейшее повышение надежности, например, до 95−99%.

Заметим, что ни одна компания в отдельности, ни группа компаний, работающих по принципу взаимного страхования, не в состоянии обеспечить 100% надежности (вероятности неразорения). Для этого им необходим резерв такого объема, который вместе с собранными премиями был бы в состоянии обеспечить выплату всех страховых возмещений. Если предположить, например, что вероятность страхового случая, то собранные рисковые премии обеспечивают покрытие только 10% совокупности страховых сумм.

Это означает, что совокупность страховых компаний перед началом работы на страховом рынке должна иметь свои резервы в размере 90% от совокупности страховых сумм, т. е. в 9 раз больше суммы премий, которые им только еще предстоит собрать. А с учетом возможности возникновения страховых случаев у всех клиентов одновременно сразу после внесения первого взноса (и начала ответственности страховщика!) это соотношение приближается к 10, что делает страхование как бизнес невозможным.

Таким образом, риск предпринимателя в страховом бизнесе состоит в невозможности обеспечить 100% надежности. Поэтому в страховании можно говорить только о вероятности неразорения за конечный интервал времени. На бесконечном интервале вероятность разорения любого страховщика равна единице!

1.6 Перестрахование и формы его организации

Перестрахование — это тоже страхование (страховщика, который выступает в роли клиента, называют «цедент»), и формы его организации различны. Существуют как компании, занимающиеся исключительно перестрахованием, так и сочетающие обычные виды страхования с перестрахованием. Есть объединения компанийпулы, члены которых (по определенным правилам) передают части своего риска всему пулу, а он перераспределяет полученный суммарный риск между членами пула.

Перестраховочные соглашения также различаются. Условно их можно классифицировать по критериям:

* факультативное индивидуальное перестрахование/перестрахование на основе обязательного договора;

* пропорциональное/непропорциональное;

* перестраховочное покрытие на основе равных ставок/с переменными премиями.

При факультативных соглашениях цедент свободен предложить отдельные риски одному или нескольким перестраховщикам, а они могут принять риск весь или часть его или отказаться. Договорное (облигаторное) перестрахование относится не к отдельному риску, а ко всему портфелю (или субпортфелю), и стороны сдают и принимают все риски, обусловленные договором.

Оба перечисленных договора могут быть как пропорциональными (отношение перестраховочной премии к брутто-премии равно отношению перестраховочного убытка к брутто-убытку для каждого перестрахованного риска в отдельности), так и непропорциональными.

Существует два основных типа пропорциональных договоров: квотный и эксцедентный.

Квотный предусматривает передачу фиксированного процента от каждого риска перестраховочного портфеля. Соответственно передается процент с исходных брутто-премий и выплачивается процент возмещений. Перестраховщик комиссионными оплачивает цеденту привлечение страхователя. Соотношение действительных расходов и комиссионных определяет прибыль или убытки на этой статье.

Эксцедентный предусматривает для каждого риска удержание не более определенной максимальной суммы (различающейся по классам риска). Избыточная часть риска передается до определенного предела (например, до 10-кратного удержания). Премии и возмещения делятся пропорционально отношению страховых сумм. Есть комиссия, уступаемая перестраховщиком цеденту.

Договоры о перестраховании могут заключаться для предотвращения разорения вследствие катастрофических выплат, которые практически непредсказуемы. Например, страховая компания заключает договор о непропорциональном эксцедент-ном перестраховании, согласно которому уровень собственного удержания составляет 10 000 у.е. Это означает, что при возникновении больших убытков (превышающих указанную сумму) страховщик выплачивает из своих средств только эти 10 000, а все, что больше этой суммы, оплачивает перестраховщик. Для определения цены договора о перестраховании необходимо распределение большого ущерба.

Рисковая премия при перестраховании будет равна математическому ожиданию ответственности перестраховщика, которое в свою очередь составит интеграл по отрезку, определяемому границами ответственности перестраховщика:

.

2. Анализ риска субпортфелей на страховом рынке

2.1 Рисковая надбавка

Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть компания имеет однородный портфель договоров с одинаковыми страховыми суммами и вероятностями наступления страховых случаев. Компанию интересует не только среднее число случаев, но и величина возможного превышения этого значения и вероятность такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью интегральной теоремы Лапласа [5, с. 42]:

(В более общем случае, когда эта теорема неприменима, используется неравенство Чебышева.)

Пусть число договоров , — вероятность наступления страхового случая, тогда — среднее ожидаемое число случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число случаев не превысит некоторого заданного значения Если срок действия договора один год, то какова должна быть эта граница, чтобы она превышалась не чаще, чем 1 раз в 25 лет?. Какова при этом рисковая надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценим конкурентоспособность компании.

.

Вероятность нарушения правой границы:, тогда; и по таблице функции Лапласа находим: абсолютная надбавка, относительная надбавка

При относительной надбавке 16,62% можно считать с надежностью 0,96 (нарушение не чаще одного раза в 25 лет), что число страховых случаев не превысит. (Округлять можно только в большую сторону) С позиции конкурентоспособности 17% велика, а вероятность разорения (раз в 25 лет) слишком велика (по западно-европейским стандартам). Попытаемся изменить условия. Пусть мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет).

Здесь и. Следовательно,, т. е. надбавка увеличилась почти в 1,33 раза и достигла 22,1% - слишком много (для нашего примера),

Округляем до ближайшего целого числа: 123. Тогда .

Найдем надежность, которую может обеспечить надбавка в 10%:

;;; .

Итак, вероятность разорения достигла 0,145 (один раз в семь лет!), что совершенно неприемлемо.

В данном случае неприятности страховщика вызваны противоречием между относительно высокой вероятностью наступления страхового случая 0,1 и сравнительно небольшим объемом страхового портфеля п = 1000.

Проанализируем ситуацию у другого страховщика, который имеет дело с такими же рисками р = 0,1, но объем портфеля у него в 10 раз больше: .

Итак,, ,, ,. Если, то;; ,, т. е., то относительная надбавка составляет 53/1000=0,053 против 0,17 — уменьшилась втрое (!). Это означает, что на каждую тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он разорится (здесь не рассматриваются другие пути повышения надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании выживают, а мелкие разоряются.

Пусть крупная компания () стремится обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (1 раз в 100 лет). Тогда, ,; относительная надбавка 70/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно преимущество.

Очевидно, что для большой компании целесообразно остановиться на варианте: вероятность разорения 0,01 и надбавка 7%. При этом она решает задачу обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для компании.

Малая компания не имеет ни одного приемлемого варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию, но у малой компании и своих средств мало.

Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению (точнее, превышению) фактического числа страховых случаев т от ожидаемого я-рна каждые 100 договоров (при одинаковой надежности). Например, вероятность разорения. Тогда для малой компании получили надбавку 23%, поэтому на каждые 100 договоров у этой компании с вероятностью 0,99 число страховых случаев не превысит:

а для большой компании правая граница доверительного интервала при надбавке в 7% будет равна, т. е., в среднем, на полтора случая меньше.

Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли средняя относительная рисковая надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности (7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только потому, что она большая!). Она даже может снизить свой тариф (по сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по 107 единиц по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 123 у малой компании, и тем самым вытеснить конкурентов с рынка, ничем при этом не рискуя.

Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных компаний. (Этим отчасти объясняются опасения отечественных страховщиков, связанные с последствиями прихода на российский рынок их западных коллег.)

Если актуарные расчеты показали, что компания не в состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем перестрахования.

Потенциальному страхователю следует обратиться в крупную компанию, имеющую большой однородный портфель аналогичных договоров. Здесь ему предложат более выгодные условия (тариф ниже при более высокой надежности).

Отметим:

Рисковая премия + Рисковая надбавка= Нетто-премия.

Если нагрузка на ведение дела составляет фиксированный процент от тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на ().

2.2 Нетто-премия

Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии — относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом.

В страховании принято оперировать специальной денежной суммой — единицей страховой суммы (е.с.с), зависящей от валюты страны, например, 1 е.с.с. = 100 руб.

Рассмотрим пример. Индивидуальный иск принимает три значения: 0; 1; 4 е.с.с. с вероятностями 0,9965, 0,0030, 0,0005 соответственно. Найти нетто-премию.

Среднее значение и дисперсия индивидуального иска:

Тогда условия обеспечения 95%-ой надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: используя рисковую премию и учитывая число договоров; найдем нетто-премию:

Тогда относительная надбавка равна:

Итак, рисковая премия равна 0,0050; рисковая надбавка равна 0,0017; нетто-премия равна 0,0067; брутто-премия (при) составит: 0,0067/0,88=0,76, это превысит рисковую премию в 1,5 раза.

2.3 Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации

Продолжим рассматривать вышеизложенную задачу (о рисковой надбавке).

Напомним: надо исследовать процесс:

Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. Для надежности 96% (если то) необходимо иметь возможность оплатить случаи до 117-го включительно. Отметим, что 117-ый случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 116,6 до ближайшего целого большего числа. Надо обеспечить возможность выплаты страховой суммы по 117 случаям. Действительная вероятность разорения при этом составит:

Надежность несколько выше, чем требует Страхнадзор.

Если на рынке установилась средняя относительная рисковая надбавка 10%, то произвольно повысит её до 16,6% (или до 17%) страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) — создавать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.

Рассмотрим первую возможность. Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых случаев, т. е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен, а не

Анализируем вторую возможность. Предположим, что на перестрахование передаются случаи от 111-го до 117-го включительно. Это означает, что если число случаев превысит 117, то перестраховщик оплачивает указанные случаи, а все следующие возмещает цедент. Поэтому будем использовать локальную теорему Лапласа (так как размер выплат фиксирован) и найдем вероятности:

Например,

Так получены вероятности: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятность придется искать по интегральной теореме Лапласа:

Тогда математическое ожидание выплат перестраховщика равно:

Это и есть рисковая премия в перестраховочном договоре.

Если известна относительная надбавка у перестраховщика, то можно найти нетто-премию в этом договоре. Например, тогда: (Около 2/3 одной страховой суммы.) Следовательно, цедент имеет альтернативу: либо держать резерв в 7 страховых сумм, либо безвозвратно заплатить перестраховщику 2/3 одной страховой суммы. Если цедент может инвестировать свои временно свободные средства под процент, больший, чем 0,654/7,0=9,4%, то перестрахование может быть оплачено за счет прибыли.

Если у страховщика своих средств для резерва нет (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.

При страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений:, а второй — все остальное:. Наконец, при риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай этой ситуации. Он не создает резерв и не вносит в перестраховочный договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м страховом случае. Если произойдет 118-й страховой случай, перестраховщик оплатит лишь 7 случаев, возникает техническое разорение цедента).

Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в этом году единовременная суммарная нетто-премия).

Он собрал взносов на сумму:, а средние ожидаемые выплаты составляют, поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.

Весь риск X можно разбить на три части: Y — риск страховщика, Z — риск перестраховщика, W — необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W, тогда M (X)=M (Y)+M (Z)+M (W). При расчете дисперсий следует учесть ковариацию. Для анализа дисперсии (и процесса в целом) надо выбрать аппроксимацию. Поскольку, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.

Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных изменением закона распределения. Например, потерей «хвостов» нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывными, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т. д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т. е. общий ущерб в портфеле кратен числу страховых случаев, то локальная теорема предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности.

Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее (!).

Итак, надо найти M (X), M (Y), M (Z) (и возможно, M (W)).

Для нормального закона распределения плотность выполняется условие:

тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0,n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем