• свойство непрерывности по второму аргументу: У, ?) — f (x, s, ?) < ш (s — s, О (0.5) для любых СеШ^, $, s’elR и п.в. где w (t): [0,оо) —^ [0, ш] — непрерывная функция такая, что w (0) = 0.
Предполагается доказать теоремы компактности относительно Г-сходимости в классе (0.4)-(0−5) при некоторых дополнительных условиях на показатель.
2. Приведем некоторые факты и определения из абстрактной теории Г-сходимости. Пусть X — метрическое пространство. Будем рассматривать функции (функционалы) F, Fn: X ^ [-оо,+оо].
Определение 0.1 Функция F называется Г-пределом последовательности Fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу lim inf F (un) > F (u) как только tin —Щ.
П-+00.
2) для любого и € X существует последовательность ип, такая что ип и, lim iv (un) = F (u). n-ioo.
Справедлив следующий принцип выбора: из каждой последовательности функций Fnf заданных на сепарабелъном метрическом пространстве X, можно извлечь Г-сходящуюся подпоследовательность.
3. Дадим абстрактное описание эффекта Лаврентьева, который играет существенную роль при изучении Г-сходимости интегрантов с нестандартными условиями коэрцитивно-сти и роста. Пусть функционал F полунепрерывен снизу на X и S есть плотное в X множество. Определим релаксационный функционал равенством.
F (u) = inf lim F («n). (0.6) t (n€S"n-Ml.
Релаксационный функционал F также полунепрерывен снизу на X и F < F на X. Эффектом Лаврентьева называют не только неравенства вида Е<�Е2, см. (0.3), но и саму ситуацию, когда F ф F. Если для допредельных функционалов Fn имеет место эффект Лаврентьева, то с последовательностью функционалов Fn можно связать два в общем случае не совпадающих предельных объекта.
Гlim Fn и Гlim Fn. (0.7).
II-+00 n-юо.
Первый из них далее обозначается как IVlim Fn, а второй — r2-lim Fn.
3. Рассмотрим функционалы F (u) на соболевском пространстве И/1,о (0), а > 1, для которых выполнено неравенство коэрцитивности.
F (u) > c||Vu||?e (n) — 1, о 0.
0.8).
Для этого класса предпочтительнее использовать определение Г-предела в терминах слабой сходимости в W1, a (?i), подробное изложение приведено в § 1 диссертации.
Определение 0.2 Функция % есть Г-предел последовательности Fn на если.
1) выполнено условие полунепрерывности снизу liminf> как только ип -1- и в W1, a{ti).
2) для любого u€W1,a (fi) найдется последовательность ип такая, что ип u€Wha (Q), lim Fn (un) = *(«). пчоо.
Нетрудно показать, что оценка (0.8) сохраняется при переходе к Г-пределу. Применяя результаты абстрактной теории Г-сходимости, получаем следующий результат о компактности: класс функционалов, подчиненных оценке (0.8), компактен относительно Г-сходимости, понимаемой в смысле определения 3.
4. Начнем с определений Г-сходимости интегрантов (функционалов) класса (0.2), введенных В. В. Жиковым в работах [15], [18].
Определение 0.3 Интегрант f есть Fi-предел последовательности /", если 1) выполнено неравенство liminf / fn (x, VunWx > f f (x, Vu) dx, Ja Jа как только «&bdquo—'ив.
2) для любого найдется последовательность ипеИ1, а (П) (называемая Г1реализующей), такая что ип и в wl, e (fi), ип — uew01, e (n), lim / /п (х, Vun) dx = I f (x, Vu) dx.
Jn Jii.
В определении Гг-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последовательности и-п пространству Два варианта Г-сходимости интегрантов соответствуют двум абстрактным предельным объектам, см. (0.7). Известны примеры [17] несовпадения Г] и Гг-пределов,.
Пример 1. Пусть /(у, ?) — периодический по уёИ** интегрант,? = [0,ячейка периодичности. Положим — / (|,?),? > 0, и определим усредненные интегранты и Jо $от (() = [ ¡-{Х,£ + Чи) с1,х, где Ир^(О) — соболевское пространство периодических функций. Как известно, задача усреднения представляет собой частный случай нахождения Г-предела, при этом.
Г1-Шп Д = ЛЬот> Г2- Ит Л = УГ" .
В работе [17} построен пример интегранта, для которого выполнено строгое неравенство /1Ьот < /2Ьот.
Имеет место следующий принцип компактности, доказанный В. В. Жиковым в работе 118].
Принцип компактности. Для всякой последовательности /" интегрантов из класса (0.2) найдется подпоследовательность /"/ и интегрант / из класса (0.2) такие, что /"" / в любой липшицевой подобласти области П.
Аналогичное утверждение верно для случая Г2-сходимости. г.
Далее, говоря о Г-сходимости /" в области Г!, предполагаем, что /" —> / в любой липшицевой подобласти области П. В таком случае нетрудно показать единственность Г1- и Гг-предела. Именно это свойство единственности позволяет говорить о сходимости интегрантов, а не только о сходимости интегральных функционалов.
5. Перейдем к классу интегрантов (0.4)-(0.5). Соответствующий функционал Р (и) считаем заданным на всем соболевском пространстве Ил1, С1(!Г2), где он может принимать значение +оо. Имеет место вложение где от*" = Р{и) < оо}.
Функционал Г (и) слабо полунепрерывен снизу на сильно непрерывен на пространстве VI/*1″ 5 (?7) и коэрцитивен на .
Определение 0.4 Интегрант / есть Г 1-предел последовательности /п, если.
0.9.
1) выполнено неравенство liminf I fn{x, UntVun) dx > I J (x, u, Vu)dx, Jn in как только un —1 «в (О);
2) для любого uGVl/1'?(f2) найдется последовательность UnG^'^ffi) (называемая Г-реализующеU), такая что.
Un^UB ип — tiGM^fi), lim / fn (x, un, Vun) dx = / /(x, u, Vu).
В определении-сходимости требуется принадлежность аппроксимирующей последоваг тельности ип пространству H/1*-t'(Q).
6. Нашей целью является доказательство теоремы о компактности относительно Ti и Г2-сходимости для класса интегрантов (0.4)-(0.5). Основным вспомогательным средством будет Г-сходимость при «замороженном» параметре s€lR. Обозначим этот промежуточный тип сходимости через Г (з).
Определение 0−5 Интегрант f есть Г ^s)-предел последовательности fn, если 1) выполнено условие полунепрерывности снизу liminf / fn (xy s, Vun) dx > / f (x, Vu) dx, VsSlR, in Jn как только u" —1 u в W1, a (fi) — 2) для любых и s€lR найдется последовательность Un€Wl'a (U) такая, что ип^и в И^П), u" - u€W01,e (il), lim I fn (x, st Vun) dx = I J (x, s, Vu) dx. Jn Jn.
Определение Г2(5)-предела отличается от определения Г^^-предела тем, что в условиях 1) и 2) аппроксимирующая последовательность ип принадлежит пространству (П).
Для каждого фиксированного э по принципу компактности Жикова из последовательности интегрантов /"(•, 5, *) можно извлечь Г-сходящуюся подпоследовательность. Используя диагональный процесс, найдем последовательность {га'}с{п} и интегрант /(х, з,?), такие что /Аз, 0 ^ /(¦>"" О для любого рационального 5 € <0>. Предельный интегрант /(х, наследует свойства (0.4), (0.5), в которых пока 5 € ОПо непрерывности Г!-предельный интегрант продолжается на все множество 5 € Ш,. Построенный таким образом предельный объект принадлежит классу (0.4)-(0.5). Доказан следующий результат о компактности: из каждой последовательности /п интегрантпов класса (0.4)-(0.5) можно извлечь Г^) — и Го (я)-сходящуюся подпоследовательность.
Оказывается, что при условии на показатель а>с1 последовательность Г^)-сходящихся интегрантов класса (0.4)-(0.5) будет Г^сходящиейся в смысле определения 4. Аналогичное утверждение верно относительно Гг-сходимости.
Основной результат первой главы составляет Теорема 1,1 Рассмотрим класс каратеодориевых интегрантов /(х, ?), для которых выполнены г) условие выпуклости по.
И) нестандартные условия коэрцит. ивности и роста, см. (0.4) — Ш) свойство типа липшицевости по второму аргументу, см. (0.5) — п>) дополнительное ограничение на показатель: а > ё.
Тогда Г1 (в)-сходящаяся последовательность интегрантов является Т х-сходящейся. Аналогичное утверждение справедливо и для Го — сходимости.
Следствием теоремы 1.1 является следующий принцип компактности.
Теорема 1,2 Класс выпуклых по? интегрантов, удовлетворяющих условиям (0.4)-(0.5) при а>й, компактен относительно Г!- и Г2- сходимости.
Теоремы 1.1 и 1.2 доказаны в работе [10]. Заметим, что условие а><1 является существенным в наших рассмотрениях. Оно позволяет эффективно использовать свойство непрерывности (0.5). Без условия а>д доказательство компактности остается открытой проблемой.
7. В абстрактной теории устанавливается, что Г-сходимость функционалов при определенных условиях влечет сходимость минимумов и минимизантов (см., например, А. Вгалёез [1]). Для изучаемых нами интегральных функционалов этот вопрос требует отдельного рассмотрения из-за эффекта Лаврентьева. Изучим эту ситуацию подробнее на примере задачи Дирихле. Рассмотрим вариационные задачи.
0.10).
Отметим одно различие задач Ei и Е?. Минимум в задаче Ei достигается по теореме Вейерштрасса — Тонелли, поскольку интегральный функционал слабо полунепрерывен снизу и коэрцитивен на ^'" (fl), В задаче Ei минимум может не достигаться, но в этом случае по определению инфимума существуют так называемые г-минимизанты. Для интегрантов /" рассмотрим задачи двух типов min / fn (x, u, Vu)dx, Е^ = inf / fn (x, u, Vu)dx. Jn Jn.
Если f = Гг lim /", то возникает вопрос о сходимости энергий i?}" '. Идеальным ответом была бы сходимость lim Е[п) = Ег. (0.11) п-юо.
В ряде случаев указанная сходимость энергий, действительно, наблюдается. Однако, в общем случае можно говорить лишь о неравенствах.
El = min Fi и) < lim inf < limsupEjn) < inf F (u) = E2. (0.12) n-too.
Из неравенств (0.12) следует, что для сходимости энергий Е[п^ достаточно равенства энергий двух типов в задачах (0.10) с Гi-предельным интегрантом /. Это приводит к следующему определению регулярного интегранта. Определение 0.6 Назовем интегрант / регулярным, если для любого и € И1'&trade-^), такого что F (u).
Из определения видно, что в случае регулярного интегранта задачи первого и второго типа в (0.10) совпадают, поэтому имеет место сходимость энергий (0.11). 8. Много задач на усреднение связано со степенными интегрантами вида.
Степенной интегрант (0.13) принадлежит классу (0.2), является строго выпуклым и дифференцируемым по аргументу Возникает вопрос, сохраняются ли эти свойства при Гсходимости степенных интегрантов. Заметим, что сама степенная структура в пределе теряется.
Пример 2. Рассмотрим задачу усреднения для последовательности интегрантов f (y, 0 ~ ^ф/с) ' где /(У'О периодическая по у функция с ячейкой периодичности? = [0, l)</*(?) = sup{? * т} — g (v)} - это сопряженная по Юнгу — Фенхелю функция. Возьмем кусочно-постоянный показатель р{у), принимающий значения р и р2* Тогда интегрант (/hom)*(f) есть сумма степенных интегрантов с разными показателями р и р'2. Отсюда видно, что сам усредненный интегрант /hom (?) не является степенным. Это следует из свойств операции сопряжения, приведенных в главе 2 (см. свойства i), ii) в § 6)..
Пример 3. Степенной интегрант очевидно изотропен, то есть зависит только от Изотропия не сохраняется при переходе к Г-пределу, что показывают примеры усреднения в случае квадратичного интегранта. Действительно, при d = 2 рассмотрим интегранты где а (у) > 0 — непрерывная, периодическая функция, (о) — среднее по периоду. Из теории усреднения известно, см. 19] стр. 12, что.
Y-Ximh = {a)g + (a-lrltl откуда видно, что предельный интегрант не изотропен..
К важнейшим свойствам степенных интегрантов относятся.
• Д2-условие: }{х, ±-Ц) < c (f (x, ?) + 1) —.
• строгая выпуклость по.
• дифференцируемость по.
Наша цель состоит в проверке этих свойств для интегрантов класса S (a, ?). Сформулируем центральные результаты второй главы..
Теорема 2.1 Интегранты f (x,?) класса S (a, ?) строго выпуклы по? для п.в. x€ii, то есть.
Теорема 2.2 Интегранты /*(х, 7}), сопряженные по Юнгу к интегрантам класса в (а, р), строго выпуклы по 17 для п.в. х&Л..
Из теорем 2.1 и 2.2, а также общих свойств выпуклых функций следует, что Г-предельный интегрант дифференцируем по С Действительно, выпуклая функция /(?) не обязательно дифференцируема, можно говорить лишь о существовании субградиента в точке. Напомним, что вектор т^еШ^ называют субградиентом /(?) в точке ^оёП^, если.
Из выпуклого анализа известно, что функция /(?) является дифференцируемой в точке, если ее субградиент единственен, что в свою очередь выполнено в случае строгой выпуклости сопряженной функции /*(?). Из этих соображений и теоремы 2.2 следует Теорема 2.3 Интегранты /(х, ?) класса в (а, /5) и сопряженные к ним дифференцируемы по.
Теоремы 2.1, 2.2, 2.3 доказаны в работе [10]..
Еще один результат, касающийся равномерной выпуклости, удалось получить только в случае, а > 2. Справедлива следующая теорема..
Утверждение 2.4 Для интегрантов класса 5(а, /?), 2 < а < р (х) < /?, выполнено свойство равномерной выпуклости.
9, Во многих вопросах важно выяснить, когда слабый предел произведения го?-где ь) е — соленоидальный вектор, равен произведению слабых пределов ш* Уи. В классической лемме о компенсированной компактности Тартара — Мюра [12] установлена сходимость при условии, а — р. В Главе 3 диссертации доказаны новые варианты леммы о компенсированной компактности, в которых, а < ?3. Отправной точкой послужили недавние ре.
ДО-/(&-)>"*¦ К^еи". (*, + / (х, < {Цх, 0 + /(х,))..
0.14) зультаты В. В. Жикова и С. Е. Пастуховой [20], [25]. В этих работах устанавливается слабая сходимость произведения ю£ ¦ к произведению слабых пределов и> • V" с точностью до сингулярной компоненты и>£ ¦ Чи^йх ф, — ЧисЬс + где ¿-а®- - сингулярная (относительно меры Лебега йх) мера. Примеры показывают, что сингулярная компонента может быть нетривиальной. Наша цель — найти такие случаи, когда сингулярная компонента отсутствует. Предположим, что щ ->¦ и в Ж1л (П), ы^-шъ 1/(Л)л, = 0. (0.15).
Имеющееся в лемме Тартара — Мюра условие ограниченности множителей У ии&euroво взаимно сопряженных лебеговых пространствах заменим на более общее условие вида.
I ?е{х^и,)йх, I Я (х}юг)<�Ь < С < оо, (0.16).
УП Jil где интегранты /е удовлетворяют нестандартным условиям коэрцитивности и роста с показателями а) /3, такими, что.
-М-, если, а ,.
-*' (0.17) оо, если, а > д..
Теорема 3−1 Пусть для регулярных интегрантов /е класса (0.2) Д^-условие выполнено равномерно по е. Предполагаем также, что /? —" /, где / - регулярен. Тогда, в предположениях (0.15)-(0.17) имеет место слабая сходимость мер гу£ • «Чисдх —1 ш * ^ийх..
Приведем примеры, в которых предположения теоремы 3.1 выполнены. Пример 4- Пусть /?=/ и / = /(?) — выпуклый интегрант, удовлетворяющий Д3-условию и оценке (0.2). Тогда условие (0.16) принимает вид f (Vue)dx, I f*(we)dx < С < оо. Ja Ja.
Регулярность выпуклого интегранта /(?) хорошо известна, см. [32]. В случае /(?) = получается классический результат Тартара — Мюра..
Пример 5. Пусть fe (x, ?)=l?lPtW ~ степенной интегрант, где рс (х)= р (|) и р (у) — периодическая функция HaIRd, i.
.