Вопросы аппроксимации решений вырождающихся эллиптических уравнений и уравнений смешанного типа

Исследование дифференциальных уравнений в частных производных смешанного типа и уравнений, допускающих вырождение типа на границе области является одним из важных направлений современной теории уравнений в частных производных* Эти уравнения имеют большое прикладное значение, они возникают при решении задач газовой динамики, безмоментной теории оболочек и т. д.

В теории вырождающихся уравнений и уравнений смешанного типа основополагающими являются работы Ф. Трикоми Jl] и С. Гел-лерстедта [2]. Важные результаты в этой области были получены также Ф. И. Франклем [з], М. В. Келдышем [?], М. А. Лаврентьевым [5J, А. В. Бицадзе [б]и др. Ими были сформулированы основные краевые задачи и предложены методы их решения.

Предлагаемая работа посвящается исследованию вопросов аппроксимации решений краевых задач как для эллиптических уравнений с вырождением на границе области, так и для уравнений смешанного типа.

В комплексном анализе K. PyHrejY], Дж. Уолш[8], М. В .Келдыш^], М. А .Лаврентьев [iof, С. Н. Мергелян [ilj и др. подробно изучили проблему аппроксимации аналитических функций функциями специального вида, в частности, полиномами. Исследования в этом направлении ведутся интенсивно и в настоящее время. Поскольку действительная и мнимая части аналитической функции одного комплексного переменного есть решения уравнения Лапласа, то параллельно решена аналогичная проблема и для гармонических функций с двумя независимыми переменными. Естественным обобщением этой проблемы является аппроксимация решений произвольног о эллиптического уравнения некоторыми частными решениями этого не уравнения. Так, например, И.Н.Векуа[12] обобщил теорему Уолша о равномерной аппроксимации аналитических функций полиномами в замкнутой области для случая решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными.

В настоящей работе устанавливается несколько теорем, обобщающих отмеченную выше теорему Уолша для решений линейных эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, вырождающихся на границе области, а также для решений модельного уравнения смешанного типа.

Первая глава диссертации основана на известных результатах теории краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка, вырождающихся на границе области их задания, в частности, для уравнений где т^О, а аД Снекоторые аналитические функции своих аргументов, причем С $ 0. Оба эти уравнения рассматриваются в областях, лежащих в верхней полуплоскости >0, примыкающих вдоль некоторого отрезка к оси tj — 0, на которой они параболически вырождаются. Известно, что для уравнения (I) имеет место теорема существования и единственности решения задачи Дирихле, а для уравнения (2) разрешимость задачи Дирихле зависит от показателя vw и коэффициента %. В случаях, когда задачи Дирихле для уравнения (2) не всегда разрешима, корректно поставлена задача Е, в которой носителем граничных данных является часть границы области, лежащая в полуплоскости гр 0 [i, б].

Основными результатами первой главы являются две теоремы, Одна из них посвящается построению системы частных решений специального вида как для уравнения (I), так и для уравнения (2) в тех случаях, когда для него корректно поставлена задача Дирихле. В ней доказывается, что решение задачи Дирихле с непрерывными граничными данными аппроксимируется в замкнутой области линейными комбинациями частных решений с любой наперед заданной точностью. Во второй теореме строится система ограниченных частных решений уравнения (2) в тех случаях, когда задача Дирихле перестает быть корректно поставленной и доказывается, что решение задачи Е с непрерывными граничными данными танке равномерно аппроксимируется линейными комбинациями частных решений с любой наперед заданной точностью.

Задачи Дирихле для уравнения (I) в частном случае с = О,.

0 2 X оу была подробно исследована в работах[i, 2,3,13]. Уравнение (3) известно под названием уравнения Хольмгрена-Геллерстедта. В вышеперечисленных работах было доказано существование функций Грина задачи Дирихле для широкого класса областей, причем эта функция была выписана в явном виде в случае так называемой нормальной области.

Вот второй главе диссертации в случае нормальной области для уравнения Хольмгрена-Геллерстедта выписана в квадратурах система частных решений, линейные комбинации которых осуществляют аппроксимацию решения задачи Дирихле.

В последние годы большой интерес вызывает функционально-теоретический подход к исследованию уравнения (3), а также дргугих эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области. Известны различные интегральные представления решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными [l2, 14, 15, 16, I? J, позволяющие выражать решения этих уравнений в квадратурах через аналитические функции одного комплексного переменного. Сущность функционально-теоретического подхода состоит в том, что с помощью указанных интегральных представлений многие свойства аналитических функций переносятся на решения эллиптических уравнений. В частности, в работах[18, 1Э Ю. П. Кривенков получил представление решений уравнения (3) в достаточно малой области, лежащей в верхней полуплоскости и примыкающей к линии вырождения .Эти результаты основаны на свойствах обобщенных осесимметричных потенциалов и их связи с решениями уравнения Хольмгрена-Геллерстедта [20]. Р. Гильберт [l7, 2l] установил связь, с одной стороны, между областью регулярности и особыми точками решения уравнения (3), а с другой — областью аналитичности и особыми точками той аналитической функции, через которую это решение выражается в квадратурах. А. Фраиант |22] обобщил теорему Привалова для обобщенных осесимметричных потенциалов в случае круговых областей. П. Мак-Кой 2з] перенес теорему Бернштейна на случай эллиптических уравнений и т. д.

И.Н.Векуа и другие плодотворно применяли функционально-теоретические методы при изучении вопросов аппроксимации решений равномерно эллиптических уравнений второго порядка. Основные результаты данной работы также базируются на функционально-теоретическом методе.

В третьей главе диссертации уравнение Хольмгрена-Геллер-стедта исследовано в области, которая отлична от нормальной. Первая и вторая теоремы третьей главы являются самостоятельными результатами компл’ексного анализа. В них доказан ряд свойств операторов дробного дифференцирования функций комплексного переменного, на основании которых доказана теорема 3.3, являющаяся обобщением теоремы Привалова на случай уравнения (3) в рассматриваемой области. В теореме 3.4 изучено поведение фигурирующей в представлении решения задачи Дирихле аналитической функции в окрестностях угловых точек области. В теореме 3.5 на основании результатов предыдущих теорем выписывается система частных решений уравнения (3), с помощью которой осуществляется аппроксимация решения задачи Дирихле для этого уравнения. А именно, линейные комбинации функций, входящих в эту систему, приближают решение задачи Дирихле для уравнения (3) в замкнутой области с любой наперед заданной точностью [24, 25] .

В заключительной части диссертационной работы исследуются вопросы аппроксимации решения задачи Трикоми для модельного уравнения Лаврентьева-Бицадзе, а также для уравнения которое сводится к уравнению W преобразованием переменных.

Для задачи Трикоми построена система частных решений уравнения (4) и доказано, что решение задачи Трикоми аппроксимируется линейными комбинациями этих решений. Более того, установлена представимость решения задачи Трикоми с гельде-ровыми граничными данными в виде равномерно сходящегося в замкнутой области ряда по этой системе решений (26.

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.-M.-J1.: Гостехиздат, 1947.-192с.

2. Gellerstedt S, Sur un probleme aux limites pour une Equation Lingerie aux d? riv6es partielles du second ordre de type mixte.-Th?s.- Uppsala: 1935. 92 s.

3. Франкль Ф. И. 0 задаче Коши для уравнений смешанного эллип-тико-гиперболического типа с начальными данными на переходной линии.- Изв. АН СССР, серия матем., 1944, т.8,№ 5,с.195−224.

4. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе облаети.-Докл.АН СССР, 1951, т.77, № 2, с .181−183.

5. Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа.- Докл .АН СССР, 1950, т.70, № 3, с.373−376.

6. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.- АН СССР. Итоги науки. Физ.-мат.науки. 2. М.: 1959. 163с.

7. Runge С. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen.- Acta Mathematica, 1885, No.6, s.229−244.

8. Уолш Дж.Л. Интерполяция и аппроксимация рациональным! функциями в комплексной области. М.: Инолитиздат, 1961.-508с.

9. Eichler M. On the differential equation Uxx+l/^ Trans.Amer.Math.Soc., v 65, 1949, p.259−278.

10. Gilbert R.P. Constructive methods for elliptic equations.-Berlin etc.: Springer, 1974. 397 p.

11. Gilbert R.P. Function theoretic methods in partial differential equations.-N.Y.-L.: AcadPress, 1969.-311 p.

12. Кривенков Ю. П. 0 некотором представлении решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.- Докл. АН СССР, 1957, т. П6,№ 3, с.351−354.

13. Кривенков Ю. П. Представление решений уравнения Эйлера-ПуассонаДарбу через аналитические функции, — Докл. АН СССР, 1957, т.116, Кз 4, с.545−548.

14. Weinstein A. Generalized Axially Symmetric Potential Theory.- Bull, of Am.Math. Soc., 1953, v 59, No. 1, p.20−3&21* Gilbert R.P. On the singularities of generalized axially symmetric potentials.- Arch. Rational Mech.Anal., i960, v 6, p.171−176.

15. Fryant A.J. Extension of Privaloff 's theorem to Ultra-spherical expansions.- Procc. of the Am. math.soc., 1978, v 71, No.1, p.49−53.

16. McCoy P.A. Best approximation of solutions to a classof elliptic partial differential equations. Houston J. of Math., 1982, v 8, No.4, p.517−525.

17. Мусхелшивили М. Г. Интегральные представления регулярных решений уравнения Холылгрена-Геллерстедта. Сообщения АН ГССР, 1982, 107, № 3, с.477−480.

18. Мусхелишвили М. Г. К теории аппроксимации решений задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических.уравнений. -Сообщения АН ГССР, 1983, 112, № 2, с.269−272.

19. Мусхелишвили М. Г. Об аппроксимации решения задачи Трикоми для одного уравнения смешанного типа. Сообщения АН ГССР, 1983, 112, № I, с.29−32.

20. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. — 448 с.

21. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. — 292 с.

22. Hardy G.H., Litllewood I.E. Some properties of fractional integrals. 1. Mathem.Zeitsch., 1928, B.27, No.4, s.565−606.

23. Сонин Н. Я. 0 дифференцировании с произвольным указателем.-Математ. сб., 1872, т.6, вып.1, с.1−38.

24. Либин З. Г., Рабинович Ю. Л. Примечания переводчиков. в кн.: Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, Т.П. 2-е испр.изд. — М.-Л.: Гостехиздат, 1951, с.5Х5−339.

25. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 671с.

26. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.

27. Ыусхелишвили Н.й. Сингулярные интегральные уравнения.-3-е изд., испр. и доп.- М.: Наука, 1968. 513 с.

28. Бицадзе А. В. Об одной системе функций. Успехи математ. наук, 1950, т. У, вып.4 (38), о.154−155.

29. Бермант Л. Ф. Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина. М.: Физматгиз, 1958.306 с.