Значение решения проблемы V постулата Евклида

— 9 ;

Министерство по науке и образованию Российской Федерации Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный гуманитарный университет Институт математики физики и информационных технологий Кафедра геометрии Реферат На тему:

«Значение решения проблемы V постулата Евклида»

Выполнила студентка ИМФиИТ

3 курса ОЗО О. В. Крылик Проверил: Доцент кафедры геометрии Т. А. Тимошенко ХАБАРОВСК 2008

Длительные неудачи разнообразных попыток вывести пятый постулат Евклида из остальных аксиом и постулатов евклидовой геометрии подготовили почву для принципиально иной постановки вопроса о проблеме параллельных линий. Происходило постепенное перерастание задачи доказательства пятого постулата в противоположную задачу: установления его логической недоказуемости. Сама природа вопроса наталкивала исследователей на поиски решения на других путях, иногда помимо их намерений или даже наперекор им.

Идея недоказуемости пятого постулата Евклида с начала XVIII века проявляется во всё более отчётливой форме и во всё более содержательном виде, пока не приводит к окончательному утверждению логической возможности новой геометрии, где пятый постулат Евклида не имеет места. К началу XIX века «проблема пятого постулата» Евклида настолько назрела, что была решена почти одновременно и независимо друг от друга несколькими различными лицами.

Возможно, что и сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на пятый постулат; Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

Со времён Евклида до конца XIX столетия проблема пятого постулата являлась одной из самых популярных проблем геометрии. За этот период было предложено множество различных доказательств пятого постулата. Однако все они были ошибочны. Обычно авторы этих доказательств использовали какое-нибудь геометрическое утверждение, которое оказывалось столь наглядно очевидным, что проскальзывало в рассуждениях незаметно для самого автора. Вместе с тем попытка логически доказать такое утверждение, в свою очередь не опираясь на пятый постулат, всегда оканчивалась неудачей.

Конечно, подобные исследования не достигали намеченной цели, так как смысл проблемы заключался в освобождении евклидовой теории параллельных от специального постулата, и, таким образом, дело здесь было не в том, чтобы заменить пятый постулат другим утверждением, хотя бы оно и было весьма очевидным, а в том, чтобы доказать этот постулат, исходя из остальных постулатов геометрии.

Нужно заметить, впрочем, что многочисленные попытки доказательства пятого постулата, несмотря на их тщётность, привели к известным положительным результатам.

Характерными для периода зарождения идеи недоказуемости пятого постулата являются работы итальянского учёного монаха Джероламо Саккери (1667 — 1733), выпущенные им в свет в 1733 году под названием «Евклид, очищенный от всяких пятен». Само название сочинения указывает на замысел Саккери: довести евклидову геометрию до логического совершенства, причём, конечно, имелось в виду в первую очередь устранить сомнения, связанные с пятым постулатом, путём его доказательства. С этой целью Саккери применяет метод доказательства от противного. В основе его рассуждений лежит изучение свойств четырёхугольника ABCD,

Где == и AB=CD. Эта фигура получила название «четырёхугольника Саккери» (хотя О. Хайам рассматривал эту фигуру ещё в XII веке). Рассматривая прямую MN, проведённую перпендикулярно к прямой AD через середину отрезка AD, путём перегибания чертежа по прямой MN легко убедиться, что эта прямая служит осью симметрии фигуры, так что

= и BN=CN.

Относительно равных углов ABC и DCB Саккери три логически возможных допущения:

=> (гипотеза тупого угла),

== (гипотеза прямого угла),

=< (гипотеза острого угла).

Из «гипотезы тупого угла» Саккери выводит, что сумма углов треугольника равна и, следовательно, сумма углов четырёхугольника равна, так что эта гипотеза противоречива (по его словам, «сама себя убивает») и должна быть отброшена.

Саккери устанавливает далее, что гипотеза прямого угла влечёт пятый постулат Евклида. Поэтому для доказательства пятого постулата остаётся только опровергнуть гипотезу острого угла. С этой целью Саккери далеко развивает систему следствий из этой гипотезы, стремясь прийти к противоречию. Несмотря на непривычность получаемых результатов, ожидаемое противоречие не возникает… В конце концов Саккери изменяет чувство строгости, характерное для его сочинения, он пускается в туманные заключения о бесконечно удалённых точках и без достаточного основания делает вывод, что «гипотеза острого угла противоречит природе прямой линии». Объективно Саккери пришёл к результату, противоречащему поставленной им цели: развивая следствия из гипотезы острого угла, он получил, не отдавая себе в этом отчёта, ряд предложений новой геометрии.

В ходе дальнейших исследований идеи новой, неевклидовой геометрии всё более определённо заявляют о праве на существование, их логическая правомерность выделяется всё рельефнее.

Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт (1728 — 1777) рассматривал четырёхугольник, три угла которого прямые. Относительно четвёртого угла он, подобно Саккери, рассматривает три логически возможных предположения (гипотезы).

Ламберт заметил, что гипотеза тупого угла реализуется на сфере, если рассматривать на ней дуги больших окружностей в качестве прямых.

В отличие от Саккери Ламберт отчётливо понимал, что гипотезу острого угла ему опровергнуть не удалось. По этому поводу он замечает: «Должна же существовать причина, почему она не поддаётся опровержению… Гипотеза острого угла влечёт за собой существование абсолютной меры длины. В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива… Я готов предположить, что она имеет место на какой-то мнимой сфере». Это предположение Ламберта в дальнейшем оправдалось самым замечательным образом.

Швейкарт (1780−1859, профессор права в Харьковском университете с 1812 по 1817 г.) и Тауринус (1794−1874) уже прямо рассматривают геометрию, где сумма углов треугольника не равна. Швейкарт называет свою геометрию «астральной» (звёздной), желая этим, по-видимому, подчеркнуть, что он не считает её реально осуществимой в земных условиях. Тауринус строит свою «логарифмо-сферическую» геометрию на сфере мнимого радиуса.

Были и другие авторы, исследовавшие ту или иную сторону новых геометрических предположений, но их работы не составляли решительного шага в области оснований геометрии, не знаменовали сколь-нибудь значительного перелома в воззрениях на геометрию. Чтобы широко раскрыть систему новой геометрии, чтобы показать возможность существования какой-либо иной геометрии, помимо веками складывавшейся и утверждавшейся в общественном сознании евклидовой геометрии, нужно было достигнуть в новой геометрии такой же стройности и законченности.

Среди работ, посвящённых новой геометрии, выделяется работа, известная под названием «Аппендикс», написанная венгерским математиком Яношем Бояи в 1832 году. Отец Яноша, Фаркаш Бояи, всю жизнь занимался доказательством пятого постулата Евклида, но, конечно, не достиг цели. Будучи разочарованным в этой проблеме, он убедительно и страстно отговаривал сына от занятий теорией параллельных. «Молю тебя, не делай и ты попытку одолеть теорию параллельных. Ты затратишь на это всё своё время… Я изучил все пути до конца. Я не встретил ни одной идеи, которая бы не была разработана мною. Я прошёл весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту тему, страшись её. Этот беспросветный мрак… никогда не проясниться на земле…» — писал он сыну. Но молодой Бояи пошёл другим путём: он строил геометрию, «излагающую абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности пятого постулата Евклида». И уже в 1828 году, в возрасте 21 года, он писал отцу: «Я получил… замечательные результаты… из ничего я создал целый мир». И действительно, небольшое сочинение Я. Бояи, увидевшее свет только в 1832 году, содержит довольно развитое и систематическое изложение основ новой геометрии. Но это сочинение осталось в своё время незамеченным, не было понято современниками Бояи.

Необходимы были огромное гражданское мужество, убеждённость и самоотверженная настойчивость в пропаганде идей новой геометрии, чтобы преодолеть косность современников и вековые традиции геометрии.

Характерна в истории открытия неевклидовой геометрии роль одного из крупнейших математиков того времени К. Ф. Гаусса (1777−1855). Он много лет занимался теорией параллельных и ещё в 1824 году писал Тауринусу: «Допущение, что сумма углов треугольника меньше, приводит к своеобразной геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил её для себя вполне удовлетворительно». Однако за всю свою жизнь Гаусс среди множества своих научных работ не решился опубликовать ни одного исследования по неевклидовой геометрии. «Я боюсь крика беотийцев, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения», — писал он Бесселю, намекая на ограниченность современных математических кругов. Осторожность Гаусса в отношении к вопросам неевклидовой геометрии не только не позволила ему выступить от своего имени, но помешала даже поддержать своим авторитетом других новаторов геометрии: он умалчивал об их открытиях и расхолаживал обращавшихся к нему авторов в их намерениях. «Осы, гнездо которых вы разрушаете, подымутся над Вашей головой», — писал он Герлингу, приславшему ему свою работу о параллельных. Восторженно отзываясь в одном из частных писем об «Аппендиксе» и называя молодого Бояи «гением первой величины», Гаусс тем не менее не оказал ему необходимой моральной поддержки и в отзыве, направленном его отцу, выражался очень сдержанно и подчёркивал, что открытия Яноша для него лично не являются новыми.

Подлинным творцом неевклидовой геометрии, её систематизатором и первым пропагандистом был наш великий соотечественник Николай Иванович Лобачевский.

Н.И.Лобачевский и его геометрия. До начала XIX столетия ни одна из попыток доказать пятый постулат не привела к желаемому результату. Несмотря на усилия геометров, потраченные на протяжении более чем двадцати веков, задача обоснования теории параллельных, по существу, оставалась всё в той же стадии, как и во времена Евклида.

Но первые же десятилетия XIX века принесли, наконец, решение проблемы пятого постулата; только решение это оказалось таким, какого не ждал и к какому не был подготовлен математический мир этой эпохи.

Слава решения этой знаменитой проблемы принадлежит профессору Казанского университету Николаю Ивановичу Лобачевскому (1793−1856). В его докладе физико-математическому факультету Казанского университета, публиковавшихся, начиная с 1829 года, впервые отчётливо выражена и подтверждена мысль о том, что пятый постулат не может быть выведен из остальных постулатов геометрии. Чтобы доказать это, Лобачевский, сохраняя основные посылки Евклида, кроме постулата параллельных не осуществляется, и строит логическую систему, предложения которой являются следствиями принятых посылок.

Многие из предложений, которые получил Лобачевский, встречались у Саккери и Ламберта при развитии гипотезы острого угла. Это и понятно, так как гипотеза острого угла Саккери и исходные посылки Лобачевского эквивалентны. Но в то время, как Саккери ставил себе целью показать, что гипотеза острого угла ведёт к противоречию и должна быть отвергнута как логически недопустимая, — Лобачевский, развивая систему своих теорем, устанавливает, что эта система представляет собой новую геометрию (он назвал её «Воображаемой»), которая, как и евклидова, свободна от логических противоречий.

Воображаемую геометрию Лобачевский развил до таких же пределов, до каких была развита геометрия Евклида. При этом Лобачевский не встретил в ней каких-либо логических противоречий. Однако он отчётливо понимал, что это обстоятельство само по себе не доказывает, что Воображаемая геометрия действительно непротиворечива, так как если противоречия имеются, то заранее нельзя предвидеть, на какой стадии развёртывания системы они могут обнаружиться. Чтобы доказать непротиворечивость своей геометрии, Лобачевский предпринял глубокий алгебраический анализ основных её уравнений и тем самым дал решение этого вопроса в такой мере удовлетворительное, в какой это было возможно для того времени.

Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского на современном уровне строгости дано в конце XIX века после установления общих принципов логического обоснования геометрии.

Результаты исследований Лобачевского можно резюмировать следующим образом:

Постулат о параллельных не является необходимым следствием остальных постулатов геометрии (как говорят, логически от них не зависит).

Пятый постулат именно не вытекает из остальных постулатов, что наряду с геометрией Евклида, в которой этот постулат верен, возможна другая, «Воображаемая» геометрия, в которой не имеет места.

Лобачевский был учёным-материалистом. Материалистические взгляды он явно и настойчиво высказывал в своих сочинениях. Он безоговорочно отвергал возможность априорных знаний, в частности, кантианский тезис о том, что наши пространственные представления являются врождёнными и не имеют опытного происхождения. «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, — пишет Лобачевский, — должны быть ясны, и приведены к самому меньшему числу. Тогда они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врождённым — не должно верить» («О началах геометрии», 1829).

Лобачевский глубоко и тонко понимал соотношение между геометрией Евклида и своей неевклидовой геометрией: обе геометрии логически непротиворечивы, и поэтому безнадёжны всякие попытки логически доказать, что единственно истинной является только первая из них; вопрос же о том, какая из этих геометрий более соответствует свойствам реального пространства, должен быть решён опытом.

«В моём сочинении о началах геометрии, — пишет Лобачевский, — я доказывал, основываясь на некоторых астрономических наблюдениях, что в треугольнике, которого бока почти таковы, как расстояние от Земли до Солнца, сумма углов может разниться от двух прямых не более, 0003 в шестидесятичных секундах градуса. Предположение употребительной Геометрии надобно, следовательно, почитать как бы строго доказанным, а вместе быть убеждену и в том, что независимо от опыта, напрасно было бы искать доказательства на такую истину, которая ещё не заключается сама собою в нашем понятии о телах» («Воображаемая геометрия», 1835).

Лобачевский называл геометрию Евклида «Употребительной», а свою — «воображаемой». Это не означает, однако, что он считал свою геометрию замкнутой в себе чисто логической системой. Лобачевский усматривал в ней полезный инструмент для математического анализа и в этом плане написал обширную работу «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836). Интересно отметить, что в таблицах определённых интегралов Биеренс де Хаана содержится свыше 200 интегралов, которые были вычислены и опубликованы Лобачевским. В настоящее время были известны глубокие связи геометрии Лобачевского с разнообразными разделами математики, а также теоретической физикой.

Идеи Лобачевского современным ему геометрам казались парадоксальными и встретили только иронию. Понять и оценить его работы могли очень немногие; среди них должны быть отмечены Гаусс и Я. Больяй, которые занимались теорией параллельных независимо друг от друга и независимо от Лобачевского. Гауссу был ясен замысел новой геометрии, однако он не дал этому замыслу достаточного развития, оставив только наброски отдельных, наиболее элементарных теорем. Он даже не опубликовал своих взглядов на основы геометрии, боясь остаться непонятым. Я. Больяй издал свою работу через три года после первой публикации Лобачевского. В своей работе Я. Больяй изложил ту же теорию, что и Лобачевский, но не в столь развитой форме. Как и Лобачевский, Больяй не получил признания и сам нуждался в поддержке.

Учёный мир оценил значение исследований Лобачевского лишь после его смерти. А значение это исключительно.

До Лобачевского евклидова геометрия представлялась единственно мыслимым учением о пространстве. Открытие воображаемой или, как её обычно называют, неевклидовой геометрии уничтожило эту точку зрения. Тем самым было положено начало далеко идущим обобщением взглядов на геометрию и её предмет, которые привели к современному понятию абстрактного пространства с его многочисленными применениями внутри математики и в смежных с нею областях.

В цепи этих обобщений неевклидова геометрия Лобачевского явилась первым и определяющим звеном.

1. «Высшая геометрия» Н. В. Ефимов.