Правильные і полуправильные багатогранники

Правильные і полуправильные многогранники

Реферат виконала: Гилева Марія, клас 10 «У », школа 41

2000/2001 навчальний год

Правильные і полуправильные багатогранники (платоновы і архимедовы тела)

Правильным багатогранником називається опуклий багатогранник, межі якого — рівні правильні багатокутники, а двугранные кути попри всі вершинах рівні між собою. Доведено, що у кожної з вершин правильного багатогранника сходиться одне і те число граней родовищ і одне і те число ребер.

Загалом у природі існує п’ять правильних багатогранників. У порівняні з кількістю правильних многоугольников це — обмаль: кожному за цілого n>2 існує один правильний n-угольник, тобто. правильних многоугольников — нескінченно багато. Правильні багатогранники мають назви за кількістю граней: тетраэдр (4 межі): гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) і икосаэдр (20 граней). По-грецьки «хедрон «означає грань, «тетра », «гекса «тощо. буд. — зазначені числа граней. Неважко здогадатися, що гексаэдр не що інше, як всім знайомий куб. Грані тетраедра, октаэдра і икосаэдра — правильні трикутники, куба — квадрати, додекаэдра — правильні пятиугольники.

Якщо позначити кількість кутів в однієї межі правильного багатогранника за q, а кількість граней, збіжних лише у вершині - за p, можна отримати роботу точні характеристики кожного правильного багатогранника. Ось вони (перше число — q, друге — p): (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3). У цьому у куба і октаэдра, і навіть у икосаэдра і додекаэдра, числа p і q виявляються хіба що переставленными. Ці багатогранники називають роздвоєними. Тетраэдр вважається двоїстим сама собі. У двоїстих багатогранників кількість ребер одинаковое.

Правильні багатогранники симетричні. Це означає, що з будь-якого довільно обраного ребра AB і пов’язаної з нього межі F ж личить отак повернути багатогранник, що ребро AB піде на будь-який чудове від цього ребро CD, точка A — у його кінець (З чи D), а грань F співпаде з одній з двох прилеглих щодо нього граней. Таких можливих поворотів — самосовмещений всього світу існує 4P, де P — число ребер багатогранника. У цьому половини їх — повороти навколо уявних осей, що з'єднують центр багатогранника з його вершинами, серединами ребер і граней на кути, кратні відповідно 2p/q, p і 2p/p, іншу половина — симетрії щодо площин і «дзеркальні повороти ». Зазначене «властивість максимальної симетричності «інколи сприймають за визначення правильного багатогранника. Але людині, далекій від математики, важко уявити геометричне тіло з такою определением.

Йоганн Кеплер називав куб «батьком «всіх правильних багатогранників. За підсумками куба вдалося споруджувати решта видів правильних многогранников.

Якщо провести в протилежних гранях куба перехресні діагоналі, їх кінці виявляться вершинами тетраедра, а вершини октаэдра — це центри граней куба. Отримані багатокутники справді правильні, бо їх межі - правильні трикутники. Рівність ж двугранных кутів випливає з те, що при повороті куба ребро багатогранника можна перекласти на будь-яке другое.

А, щоб побудувати икосаэдр, на кожній грані куба потрібно побудувати відрізок довжиною x (поки що це — будь-яка довжина) те щоб він був параллелен двом сторонам своєї межі і перпендикулярний таким ж відрізкам на сусідніх гранях. Середина його має збігатися з центром межі. З'єднаємо кінці цих відрізків між собою, і ми матимемо двадцатигранник, межі якого — трикутники, і за кожної вершині їх п’ять. Знайдемо така кількість x, у якому все ребра цього багатогранника рівні, т. е. він правильний. Т.к. куб симетричний, то ми все ребра, не належать граням куба рівні між собою. Приймемо довжину ребра куба за a. Розглянемо трикутник ABC (рис. 2), де AC=a-x, BC2=CD2+BD2 = ¼a2+¼×2. По теоремі Піфагора отримуємо: AB2=AC2+CB2=(x2+a2+(a-x)2)/4.

Прирівнюючи AB до x, отримуємо квадратне рівняння: x2+ax-a2=0, звідки x=a (Ö5−1)/2. Цікаво, який отримав множник при a, т. е. ставлення ребра куба до ребру записаного до нього икосаэдра — нічим іншим, як золоте сечение.

Тепер доведемо рівність двугранных кутів. Розглянемо 5 ребер, які виходять із точки A. Кінці їх усіх рівновіддаленими і зажадав від точки A, і південь від центру куба O. Звідси випливає, що лежать на перетині двох сфер з центрами A і O, отже — на окружності, причому ребра, що з'єднують його з точкою A, рівні. Отже, п’ять крапок і точка a — вершини правильної піраміди, та її двугранные кути при вершині равны.

Додекаэдр з икосаэдра можна було одержати так ж, як і октаэдр з куба. поєднуючи середини суміжних граней икосаэдра, ми отримуємо правильнгый пятиугольни. Усього таких п’ятикутників буде 12. Двугранные кути багатокутника дорівнюватимуть, оскільки тригранні кути за його вершинах мають рівні плоскі углы.

Правильні багатогранники також називають платоновыми тілами, хоча вони були відомі за кілька століть до Платона. У одному з своїх діалогів Платон пов’язав правильні багатокутники з чотирма стихіями. Тетраэдру відповідав вогонь, кубу — земля, октаэдру — повітря, икосаэдру — вода. Додекаэдру відповідала п’ята стихія — эфир.

Так звані полуправильные багатогранники пов’язують з ім'ям Архімеда. Це 13 тіл, отриманих при усечении правильних багатогранників і двоє нескінченних низки правильних призм і антипризм із рівними ребрами.

У період Відродження учений Йоганн Кеплер за Платоном спробував зв’язати правильні багатогранники зі будовою Всесвіту. З більшої або меншої точністю він розмістив між сферами, що містять орбіти шести відомих планет, правильні багатогранники в такий спосіб, кожен був описаний близько меншою сфери, і вписаний у велику. Але ім'я Кеплера в геометрії прославило відкриття двох із чотирьох правильних зоряних тіл. Два інших у 1809 р. знайшов француз Луї Пуансо.

Рис. 1 Правильні многогранники.

.

Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Рис. 2 Одержання правильних багатогранників з куба.

.

Рис. 3 Архимедово тіло, освічене з икосаэдра.

.

Рис. 4 Один із зоряних тел.

.

Список литературы

Для підготовки даної праці були використані матеріали із російського сайту internet.