1. Задание 1
Изменить порядок интегрирования.
Решение
1.
Найдем предел интегрирования по у:
2.
Сделаем чертеж:
Найдем предел интегрирования по у:
предел интегрирования по у:
2. Задание 2
Вычислить:
Решение
Сделаем чертеж области D:
Расставим пределы интегрирования:
3. Задание 3
Вычислить:
Решение
Сделаем чертеж области D:
Расставим пределы интегрирования:
4. Задание 4
Вычислить:
Решение
Сделаем чертеж области D:
Расставим пределы интегрирования:
5. Задание 5
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Решение
— графиком функции является гипербола, изобразим на чертеже только одну ее ветвь, расположенную в 1-ой четверти.
— графиком функции является ветвь параболы, расположенная в 1-ой четверти.
— графиком функции является вертикальная прямая.
Сделаем чертеж:
Найдем площадь фигуры:
Ответ:
6. Задание 6
Пластинка задана ограничивающими ее кривыми:
— поверхностная плотность
Решение
Сделаем чертеж области D:
Расставим пределы интегрирования:
Ответ:
7. Задание 7
Найти объем тела, ограниченного поверхностями:
Решение
Сделаем чертеж:
Из чертежа видим, что предел интегрирования по у:
Из чертежа видим, что предел интегрирования по z:
предел интегрирования по х:
Ответ:
8. Задание 8
Найти производную скалярного поля, в точке М (0; 1; 1) по направлению вектора .
Решение
Так как функция дифференцируема в точке М, то в этой точке существует ее производная по любому направлению, которая определяется формулой
Где
Находим единичный вектор (орт) :
Вычисляем частные производные функции в точке, А (1; -1):
Подставим полученное значение в формулу и вычисляя скалярное произведение получим.
Ответ:
9. Задача 9
Найти угол между градиентами скалярных полей в точке М
Решение
Найдем градиенты скалярных полей:
Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны
Градиенты скалярных полей в произвольной точке равны
Обозначим угол между градиентами скалярных полей через б. Найдем угол между градиентами скалярных полей, используя скалярное произведение векторов:
Ответ: 00
Список литературы
функция интегрирование объем предел
1. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991 с.
2. Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368 с.
3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509 с.
4. Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464 с.
5. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. — М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 2004.
