Доказательство Великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры

Доказательство теоремы Ферма методами элементарной алгебры.

Бобров А.В.

г. Москва Контактный телефон — 8 (495)193−42−34.

bobrov-baltika@mail.ru.

В теореме Ферма утверждается, что равенство для натуральных и может иметь место только для целых .

Рассмотрим равенство.

(1).

где и — натуральные взаимно простые числа, то есть числа, не имеющие общих целых множителей, кроме 1. В этом случае два числа всегда нечетные. Пусть — нечетное число, и — натуральные числа. Для всякого действительного положительного числа выполнима операция нахождения арифметического значения корня, то есть равенство (1) можно записать в виде:

(2).

где и — действительные положительные множители числа В соответствии со свойствами показательной функции, для любого из действительных положительных чисел и существуют единственные значения чисел, удовлетворяющие равенствам.

(3).

Из равенств (2) и (3) следует:

. (4).

Поскольку p>q, всегда имеет место p-q=k, или а^p= а^k• а^q, то есть числа и содержат общий множитель, что противоречит условию их взаимной простоты. Это условие выполнимо только при, то есть при. Тогда равенства (4) принимают вид:

(5).

откуда следует.

(6).

то есть для взаимно простых и числа и всегда являются двумя последовательными целыми числами. Еще Эвклидом доказано, что всякое нечетное число выражается, как разность квадратов двух последовательных целых чисел, то есть равенство (1) для натуральных взаимно простых и может быть выражено только в виде равенства.

. (7).

Справедливость приведенного доказательства можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть в равенстве Ферма числа и — целые взаимно простые, — четное. Тогда числа, , их сумма и разность — также целые, показатель степени p>q .

Целые числа и.

являются взаимно простыми, если не содержат общих целых множителей, кроме 1. Это условие выполнимо только тогда, когда общий целый множитель, то есть, .

Тогда разность, что для одновременно целых и может иметь местотолько при, то есть при или, что и позволило Пьеру де Ферма сделать почти 370 лет назад свою запись на полях арифметики Диофанта.