Моделирование розподілу потенціалу до МДП-структуре

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛ ПОТЕНЦІАЛУ У МДП-СТРУКТУРЕ.

Математична модель — - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3.

ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ К.

ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧИ.

Використання разностных схем для решения.

рівняння Пуассона й у граничних условий.

розділу сред.

Рівняння Пуассона — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5.

Граничні умови розділу середовищ — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8.

Загальний алгоритм численого рішення задачи.

Метод встановлення — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10.

Метод змінних напрямів — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13.

Побудова разностных схем — - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16.

ДОДАТОК — - - - - - - - - - - - - - - - - - ;

ЛІТЕРАТУРА — - - - - - - - - - - - - - - - - - ;

Математична модель розподілу потенціалу до МДП-структуре.

Математична модель.

Пусть??(x, y) — функція, яка описувала розподіл потенціалу до напівпровідникової структурі. У сфері оксла (СDEF) вона задовольняє рівнянню Лапласа:

d2???d2???

dx2 dy2.

а області напівпровідника (прямокутник ABGH) — рівнянню Пуассона:

d2?? d2? = ?

dx2 dy2.

где.

q — елементарний заряд e;

?nnдиэлектрическая проникність кремния;

Nd (x, y) -розподіл концентрації донорської домішки в підкладці ;

Na (x, y) -розподіл концентрації акцепторной домішки в подложке;

?? -диэлектрическая постоянная.

0 D E.

y.

B G.

З F.

A H.

x.

На контактах приладу поставлено умова Дирихле:

?| BC = Uu.

?| DE = Uз.

?| FG = Uc.

?| AH = Un.

На бічних сторони напівпровідникової структури потрібно выполнение.

однорідної умови Неймана що з симетричності структуры.

щодо ліній лежачих на відтинках AB і GH:

d??? d???

dy AB dy GH.

На бічних сторони окисла як і задається однорідне умова Неймана.

що означає що у напрямі осі OY відсутня протягом электрического.

тока:

d??? d???

dy DC dy EF.

На межі поділу структури окиселнапівпровідник ставиться условие.

поєднання :

?| -0 = ?| +0.

?ok Ex |-0 — ?nn Ex |+0 = - Qss.

де Qssщільність поверхового заряда;

?okдиэлектрическая проникність окисла кремния;

?nnдиэлектрическая проникність полупроводника.

Під символом «+0» и"-0″ розуміють що значення функції береться нескінченно близько до кордону CF із боку або напівпровідника або окисла кремнію. Тут першу умову означає безперервність потенціалу під час переходу кордону розділу середовищ, а друге — вказує співвідношення що пов’язує величину розриву вектора напруженості під час переходу з однієї середовища до іншої з величиною поверхового заряду за українсько-словацьким кордоном раздела.

ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ МЕТОДІВ К.

ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧИ.

Використання разностных схем на вирішення рівняння Пуассона й у граничних умов розділу сред.

Рівняння Пуассона.

У сфері {(x, y): 0 < x < Lx, 0 < y < Ly } вводиться сетка>

W={(x, y): 0 < і < M1, 0 < j < M2}>

x0 =0, y0=0, xM1 = Lx, yM2 = Ly.

xi+1 = xi + hi+1, yj+1 = yj+ rj+1.

і = 0,…, M1−1 j = 0,…, M2−1.

Потокові точки:

xi+? = xi + hi+1, і = 0,1,…, M1−1.

yj+? = yj + rj+1, j = 0,1,…, M2−1.

Означимо :

U (xi, yj) = Uij.

I (xi+?, yj) = Ii+?, j.

I (xi, yj+Ѕ) = Ii, j+Ѕ.

Проинтегрируем рівняння Пуассона:

?? = - q (Nd + Na).

?0?n.

Q (x, y).

по области:

Vij = { (x, y): xi- Ѕ < x < xi+ Ѕ, yj- Ѕ < y < yj+ Ѕ }>

xi+ Ѕ yj+ Ѕ xi+ Ѕ yj+ Ѕ.

??? ???dxdy = ??? Q (x, y) dxdy.

xi- Ѕ yj- Ѕ xi- Ѕ yj- Ѕ.

Отсюда:

yj+Ѕ xi+Ѕ.

?(Ex (xi+Ѕ, y) — Ex (xi-Ѕ, y))dx + ?(Ey (x, yj+Ѕ) — Ey (x, yj-Ѕ))dy=.

yj-Ѕ xi-Ѕ.

xi+ Ѕ yj+ Ѕ.

= ??? Q (x, y) dxdy.

xi-? yj- ?

Здесь:

Ex (x, y) = - d?(x, y).

dx (*).

Ey (x, y) = - d?(x, y).

dy.

x у-компоненты вектора напруженості електричного поля Е.

Припустимо при.

yj-Ѕ < y < yj- Ѕ Ex (xi + Ѕ, yj) = Ei+ Ѕ, j = const>

yj-? < y < yj-? Ex (xi — ?, yj) = Ei- ?, j = const (**)>

xi-? < x < xi+? Ey (xi, yj + ?) = Ei, j+? = const>

xi-? < x < xi+? Ey (xi, yj -?) = Ei, j —? = const>

xi-? < x < xi+ ?>

yj-? < y < yj+? — Q (x, y) = Qij = const>

Тогда.

(Ex)i+ ?, j — (Ex)i -?, j r*j + (Ey)ij+? — (Ey)ij-? h*i = Qijh*i r*j.

де h*i = hi — hi+1, r*j = rj — rj+1.

2 2.

Тепер Еi+ Ѕ, j висловлюємо через значення ?(x, y) в вузлах сетки:

xi+1.

??x (x, yj) dx = - ?i+1,j — ?ij.

xi.

з (**) при y=yj:

(Ex)i+ ?, j = - ?i+1j — ?ij.

hi+1.

Анологично :

(Ey)i, j+ ?= - ?ij+1 — ?ij.

rj+1.

Отсюда:

(??)ij = 1?? i+1,j — ??ij — ???і j — ??i-1,j + 1 ??і j+1 — ??ij — ??ij — ??ij-1 =.

h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj.

= Ndij + Naij.

Граничні умови розділу сред.

SiO2.

?1.

Si y.

?n.

x.

Для області V0j.

yj+ Ѕ x Ѕ.

?n?0 ?(Ex (x Ѕ, y) — E+x (0,y))dy + ?n?0? (Ey (x, yj+ Ѕ) — Ey (x, j- Ѕ))dx =.

yj- Ѕ 0.

x Ѕ yj+Ѕ.

= q? ? (Nd + Na) dxdy.

0 yj-Ѕ.

Для області V`0j.

yj+ Ѕ x Ѕ.

?n?0 ?(E-x (0,y) — Ex (x -Ѕ, y))dy + ?n?0? (Ey (x, yj+Ѕ) — Ey (x, j-Ѕ))dx = 0.

yj- Ѕ 0.

де E+x (0,y) і E-x (0,y) -граничні значення x компоненти вектора.

Є із боку кремнію і окисла. Складывая рівності і учитывая.

условия:

?n?0 d? + - ?1?0 d? — = -Qss.

dx dx.

имеем.

yj+Ѕ xЅ.

? (?n?0Ex (xЅ, y) — ?1?0Ex (x-Ѕ, y) — Qss (y))dy + ?n?0? (Ey (x, yj+Ѕ) + ?y (x, yj-Ѕ))dx +.

yj-Ѕ 0.

0 xЅ yj+Ѕ.

+ ?1?0? (Ey (x, yj+Ѕ) — Ey (x, yj-Ѕ))dx = q ??? (Nd + Na) dxdy.

x-Ѕ 0 yj-Ѕ.

Зробивши щодо Ex і Ey припущення анологичные (**) поклавши Qss (y) = Qss = const при yj-Ѕ < y < yj+Ѕ та враховуючи умови :>

j+ = jdj + = dj ;

dy dy.

«+" — із боку кремния.

«-» — із боку окисла.

Одержимо :

?n?0(Ex)Ѕ, j — ?1?0(Ex)-Ѕ, j — Qss r*j + ?n?0h1 + ?1?0h-1. (Ey)0,j+Ѕ - (Ey)0,j-Ѕ =.

2 2.

= q (Nd0j — Na0j) h1r*j.

які можна записати :

1 ?n?0 ?ij -?0j — ?1?0 ?0j — ?ij + ?n?0h1 + ?1?0h-1 ?0,j+1 — ?0j — ??0j — ?0,j-1 =.

h* h1 h-1 2h*r*j rj+1 rj.

= - q (Nd0j — Na0j). h1 — Qss.

2 h* h*.

де h* = h1 + h-1.

Загальний алгоритм численого рішення задачи.

Метод установления.

Для вычисленя рішень багатьох рішень багатьох багатьох стаціонарних завдань математичної фізики, що описують равновесные стану, рассматриватривают последнии як наслідок установленияразвивающегося у часі процесу, розрахунок них простіше, ніж прямий розрахунок рівноважного состояния.

Розглянемо застосування методу встановлення з прикладу алгоритму для обчислення виконання завдання Дирихле:

?xxUmn + ?yyUmn = ?(xm, yn) (1).

Umn|г = ?(smn) m, n = 1,2,…, M-1.

аппроксимирующий диференціальну завдання Дирихле:

d2U + d2U = ?(x, y) 0 0, Ci > Ai + Bi.

яка вирішується методом прогонки.

Розглянемо тепер нашу двимерную завдання прямокутнику. Сітку ?h можна подати як сукупність вузлів, розташованих на рядках i2=0,1,2,…, N2, чи як сукупність вузлів розташованих на шпальтах i1=1,2,…, N1. Усього є N1+1 шпальт і N2+1 рядків. Кількість вузлів у кожному рядку одно N1+1, а кожному стовпці N2+1 — узлов.

Коли кожному рядку (чи стовпці) вирішувати проблему виду (2) методом прогонки при фиксированом i2(или i1), то тут для відшукання рішення усім рядках (чи шпальтах), тобто. переважають у всіх вузлах сітки, знадобиться О (N1N2) арифметичних дій. Основна ідея більшості економічних методів і полягає у зведенні переходу з шару на шар до послідовному рішенню одномірних завдань виду (2) вздовж рядків і вздовж столбцов.

Поруч із основними значеннями шуканої сеточной функції y (x, t), тобто. з y = yn і y` = yn+1 вводиться проміжне значення y = yn+Ѕ, що можна формально розглядати, як значення при t = tn+Ѕ = ?n+Ѕ. Перехід від шару n на шар n+1 відбувається удвічі етапу з кроками 0.5t.

yn+Ѕ - yn = ?1yn+Ѕ + ?2yn + ?n (3).

0.5t.

yn+1 — yn+Ѕ = ?1yn+Ѕ + ?2yn+1 +??n (4).

0.5t.

Ці рівняння пишуться переважають у всіх внутрішніх вузлах x = xi сітки ?h і всіх t=th > 0.

Перша схема неявна в напрямі х1 і явна по х2, друга схема явна по х1 і неявна по х2. До рівнянням (3); INSERT INTO `ref` (`id_predmet`, `name_predmet`, `id_ref`, `name_ref`, `text_ref`) VALUES (4) треба додати початкові условия:

y (x, 0) = U0(x), x?? h (5).

і разностно крайові умови, наприклад, в виде:

yn+1 = ?n+1 при i1=0, i2=N2 (6).

yn+? =? при i1=0, i2=N1 (7).

де? = 1 (?n+1 + ?n) —? L2(?n+1 — ?n) (8).

2 4.

Т.а., разностная крайова завдання (3)-(8) відповідає завданню (1). Зупинимося на методі вирішення цього завдання. Пререпишем (3) і (4) в виде:

2 y — ?1 y = F, F = 2 y + ?2 y + ?

* ???9).

2y` - ?2 y` = F', F = 2 y + ?1 y + ??

* ???

Введём обозначения:

xi = (i1h1, i2h2).

F = Fi1, i2.

y = yi1, i2.

у своїй, тоді як рівнянні одне із індексів фіксований, то не пишемо. Тоді (9) можна записати як (2), т. е.:

1 yi1−1 — 2 1 + 1 yi1 + 1 yi1+1 = - Fi1.

h21 h21? h21.

i1 = 1,…, N1−1 (10).

y =? при i1 = 0, N1.

1 y`i2−1 — 2 1 + 1 y`i2 + 1 y`i2+1 = - Fi2.

h22 h22? h22.

i2 = 1,…, N2−1 (11).

y` = ?` при i2 = 0, N2.

Нехай поставлено у=уn. Тоді обчислюємо ?F, потім методом прогонки вздовж рядків i2=1,…, N2−1 вирішуємо і завдання (10) і визначимо y' переважають у всіх вузлах сітки ?h, після чого обчислюємо F і вирішуємо і завдання (11) вздовж шпальт i1=1,…, N1−1, визначаючи y`=yn+1. При переході від шару n+1 до верстви n+2 процедура повторюється, тобто. відбувається постійно чергування направлений.

Побудова разностных схем.

Для кожної сфери МДП — структури побудуємо консервативну разностную схему, враховуючи у своїй задані условия.

Разобьём цю МДП — структуру сталася на кілька областей наступним образом:

L M N.

y.

K0.

K1.

x.

I: jk0, y = Un.

?. ?k+?i-1,y + 1 +? + ??. ?k+?ij — ?. ?k+?i+1y = ?ij.

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*i2hi 2h*ihi+1.

?k1,y = Un.

де ?ij = ?kij +? (?y?kij + f? kij).

?y = 1? kij+1 — ?kij — ?kij — ?kij-1.

r*j rj+1 rj.

II: ?ij=U3.

… ?k+?i-1,j + 1 + ?? + … ?k+? ij —? ??k+?i+1,j =.

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1.

???kij +? ?y?kij.

2, 0 < і < k0−1 L< j.

?ok. ?k+? i-1,j + - ?nn — ?ok. ?k+? ij + ?n. ?k+? i+1,j = ?*ij, i=k0.

h*i-1 h*hi h*hi-1 h*ihi.

?. ?k+?i-1,j + 1 + ?? + ??. ?k+? ij — ?. ?k+?i+1,j =.

2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi 2h*ihi+1.

= ??kij +? ?y?kij — f kij, k0+1< і < k1>

?k1,j = Un.

…

III: ?k0,j =Uc.

… ?k+?i-1,j + 1 + ?? + … ?k+? ij —? ??k+?i+1,j =.

2h*ihi 2h*ihi+1 2h*ihi 2h*ihi+1.

=??kij +? ?y (?kij — f kij), M+1 < j < N>

?k1,j = Un.

Разностные схеми (I)-(III) вирішуються методом прогонки у бік осі OX.

y.

K0.

K1.

x.

().

Разностные схеми (IV)-(VI) також вирішуються методом прогонки у бік осі OY.

1. Годунов С. К., Рыбинский В. С.: «Разностные схемы».

2. Кобболд Р.: «Теорія і приминение транзисторов».

3. Самарський А. М.: «Теорія разностных схем».

4. Самарський А. М., Николаев Е. С.: «Методи рішення сіткових уравнений».

5. Самарський А. А., Андреев В. Б.: «Разностные на методи вирішення еліптичних уравнений».

6. Калиткин М. М.: «Чисельні методы».