Высшая математика. 
Матрица

Министерство образования.

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если.

А= 1 0, C= 3 4 4, B= -3 1 4 .

2 -2 1 -3 5 2 -3 4.

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.).

Решение:

Размеры матриц, А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы, А равно числу элементов в столбце матрицы В.

а*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4.

2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4−2*(-3) 2*4−2*5 4 14 -2.

А*В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4.

2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1−2*(-3) 2*4−2*4 -10 8 0.

D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4−1 4−4 = 6 3 0.

4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14−8 -2−0 14 6 -2.

Ответ :14, 6, -2.

2(3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0.

1 1 1 0.

1 2 2 1.

0 3 2 2.

Решение:

2 2 1 0.

1 1 1 0.

1 2 2 1 =.

0 3 2 2.

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой, результат запишем.

в четвёртую строку:

2 2 1 0.

1 1 1 0.

= 1 2 2 1 =.

— 2 -1 -2 0.

Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца :

3+4 2 2 1.

= 1*(-1) * 1 1 1 =.

— 2 -1 -2.

Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результат запишем в первую строку. Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей, результат запишем в третью строку .

0 0 -1.

= - 1 1 1 = - (-1) ¹⁺³ * (-1) * 1 1 = 1−0 =1;

0 1 0 0 1.

Ответ: D = 1.

3(598.Р7).Решите матричное уравнение.

1 2 1 1 1 -1.

X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3.

— 5 -4 -1 0 -1 -2 .

Решение:

A*X=B, X=A^-1 *B.

Найдём det A:

1 2 1.

det A= 4 3 -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=.

— 5 -4 -1.

=-19+20+15−8+8=16 ;

det= 16? 0;

Составим матрицу, А ^-1, обратную матрицы А:

А¹ ₁ = 3 -2 = -3 -8 = -11.

— 4 -1.

А¹₂ = - 4 -2 = -(-4−10) = 14.

— 5 -1.

А¹₃ = 4 3 = -16+15 = -1.

— 5 -4.

A²₁ = - 2 1 = -(-2+4) = -2.

— 4 -1.

A²₂ = 1 1 = -1+5 = 4.

— 5 -1.

A²₃ = - 1 2 = - (-4+10) = -6.

— 5 -4.

A³₁ = 2 1 = - 4−3 = -7.

3 -2.

A³₂ = - 1 1 = - (-2−4) = 6.

— 2.

A³₃ = 1 2 = 3 -8 = -5.

4 3.

— 11/16 -2/16 -7/16.

А^-1 = 14/16 4/16 6/16.

— 1/16 -6/16 -5/16.

— 11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16.

Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =.

— 1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16.

— 11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2).

= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =.

— 1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2).

— 9 -8 -9.

= 10 16 10.

5 -8 -27.

Ответ: Х =: -9, -8, -9: 10, 16, 10: 5, -8, -27 .

4(4П5).При каком значении параметра p, если он существует ,.

1 2 -2 1.

последняя строка матрицы, А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых.

1 -1 1 2.

8 -7 p 11.

трёх строк?

Решение :

Вычислим det A:

1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0.

det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =.

1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0.

8 -7 p 11 0 23 -16-p -3.

— 1*(-1) ²⁺³ _* -7 7 = 49 + 7p — 98 = 7p — 49.

14 -7-p.

Если det A=0, то ранг матрицы, А равен двум, т. е. 7p — 49 = 0, p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через л₁ и л₂, л₃, тогда (8,-7,7,11) = л₁(1,2,-2,1)+ + л₂ (2,-3,3,2) + л₃ (1,-1,1,2);

Имеем систему: л₁ + 2л₂ + л₃ = 8 * 2.

2л₁— 3л₂ — л₃ = -7.

— 2л₁ + 3л₂ + л₃ = 7.

л₁ + 2л₂ + 2л₃ = 11.

Решим данную систему методом Гаусса :

л₁ + 2л₂ + л₃ = 8 1) л₃ = 3.

7л₂ + 3л₃ = 23 2) 7л₂ + 9 = 23.

7л₂ + 3л₃ = 23 7л₂ = 14.

л₃ = 3 л₂ = 2.

3) л₁ + 2*2 + 3 =8.

л₁ = 1.

коэффициенты линейных комбинаций л₁ = 1; л₂ = 2; л₃ = 3 ;

Ответ: (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора f₁(1,1,1), f₂ (1,2,3), f₃ (1,3,6), x (4,7,10). Докажите, что векторы f₁, f₂, f₃ можно принять за новый базис в R₃. (ТР0.РП). Найдите координаты вектора x в базисе f_i .

Составим определитель из компонент векторов и f₁, f₂, f₃ вычислим его :

1 1 1 1 1 1

? = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)¹⁺¹ * 1 2 = 5 — 4 = 1.

1 3 6 0 2 5 2 5

Так как? ? 0, то векторы f₁, f₂, f₃ образуют базис трёхмерного пространства R₃

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

х₁ + х₂ + х₃ = 4 *(-1)

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 7

х₁ + 3х₂ + 6х₃ = 10

х₁ + х₂ + х₃ = 4

х₂ + 2х₃ = 3 *(-2)

2х₂ + 5х₃ = 6

х₁ + х₂ + х₃ = 4 1) х₃ = 0 3) х₁ + 3 + 0 = 4.

х₂ + 2х₃ = 3 2) х₂ + 0 = 3 х₁ = 4 — 3.

х₃ = 0 х₂ = 0 х₁ = 1

х₁ = 1, х₂ = 0, х₃ = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f₁, f₂, f₃

x (1;3;0);

x = f₁ + 3f₂ + 0f₃;

x = f₁ + 3f₂ .

Ответ: координаты вектора x (1;3;0).

6. Докажите, что система

2х₁ + 2х₂ + х₃ = 8,

х₁ + х₂ + х₃ = 3,

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ = 3,

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

имеет единственное решение. (362).Неизвестное х₂ найдите по формулам Крамера. (0М1.РЛ). Решите систему методом Гаусса .

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

2 2 1 0

А = 1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Вычислим определитель матрицы А

2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0.

? = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 1 1 = - 1 1 1 =.

1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0.

0 3 2 2 -2 -1 -2 0

= - (-1)²⁺³ * 1 1 = 1

0 1

?? 0, тогда система имеет решение х₂ =? х₂ /?

2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1.

? х₂ = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 3 1 = - 1 5 0 =.

1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0.

0 3 2 2 -2 -3 -2 0

= -(-1)¹⁺³ * 1 5 = (3 + 0) = 3.

0 8

х₂ = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

2х₁ + 2х₂ + х₃ = 8 *(-2) *(-1)

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ = 3

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

— х₃ = 2

х₂ + х₃ + х₄ = 0 *(-3)

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₂ + х₃ + х₄ = 0

— х₃ — х₄ = 3

х₃ = -2

1) х₃ = - 2 3) х₂ — 2 — 1 = 0.

2) 2 — х₄ = 3 х₂ = 3

х₄ = -1 4) х₁ + 3 — 2 = 3.

х₁ = 2

Проверка :

2 + 3 — 2 =3, 3 = 3.

4 + 3*3 — 2 = 8, 8 = 8

2 + 6 — 4 — 2 = 3, 3 =3.

9 — 4 — 2 = 3, 3 = 3.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = - 2, х₄ = -1.

7. Дана система линейных уравнений

3х₁ + х₂ — х₃ — х₄ = 2,

9х₁ + х₂ — 2х₃ — х₄ = 7,

х₁ — х₂ — х₄ = -1,

х₁ + х₂ — х₃ -3х₄ = -2.

Докажите, что система совместна. Найдите её общее решение. (392.БЛ). Найдите частное решение, если х₄ = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы.

системы равен рангу расширенной матрицы .

Составим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7.

А = 9 1 -2 -1 7 > 0 -8 7 26 25 > 0 0 3 18 21 =0.

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1.

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2.

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно, А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

х₁ + х₂ — х₃ -3х₄ = -2

3х₁ + х₂ — х₃ — х₄ = 2

9х₁ + х₂ — 2х₃ — х₄ = 7

х₁ — х₂ — х₄ = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2.

С = 3 1 -1 -1 2 > 0 2 -2 -8 -8 > 0 2 -2 -8 -8 >

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7.

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7.

х₁ + х₂ — х₃ -3х₄ = -2

> 2х₂— 2х₃ -8х₄ = -8

— х₃ -6х₄ = -7.

1) х₃ = 7 — 6х₄

2) х₂ — х₃ -4х₄ = -4

х₂ = х₃ + 4х₄ — 4

х₂ = 7 — 6х₄ + 4х₄ — 4

х₂ = 3 — 2х₄

3) х₁ = - х₂ + х₃ + 3х₄ — 2

х₁ = - 3 + 2х₄ + 7 — 6х₄ + 3х₄ — 2.

х₁ = 2 -х_{4 .}

Получаем общее решение системы :

х₁ = 2 -х₄

х₂ = 3 — 2х₄

х₃ = 7 — 6х_4.

Найдём частное решение, если х₄ = 1 тогда

х₁ = 2 — 1 = 1;

х₂ = 3 — 2*1 = 1;

х₃ = 7 — 6*1 =1.

Ответ: (1;1;1;1) — частное решение .

8. Дана система линейных однородных уравнений

2х₁ +3х₂ — х₃ — х₄ + х₅ = 0,

3х₁ — 2х₂ — 3х₃ -3х₅ = 0,

х₁ — 3х₂ + 2х₃ -5х₄ -2х₅ = 0.

Докажите, что система имеет нетривиальное решение. Найдите общее решение системы. Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх, а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 > 0 9 -5 9 5 ¦*7 >

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 ¦*(-9)

1 -3 2 -5 -2

> 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х₁ -3х₂ + 2х₃ — 5х₄ -2х₅ = 0

9х₂ — 5х₃ + 9х₄ +5х₅ = 0

-8х₃ -72х₄ +8х₅ = 0

1) 8х₃ = -72х₄ + 8х₅

х₃ = - 9х₄ + х₅

2) 9х₂ + 45х₄ — 5х₅ + 9х₄ +5х₅ = 0

9х₂ + 36х₄ = 0

х₂= - 4х₄

3) х₁ +12х₄ — 18х₄ + 2 х₅ — 5х₄ -2х₅ = 0.

х₁ — 11х₄ = 0

х₁ =11х₄

Общее решение системы :

х₁ =11х₄

х₂= - 4х₄

х₃ = - 9х₄ + х₅

Найдём фундаментальную систему решений, положив х₄ = 1, х₅ = 0.

х₁ =11*1 = 11,

х₂= - 4*1 = -4,

х₃ = - 9*1 + 0 = -9.

Пусть х₄ = 0, х₅ = 1.

х₁ =11*0 = 0,

х₂= - 4*0 = 0,

х₃ = - 9*0 + 1 = 1.

Ответ: (11;-4;-9;1;0)

(0; 0; 1; 0; 1).

9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах, а = 2р + 3r, b = p -2r, | p | = v2, | r | = 3, (p,^r) = 45° .

Решение :

S =| [а, b] | = | [2р + 3r, p -2r] | = | 2[p, p] - 4[p, r ] + 3[r, p] -6[r, r] |.

[p, p] = 0, [r, r] = 0, [r, p] = - [p, r ] .

S = | 7[r, p] | = 7| r | * | p | * sinц.

S = 7 * 3 * v2 * sin 45° = 21 * v2 * v2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .

10 (78Т). Вычислите Пр_BD[BC, CD], если B (6,3,3); C (6,4,2); D (4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = (4 — 6, 1 — 3, 4 — 3) = (- 2; - 2; 1),.

BC = (6 — 6, 4 — 3, 2 — 3) = (0; 1; - 1),.

CD = (4 — 6, 1 — 4, 4 — 2) = (- 2; - 3; 2).

Найдём векторное произведение :

i j k

[BC, CD] = 0 1 -1 = i (2 — 3) — j (0 -2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

-2 -3 2

Пусть [BC, CD] = а, тогда, а = (-1; 2; 2).

Пр_BD а = (BD, a) /| BD |.

(BD, a) = -2*(-1) — 2*2 + 1*2 = 2 -4 + 2 = 0 .

Пр_BD а = 0 .

Ответ: Пр_BD а = 0 .

11. Линейный оператор, А действует в R₃ > R₃ по закону Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃, 5х₂, 3х₁ + 2х₂ + х₃), где х (х₁, х₂, х₃) — произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу, А этого оператора в каноническом базисе. Докажите, что вектор х (1,0, 3) является собственным для матрицы, А .(Т56). Найдите собственное число л₀, соответствующее вектору х. (Д25.РП). Найдите другие собственные числа, отличные от л₀. Найдите все собственные векторы матрицы, А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х₁ + 2х₂ + x₃; 5х₂; 3х₁ + 2х₂ + х₃).

Найдём матрицу в базисе l₁, l₂, l₃

A _l1 = (-1; 2 ;1)

A _l2 = (0; 5; 0)

A _l3 = (3; 2; 1)

-1 2 1

A = 0 5 0

3 2 1 .

Докажем, что вектор х = (1, 0, 3) является собственным для матрицы А.

Имеем

— 1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1.

Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0.

3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3 .

Отсюда следует, что вектор х = (1, 0, 3) собственный и отвечает собственному числу л = 2 .

Составляем характеристическое уравнение :

-1 — л 2 1

0 5 — л 0 = 0

3 2 1 — л

(5 — л)*((-1 — л)*(1 — л) — 3) = 0

5 — л = 0 или л² -1 — 3 = 0

л² = 4

л = ±2

л₁ = 2, л₂ = -2, л₃ = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу л = -2.

х₁ + 2х₂ + х₃ = 0 х₂ = 0.

7х₂ = 0.

3х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 0.

х₁ + х₃ = 0 х₁ = -х₃

3х₁ + 3х₃ = 0.

Пусть х₃ = 1, тогда х₁ = -1, имеем собственный вектор х₁ = (-1 ;0 ;1) .

Проверка :

— 1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1.

A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0.

3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1.

Следовательно, х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу л = -2.

Найдём собственный вектор для л = 5.

— 6х₁ + 2х₂ + х₃ = 0.

3х₁ + 2х₂ — 4х₃ = 0.

— 9х₁ + 5х₃ = 0.

х₁ = 5/9 х₃

— 6*(5/9 х₃) + 2х₂ + х₃ = 0.

— 10/3 х₃ + х₃ + 2х₂ = 0.

2х₂ = 7/3 х₃

х₂ = 7/6 х_{3 .}

Пусть х₃ = 18, тогда х₁ = 10, х₂ = 21 .

Вектор х₂ = (10 ;21 ;18) собственный вектор .

Проверка.

— 1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10.

A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21.

3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18 .

Следовательно, х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу л = 5 .

Ответ: матрица в каноническом базисе: -1, 2, 1: 0, 5, 0: 3, 2, 1; вектор х = (1, 0, 3) собственный и отвечает собственному числу л = 2, х₁ = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу л = -2, х₂ = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу л = 5 .

12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой, проходящей через точку М (1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x -5.

y = -2/3 x — 5/3.

к = -2/3.

Так как исходная прямая параллельна данной, то её угловой коэффициент равен к = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент к и проходящей через точку М (х₀, y₀) записывается в виде.

y — y₀ = к (x — x₀).

Имеем.

y — 4 = -2/3 (x — 1).

3y — 12 = -2x + 2.

2х + 3y — 14 = 0.

Ответ: 2х + 3y — 14 = 0 — уравнение искомой прямой .

13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М (3,6) на прямую х + 2y — 10 = 0.

Решение :

Пусть N — проекция точки М на данную прямую .

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой х + 2y — 10 = 0 равен к₁ = -½, тогда угловой коэффициент прямой MN равен к₂ = 2 .

Тогда уравнение MN имеет вид y — y₀ = 2(x — x₀) .

Для определения координат точки N решим систему уравнений.

х + 2y — 10 = 0.

y — y₀ = 2(x — x₀), x₀ = 3, y₀ = 6 .

х + 2y — 10 = 0 2х + 4y — 20 = 0.

y — 6 = 2(x — 3) -2х + y = 0.

4y = 20.

y = 4.

2х = y.

х = Ѕ y.

х = Ѕ * 4 = 2.

х = 2 .

Ответ: координаты проекции точки М (3,6) на прямую х + 2y — 10 = 0 N (2,4).

14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости, походящей через три заданные точки M₁(-6,1,-5), M₂(7,-2,-1), M₃(10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки имеет вид.

x-x1 y-y1 z-z1.

x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0.

x3-x1 y3-y1 z3-z1.

x-6 y-1 z+5.

7+6 -2−1 -1+5 = 0.

10+6 -7−1 1−5.

x-6 y-1 z+5.

13 -3 4 = 0.

16 -8 -4.

(x -6)* -3 4 — (y — 1)* 13 4 + (z + 5)* 13 -3 = (x -6)*(12+32) — (y — 1)*(-52−64)+.

— 8 -4 16 -4 16 -8.

+ (z + 5)*(-104+48) = 0.

(x -6)*44 — (y — 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0.

11*(x -6) + 29*(y — 1) — 14*(z + 5) = 0.

11x — 66 + 29y — 29 — 14z — 70 = 0.

11x + 29y — 14z — 165 = 0 .

Ответ: общее уравнение плоскости 11x + 29y — 14z — 165 = 0 .

15.Дана кривая 4×2 — y2 — 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите, что эта кривая — гипербола .

8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .

8.5. Постройте данную гиперболу .

Решение :

Выделим полные квадраты.

4(x2 — 6x + 9) — 36 — (y2 — 4y + 4) + 4 + 28 = 0.

4(x — 3)2 — (y — 2)2 — 4 = 0.

4(x — 3)2 — (y — 2)2 = 4.

((x — 3)2/1) — ((y — 2)2/4) = 1.

Положим x₁ = x — 3, y₁ = y — 2, тогда x₁2/1 — y₁2/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой .

Определим её центр

x₁ = x — 3 = 0, x = 3.

y₁ = y — 2 = 0, y = 2.

(3; 2) — центр .

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот гиперболы.

y₁ = ± b/a x₁

(y — 2) = (± 2/1)*(x — 3).

y -2 = 2x — 6 и y — 2 = -2(x — 8).

2x — y — 4 = 0 2x + 2y — 8 = 0.

x + y — 4 = 0 .

Определим фокусы гиперболы.

F₁(-c; 0), F₂(c; 0).

c2 = a2 + b2; c2 = 1 + 4 = 5.

c = ±v5.

F₁(-v5; 0), F₂(v5; 0).

F₁?(3 — v5; 2), F₂? (3 + v5; 2).

Уравнение F₁? F₂? (x — 3 + v5) / (3 + v5 — 3 + v5) = (y — 2) /(2 — 2); y = 2.

Ответ: (3; 2), действительная полуось a =1, мнимая полуось b =2, (x — 3 + v5) / (3 + v5 — 3 + v5) = (y — 2) /(2 — 2); y = 2 .

16.Дана кривая y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите, что эта кривая — гипербола .

16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .

16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .

16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .

16.5.Постройте данную параболу .

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y.

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0.

(y + 3)2 = - 6(x + 1) .

Положим y₁ = y + 3, x₁ = x + 1 .

Получим.

y₁2 = ±6x₁ .

Это уравнение параболы вида y2 = 2px, где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой .

Так как p<0, то ветви параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0 x + 1 = 0.

y = -3 x = -1.

(-1; -3) — вершина параболы .

Уравнение оси симметрии y = -3.

Ответ: (-1; -3) — вершина параболы, p = -3, уравнение оси симметрии y = -3 .