Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Восточно-Сибирская государственная академия образования Педагогический институт Кафедра психологии и педагогики начального образования Курсовая работа Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач Белоусовой Екатерины Юрьевны Иркутск 2014

Содержание Введение Глава 1. Теоретические основы методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач

1.1 Комбинаторные задачи и процесс их решения

1.2 Место и роль комбинаторных задач в школьном курсе математики

1.3 Основные методы решения комбинаторных задач детьми на уроках математики Глава 2. Экспериментальное изучение методики обучения решению комбинаторных задач

2.1 Констатирующий этап исследования

2.2 Формирующий этап исследования

2.3 Контролирующий этап исследования Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Данная тема исследования актуальна для наших детей в связи с тем, что предметные результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования должны отражать овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов. Большую помощь в этом оказывают комбинаторные задачи. Данное исследование определяет уровень логического и алгоритмического мышления школьников 8−9 лет. А выявление методов обучения решению таких задач дает возможность выбора наиболее оптимального метода для преподавания в школе.

В начальном обучении математики роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития логического и алгоритмического мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Данная тема также актуальна тем, что комбинаторные задачи играют большую роль в развитии мышления младших школьников. Решение таких задач дает возможность расширить знания учащихся о самой задаче, о процессе решения, подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальное в данной ситуации решение, организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся. задача комбинаторный математика алгоритмический Данная тема исследования интересна потому, что таких задач в школьной программе 2 класса не много, но и их решение можно свести к игре, интересной детям.

Цель работы: Изучение методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Объект исследования: Процесс обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Предмет исследования: Методика обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

Задачи исследования:

1. Выделить теоретическую литературу на тему: комбинаторные задачи и процесс их решения.

2. Проанализировать основные программы и учебники и выявить место и роль комбинаторных задач в школьном курсе математики.

3. Проанализировать опыт учителей и выявить основные методы решения задач на уроках математики.

4. На констатирующем этапе проверить уровень развития у младших школьников логического и алгоритмического мышления.

5. Разработать и провести занятия по развитию умения решать комбинаторные задачи.

6. На заключительном этапе проверить уровень развития логического и алгоритмического мышления.

Гипотеза исследования: Для того чтобы научить детей решать комбинаторные задачи, нужно:

— Изучение комбинаторных задач построить поэтапно в соответствии с методами изучения.

— Подобрать разнообразные формы организации работы.

— Чтобы у них был достаточный уровень развития.

Опытно — экспериментальная база исследования: МБОУ г. Иркутск СОШ № 29, 2-й, А класс в количестве 22 человека.

Структура работы: Курсовая работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Глава 1. Теоретические основы методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач

1.1 Комбинаторные задачи и процесс их решения В обыденной жизни нам часто встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. [22]

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее время комбинаторика является одним из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для решения практических и теоретических задач. Установлены связи комбинаторики с другими разделами математики.

В начальном обучении математике роль комбинаторных задач постоянно возрастает, поскольку в них заложены большие возможности не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к решению проблем, возникающих в повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко используются таблицы и графы. В связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения комбинаторных задач.

Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики используются для решения многих вероятностных задач, в которых речь идет о подсчете числа возможных исходов и числа благоприятных исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т. д.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д.

Путь освоения способов решения комбинаторных задач состоит из нескольких этапов: сначала решаются методом перебора и для записи используются различные способы, затем появляются правила суммы и произведения и дальше рассматриваются некоторые виды комбинаций, а их число подсчитывается по формулам. [22]

Правило суммы: нахождение числа элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств. Если объект, а можно выбрать m способами, а объект b — k способами (не такими как a), то выбор «либо а, либо b» можно осуществить m+k способами.

Например: на тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод.

Правило произведения: нахождение числа элементов декартова произведения. Если объект a можно выбратьm — способами, а объект b — k способами, то пару (a, b) можно выбрать m * k способами.

Например: 1. На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать пару плодов, состоящую из яблок и апельсина. 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить используя три цифры 7, 4 и 5.

Правила суммы и произведения — это общие правила решения комбинаторных задач. Кроме них в комбинаторике пользуются формулами для подсчёта числа отдельных видов комбинаций. С теоретико-множественной точки зрения запись любого двузначного числа — это кортеж длины 2. Записывая различные двузначные числа с помощью трёх цифр мы образовываем различные кортежи длины 2 с повторяющимися элементами. В комбинаторике такие кортежи называют размещениями.

Размещение с повторениями из k элементов по m элементов — это кортеж, составленный из m элементов k — элементного множества.

Размещение с повторениями из k элементов по m элементов — это кортеж, составленный из m неповторяющихся элементов множества, в котором k элементов.

Из элементов множества можно образовывать не только кортежи различной длины, но и различные подмножества, например двухэлементные. В комбинаторике их называют сочетаниями без повторений.

Сочетание без повторений из k элементов по m элементов — это m — элементное подмножество множества, содержащего k элементов. [21]

1.2 Место и роль комбинаторных задач в школьном курсе математики Проанализировав четыре программы: «школа России М. И. Моро», «Учусь учиться Л.Г. Петерсон», «Гармония Н. Б. Истомина», «Планета знаний М. И. Башмакова, М.Г. Нефёдова» я сделала вывод, что во всех программах, но в разной степени даются комбинаторные задачи. Сравнение программ на предмет присутствия разных методов решения комбинаторных задач я представила в таблице 1.1.

Кратко наличие разных способов решения комбинаторной задачи представила в табл. 1.2.

Табл. 1.2. Распределение способов решения задач по программам.

Проанализировав сравнительную таблицу, я могу сказать про программы следующее. По программе «Школа 2100» комбинаторные задачи предлагаются для изучения, начиная с конца первого класса, а со второго класса входят почти во все уроки. Задачи решаются в общем методом перебора. Решение с помощью таблицы и дерева возможностей предлагается на отдельном уроке во 2 классе, но далее упоминания про решение задач другими способами нет. С методом решения комбинаторной задачи с помощью графов учащиеся не знакомятся.

По программе «Гармония» задачи в учебнике даются только в первом классе, первом полугодии. Начиная со второго полугодия комбинаторные задачи исчезают из учебников, взамен предлагается тетради на печатной основе как дополнение к учебнику. Первый год решают только методом перебора: хаотичного и организованного. При знакомстве с решением с помощью таблицы учащиеся сами открывают принцип заполнения таблицы, и далее при решении задач заполняют таблицы сами. С третьего класса учатся решать задачи с помощью графа и дерева возможностей.

По программе «Школа России» задачи решаются только методом перебора и задач при этом не очень много. Предлагаются задания после некоторых тем вместе или по очереди с логическими заданиями. В 4-ом классе таких задач не было найдено.

В программе «Планета знаний» задачи решаются всеми возможными для учащихся начальных классов методами. При этом самих задач не так много, но они вводятся на закрепление после некоторых тем под рубрикой «Комбинаторные задачи». Во 2-ом классе есть отдельный урок под названием «Варианты», на этом уроке дети знакомятся с самыми разными методами решения комбинаторных задач.

1.3 Основные методы решения задач детьми на уроках математики Методика обучения решению комбинаторных задач разрабатывалась в рамках методической системы развивающего обучения младших школьников математике (Н.Б. Истомина), которая выражает необходимость целенаправленного и систематического формирования приемов умственной деятельности в процессе усвоения математического содержания. [10]

Нацеленность начального курса математики на формирование приемов умственной деятельности позволяет установить внутреннюю связь между развивающими условиями обучения и способами их достижения, так как в процессе усвоения знаний, умений и навыков приемы умственной деятельности выполняют различные функции и их можно рассматривать:

1) как способ организации учебной деятельности школьников;

2) как способы познания, которые становятся достоянием ребенка, характеризуя его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний;

3) как способы включения в процесс познания различных психических функций: эмоций, воли, чувств, внимания; в результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с ее направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний, т. е. характеризуется возрастающей активностью личности в различных сферах ее деятельности. [7]

Решение комбинаторных задач требует активного использования таких приемов умственной деятельности как анализ и синтез, сравнение, классификация, обобщение.

Способы решения комбинаторных задач, обычно делят на две группы: «формальные» и «неформальные». При «формальном» пути решения нужно определить характер выборки, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило, подставить числа и вычислить результат. Результат — это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются. Основные комбинаторные правила: сложения, умножения. [4]

Примером решения комбинаторных задач формальным способом служат следующие задачи:

Задача. 1. Сколько словарей надо иметь, чтобы можно было выполнять переводы непосредственно с любого из пяти языков на любой из этих пяти?

Решение. Число словарей совпадает с числом упорядоченных подмножеств, содержащих два элемента из пяти. Для такого перевода надо иметь 20 словарей.

Задача 2. На первой прямой взяты три точки, а на параллельной ей прямой четыре точки. Сколько существует треугольников, вершинами которых являются эти точки?

Решение. Треугольник однозначно определяется тремя точками-вершинами, не принадлежащими одной прямой. Если взять в качестве вершины треугольника одну из трех точек на первой прямой, то, чтобы получить треугольник, на второй прямой надо выбрать две точки из четырех имеющихся. Если одну точку — вершину из четырех выбираем на второй прямой, то две точки из трех надо выбрать на первой прямой. Применяя правила умножения и сложения, найдем 30 треугольников.

«Неформальный» способ решения на первый план выводит сам процесс составления различных комбинаторных конфигураций. И главная его задача быстро и правильно найти все возможные варианты.

К неформальным способам решения комбинаторных задач относят непосредственный перебор. Это самый элементарный способ, т.к. он не требует знания определений и формул. Поэтому именно его целесообразно использовать в начальных классах. Комбинаторные задачи, решаемые методом перебора условно можно разделить на три группы:

1. Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.

2. Задачи, в которых целесообразно использовать приём полного перебора не целесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их.

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам. [4]

Для того чтобы задачи были интересными учащимся, они должны быть разнообразны. Существует ещё одна классификация комбинаторных задач. Задачи подразделяются:

1. На упорядочение элементов множества.

Пример: Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок.

2. Задачи на выбор подмножеств и их упорядочение.

Пример: Запиши все двузначные числа, которые можно составить из цифр 2, 4, 7 и 8, так чтобы число десятков было больше числа единиц.

3. Задачи на выбор по одному, по два из трёх элементов с повторениями. [4]

Пример: Сделай карточки для игры в геометрические домино, используя три фигуры: круг, квадрат и треугольник.

Также должны подбираться задачи, различающиеся по характеру содержащегося в них требования:

1. Задачи, в которых требуется найти и сосчитать, сколько всего можно составить различных вариантов.

2. Задачи, в которых требуется выяснить, существует ли определённая комбинаторная конфигурация, отвечающая поставленным условиям.

3. Задачи, в которых нужно найти и выбрать наилучший вариант по определённым критериям. [4]

Обучение решению комбинаторных задач неформальным способом проводится в три этапа:

1. Подготовительный этап, цель которого формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора. На подготовительном этапе предлагаются задачи на развитие познавательных способностей, на активизацию таких мыслительных процессов как анализ, синтез, обобщение и классификация. Это задачи-игры и «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека). Например, для обеспечения мотивации решения комбинаторных задач можно предложить детям задачу-игру «День-ночь», «Башенки». Подобные игры с успехом можно проводить во время физминуток. «Жизненные» задачи", показывающие возможность применения комбинаторики в повседневной деятельности человека также направлены на формирование простых мыслительных операций. Например, интерес у ребят вызывает следующая задача: «У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух — пятидесятирублевые. Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?» В ходе решения задача обыгрывается: к доске вызываются 4 учеников, получающие модели купюр. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Вызываю «кассира» и даю ему «билеты»). Находим два возможных варианта решения: 1. — 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей; 2 — 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. Данные задачи могут предлагаться утомившимся учащимся в конце урока математики. Таким образом, на подготовительном этапе создается положительная мотивация, происходит эмоциональная подготовка учащихся к дальнейшему решению более сложных комбинаторных задач, а также идёт работа по совершенствованию мыслительных операций, которые входят в состав деятельности при решении комбинаторных задач. [3]

2. Целью второго основного этапа обучения младших школьников решению комбинаторных задач является ознакомление учащихся с методом организованного перебора, с помощью графа, таблицы и дерева возможных вариантов. При знакомстве школьников с ходом решения задач методом организационного перебора важно обучить детей выполнять перебор не хаотически, а соблюдая определенную последовательность рассмотрения всех вариантов решений.

Можно провести следующим образом. Разыгрывается следующая ситуация: Маша, Лена и Оля едут в электричке на дачу. Они сидят на одной скамейке. (Трое детей садятся на стулья около доски в один ряд.) Девочкам надо проехать 8 остановок. Что не было скучно по дороге они решили меняться местами на каждой остановке. Учителем ставится вопрос: Смогут ли дети каждый раз меняться местами так, чтобы их новое расположение оказывалось всё время отличным от предыдущих? Дети предлагают свои варианты расположения, и всё это проигрывается у доски. Методом хаотичного перебора находят 6 вариантов и учитель задаёт вопрос «Почему мы не нашли седьмой вариант, потому что не можем найти, или его нет?» Чтобы ответить на него учащиеся записывают варианты и выделяют похожие. Можно выделить такие пары: 1. М Л О -.М О Л 2. Л О М — Л М О 3. О М Л — О Л М Дети убеждаются что когда одна девочка сидит у окна, другие могут разместиться двумя способами. Также приходя к выводу, что получается только 6 пар. С помощью учителя учащиеся приходят к организованному перебору. [3]

Потом учащиеся знакомятся с таблицами. Рассматривая таблицу учащиеся открывают принцип её составления, находят способы заполнения: по строчкам, столбцам. Для того чтобы учащиеся не тратили много времени на вычерчивание таблицы Е. Е. Белокурова предлагает пользоваться специальными трафаретами. Примеры задач, решаемых с помощью таблиц: «Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?» «Проверь, правильно ли заполнена таблица». [11]

Перед решением данной задачи вспомнить разрядный состав чисел, используемых в решении задачи.

«В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ». [1]

При решении комбинаторных задач с помощью графов объекты обозначаются точками. Связи между объектами могут обозначаться линиями и стрелками, если нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов. Новое для школьников понятие «граф» рассматривается на уроке с помощью следующей задачи: «Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?» Сначала выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет, составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом. [5]

Далее учащиеся знакомятся с применением одной из разновидностей графа — деревом возможных вариантов при решении комбинаторных задач.

С детьми выясняем, что данный вид графа, если его перевернуть будет похож на дерево, на котором растут ветки с листьями. Наше дерево отличается тем, что растет сверху вниз, потому, что так удобнее располагать объекты в нужной последовательности. Такой вид графа называется деревом возможных вариантов. [5]

Таким образом, на основном этапе дети учатся решать комбинаторные задачи разными способами.

3. Отработка умения решать комбинаторные задачи логически завершает процесс формирования навыка решения этих задач в начальном курсе математики. На этапе отработки умений школьникам предлагается решать комбинаторные задачи разными способами (методом организованного перебора, с помощью таблиц, с помощью графов), тем самым, с одной стороны, закрепляя умение решать такие задачи с помощью различных приемов деятельности, с другой — осуществляя действие самоконтроля, являющееся необходимым компонентом учебной деятельности.

Процесс обучения начинается с решения простейших комбинаторных задач, расположенных уже на 1-х страницах учебника математики, направленных на развитие внимания, наблюдательности, умений анализа, синтеза, сравнения.

Дополнительно предлагаются задачи из печатной тетради «Учимся решать комбинаторные задачи». В ней содержится дополнительный материал к учебнику «Математика» автор Н. Б. Истомина. К концу обучения в 1 классе учащиеся справляются с решением простых комбинаторных задач способом перебора. Эти задачи развивают наблюдательность, внимание и логическую речь учеников.

Во 2 классе условия задач немного усложняются и требуют от детей внимания, способствуют развитию логического и образного мышления.

В качестве домашнего задания можно попросить детей попробовать самим составить комбинаторные задачи. Дети составляют их по аналогии с теми, которые решали в классе, например: «Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 2, 4, 0, если цифры не повторяются? Если цифры повторяются?».

В третьем и четвёртом классах задачи усложняются по содержанию. Они формируют у детей приёмы умственной деятельности, абстрагирования, способствуют развитию произвольного внимания и образного мышления. Дети знакомятся с деревом возможных вариантов, когда способ перебора можно заменить схемой. Схему-дерево возможных вариантов можно располагать по-разному.

Как можно разместить на скамейке Настю, Таню, Мишу и Серёжу, чтобы мальчики и девочки чередовались?

Сначала записывают все возможные варианты расположения детей на скамейке (перебор), потом заменяют схемой. Пример решения задачи представлен на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Пример записи при решении задачи.

Можно попросить заполнить самостоятельно схему-дерево, если корень дерева расположен вверху. Пример схемы представлен на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Пример схемы, заполняемой школьниками самостоятельно.

Такие задачи решить самостоятельно дети затрудняются, поэтому решение задач — коллективное. Составляем таблицу, проводим наблюдения по условию и перебираем варианты. [12]

Большую роль в организации обучения детей решению комбинаторных задач играет процесс дифференциации заданий по уровню сложности. Для учеников, испытывающих особые трудности в решении комбинаторных задач, предлагаются дифференцированные по уровню сложности задания.

· Сколько четырёхзначных чисел, в которых 6 тысяч, можно записать цифрами 6, 5, 2?

Пониженный уровень: Составить все возможные варианты записи этих чисел. Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов.

· В класс пришли четыре новых ученика: Коля, Вася, Саша и Петя. Как учитель может рассадить этих учеников за две свободные парты? Сколько вариантов выбора у него есть?

Пониженный уровень: составить все возможные варианты, пользуясь способом перебора. Повышенный уровень: Заполнить схему-дерево возможных вариантов. [13]

В этой главе я рассмотрела методы решения и методику обучения решению комбинаторных задач, а также проанализировала программы и учебники на предмет их присутствия. При анализе программ я выяснила, что комбинаторных задач очень мало и решаются они в большинстве случаев с помощью перебора. Также решению таких задач уделяется мало времени. Выяснила, что существует несколько классификаций задач. Комбинаторные задачи можно решать формальным и неформальным способом.

В начальной школе такие задачи решают неформальным способом. Обучение решению комбинаторных задач неформальным способом проводится в три этапа: подготовительный, основной, отработка умения. Сначала учащиеся решают задачи хаотичным перебором вариантов, так как это самый элементарный способ. Когда учащиеся понимают что с помощью этого метода не всегда можно найти все варианты, учитель знакомит с организованным перебором. Теперь учащиеся перебирают варианты по определённой системе. Далее знакомятся с таблицей и при этом дети сами подходят к правилу заполнения таблицы. После этого знакомятся с графом. При этом объекты обозначают точками, а связи линиями. Дети учатся находить варианты с помощью графа при задании с рукопожатиями. В конце знакомятся с разновидностью графа — деревом возможных вариантов. Заканчивается отработкой умения решать задачи с помощью методов второго этапа.

Глава 2. Экспериментальное изучение методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач

2.1 Констатирующий этап исследования Методика обучения решению комбинаторных задач в начальных классах была проверена на педагогической практике путем эксперимента в 2 «А» классе.

Эксперимент был построен в три этапа: констатирующий, формирующий и контрольный.

Констатирующий этап. На данном этапе были проведены и обработаны методики на оценку гибкости и скорости мышления. Для диагностики умения решать комбинаторные задачи в настоящий момент была предложена задача.

Первым пунктом было проведение методики на исследование гибкости мышления. Методика позволяет определить вариативность подходов, гипотез, исходных данных, точек зрения, операций, вовлекаемых в процесс мыслительной деятельности. Тест проводился в группе.

Учащимся предлагался бланк, с двенадцатью рядами слов. Им необходимо было найти в каждом ряду слово, которое не подходит, вычеркнуть его и написать почему не подходит.

Предложенный бланк:

1. Лампа, фонарь, солнце, свеча.

2. Сапоги, ботинки, шнурки, валенки.

3. Собака, лошадь, корова, лось.

4. Стол, стул, пол, кровать.

5. Сладкий, горький, кислый, горячий.

6. Очки, глаза, нос, уши.

7. Трактор, комбайн, машина, сани.

8. Москва, Киев, Волга, Минск.

9. Шум, свист, гром, град.

10. Суп, кисель, кастрюля, картошка.

11. Береза, сосна, дуб, роза.

12. Абрикос, персик, помидор, апельсин.

Обработка результатов:

1. Определила количество правильных ответов.

2. Установила сколько рядов обобщено с помощью двух родовых понятий.

3. Выяснила сколько рядов обобщено с помощью одного родового понятия.

4. Определила какие допущены ошибки.

Ключ к оценке результатов: Высокий -7−12 рядов обобщены с родовыми понятиями. Хороший — 5−6 рядов с двумя, остальные с одним. Средний — 7−12 рядов с одним родовым понятием. Низкий — 1−6 рядов с одним родовым понятием. Результаты диагностики представлены в таблице.

Табл. 2.1. Результаты диагностики у учащихся 2-го класса гибкости мышления.

По итогам диагностики гибкости мышления я выяснила что у большинства учащихся хороший уровень мышления (8 человек). С высоким уровнем 4 человека. По 5 человек со средним и низким уровнем мышления.

Далее я провела методику на изучение скорости мышления. Каждому учащемуся предоставила бланк с набором слов в которых пропущены буквы. За три минуты им было необходимо образовать как можно больше существительных единственного числа.

Рис. 2.1. Исследование уровня развития мышления.

Предложенный бланк.

Уровень мышления определялся по количеству найденных за три минуты слов. 25−30 слов — высокая скорость мышления; 20−24 слова — хорошая скорость мышления; 15−19 слов — средняя скорость мышления; 10−14 слов — ниже средней; до 10 слов — инертное мышление.

Результаты диагностики скорости мышления представлены в табл. 2.2

Таблица 2.2.

Рис. 2.2. Результаты диагностики скорости мышления.

По итогам диагностики скорости мышления я определила что более чем у половины класса (14 человек) достаточно высокий уровень мышления. У 8 человек — средние показатели.

Третье задание было решение комбинаторной задачи. Учащимся предложила из трёх цифр: 4, 8, 2 составить различные двузначные числа. Числа не повторялись. Результаты выполнения задания представлены в таблице 2.3.

Табл. 2.3. Результаты решения комбинаторной задачи.

Рис. 2.3. Результаты решения комбинаторной задачи.

По итогам решения комбинаторной задачи я выяснила, что все варианты (6) нашли только 5 человек. 4−5 вариантов нашли 9 человек. Оставшиеся 8 человек нашли по 2−3 варианта. Были замечены такие ошибки как повтор и нехватка вариантов.

По итогам диагностики я приняла решение провести формирующий эксперимент по решению комбинаторных задач.

2.2 Формирующий этап исследования Для развития мышления и формирования умения решать комбинаторные задачи я стала включать задачи в устный счёт. Для этого в начале каждого урока математики я предлагала учащимся решить комбинаторную задачу. Задачи предлагала решить тем методом, которым учащиеся учились решать на внеклассных занятиях, т. е. закрепляли умение решать задачи изученным способом. Задачи решали не в тетради, а на отдельных листах. Для проверки качества выполнения задания предлагала одному учащемуся написать (нарисовать) свои варианты на доске, остальные при этом проверяли выполнение задания и выражали своё согласие или несогласие.

Обучение решению комбинаторных задач строила поэтапно. Сначала я научила учащихся решать задачи не хаотично, а методом организованного перебора. Потом перешла к более сложным методам: решение с помощью графов, таблицы, дерева возможностей. Примеры заданий представлены в приложении 2.

Также несколько внеклассных занятий посвятила решению комбинаторных задач. В конспекты включала не только комбинаторные задачи, но и логические задания и упражнения на развитие памяти и внимания. Конспекты занятий представлены в приложении 3.

2.3 Контрольный этап исследования На данном этапе я повторно предложила методики на диагностику уровня мышления и комбинаторную задачу на самостоятельное выполнение. Примеры заданий представлены в приложении 4.

Результаты выполнения задания на диагностику уровня мышления представлены в таблице 2.4.

Табл. 2.4. Результаты исследования уровня развития мышления.

Сравнительные результаты констатирующего и контрольного этапа исследования уровня развития мышления представлены на рис. 2.4.

Рисунок 2.4

2.4 Сравнительная диаграмма Из диаграммы видно, что показатель развития мышления значительно увеличился. По сравнению с констатирующим экспериментом учащиеся объединили правильно больше рядов.

Результаты исследования скорости мышления представлены в табл. 2.5.

Табл. 2.5. Результаты исследования скорости мышления на контрольном этапе.

Сравнительные результаты представлены на диаграмме 2.5.

Рисунок 2.5

Исходя из данных сравнительной диаграммы могу сделать вывод, что скорость мышления значительно повысилась. За те же 3 минуты учащиеся смогли найти больше слов.

В качестве комбинаторной задачи предложила следующую: у вас есть красное, зелёное и жёлтое яблоки. Вам нужно нарисовать как можно больше вариантов их размещения на тарелке.

Результаты самостоятельного решения комбинаторной задачи представлены в табл.2. 6.

Табл. 2.6. Результаты решения комбинаторной задачи.

Сравнительные результаты констатирующего и контрольного этапа представлены на диаграмме 2.6.

Рисунок 2.6

Из диаграммы видно, что по сравнению с констатирующим этапом учащиеся стали лучше решать задания на логическое и алгоритмическое мышление.

Из этого следует, что возможно научить решать комбинаторные задачи учащихся начальных классов, используя занимательные задачи и интересные задания и тем самым повысить показатели логического и алгоритмического мышления учащихся 2 класса.

Для эксперимента я взяла второго класса в количестве 22 учащихся. На констатирующем этапе были проведены и обработаны методики на оценку гибкости и скорости мышления. Также проверила умение решать комбинаторные задачи, предложив им простую задачу с вариантами. В результате выяснила, что у значительной части класса уровень мышления средний и ниже среднего. Также при решении задачи были замечены такие ошибки как нехватка или повтор вариантов. Опираясь на результаты, решила провести формирующий эксперимент.

На формирующем этапе исследования для развития мышления и формирования умения решать комбинаторные задачи я стала включать задачи в устный счёт. Обучение строилось поэтапно в соответствии со сложностью задачи. Перед введением каждого приёма проводила внеклассное занятие, на котором подробно разбирали поэтапное решение с помощью этих методов.

Результаты формирующего этапа проверила в контрольном эксперименте. Выяснила, что учащиеся стали намного лучше решать комбинаторные задачи: почти 70% детей нашли все 6 вариантов решения задачи. Также у них повысились общий уровень и скорость мышления.

Заключение

Курсовая работа посвящена изучению методики обучения младших школьников решению комбинаторных задач.

При анализе программ я выяснила, что комбинаторных задач в программе 1−4 классов немного и им не уделяется должного внимания. Анализируя опыт учителей, я выяснила, что данные задачи вводятся поэтапно, с нарастанием уровня сложности и с применением новых приёмов решения.

Провела диагностику уровня мышления и умения решать комбинаторные задачи с учащимися второго класса. При этом выяснила, что уровень мышления недостаточно высокий, и они не умеют находить все варианты при решении задачи. Для улучшения этих показателей на формирующем этапе вводила задачи в устный счёт, а также проводила внеклассные занятия с комбинаторными задачами. На контрольном этапе при помощи диагностики выяснила, что у учащихся повысился уровень мышления, и количество детей умеющих находить все варианты при решении комбинаторной задачи возросло в 2 раза.

Таким образом, в ходе выполнения курсовой работы все поставленные задачи были решены в полном объеме согласно плану.

1. Башмаков, М. И. Нефёдова, М. Г. Математика. Комплект учебников для 1, 2, 3 и 4 класса. М.: Астрель, 2012.

2. Белокурова, Е. Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики //Начальная школа. 1992. № 1. с.20−22.

3. Белокурова, Е. Е. Методика обучения решению комбинаторных задач //Начальная школа. 1994. № 12. с. 45 — 47.

4. Белокурова, Е. Е. Характеристика комбинаторных задач // Начальная школа. 1994. № 1. с. 34 — 38.

5. Белокурова, Е. Е. Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов //Начальная школа. 1995. № 1. с. 21 — 24.

6. Варга Т. Математика 2. Плоскость и пространство. Деревья и графы. Комбинаторика и вероятность: Математические игры и опыты. Пер. с нем.- М.: Педагогика, 1978. 112 с.

7. Власова, И.Н. Комбинаторно-вероятностные задачи в начальном курсе математики // Начальная школа. 2012. № 1. с. 74 — 78.

8. Виленкин, Н. Я. Комбинаторика. — М.: изд. Наука, 1969. 328 с.

9. Истомина, Н. Б. Методика обучения математике в начальных классах. M.: Академия, 1999. 288с.

10. Истомина, Н. Б. Математика. Комплект учебников для 1, 2, 3 и 4 классов. Смоленск: Ассоциация 21 век, 2011.

11. Истомина, Н. Б. Учимся решать комбинаторные задачи. Математика и информатика. 1 — 2 классы./ Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова.// Смоленск: Ассоциация 21 век, 2012.

12. Истомина, Н. Б. Учимся решать комбинаторные задачи. 3 класс./ Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова.// Изд.: Линка-Пресс, 2005.

13. Истомина Н. Б., Виноградова Е. П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для учащихся 4 класса четырехлетней начальной школы. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2004.

14. Кушнерук Е. Н., Айзенберг М. Н. Клименченко Д.В. Комбинаторные упражнения. /Нач. шк. № 6, 1977, с. 44.

15. Катасонова А. Т. Простейшие комбинаторные задачи /Нач. шк. — 1972. — № 9. — С. 36−38.

16. Клименченко Д. В. Задачи с многовариантными решениями /Нач. шк, — 1991. — № 6, — С. 25−29.

17. Клименченко Д. В. Различные комбинаторные упражнения / Нач. шк. — 1977, — № в. — С. 44−48.

18. Когаловский С. Р. Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. — 2004. — № 4. с. 18 — 23.

19. Моро М. И. Волкова С.И. Степанова С. В. Математика. Комплект учебников для 1,2,3 и 4 классов.- М.: Просвещение, 2013.

20. Петерсон, Л. Г. Математика. Комплект учебников для 1, 2. 3 и 4 классов. — М.: Ювента, 2010.

21. Стойлова Л. П. Математика: Учеб. пособие для студ. сред. пед. учеб. заведений — Издательский центр: «Академия», 1998. — 432 с.

22. Стойлова Л. П. Способы решения комбинаторных задач //Начальная школа. — 1994. — № 1.

23. Солнышко С. В. Использование комбинаторных задач при обучении первокласноков математике // Начальная школа плюс-минус До и После. -1996;№ 2.

24. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (1−4 классы) Приказ от 22 сентября 2011 г. № 2357.

25. Целищева, И. И. Обучение решению комбинаторных задач детей 4 — 10 лет /И.И. Целищева, И. Б. Румянцева, Е. С. Ермакова. //Начальная школа. 2005. № 11. с. 84 — 89.

Приложение 1

Примеры задач применяемых на уроках математики.

Задача 1. У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух — пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Методические указания: для решения задачи целесообразно разыграть сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1) 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2) 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей. [2]

Задача 2. В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т. е. не нужно было идти в обход. Покажите, какие дорожки будут сделаны.

Методические указания: учитель обсуждает с учениками возможные варианты. [2]

Задача 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, как по-разному раскрасили паруса, если было всего две краски?

Методические указания: после прочтения задачи учитель может повесить заготовленные заранее модели парусников на доску, чтобы учащимся было легче сориентироваться в ситуации.

На основном этапе учащиеся знакомятся с разными способами решения комбинаторных задач.

На данном этапе решаются задачи четырех видов:

v задачи, решаемые методом организованного перебора;

v задачи, решаемые с помощью таблиц;

v задачи, решаемые с помощью графов;

v задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.

Задачи, решаемые методом организованного перебора Задача 4. На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта? [11]

Задача 5. Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Методические указания: при решении данной задачи можно предложить учащимся организовать перебор с помощью раскрашивания квадратов, предварительно установив порядок.

1. Пусть первый квадрат раскрашен красным цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: синим и зеленым, зеленым и синим.

2. Пусть первый квадрат раскрашен зеленым цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и синим, синим и красным.

3. Пусть первый квадрат раскрашен синим цветом, тогда остальные квадраты можно раскрасить двумя способами: красным и зеленым, зеленым и красным. В результате получаем всего 6 способов. [11]

Задача 6. У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

Методические указания: в данной задаче важно обратить внимание учащихся, что порядок яблок значения не играет, результат будет тот же, если поменять яблоки местами. Начинать решение следует с очевидного варианта — яблок одинакового цвета. [11]

Задача 7. В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?

Методические указания: следует обратить внимание учащихся на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева. Но при расположении шаров необходимо пользоваться организованным перебором. [11]

Задача 8. Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых, 2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из трех тюльпанов ты можешь составить?

Методические указания: как и в предыдущей задаче, следует обратить внимание учащихся, что при выборе трех цветов не имеет значения порядок расположения в букете. [11]

Задача 9. На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?

Методические указания: пары насекомых удобнее располагать в столбики. Начинать перечисление пар насекомых следует в порядке их следования в тексте задачи. [11]

Задача 10. Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. [18]

Решение комбинаторных задач с помощью таблиц.

Задача 11. Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи. [5]

Задача 12. Проверь, правильно ли заполнена таблица?

Методические указания: как и перед решением предыдущей задачи необходимо вспомнить с учащимися разрядный состав чисел, используемых в решении задачи. [5]

Задача 13. Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ. Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.

Методические указания: при решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена таблица и заполнить ее до конца. Составленную таблицу соотнести с условием задачи. Далее обвести зеленым цветом только клетки, в которых показаны ручки разных цветов. [11]

Задача 14. В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством?

Методические указания: для удобства записи данных в таблицу нужно подвести учеников к мысли о том, что имена и отчества можно записывать кратко, используя только первую букву имени и отчества. [5]

Задача 15. У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.

Методические указания: в основе решения данной задачи лежит правило произведения: «Если объект, А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать k способами, то объект „А и В“ можно выбрать m • k способами». Учащимся данное правило не сообщается. [11]

Задача 16. У Кати 2 кофты и 3 юбки — все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?

Методические указания: особенность данной задачи в том, что прежде чем ответить на вопрос, необходимо составить и заполнить таблицу, а затем сравнить числа: количество костюмов, которые получили в результате заполнения таблицы с количеством дней. Только после такой работы можно ответить непосредственно на вопрос задачи. [11]

Задача 17. В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и 5 мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.

Методические указания: эту задачу можно дать учащимся в качестве домашнего задания. Таким образом, давая возможность самим составить и заполнить таблицу. [1]

Решение комбинаторных задач с помощью графов.

Задача 18. Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Методические указания: для начала необходимо выяснить с учащимися, как можно обозначить каждого человека (быстрее и удобнее изображать людей точками, которые располагаются примерно по кругу, чтобы записи были понятными и наглядными). Рукопожатия удобно обозначить черточками. Сначала составить рукопожатия одного человека (точку соединить со всеми остальными), потом перейти к другому человеку. Проведенные линии помогут увидеть, с кем он уже поздоровался, а с кем нет. Составить недостающие рукопожатия. Так действовали до тех пор, пока все не поздоровались друг с другом. [1]

Задача 19. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?

Методические указания: при решении данной задачи важно подвести учащихся к мысли о том, что связи между объектами могут обозначаться не только линиями, но и стрелками. Это происходит в том случае, когда нужно показать направление действия или правильную последовательность в изображении объектов.

Целесообразно также сравнить получившийся граф с графом из задачи 18: общее — объекты обозначаются точками; различное — связи между объектами могут обозначаться прямыми линиями и стрелками; во втором графе используется «петля» для обозначения двузначного числа, состоящего из двух одинаковых цифр. [20]

Задача 20. Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. Покажи красным цветом стрелки, которые показывают, кому Миша подписал открытки, а синим — кто подписал Мише.

Методические указания: при решении этой задачи имена можно обозначить первой буквой, изобразить граф, изображая поздравления стрелками. После стрелки обвести соответствующим цветом. [5]

Задача 21. Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь всевозможные суммы. Выбери граф, который соответствует данному заданию.

Методические указания: цель данной задачи — формировать умение читать граф. Стрелочка вокруг каждого числа обозначает, что к данному числу прибавляют то же число. [5]

Задача 22. Соедини линией каждое задание с графом, который ему соответствует.

Методические указания: перед решением данной задачи необходимо вспомнить с учащимися, что обозначают стрелки и петли у графа.

Задача 23. Рассмотри граф.

Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.

Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:

а) суммы; б) разности;

в) произведения; г) частные, значение которых ты можешь вычислить.

Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. [5]

Задача 24. Шесть девочек взяли напрокат двухместную лодку. Построй граф, на котором будет показано, как девочки катались парами.

Методические указания: см. Методические указания к задаче 22. Важно обратить внимание учащихся на то, что при построении графа надо ставить не стрелки, а линии. [13]

Задача 25. Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать два числа? Проверь свой ответ, изобразив граф.

Методические указания: данную задачу надо сначала решить методом организованного перебора, подсчитать количество разностей, а затем построить соответствующий граф. [5]

Решение с помощью дерева возможных вариантов.

Задача 26. Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки до нижних.

Методические указания: Задачу 26 и задачу 27 целесообразно предлагать учащимся на одном уроке. [5]

Задача 27. Какое число зашифровано в выделенном пути? Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.

Методические указания: проанализировав новый вид графа, важно подвести учащихся к выводу, что они отличаются по структуре от ранее изученных графов: предложенные схемы отражают определенную последовательность, которая начинается строго с определенного объекта.