Ортогональные ряды в симметричных пространствах

Теория ортогональных рядов, являющаяся частью теории функций, находит в настоящее время широкое применение в самых разнообразных областях математики. При этом наряду с разработкой общей теории ортогональных рядов продолжается изучение конкретных ортогональных систем.

Симметричные функциональные пространства, появившиеся в работах по теории интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу, представляют собой достаточно широкий класс пространств, который охватывает, в частности, классические пространства L р .

На стыке этих двух областей математики возникает много нерешенных проблем. Так, известные для пространств L р теоремы порождают вопросы о справедливости аналогичных фактов в том или ином классе симметричных пространств. С другой стороны, решение некоторых задач в шкале пространств L ^ приводит к появлению неклассических симметричных пространств.

Предварительные сведения.

Симметричным пространством /см. Г?], [26] / называется банахово пространство Е измеримых функций на [о,±-] или на полуоси (о } оо), удовлетворяющее двум условиям:

I/ из|х (±)Иа<*)|, следует, что 0Се£.

2/ если функция X равноизмерима с? ?, то ЭС € Ё И ||ЭС||=||Ч|| .

Невозрастающая перестановка X модуля функции X определяется равенством х*(-Ь) = wuf {а «о: у» ({г: ои (х) >0}) s t J .

Здесь и всюду в дальнейшем ju. — мера Лебега, Существенную информацию о свойствах симметричного пространства? несет в себе функция Т HIG^II^^, где? ^ - оператор растяжения, определяемый для каждого Т>0 формулой foe (t" 4), О ШЛ (i.v) oc)(i) — <

I 0, mm (i7z)<.i: ^ I для случая = E ([o, i])% формулой etoa)(i) = ос (г'Ч) для E = E (o,"). Напомним, что числа.

А .* t>d IT и называются, соответственно, верхним и нижним индексами Бонда симметричного пространства Ё. Фундаментальной функцией симметричного пространства Ё на C^j-O или (о, оо) называют функцию где или (0,0°) соответственно,.

— характеристическая функция множества в<�с (0,ро). Равенство определяет функция растяжения функции (~Ь). Поведение характеризуют два числа: v <

X (n —"—z— - нижний показатель растяжения CP ;

ЬкЪЛй) —^ —- верхний показатель растяжения Uf ;

Функция ^^ («t) является квазивогнутой, поэтому O^^SySl • Через? ij>f)X мы обозначаем носитель функции X (-fc), т"е. uj>[> X ={i: x (i)*o].

Функции Хаара определяются следующим образом у 0 = A w ^ —ср г ' г / vz^'z*/ где 5.

Замыкание линейной оболочки последовательности [d 1)1⁴ обозначается? oil] .

Запись означает, что существует константа такая, что.

Пусть 1^. Говорят, что банахово функциональное пространствоXвыпукло /соответственно, CJ- -вогнуто/, если существует константа «>) такая, что для любого К и для любого набора {0CjJ векторов из X выполнено неравенство igiocjyi *c (ri*jj-)p.

1=1 -Л соответственно (f II)* ^ С |l (t I* J *)МХ Л.

Если эти неравенства выполнены лишь для наборов из попарно дизъюнктных элементов, то говорят, что X допускает верхнюю J) -оценку / соответственно, нижнюю ^-оценку/ [2б] .

Основные результаты.

Первая глава диссертации посвящена исследованию последовательности характеристических функций в симметричных пространствах, Непосредственно из определения вытекает следующее свойство пространств Ц, 1^|э<�оо: если — последовательность дизъюнктных измеримых подмножеств отрезка Lo, ±2, то.

II 3411ц. для произвольной последовательности чисел f^fej^ • Если в качестве брать произвольную последовательность подмножеств, то Iс.^ ЗЕе^ |Jl не определяется, вообще говоря, последовательностями fCjJj^ и (ju «а зависит от расположения подмножеств Cek}k°-i •.

В связи с этим возникает вопрос: какому условию должна удовлетворять последовательность [j^C^)}^! ' чтобы норма ряда C-ji в симметричном пространстве Е? являлась с точностью до эквивалентности функцией только от ^ и { J1*- ^ Здесь доказывается следующая теорема.

Теорема I.I. Цусть Е — симметричное пространство на[о, l], удовлетворяющее двум условиям: а/ .&5- Н =0 г"о ^''Е-е б/ SVg < 1. цусть, о<�а.

DO 00 lkEc^eJIE — HI с, *(в|вк)|в при любых б^С [од], и произвольных С^ О необходимо и достаточно выполнения условия.

— /ол/.

II 00.

Ясно, что в формулировке теоремы II У7 ЭР, II можно k°Wfe)"e заменить g Ct ^J^- ^ = 21 •.

Из теоремы IЛ получены следствия дня пространств Орлича L ~, Лоренца Л* и Марцинкевича И. Для пространств /соответственно /" удовлетворяющих условия.

О < ^ С 4 «из теоремы I. I следует, в частности, что последовательность ортонормированных функций.

I /соответственно. (^k). ] /, f (<4)Jbi I J^ где f^kJktj ~ дизъюнктные подмножества [0,1J «r эквивалентна в / jM^ / стандартному базису / / тогда и только тогда, когда выполнено /0.1/.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию подпоследовательностей системы Хаара /с.Х./ в Li * Известен следующий результат Ж. Гамлена и П. Гадета [21 J: для j3 €(l,) замыкание линейной оболочки любой подпоследовательности с.Х. в L^ изоморфно либо? р, либо L?. Ситуация при jb = 1 сложнее* Это связано с тем, что не всякая подпоследовательность с. Х, порождает в L^ дополняемое подпространство. Введем следующее определение.

Определение 2,1.1. Подпоследовательность с.Х. fcl^]**^ будем называть подпоследовательностью без разветвлений при условии, что для любого JTL множества.

— t: Л (U suftclj И либо пусты, либо совпадают соотвественно с suj^olg и sujjjod^ для некоторых > И. и к >И. .

Теорема 2.1. Подпоследовательность с.Х. без разветвлений порождает в LA дополняемое подпространство.

В качестве следствия получаем, что подпространство L^, порожденное подпоследовательностью с.Х. без разветвлений, изоморфно либо 11, либо L* ^ .

Отметим, что подпоследовательность с.Х. может порождать подпространство, изоморфное ,. не будучи эквивалентной стандартному базису И ^ / [ 191 /. Второй параграф второй главы посвящен нахождению необходимого и достаточного условия на подпоследовательность с.Х., при котором она эквивалентна стандартному базису t ± .

Определение 2.2.1. Цусть Га,)00, — подпоследовательность.

L ПJ П. — ± с.Х. Последовательность С AjJuo подмножеств [" о, 4J будем называть цепочкой для [ctj^, если Ai^Ai и существуют последовательность знаков f^-jj/w и последовательность дизъюнктных подмножеств множества натуральных чисел [Д^ такие, что для любых М? пг €/Vl ?и|э|э dKfZufyd^ft при H^Wi и.

Al = [" fc:

Теорема 2.2.1. Дусть {d-^}™^ - подпоследовательность с.Х. Следующие утверждения равносильны: nfeX.

I/ последовательность] ^ik^i «эквивалентна стандартно.

0 l^'I^IL му базису ь ± - 4.

2/ fctnj^является безусловно базисной в L^ - 3/ существуют натуральное k и число Ce[o, i) такие, что произвольная цепочка [Ai]iso ^ удовлетворяет условию (Ak).

В качестве следствия получаем, что если ' ii^nliLi) подпоследовательность с.Х./ эквивалентна стандартному базису, то По/ k3iГ-1 Дополняемо в. Этот результат является частичным ответом на один из вопросов Л. Дора /см. His], (jtol&m. S. В, с. 173/.

В третьей главе диссертации доказываются оценки сверху и снизу коэффициентов Фурье по с.Х. Порядок коэффициентов Фурье-Хаара различных классов функций изучался П. Л. Ульяновым ?10], С. В. Бочкаревым, Б. И. Голубовым и другими авторами / см. обзор [б] /.

В первом параграфе третьей главы исследуется связь оценок коэффициентов Фурье-Хаара с геометрическими свойствами симметричных пространств.

Теорема 3.I.I, Дусть? — сепарабельное симметричное пространство, удовлетворяющее условию 0 < 1, Оценка.

М vlt г1=0 Ц=1 Ь n.= C"R=4 U /0.2/ с константой JM, не зависящей от, имеет место тогда и только тогда, когда пространство Ё 2-вогнуто.

Заметим, что 2-вогнутость симметричного пространства влечет неравенство оС^— / ?262 «с. 132/. Обратное не имеет место. Из /0.2/ можно получить оценки коэффициентов Фтрье-Хаара.

А • функций из пространств, удовлетворяющих условию оСс • Для ti (L этого рассмотрим оператор где ^ = Х>0 1 г1~К и множества f €. д ] дизъюнктны.

Теорема 3.1.2. Цусть ?? — симметричное пространство, удовлетворяющее условию o^g < < i. Оператор ограничен Б Ё и II Tg llg^g зависит только от.

Е *.

Теорема 3.1.3. Цусть Ё удовлетворяет условиям теоремы.

3.1.1, 1. Оценка оо^, м f, ь, А с константой HL г не зависящей от {Ch.k} г имеет место тогда и только тогда, когда пространство EJ удовлетворяет вержей роценке.

Из теорем 3.1.1−3 получаем для пространств Lj, следствие" Следствие ЗЛ.1. Цусть ,?. >0. Существует такая константа J^l (f",?)>0 «что.

2 f ic^i^-^ Л z? i • • /о. з/ i IvpiW Vok"i 41 ' bf) V=obi '.

Левая часть неравенства /0.3/ является аналогом известной теоремы Пэли о коэффициентах Фурье по ограниченным ортонормиро-ванным системам / [ 7J, с. 233/. Отметим, что неравенство /0.3/ перестает быть справедливым при? ==¦ О .

Во втором параграфе третьей главы исследуется вопрос о том, в каких симметричных пространствах Е = ЕГ (О, выполняется неравенство где f^kl — последовательность дизъюнктных подмножеств на прямой, JU.. Здесь оказывается полезным следующее понятие.

Определение 3.2.1. Будем говорить, что банахово функциональное пространство X допускает внутреннююоценку сверху /соответственно снизу/, 1 f если существует константа Ктакая, что для произвольного набора дизъюнктных функций.

С «fl]l=i и ПР0ИЗВ0ЛЬНЫХ С § 1 ](>4 «§-*выполняется неравенство ^ соответственно Kg | < К ||? | Jx /.

Если симметричное пространство Ё имеет нетривиальные индексы Бонда, то система Хаара является безусловным базисом в, т. е. оа 2Р" I со 2. ^ 1 п ^ iSS.^^I.-Kl^XifFle:.

Из этого следует, что неравенство /0.4/ имеет место тогда и только тогда, когда? допускает внутреннюю 2-оценку сверху. Важность неравенства /0.4/ объясняется тем, что во многих симметричных пространствах нахождение ||^нк || ^ значительно проще для дизъюнктных? •.

Для пространств Лоренца, Марцинкевича и Орлича найдены точные условия справедливости внутренних Ъоценок.

A A, 1.

Теорема 3.2.1. Пусть = ±. Следующие утверждения.

Р ^ эквивалентны;

I/ пространство Лоренца Л ^ допускает внутреннююоценку снизу;

2/ пространство Марцинкевича допускает внутреннюю с^ -оценку сверху;

3/ существует константа К такая, что доке произвольного набора чисел «t» Ь^ i нюю.

Теорема 3.2.2. Пространство Орлича допускает внутрен.

— оценку снизу тогда и только тогда, когда существует U0>1 такое, что для любых U) ir>u0 N (Uir) |{ u^Mir).

Введенные понятия внутреннихоценок сверху и снизу связаны с понятиями верхних и нижних J> -оценок, Jbвогнутостью и J) -выпуклостью.

Последний третий параграф третьей главы посвящен изучению рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами. П. Л. Ульянов доказал, что на множестве рядов Фурье-Хаара с монотонными коэффициентами нормы пространств «Li j,, 1 ^ J5 < 00, эквивалентны / [ю] /. Этот результат усиливается в двух направлениях: находится точная граница в классе симметричных пространств, для которых имеет место такая эквивалентность, и монотонность коэффициентов заменяется более слабым условием.

Обозначим через & замыкание пространства существенно ограниченных функций «L^ по норме 9 i /x (-fc)i.

IxL = i4{bo: Ke^Lljd-t^l] О.

Это пространство обладает некоторыми экстремальными свойствами в классе симметричных пространств / [28] /.

Рассмотрим множество последовательностей {с^]^, удовлетворяющих следующему условию: существует такое Д > О, что игах IС I I иг1п |с ч I /п/ l^m^z*1'1 1 (и.-:1)>п I. /о.ь/.

Теорема 3.3.1. Цусть El — симметричное пространство. Для того чтобы норма ряда.

— О zК i была эквивалентна ^ на множестве последовательностей, удовлетворяющих условию /0.5/, необходимо и достаточно, чтобы Ё ^ &• .

В заключительной четвертой главе диссертации изучаются последовательности независимых случайных величин. Первый параграф посвящен доказательству одного экстремального свойства функций Радемахера в классе последовательностей независимых симметрично распределенных случайных величин.

Теорема 4,1. Пусть? ^kJj^f" последовательность независимых симметрично распределенных случайных величин на Qo, 4], | =)| о || =CL>0. Тогда для любых ft. иЬе[рД].

1 У LaJ!

J (| скЧ (V fix * -f /f| ck h (Z)fJ r где f ~ последовательность функций Радемахера, т. е. гк (4г) = s’Ul zk (v~b.

Во втором параграфе третьей главы изучается последовательность независимых случайных величин f -?•-,} 1 = 4 «распределенных по одному и тому же закону на некотором вероятностном пространстве (Л, 21, v) :

V ({ur€jl — |{L (ur)|>M) для любых ^>1 1<}<оо. Известно, что для любого Ъ. >|з существует константа К — К (]эд)< 00 такая, что для любой конечной последовательности чисел {" (X i} ± имеют место неравенства: L 27 Ц /, Неравенство /0.6/ является центральным в доказательстве того, что верхняяоценка влечет |> -выпуклость банаховой решетки X при |> < t. Неравенство /0.6/ может быть усилено.

Теорема 4.2.1. Пусть? «f-,]i.=d. ~ определенная выше последовательность независимых случайных величин. Тогда для любой конечной последовательности? CL L 3 d p-i i-i.

Здесь {(аг&М)*^ - перестановка в порядке убывания «вду-лей последовательности { (XLf • Константа является точной. Сформулируем геометрическое следствие из теоремы 4"2.1.

Следствие 4.2.1. Если для любого ОС бХ и для любого разбиения? o}iJ на дизъюнктные подмножества k * Ilx||y < к к р (||х-эгек||х) то банахово функциональное пространствоX jbвыпукло.

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961″ -932 с.

2. Бухвалов А. В., Векслер А. И., Лозановский Г. Я. Банаховы решетки некоторые банаховы аспекты теории. — Успехи матем. наук, 1979, т. 34, № 2, с. 137−183.

3. Голубов Б. И. Ряды по системе Хаара. В кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ. Т.9. М.: ВИНИТИ, 1971, с. 109−146.

4. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз, 1958. 271 с.

5. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

6. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.

7. Новиков С. Я. Котип и тип функциональных пространств Лоренца. Математические заметки, 1982, т.32, В 2, с. 213−221.

8. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара с монотонными коэффициентами. Известия АН СССР, серия матем., 1964, т. 28, J5 4, с. 925−980.

9. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. М.: МИР, 1967, т.1. 498 с.

10. Новиков И. Я. Последовательности характеристических функции в симметричных пространствах. Сибирский матем. журнал, 1983, т. 24, В 2, с.193−196.

11. Новиков И. Я. О подпоследовательностях системы Хаара в .- Успехи матем. наук, 1984, т. 39, № I, с. I2I-I22.

12. Новиков И. Я, Некоторые результаты о системе Хаара в L^ •- В кн.: Всесоюзная школа по теории функций, посвященная 100-летию со дня рождения академика Н. Н. Лузина. Тез.докл., Кемерово, 1983, с. 76.

13. EJio P., SWiiT Sufefxtc^ of Lx cordainuuf Lt.

14. Scmveen 1, Gctudet R. On ^иЬарда^ o{ the Наал^-tem la LfLo. ilM<�"). Artorf a. tttaiA.dm.v-iS.pW-^13- j j л.

15. Ък^т W.B., mau^B., 5ch? cW^n.

16. Roolin V.A., SmyoYiQp E. M. Raclemaclm In Summeitlc Sbaess. Ah-cJlySU IfYlcdk., ±9?5, ,.