Вычисление интеграла по поверхности

1)Поверхностный интеграл второго рода

2)Вычисление интеграла по поверхности

3)Теорема Остроградского-Гаусса

4)Дивергенция Литература интеграл теорема доказательство

Интеграл по поверхности Поверхность будем рассматривать

1. как образ замкнутой области при непрерывном отображении

2. Отображение можно задать в векторном виде в каждой точке гладкой поверхности

3. Для существует нормаль, перпендикулярный к касательным кривым в точке. Следовательно равен векторному произведению касательных к векторов:

поверхность

направление касательных прямых к и в т. к поверхности

.

Направляющие косинусы нормали к поверхности

Задание векторного поля характеризует задание вектор функции:

Примеры векторных полей:

— поле скоростей текущей жидкости или газа.

— гравитационное поле

— электростатистическое поле.

Если в какой то области, заполненной жидкостью (или газом), текущей с некоторой скоростью, к каждой точке можно поставить в соответствие векторное поле, то получим векторное поле скоростей текущей жидкости.

Поверхностный интеграл второго рода.

Определение интеграла по поверхности.

Вычисление.

Дано: — область ограниченная поверхностью

Дано: — поверхность

— векторное поле скоростей текущей жидкости или газа через поверхность в направлении нормали .

Функции — непрерывны в области с границей .

Т/н: поток жидкости (или газа) через поверхность в направлении .

Решение.

1. Поверхность разобьем на произвольных частей.

2. Выберем по точке

3. Вычислим скорость течения жидкости в точке

4. Определим, гдескалярное произведение

— единичная нормаль к поверхности в точке

— вектор в точке .

5. Составим

6. Найдем

Механический смысл интеграла по поверхности

объем цилиндра с основанием и высотой .

Еслискорость течения жидкости, то равно количеству жидкости или газа протекающий через поверхность за единицу времени в направлении нормали .

— общее количество жидкости или газа протекающей через поверхность в положительном направлении нормали равен потоку векторного поля через поверхность в направлении нормали .

Вычисление интеграла по поверхности Пусть нормаль :

Заметим, что

Действительно, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, -угол между касательной плоскостью к и его проекцией на плоскость

Следовательно

Вычисление интеграла по поверхности.

1.

Аналогично Пример 1.

Найти поток вектора через часть поверхности параболоида

в направлении внутренней нормали.

— проектируется на с двух сторон и образует с осью Ох углы (острый и тупой)

Аналогично

Пример 2. Вычислить, гдесфера, нормаль внешняя.

Пример 3. Найти поток вектора через часть сферы в направлении внешней нормали Пример 4.

Пример 5.

Теорема Остроградского-Гаусса.

Дивергенция.

— поток вектора через поверхность в направлении за единицу времени есть разность между количеством жидкости вытекающей из области и количеством жидкости втекающей в область .

1.. Следовательно из области жидкости вытекает столько же сколько втекает.

2. жидкости или газа вытекает больше, внутри существует источник.

3. жидкости или газа втекает больше чем вытекает, внутри существует сток.

Чтобы оценить мощность источников и стоков внутри нам необходима теорема Остроградского-Гаусса.

Еслинепрерывна вместе с частными производными в области то:

Поток изнутри равен суммарной мощности источников и стоков в области

за единицу времени.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность :

является глобальной характеристикой векторного поля в области и очень приблизительно позволяет судить о наличии источников и стоков в области .

· Поток представляет собой избыток жидкости протекающей в сторону положительной нормали, а не абсолютное количество жидкости прошедшей через независимо от направления течения. В связи с этим удобно ввести локальную характеристику распределения стоков и источников. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке):

Дивергенция:

Определение: — стягивается в точку.

Определение: Дивергенцией векторного поля в точке называется предел отношения потока векторного поля через поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии что поверхность стягивается в точке .

Дивергенция характеризует отнесенную к единице объема мощность потока векторного поля исходящего из точки, т. е. мощность источника и стока находящегося в точке .

— средняя объемная мощность потока .

— существует источник в точке .

— существует сток в точке

Теорема 2.

Доказательство:

ч.т.д.

Пример 1.. Найти поток вектора через всю поверхность тела, в направлении внешней нормали.

Решение:

1.

2.

Литература

Ефимов А. В. Математический анализ (специальные разделы). — М. Высшая школа, 1980

Ильин В.А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, I, II ч. М. Издательство МГУ, 1987

Шилов Г. Е. Математический анализ функции нескольких вещественных переменных. ч. 1 — 2, М., Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972.

Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа I, II ч. М. Наука 1981.