Весовые пространства функций с весами полиномиального роста

В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальных уравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в Сп, бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим. Например, логарифмическим.

В работе рассматриваются следующие основные вопросы:

1. описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразований Лапласа (или ФурьеЛапласа);

2. анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций;

3. проблема базиса в весовом пространстве целых функций;

4. разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков: JI. Шварца, Р. Пэли, Г. Полна, Н. Винера, Л. Эренпрайса, JI. Хёрманде-ра, А. Мартино, B.C. Владимирова, В. В. Напалкова, Б. А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова, В. В. Жаринова, Г. И. Эскина, A.M. Седлецко-го, A.B. Абанина, C.B. Попенова, В. А. Ткаченко, Ф. Хаслингера, И. Х. Мусина, В. И. Луценко, Р. Майзе, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из" теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Ф. Леонтьева, В. В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю. Ф. Коробейника, Б. А. Тейлора, A.M. Седлецкого, P.C. Юлмухаметова, A.C. Кривоше-ева, С. Г. Мерзлякова, Б. Н. Хабибуллина, A.B. Абанина, О. В. Епифанова, В. В. Моржакова, С. Н. Мелихова, К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений — в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В. П. Паламодова, В. В. Напалкова, И. Х. Мусина, Роевера, А. Мартино, Д. Струппы и др.

Цели работы.

1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Сп.

2. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой с малым зазором между весовыми функциями.

3. Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.

4. Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций.

5. Изучить вопрос разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.

6. Исследовать топологические свойства введённых пространств.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них отметим модифицированный P.C. Юлмухаметовым метод JI. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство. «.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряженного пространства к весовому пространству целых функций в Сп в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост порядка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались.

Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного пространства изучалась в работах JI. Эренпрай-са [41], Б. А. Тейлора [53], B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], C.B. Попёнова [28], [29]. Наиболее общий результат получен в работе C.B. Попёнова [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно \z\ зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста.

2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопряженные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида где (р — выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, а ги — неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0- +оо) с определенными свойствами.

Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (р (х) — ти)(х) в случае, когда ш (г) = 1п (1+г) данная задача была решена И. Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.

3. Доказано существование базисов в весовых пространствах целых функций в Сп, определённых с помощью выпуклых в Сп функций 1рт, имеющих при ||<гг|| > Я (где Я > 0 — некоторое число) вид: где (р — выпуклая функция в Сп полиномиального рост порядка большего единицы, а h — непрерывная неубывающая положительная функция на [0- -f оо) с определенными свойствами.

Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах занимались многие известные математики — М. М. Драгилев [9], B.C. Митягип [21], В. П. Захарюта [13], В. П. Кондаков [17], Д. Фогт (D. Vogt) [54], П. Б. Джаков [40] и др. В книге А. Пича [27] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): &bdquo-Каждое ли ядерное пространство Фреше обладает базисом". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не т имеющих базиса, построенных в работах Н. М. Зобина и Б.С. Митя-гина [14], К. Бессаги (С. Bessaga) [39] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [51]. В весовых пространствах целых функций в Сп данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [46] для случая весовых функций (fmiz) — rmP (z)i где гт —> Го > 0 при т —> оо, р — выпуклая функция в Сп, преобразование Юнга-Фенхеля которой принимает всюду в Сп конечные значения. При условии существования базиса в ядерном пространстве Фреше конструктивный способ построения базиса имеется в работе Митягина-Хенкина [22]. Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы Митягина-Хенкина [22] и Д. Фогта [54] и полученный результат по описанию сопряженного пространства.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та же, что и в соответствующих разделах.

1. Ахтямов Н. Т., О весовом пространстве целых функций в Сп // Матем. заметки. Т. 83, выи 4. 2008. С. 483−492.

2. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству целых функций в Сп // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Том 35. Казань, 2007.

3. Ахтямов Н. Т., Описание сопряоюенного к весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Том 34. Казань, 2006.

4. Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству последовательностей // Международная зимняя школа-конференция по математике и физике. Сборник трудов. Т. 1, математика. Уфа. РИО БатГУ, 2005.

5. Ахтямов Н. Т., Мусин И. Х., Дифференциальные операторы в весовом пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. Уфа, РИЦ БГУ, 2008.

6. Владимиров B.C., Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, № 1. С. 75−100.

7. Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных М.: Наука, 1964.

8. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснашрнпые гильбертовы пространства, М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1958. 472 с.

9. Драгилев М. М., Кондаков В. П., Об одном классе ядерных пространств // Математические заметки. 1970. Том 8. № 2. С. 169 179.

10. Дьедонне Ж7~Шварц JL, Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, № 2, С. 77−107.

11. Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.

12. Жаринов В. В., Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97−131.

13. Захарюта В. П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных // Теория функций и функциональный анализ. Харьков. 1967. № 5. С. 5−12.

14. Зобин Н. М., Митягин Б. С., Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функцион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974. С. 304−313.

15. В. В. Напалков, В. Э. Ким, «Изоморфизм между пространствами решений дискретного уравнения свертки и уравнения свертки на пространстве целых функций», Матем. заметки, 80:5 (2006), 733−750.

16. Колмогоров А.H., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

17. Кондаков В. П., Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42, № 6. 2001. С. 1300−1313.

18. Коробейник И. Ф., О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка // Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, № 3. С. 516−527.

19. Коробейник Ю. Ф., Абсолютно представляющие системы эк (> понент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций // Доклады АН. 2000. Т. 372, № 1. С. 17−20.

20. Кривошеев A.C., Напалков В. В., Комплексный анализ и операторы свертки // УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3−58.

21. Митягин B.C., Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах // УМН. Т. 16, № 4. 1961. С. 63−132.

22. B.C. Митягин, Г. М. Хенкин, Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. № 4. С. 93−152.

23. Мусин И. Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т.64, № 6. С. 181−204.

24. Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.

25. Эдварде Р., Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

26. Эскин Г. И., Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185−188.

27. Юлмухаметов Р. С., Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Известия РАН. 1996. Т. 60. КЧ. С. 205−224.

28. Bessaga С., A nuclear Frechet space without basis 1. Variation-on-a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astronom., Phis. 1976. V. 24, №. P. 471−473.

29. Djakov P.B., Некоторые замечания об ядерных пространсвах Фреше без базиса // Serdica Bulg. Math. J. 2 (1976), 171 -176.

30. Ehrenpreis L., Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522−588.

31. Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables New York: Wiley Interscience publishers, 1970.

32. P.V. Fedotova, I. Kh. Musin., Approximation by polynomials in a weighted space of infinitely differentiable functions // arXiv: math. С A /508 524 vl.

33. Hansen S., Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. V. 264, № 1. 1981. P. 235−250.