2. Пользуясь методом Жордана — Гаусса, решить систему линейных уравнений:
Решение
Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее методом ЖорданаГаусса:
(меняем первый и второй столбец местами) (обнуляем первый столбец, для этого умножим первую строку на -3 и сложим со второй, умножим первую строку на -7 сложим с третьей и умножим первую строку на -2 и сложим с четвертой) (разделим третью строку на 3 и поменяем ее со второй строкой) (поменяем второй и четвертый столбец местами) (обнуляем второй столбец: умножим вторую строку на -2 и сложим с первой, умножим вторую строку на 7 и сложим с третьей, умножим вторую строку на -3 и сложим с четвертой) (умножим четвертую строку на -1 и поменяем местами третью и четвертую строки) (обнуляем третий столбец: умножим третью строку на -4 и сложим с первой, умножим третью строку на 2 и сложим со второй, умножим третью строку на 12 и сложим с четвертой) (делим четвертую строку на -129) (обнуляем четвертый столбец: умножим четвертую строку на 8 и сложим с третьей, умножим четвертую строку на 20 и сложим со второй, умножим четвертую строку на -43 и сложим с первой)
Учтем, что были поменяны местами сначала первый и второй столбец, а затем второй и четвертый:
Итак, решение системы .
12. Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств
и геометрически найти наименьшее и наибольшее значения линейной функции в этой области.
Решение
Построим на плоскости прямые
и отметим полуплоскости, которые определяют неравенства:
получаем область допустимых значений в виде треугольника
Далее строим вектор градиент целевой функции: и проводим линии уровня целевой функции (на рис. изображена только одна линия уровня, остальные ей параллельны), которые перпендикулярны вектору-градиенту.
